HöMa III Zusammenfassung Volesung Pof. Behmelmans, WS 201112, zusammengefasst von Matin Gitzan Gebietsintegale Gebietsintegale sind Integale übe Funktionen, die von meheen Paameten abhängen und bei denen stets übe ein Gebiet (siehe unten) mehdimensional integiet wid. Gebiet Ein Gebiet ist eine Teilmenge des ohne ihen Rand (offene Menge), die zusammenhängend ist. Ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist ein Gebiet, das keine Löche hat. Ein Keising ist z.b. zusammenhängend, abe nicht einfach zusammenhängend. Tipps zum Beechnen von Gebietsintegalen Das äußee Integal daf keine de Laufvaiablen de inneen Integale meh enthalten. Dazu muss man sich das Gebiet evtl. veanschaulichen und die Genzen entspechend definieen. Will man die Integationseihenfolge änden, so muss man sich evtl. das Gebiet veanschaulichen, um die Genzen passend zu obigen Regel umzufomen. Wenn die Genzen nicht von Laufvaiablen de Integanden abhängen, kann man die Integationseihenfolge einfach tauschen. Kuvenintegale Bei Kuvenintegalen wid eine Funktion, die von meheen Paameten abhängig ist und deen Egebnis ebenfalls mehdimensional ist, übe einen Weg integiet. Fomal gilt im Folgenden: d = d + + + Allgemeine Heangehensweise Sei eine eguläe, doppelpunktfeie Kuve und sei () eine stetig diff bae Paametisieung von. Dann gilt d = () ()d mit a, b als Genzen des Definitionsbeeiches de Paametisieung. Wegunabhängigkeit Eine de fü Ingenieue inteessantesten Fagen zu Integalen übe Vektofelde. fomale Definition Fomal heißt ein Kuvenintegal in einem Gebiet wegunabhängig, wenn d fü jede Kuve aus dem Gebiet den gleichen Wet liefet. Dies ist aufwändig zu zeigen, es gibt Abküzungen auf diesem Weg.
De geschlossene Weg Ein Kuvenintegal ist genau dann in einem Gebiet wegunabhängig, wenn d =0 fü alle geschlossenen Wege im Gebiet gilt. De 1. Hauptsatz übe Kuvenintegale (eine mehdimensionale Veallgemeineung des 2. HS de Diffeenial- und Integalechnung) Das Kuvenintegal d ist genau dann wegunabhängig, wenn es eine eell wetige Funktion h gibt, so dass gilt = h Hat man dieses h einmal gefunden, kann man es außedem zu Veeinfachung de Integation nutzen. Es gilt nämlich d =h(p) h(q) fü jeden beliebigen Weg von H nach Q. h ist abe u.u. nicht leicht zu finden. Einfache anwendba ist De 2. Hauptsatz übe Kuvenintegale Im gilt: Das Kuvenintegal $d+%& ist genau dann in G wegunabhängig, wenn A, B stetig diff ba und '( = '* fü alle (x, y) aus G ') '+ gilt. Gaußsche Satz übe Kuvenintegale Sei G ein Gebiet und G sein Rand, welche sich duch Aneinandeeihung de Kuven bis doppelpunktfei ausdücken lässt. Außedem sei de Duchlaufsinn des Randes so gewählt, dass G stets zu Linken liegt. Sei - in jedem Punkt des Randes seine von G wegzeigende (d.h. äußee) Nomale. Dann gilt nach dem Satz von Gauß: ode andes ausgedückt: - d. =0 dd& ' 0 1 + 2 & dd& = 1d& 2 =31& 2 ' 67 Mithilfe dieses Satzes lassen sich also Kuvenintegale übe den Rand eines Gebietes auf Gebietsintegale zuückfühen (und umgekeht). Dabei daf de Rand des Gebietes auch in Abschnitte zelegt weden, wenn s die Rechnung einfache macht. Duchlaufsinn änden: Es gilt d = d. Um den Duchlaufsinn von zu wechseln, muss man sich die Kuve 8 veanschaulichen und eine neue Paametisieung festlegen. Das egibt entwede einen neuen Integanden ode andee Genzen fü die Integation. 5 4
Flächenintegale Hie geht es nun um die Integation eines Vektofeldes im Raum übe eine duch das Vektofeld schneidende Fläche. Dazu muss sich zunächst die Fläche dastellen lassen. Paametedastellung de Fläche Man kann sich die Fläche F als Egebnis eine Abbildung aus de (u, v)-ebenen D in den Raum vostellen. Dann sind u und v die Paamete und es gilt (9,;) mit x=x(u,v); y =y(u,v); z =z(u,v);(u,v) D heißt Paametedastellung de Fläche H ={ (9,;) Obeflächenbeechnung Will man den Flächeninhalt eine Fläche beechnen, so kann man ausnutzen, dass fü jede eguläe Fläche F, deen Paametedastellung :L M bekannt ist, gilt: $(H) = NO 9 ; O9d; =RST 9 9 UT ; ; U T 9 ; U Q Q 9d; ist de Flächeninhalt von F. Da D ein Gebiet im ist, lässt sich zu Lösung des Integals de gesamte Efahungsschatz aus den vohegehenden Kapiteln anwenden. Ist die Fläche ga in de Fom H =V W M Y =(,&);(,&) G [ gegeben, so kann man sofot sagen: $(H)=N\1+^'_ '+^ +^'_ ')^ dxdy ist de Flächeninhalt. Die Beechnung de Flächen ist im Gunde eine Integation übe das 1-Vektofeld. Will man andee Vektofelde integieen, baucht es meh. allgemeine Flächenintegale Hie geht es um die Beechnung von d`, also wenn eine Fläche F und ein Vektofeld f gegeben sind. Fü Flächen in Paametedastellung gilt a d` = Nf(x,y,z)O 9 ; O9d; a Q Fü Flächen, die als Gaph eine Funktion definiet sind (H =V W M Y =h(,&);(,&) G [) gilt veeinfacht d` =0f(x,y,z)c1+d h d +d h & d dxdy a e
Gaußsche Satz übe Flächenintegale Vom Gaußschen Satz übe Kuvenintegale gibt es eine 3D-Vaiante, die genutzt wid, um die deidimensionale Integation übe einen Raum auf eine Integation übe seinen Rand zuückfüht. De Rand eines Volumens besteht aus (bestenfalls endlich vielen) Flächen. De Gaußsche Satz übe Flächenintegale in seine kompaktesten Fom lautet fdiv dd&dy = - d` wobei G nun ein Gebiet im M ist und g sein Rand, welche eine geschlossene, eguläe Fläche ist. Ausgeschieben bedeutet das: f 1 + 2 & + h Y dd&dy = (1- + +2- ) +h- i )` wobei die n die Komponenten des nach außen zeigenden Nomalenvektofeldes auf g ist. Spezialfall V1 (Satz 6.1) In diesem Spezialfall betachten wi Gebiete des M mit de Fom g =V W M j(,&)<y<l(,&);(,&) [ mit j(,&) <l(,&) beide stetig diff ba in. Solche Gebilde sind anschaulich Säulen mit beliebig gefomtem Deckel, Boden und Gundiss, deen Seitenwände übeall paallel mit de z-achse velaufen. Fü solche Gebiete gilt dann f h Y dd&dy = (h- i )` Dabei ist zu beachten, dass fü den Rand Boden und Deckel de Säule getennt betachtet weden müssen, da auf diesen Ebenen die z-komponenten de nach außen zeigenden Nomalenvektoen zumindest unteschiedliche Vozeichen haben weden. Integalsatz von Stokes Eine andee Veallgemeineung des Satzes von Gauß ist de Satz von Stokes. Hie geht es um die Integation eines Vektofeldes f übe eine Fläche F im Raum. Dabei gilt ' ' ' ot - d` = d. = dd&dy a wobei die Randkuve von F und t die Tangente daan ist. o und n müssen eine Rechtsschaube bilden! Intelligente Weise beginnt man bei de Lösung solche Aufgaben damit, den Rand de Fläche zu paametisieen und achtet dabei auf den Duchlaufsinn de Paametisieung. Wählt man ihn passend zum gegebenen Nomalenvekto, kann man sofot weiteechnen. Fomel fü die Rotation: Skipt S. 53 unten. Nomale beechnen Ist eine Fläche de Fom H =V W M Y =h(,&);(,&) G [ gegeben, dann kann man das Nomalenfeld auf diese Fläche mit positive z-komponente beechnen duch 1 h - = p1+ h T &hu 1
Satz übe implizite Funktionen Hie wid die Auflösbakeit eine Funktion f(x, y)=0 untesucht, also die Nullstellenmenge de Funktion. Anleitung: Stelle f(x, y)=0 ein Mal nach x und ein Mal nach y um, diffeenziee f außedem je nach x und nach y. Dann setze den Ausduck fü x in ddx und den Ausduck fü y in ddy ein. Wenn beide Ableitungen i.a. ungleich 0 sind, ist die Gleichung auflösba. Exakte Diffeentialgleichungen Zu diesem Thema sollte noch die Aufstellung übe Lösungsansätze fü DGLs aus dem 2. Semeste wiedeholt weden. Die nachfolgenden Eläuteungen bauen daauf auf. Exaktheit eine DGL Eine DGL de Fom 1(,9)+2(,9)9 =0 heißt exakt, wenn es eine Funktion h(x, y) gibt mit h = 1(,&) 2(,&) h heißt dann Stammfunktion de DGL und es gilt: Die Lösungsgesamtheit de DGL besteht dann aus allen u(x), die h(x, u) = const. efüllen. Eine notwendige Bedingung, damit es ein solches h übehaupt geben kann, ist ' = '. '+ ') In de Paxis testet man zuest die notwendige Bedingung, wenn man noch nicht weiß, dass die DGL exakt ist. Anschließend macht man sich auf die Suche nach einem konketen h: Man bestimmt zu a (ode b, je nachdem was einfache ist) die entspechende Stammfunktion. Anschließend vesucht man, die Integationskonstante so festzulegen, dass die Ableitung in die andee Richtung das gewünschte Egebnis liefet. In den elevanten Aufgaben sollte das de Fall sein. Eigenwetpoblem Eine von einem Paamete q abhängige DGL mit Randbedingungen heißt Eigenwetpoblem. Ein EWP löst man, in dem man die DGL fü veschiedene q löst und anschließend die Randbedingungen einsetzt und so die Konstanten bestimmt. Kommen Lösungen ungleich de Nullfunktion heaus, dann ist q ein Eigenwet und die Lösung eine Eigenfunktion des Poblems. uneigentliche Paameteintegale sind uneigentliche Integale, die jedoch noch von einem Paamete t abhängen. gleichmäßige Konvegenz (Satz 6.1) Das uneigentliche Paameteintegal (,)d heißt gleichmäßig konvegent, wenn f stetig ist und es fü alle s >0 ein u(s)<2 gibt, so dass fü alle t gilt v(,)dv <s Diese fomale Definition ist unhandlich nachzuweisen. Dahe benutzt man besse das Majoantenkiteium.
Majoantenkiteium (Satz 6.2) Seien f, g stetige Funktionen und w()d, w dann ist auch f gleichmäßig konvegent. Integationseihenfolge (Satz 6.4) gleichmäßig konvegent (siehe HöMa II). Wenn Wenn f gleichmäßig konvegent ist, daf eine Integation übe den Paamete vo ode nach de Bildung des Genzwetes efolgen. Diffeentiation nach dem Paamete (Satz 6.5) Wenn alle Bedingungen, stetig ', stetig 'y,d gleichmäßig konvegent ',d gleichmäßig konvegent 'y efüllt sind, so gilt,d =,d Funktioneneihen punktweise Konvegenz, gleichmäßige Konvegenz Funktionenfolgen punktweise Konvegenz nachweisen: lim bilden. Existiet de GW, dann ist e die Genzfunktion und fn konvegiet punktweise dagegen. gleichmäßige Konvegenz nachweisen: Weise punktweise Konvegenz nach, anschließend zeige dass s>0 aus <s nicht meh von x abhängt (sonden nu noch von n). Gilt dies, so ist die Folge gleichmäßig konvegent gegen. Funktioneneihen punktweise bzw. gleichmäßig ist die Funktioneneihe 7 konvegent, wenn die Folge ihe Patialsummen = 7 punktweise bzw. gleichmäßig konvegent ist. Diese Definition ist als Beweismethode unhandlich. In de Paxis sucht man eine Folge ~, die insbesondee von x unabhängig ist. Außedem muss 7 ~ konvegieen. Dann konvegiet die Funktionenfolge und soga die Folge de Betäge von fn gleichmäßig. (Majoantenkiteium)
Ableitungen und Integale von Funktioneneihen Wenn die Funktioneneihe 7 gleichmäßig gegen fx konvegent ist und f, fn stetig und integieba sind, dann ist d= d 7 Ist 7 wenigstens punktweise konvegent und fn stetig diff ba. Ist dann die Reihe de Ableitungen 7 gleichmäßig konvegent, so kann man Summation und Diffeentiation vetauschen: = Fouieeihen Fouieeihen sind besondee Funktioneneihen. Eine beliebige 2pi-peiodische Funktion f lässt sich als duch eine Reihe von peiodischen Funktionen ode 1 ƒ 2 + 1 cos (-) +2 sin (-) 7ƒ h ˆ6+ 78 ausdücken, die gegen f konvegiet. Die Fouie-Koeffizienten an, bn, cn lassen sich beechnen nach den Voschiften ƒ ƒ ƒ ƒ 1 ƒ = d, 1 = cos (-)d, 2 = sin (-)d, h 5 = ˆ865+ d. Die Koeffizienten lassen sich auch ineinande umechnen: h ƒ =, h Œ = 86 Ž, h 8Œ = Ž 6 Ž Dabei müssen die Integationsgenzen nicht unbedingt 0 und 2pi sein. Wichtig ist, dass stets übe eine volle Peiode von 2pi integiet wid. Häufig weden auch pi und pi als Genzen vewendet. Es hängt davon ab, wie die Funktion f definiet ist. Rechenegeln Fouieeihen weise einige inteessante Eigenschaften auf: f(x) = f(-x), also f symmetisch zu y-achse: Alle bn = 0. f(x) = -f(-x), also f symmetisch zum Uspung: Alle an = 0. Anwendung auf Diffeentialgleichungen 19 +29 +h9 =() sei eine Diffeentialgleichung, deen Koeffizienten a, b, c konstant seien. Dann lässt sich aus de Fouieeihe h ˆ6+ zu f die Fouieeihe de Lösung beechnen. Dazu wählt man 78 9()~ ˆ6+, beechnet die benötigen Ableitungen und setzt sie in die DGL ein. Dann kann man die Fouiekoeffizienten de Lösung duch Koeffizientenvegleich bestimmen.
Wahscheinlichkeitsechnung Laplace sche Wahscheinlichkeitsaum Ein Wahscheinlichkeitsaum, in dem alle Elementaeeignisse gleich wahscheinlich sind und auf jeden Fall imme ein Elementaeeignis eintitt, heißt Laplace sche Wahscheinlichkeitsaum und es gilt: 6 =, also die Wahscheinlichkeit fü ein bestimmtes Eeignis unte de Annahme, dass es N Eeignisse gibt. =1 = 68 =1 ( 6), die Wahscheinlichkeit, dass igendwas passiet ist 1, also ist die Gegenwahscheinlichkeit fü ein gegebenes Eeignis 1 minus seine Wahscheinlichkeit. Sei A ein Eeignis, welches sich aus n laplaceschen Elementaeeignissen zusammensetzt, dann gilt ($) =. Also ist die Wahscheinlichkeit die Anzahl de Fälle in A duch die Gesamtzahl de Fälle im Wahscheinlichkeitsaum. Benoulli-Veteilung Bestehe ein Expeiment aus de N-Fachen Wiedeholung eines Expeimentes, welches nu zwei Mögliche Egebnisse hat (p(efolg)=p, p(missefolg)=1-p), dann gilt fü die Wahscheinlichkeit, k Einzelefolge bei N Expeimenten ezielt zu haben 5 (1 ) 85 bedingte Wahscheinlichkeit Seien A, B Eeignismengen im gleichen Wahscheinlichkeitsaum, dann ist die Wahscheinlichkeit fü A, gegeben dass B eingeteten ist: ($ %) = ($ %) = #($ %) (%) #(%) Dabei sei #( ) die Mächtigkeit eine Menge. Man benutzt, was einfache zu beechnen ist. stochastische Unabhängigkeit Zwei Eeignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn ($ %) = (A) p(b) gilt. Das bedeutet insbesondee, dass die bedingte Wahscheinlichkeit ($ %) =p(a) ga keine bedingte ist. Satz von de totalen Wahscheinlichkeit Eine vollständige Eeignisdisjunktion besteht aus eine Menge {$,,$ von Eeignissen, die sich gegenseitig ausschließen. Dann besagt de Satz von de totalen Wahscheinlichkeit, dass und die Bayessche Fomel Zufallsvaiable, Ewatungswet (%) = (% $ 6 ) ($ 6 ) 67 ($ 5 %) = (% $ 5) ($ 5 ) (%) = (% $ 5) ($ 5 ) 67 (% $ 6 ) ($ 6 ) Eine Zufallsvaiable X( ) ist definiet duch eine Zuodnung, die dem Eeignis eine Zahl zuodnet, zum Beispiel einen Gewinn. De Ewatungswet gibt dann an, wie goß de zu ewatende Gewinn (allgemein: Die Summe de duch die Zufallsvaiable ezeugen Wete) ist. E wid beechnet als ( ) = ( ) ( )
Vaianz, Steuung 1 =E ist die Vaianz und =p 1 die Steuung (Standadabweichung) von X. HINWEIS Diese Zusammenfassung ehebt keinen Anspuch auf Vollständigkeit und fomale ode inhaltliche Koektheit. Sie soll das Lenen vo de Klausu eleichten und bietet eine Auswahl an Fomeln und Vefahen an, die sich möglicheweise ganz gut auf dem Fomelzettel machen ;-) Fü eine umfassende Klausuvobeeitung empfehle ich jedoch die Lektüe von Pof. Behmelmans Skipt und das Anfetigen eine eigenen Zusammenfassung. Sollte ein Lese ode eine Lesein einen mathematischen Fehle finden, so möge esie mich bitte unte matin.gitzan@web.de kontaktieen.