.4 TAE ÖE Bshe : Mechank des Massepunkts, Ausdehnung de enelnen öpe venachlässgt steme von meheen punktf. öpen: äfte wken auf enelne Massepunkte, dese bewegen sch unabh. vonenande gem. Newton-Geseten! Abstände änden sch Modell: tae öpe (Idealseung, n ealtät snd alle öpe meh ode wenge lecht vefomba! Abstände wschen Telen snd fest, damt : Fom konstant! Innee äfte (de w ncht genau kennen /, kennen müssen!) sogen dafü daß Enelne Tele sch snchon bewegen Abstände wschen Telen sch ncht änden.4. Bewegung des staen öpes Allgemene Bewegung des staen öpes 997 k FH HN Übelageung von Tanslaton Alle unkte bewegen sch paallel glech wet glech schnell und otaton Alle unkte dehen sch um gemensame Achse um glechen Wnkel mt gleche Wnkelgeschwndgket hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :./3
ap..3. stem aus Massepunkten, chwepunkt, chwepunktsstem () Bew. enes Massepunkts (N. ) läßt sch dastellen als * a) Bewegung des chwepunkts und b) Bew. m : v V + v jett : tae öpe! Abstände wschen enelnen Telen snd fest Bew. m kann nu noch ene ene... -Bewegung sen! Bewegt sch dagegen nu de chwepunkt und de enelnen Tele des st.. uhen m so legt ene ene...-bewegung vo! netsche Enege des st.. Mt * v V + v egbt sch de gesamte kn. Enege alle Massepunkte des st.. * E mv m V + v kn * * ( mv + V mv + V m ) 4 34 3 * mv + ot E + E kn MV tans kn da! M (ges.masse) [Glg..4..] Auch ges. knetsche Enege des st.. läßt sch n otatonsenege (um ) und Tanslatonsenege (-Bewegung, Enege entsp. Massepunkt mt Gesamtmasse, de sch mt -Geschw. bewegt) elegen! Im Folgenden wd unächst nu de OTATION betachtet (d.h. w bet. st.. n senem ) ohne de * mme mtuscheben! Es st dann E mv mt v (alle unkte haben gleche Wnkelgeschw.!) ot Eot m [Glg..4..] 4 34 J Das Massentäghetsmoment J st abh. vom Aufbau des st.. und beschebt dessen Täghet bgl otaton (s.a. ap...3, Dnamk de Dehbewegung ) um ene -Achse (Inde ). Fü enen st.., de aus enelnen dsketen Massepunkten aufgebaut st, st de Gesamtmasse M und das Massentäghetsmoment J m. [Glg..4.3.] m Be kontnuelche Massevetelung muß de ummaton m duch ene Integaton d m esett weden ap..3.4. und.3.4.3!.4. ontnuelche Massenvetelung, Masse, Dchte, chwepunkt Betachte nfntesmales Volumenelement, hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :./3
deses hat Volumen dv und Masse dm. De Dchte an dese telle st dann ρ d m. Ist de öpe dv ncht homogen, so hängt de Dchte von,, ab:,, ρ ρ dm ρ dv M d m ρ,, d V [Glg..4.4.] He muß übe das gane Volumen des öpes nteget weden Volumenntegal! dv ------------------------------ Mathe. ------------------------------------------------- Beechnung von Vol.-Integalen:. katessche oodnaten,, : Bsp.: Quade (duch Ebenen paallel u den ---Achsen begent), Integatonsgenen (, ) etc.: Das Vol.-Element st dv d d d M dm ρ d V ρ,, ddd Vol. [Glg..4.5.] ρ(,, ) d d d (3 Integatonen übe -- nachenande ausufühen!) d d d. Zlndekoodnaten, ϕ, cosϕ, + sn ϕ dv d dϕ d Das Vol.-Element st M dm ρdv ρ ddϕ d Vol. Vol. [Glg..4.6.] dφ d dφ d hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :.3/3
3. olakoodnaten, ϕϑ, sn ϑcosϕ, + + dθ sn ϑsn ϕ cos ϑ Das Vol.-Element st dv d snϑdϕ dϑ sn ϑ d d ϕ d ϑ M dm ρdv ρ snϑ d dϕ dϑ Vol. Vol. dθ dφ sn θ sn θ dφ [Glg..4.7.] ---------------------------- Mathe. ---------------------------------------------------- Das Haupt- poblem be Be. von Vol.-Integalen: Beschebung des Integatonsgebets (Integatonsgenen de 3 (!) Vaablen), d.h. des Volumens, übe das nteget wd. Duch Wahl geegnete oodnaten und Ausnutung von mmeten de öpe wd des wesentlch veenfacht. Ncht empfehlenswet wäe es.b. enen Wüfel n olakoodnaten ode ene ugel n katesschen oodnaten u beechnen! Bsp. fü de Anw. de Volumen-Integale (nteg. wd jew. übe Volumen des öpes ): Vol. enes öpes : V dv dv [Glg..4.8.] Masse enes öpes: M dm ρdv [Glg..4.9.] chwepunkt: M m M V d ρd [Glg..4..] Massentäghetsmoment: J dm ρd V [Glg..4..] Übungsbsp.: Beechnen IE Masse u. enes nhomogenen Wüfels de antenlänge L Voschlag: Legen e den Usp. des kat. oodnatensstems n de Mtte des W., L/ + L/ (ebenso:,!). De Dchte kann.b. lnea von abhängen:,, a+ b (a,b : onstanten). ρ ρ Egebns: + L + L + L d d d M a+ b L L L hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :.4/3
M ρd V.4.3 Massentäghetsmomente Massentäghetsmoment bgl. ene vogegebenen Achse duch den chwepunkt : J Wou bauchen w J?. kn. Enege : Eot J Enegeehaltung [Glg..4..]. Dehmpuls: L J Dehmpulsehaltung [Glg..4.3.] 3. Dehmom. Wnkelbeschl.: d L M J α (wenn J const.!) [Glg..4.4.] d t Beechnung de Vol.-Integale läßt sch oft veenfachen, wenn mmete des öpes ausgenutt wd. tatt 3 Integatonen st dann oft nu ene (nchttvale) Integaton ausufühen. Be (fast) allen öpen muß de Dehachse beachtet weden (waum? Ausnahme: ugel!) De vesch. Methoden de J-Beechnung weden an folgenden Bespelen aufgeegt.. dünnwandge Hohllnde adus, Masse M dünne Wand alle unkte haben Abstd. J dm dm dm M J Hohll Hohll Hohll M von Achse [Glg..4.5.]. Volllnde adus, Länge L, Masse M a) Integ. n Zlndekoodnaten:, ϕ,, Abstand von Dehachse:! J dm ρ ddϕd Volll. L π 4 L πρ ρπl M 4 3 M ode anschaulche enfache (?) b) Volllnde wd n nfntesmale dünnwandge Hollnde mt adus elegt, dese haben Wandstäke d, Masse dm ρ ( π) L d, Täghetsmoment d J dm (sehe.! ) hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :.5/3
J dj dm ρπl d 4 L πρ M 4 Eg. we oben! 3. Vollkugel adus, Masse M a) Integ. n olakoodnaten:, ϕ, ϑ, Abstd. von Dehachse: snϑ! [Glg..4.6.] J ρdv snϑ ρ snϑ d dϕ dϑ ugel π π d u ubsttuton: u cos ϑ d u d sn d d ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ u + ϑ π u sn ϑ u π 4 J ρ ( u ) d dϕ du [ ] ( 5 ) ( u ) ρ π d u ρπ mt 4 3 M π ρ J M 3 5 5 5 5 4 3 [Glg..4.7.] Bem.: Ähnlch we be. läßt sch de Vollkugel auch als umme ( d ) vele Hohllnde (L st -abhängg, esgl.!) ode auch als umme vele dünne cheben (Volllnde, Länge d, 4. Hohlkugel (dünnwandg!) d ) beechnen. ÜBUNGsaufgabe! a) Flächenmasse ( Masse/Fläche) : σ M 4π dm σ da σ dϑ snϑdϕ Masse enes nf. Flächenelements da: J d m ( u )dm π 4 ( u ) σdudϕ M 3 [Glg..4.8.] b) J(Hohlkugel) J(Außenkugel) - J(Innenkugel) Beechnen e J de Außenkugel (Vollkugel, Dchte ρ, adus + ) und J de Innenkugel (Vollkugel, Dchte ρ, adus ) 5 5 4 sowe de Dffeen. Fü << st ( + ) 5 (waum?), damt egbt sch das Egebns we oben! hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :.6/3
5. lange dünne tab Masse M, Länge L, L + L, dm M d L L/ M J m L ML d d [Glg..4.9.] 6. Allgem. (massve) otatonsköpe lassen sch entwede dastellen als umme von a) dünnwandgen Hohllnden (we n 3 a). Dau muß de Höhe h() des ot.-öpes als Fkt. des adus gegeben sen! En dünnw. Hohll. bem adus (Wandstäke d) hat Masse dm ρ ( π) h d, Täghetsmoment dj dm ρ π J dj dm h d 3 π ρ h d [Glg..4..] dm 997 k h() FH HN ode b) als umme dünne cheben (Volllnde). Dau muß de adus als Fkt. von gegeben sen: ( ). (Höhe H, H ) Ene dünne chebe be (Dcke d) hat Masse dm ρπ ( ( ) ) d, Täghetsmoment dj dm J dj dm ρπ H 4 ρd H π [Glg..4..] d () Wetee Massentäghetsmomente: Tabelle n velen hskbüchen und (hs. / Mathe-) Fomelsammlungen! hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :.7/3
.4.4 tenesche at otaton enes staen öpes um Achse de ncht duch chwepunkt geht (sonden duch unkt m Abstd. a vom ) Momentangeschw. jedes Massepunkts egbt sch aus Übelageung von otaton und Tanslaton: otaton um plus Bewegung des um ot.-achse mt v E E + E kn ot tans J + a M ( J Ma ) v E J + Ma E kn kn + 44 3 J J a v Be ot. um ncht--achse st also ledglch das Massentäghetsmom. J duch J u eseten: J J + Ma (tenesche at) [Glg..4..] (n Woten: Massentäghetsmom. des ausgedehnten staen öpes bgl. -Achse Massentäghetsmom. ene unktmasse mt de Gesamtmasse M, de sch m befndet) ÜBUNGAFG.: En öpe (Vollkugel, dünnw. Hohlkugel, Volllnde etc. ) ollt ene schefe Ebene hnunte (Höhe h, Negungswnkel ϕ) a) Welche Geschw hat de öpe am Ende? b) We goß st de Beschleungung? c) We goß muß de Haftebungskoeff. sen, damt de öpe ncht utscht? e können denvogang auf völlg äquvalente Wesen behandeln Tanslatonsbew. des, otaton um mt Massentäghetsmom J otaton um momentanen Abollpunkt, Massentäghetsmom. J.4.5 Dehmpuls des taen öpes esel Bekannt (? ) von Mechank des Massepunkts: L J Wenn Täghetsmoment J en kala st L-Vekto u. -Vekto haben gleche chtung (Dehachse, echte-hand-egel!) ABE: Be otaton enes t.. glt des ncht mme! Nu n pealfällen (s.u.) st L! Gegenbespel : Massepunkte (he dagest. als ugeln), m m, hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :.8/3
schäg engespannt, d.h. Vebndungslne bldet festen Wnkel ϑ u Achse, ϑ, ϑ 9! Damt de Anodnung we sket um gegebene Achse otet, müssen LAGE vohanden sen! In de sketen tellung kommt m geade aus de Zechenebene heaus, m bewegt sch n de Zechenebene hnen. Lage m v Zechen e de Impulsvektoen p p,, Otsvektoen, und Dehmpulsvektoen L p, L pen! Waum haben L u. L de gleche chtung? Zechnen e den Gesamtdehmpuls L L L tot + en! θ. v m We veänden sch de Vekto L tot, wenn sch de Anodnung wetedeht? Ist L tot, etlch konstant? Dese Anodnung otet nu dann um ene feste Achse, wenn dese duch de Lage festgelegt st. Wegen d Ltot müssen de Lage ständg en... d t auf de Anodnung ausüben! W-H-W-L-? Bem staen öpe egt de Dehmpulsvekto ncht notwendgewese n de gleche chtung we de momentane Wnkelgeschwndgket (momentane Dehachse)! Im obgen Bespel st fest, L tot hat ene andee chtung und deht sch mt de Anodnung mt, damt st L tot ncht konstant Lage müssen Momente ausüben! Be enem käftefe oteenden staen öpe st L tot konstant (Dehmpulsehaltung!). Falls dann und L tot veschedene chtungen haben st de momentane Dehachse (chtung von ) ncht etlch konstant, de öpe taumelt, eet! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Egänende Anmekung: Auch wenn und L tot ncht paallel snd kann de Gl. L J vewendet weden, alledngs st J ken kala meh (Mult. mt kala ändet ncht de chtung enes Vektos!), sonden ene 33 - Mat (de smm. Täghetstenso ): L J, ausgescheben als Multplkaton ene Mat mt enem Vekto L J J J L J J J L J J J De Dehmpuls ene oteenden unktmasse st (s. ap..3.4) L m hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :.9/3
Damt Dehmp. enes stems L m ( ) Anw. des entsp. Entwcklungssates fü das doppelte X-odukt [ bac-cab-egel : ( ) ( a b c b a c c a b) ] : L m[ ( ) ( ) ] L m [ ] Ausgescheben n omponenten bedeutet des.b. fü de -omponente [ ( )] [ ] L m + + + + m + Alle 3 omp. lassen sch dann u ene Matgl. usammenfassen: L m( + ) m m L m m( ) m + L m m m + [Glg..4.3.] Be hnechend smmetschen öpen (und passende Wahl des oodnatensstems) (sehe unten) veschwnden aus mmetegünden de gemschten oduktsummen de Nchtdagonalelemente. Dann bewkt ene otaton um de -Achse (nu!), daß auch nu ene -chtung hat etc. : Haupttäghetsachsen! De 3 Dagonalelemente snd dann de Haupttäghetsmomente. Übungsafg.: Bestmmen e den Täghetstenso fü das oben angeg. stem aus we schäg engespannten Massepunkten.B. fü den pealfall ϑ 45, d.h. a a a, a (mt a ) Beechnen e damt den Dehmpuls be ene otaton mt! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- L Ohne Bewes Be jedem belebgen staen öpe lassen sch 3 Achsen -- fnden, so daß bgl. dese Achsen de Täghetstenso dagonal st : Haupttäghetsachsen (HTA) De ughögen Dagonalelemente heßen Haupttäghetsmomente Be otaton um ene HTA st L, dann glt L J mt skalaem J, fü const. st auch L const., de öpe otet ohne äußee Momente (ohne Lage!). De HTA heßen deshalb auch fee Achsen. Fee, ncht fete otaton um de HTA mt mamalem und mnmalem J st stabl, de otaton um de HTA mt mttleem J st labl De mmeteachsen des öpes (.B. Zlndeachse etc. ) snd HTA, be belebgen unsmmetschen öpen glt HTA snd :. Achse mt ma. J. Achse mt mn. J (steht mme senkecht auf.!) 3. u. und. senkechte Achse hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :./3
En öpe, dessen 3 Haupttäghetsmomente vescheden snd, heßt unsmmetsche esel En öpe mt glechen Haupttäghetsmomenten heßt smmetsche esel. De Wahl de chtungen de Hauptachsen n de entsp. Ebene st n desem Fall belebg (nu senkecht auf enande und senkecht u 3. Achse müssen se legen!) Jede otatonsköpe (mmeteachse : ) st en smmetsche esel, es st dann J J J Bsp.: Damt en ad (Auto!) ohne Lagekäfte fe oteen kann, muß das ad ncht nu statsch (Dehachse geht duch chwepunkt!) sonden auch dnamsch (Dehachse st HTA!) ausgewuchtet weden. De allg. Bewegung enes esels (nsbes. des unsmm. esels) wd he ncht behandelt abe enge pealfälle: Nutaton En smm. esel otee käftefe (esel m untestütt, um alle 3 chtungen dehba kadansche Aufhängung ) um sene mmeteachse k mm.-a. st HTA, also L J ( const.) und! k k k L k k aftstoß F t k L k J k k dann esel ehält enen chlag, aftstoß: Fü kue Zet wkt en Moment M F auf den esel, deses hat.b. ene omponente n -chtung M Wg. d L d t L k J k k t M, L M d t L hat de esel nun ene Dehmpuls-omp. n - chtung (senkecht u sene mmeteachse) Fü de -chtung glt en andees Täghetsmoment!!! Zwschen und L, k und L k stehen veschedene Faktoen! L neue momentane Dehachse neue Dehmp.-Vekto (aumfest!) L α α G k L k Fguenachse (usp. Dehachse) hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :./3
Es st k +, L Lk + L, [Glg..4.4.] abe und L snd ncht paallel! esel otet ncht meh um HTA! Nach dem chlag st L wede konstant - und aumfest! De momentane Dehachse steht m Wnkel α u L -Achse. e deht sch um de aumfeste L - Achse heum und bldet den astpolkegel (halbe Öffnungswnkel α ). De Fguenachse steht m Wnkel α G u momentanen Dehachse und bldet de mmeteachse des Gangpolkegels (halbe Öffnungswnkel α G ), de sch auf dem astpolkegel abwält. α G momentane Dehachse α Gangpol- egel L Dehmpulsachse astpol- egel Fguenachse Nutatons -egel äesson En smm. esel otee um sene mmeteachse. Abe: ncht käftefe, auf esel wkt ständg en Dehmoment! M Bsp.: a) ad, nu ensetg gelaget, Gewchtskaft Dehmoment b) oton (hat Egen -Dehmpuls (pn) u. magn. Moment) n enem Magnetfeld. Magnetfeld bewkt Dehmoment auf oton. F mg otaton um HTA muß schnell genug (s.u.) sen, Dehmpuls: L J mt Haupttäghetsmoment J! dauend wkendes Dehmoment Dehmpulsvekto st ncht konstant, d L M d t (. ML: L ändet sch (d.h. ledglch de Dehahl wd vegößet/veklenet) ). M L: L const., chtung ändet sch, äessonsbewegung des esels Be äesson ändet sch chtung de eselachse mt Wnkelgeschw. : p hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :./3
p p d ϕ d L M d t L d t L [Glg..4.5.] M J fü folgt p, L(t+ t) φ L(t) LM t abe: de Gl. wude nu fü den Fall abgeletet, daß de esel um ene HTA otet! Dau muß de Wnkelgeschw. p gegen venachlässgba sen ( >> p ) Zwangsdehung (ewungene äesson): esel wd von außen u ene Dehung sene Achse gewungen Momente auf Lage: M L p glechsnnge aallelsmus : esel vesucht, chtung senes Dehmp.-Vektos auf küestem Wege glechsnng paallel um Vekto de töung (Dehmoment, Zwangsdehung) u stellen. Bespele fü Anw. des esels, de eselgesete:. uskesel : äftefe aufghängte esel, enmal engestellte chtung blebt ehalten. eselkompaß: esel so gelaget, daß sch sene Achse nu n Hoontalebene bewegen kann. Edotaton Zwangsdehung esel stellt Achse paallel (*) um -Vekto de Eddehumg, d.h. nach Noden. * genaue: möglchst paallel, genau paallel geht nu am Äquato! 3. Lagestablsaton duch esel. Z.B be atellten wd Lage duch Dalläde stablset und kontollet. Taumeln des atellten (Nutaton) kann mt Dalläden abgefangen weden. Da Dehahl de Dalläde begent st, muß atellt von Zet u Zet Dehmpuls abgeben we?... 4. enspnesonan: Vele Atomkene haben enen Egendehmpuls (pn) und en magn. Moment. In äußeem B-Feld päedeen de pns mt Wnkelgeschw. p. Wd ene elektomagnetsche Welle ( HF-uls ) mt genau dese Fequen engestahlt ( esonan) dann können de pns umgeklappt und de esulteende (makoskopsche) Magnetseungsvekto gedeht weden. Auch des läßt sch wede als äessonseffekt vestehen. De em-welle besteht aus enem echts- und enem lnkskula polaseten Antel ( ap. Wellen!). De chtg dehende Antel deht sch snchon mt den päedeenden pns. Im mtoteenden Beugssstem egbt sch dann en konst. B- Vekto. De pns fühen n desem stem ebenfalls ene äessonsbewegung aus. Duch de Daue des HF-ulses kann de Dehwnkel dese äessonsbewegung engestellt weden De gedehte und m äußeen Magnetfeld otende Magnetseungsvekto eeugt n Empfängespulen en Induktonssgnal. Mt enspnesonan können klene,.b. von de chem. Bndung abhängge Veändeungen de Enegenveaus gemessen weden (wchtges Vefahen u Emttlung von chem. tuktufomeln!). Ist das äußee Magnetfeld ncht völlg homogen sonden von (schwachen) Gadentenfelden (n //- chtung) übelaget, so kann enspnesonan auch otsaufgelöst beobachtet weden (enspntomogaphe). Vol. enphskalsche Meßvefahen hsk 4_tae oepe.doc, of. D.. auschnabel, HHN, 8.5.6 :.3/3