Regressonsgerade x x x x 3... x n y y y y 3... y n Bem Auswerten von Messrehen wrd häufg ene durch theoretsche Überlegungen nahegelegte lneare Bezehung zwschen den x- und y- Werten gesucht, d.h. ene Gerade y = mx +b (Regressonsgerade), de de Datenpunkte möglchst gut approxmert. 3 y r = 0,84 3 4 5 x Als Abwechungsmaß kann (nach Gauss) de Summe der Quadrate der Dfferenzen Q = (mx +b y ) + (mx +b y ) +... + (mx n +b y n ) genommen werden. Herbe werden m und b so gewählt, dass Q enen klensten Wert annmmt. Q kann als Funkton der Varablen m und b betrachtet werden. Im Mnmum müssen dann de Abletungen nach b und m Null ergeben. Q(b) = (mx +b y ) De Summe erstreckt sch stets von bs n. Q (b) = (mx +b y ) = m x +nb y = 0 = y = mx+b Mttelwerte x = x, y = y n n P(x y) legt auf der Ausglechsgeraden. m st noch zu bestmmen. Um de Rechnung enfach zu halten, wählen wr den Schwerpunkt als Ursprung: d = x x e = y y b st dann Null, de Stegung hat sch ncht verändert. Q(m) = (md e ) Q (m) = (md e ) d 0 = m e d = m mn = d e m = (x x)(y y) (x x) De Glechung der Regressonsgeraden lautet daher: y = m(x x)+y regred lat. zurückschreten
Korrelatonskoeffzent Wr benötgen en Maß dafür, we stark de Datenpunkte um de Regressonsgerade streuen. Dazu rechnen wr de quadratsche Abwechung aus. Q = (e md ) m = e d = (e e md +(md ) ) = e m e +m = e ( e d ) = e ( e d ) + ( e d ) ( ) kürzen durch Je klener der Term ( e d ) st, desto größer st de Quadratsumme. Dese st Null, falls ( e d ) = e st. Da Q 0 st, folgt 0 ( e d ) e = 0 ( e d ) e Der mttlere Term heßt Bestmmthetsmaß. Gebräuchlcher st der Korrelatonskoeffzent r = e d d = e (x x)(y y) (x x) (y y) r st de Wurzel aus dem Bestmmthetsmaß und hat m Gegensatz zu desem stets dasselbe Vorzechen we de Stegung m (lecht zu sehen). Es st: r. Für r = 0 st de Stegung m auch Null. Es legt ken lnearer Zusammenhang vor, für r = und r = legen de Datenpunkte auf der Regressonsgeraden. Zu beachten st, dass en hoher Korrelatonskoeffzent ncht ene kausale Abhänggket bedeuten muss. In Excel können Ausglechsgeraden ohne Aufwand ausgegeben werden: Auf enen Datenpunkt klcken, mt rechter Maustaste Trendlne hnzufügen, Trendlne formateren, Optonen, Glechung und Bestmmthetsmaß m Dagramm darstellen.
Regressonsgerade, vektorelle Lösung Als mathematsch fruchtbar wrd es sch erwesen, das Ausglechsproblem vektorell zu lösen. Herzu betrachten wr de Quadratsumme als Skalarprodukt, dass wr kühn auf n Dmensonen verallgemenern. Wenn auch de Anschauung aufgegeben werden muss, so bleben doch de Rechenregeln (Lneartät, usw.) erhalten. Q(m,b) = mx +b y mx +b y. mx n +b y n = m x x.. x n +b. y y.. y n = [m x+b e y] OX = m x+b e kann als Ebene durch den Ursprung m n-dmensonalen Raum gedeutet werden und Q(m,b) als Quadrat des Abstandes des zum Vektor y gehörenden Punktes P zu enem Punkt der Ebene. Deser Abstand wrd mnmal (zumndest snd wr m Fall n = 3 davon überzeugt), falls der Dfferenzvektor m x + b e y orthogonal ( d. h. das Skalarprodukt st Null) zu den Rchtungsvektoren der Ebene st. (m x+b e y) x = 0 (m x+b e y) e = 0 m x +b e x y x = 0 m x e+b e y e = 0 m x +b x x y = 0 m x +bn y = 0 m x +nbx x y = 0 mx+b y = 0 y P m x+b e y Dese letzten beden Glechungen ergaben sch auch schon be der Lösung mt der Dfferentalrechnung, so dass das wetere Vorgehen dentsch st. Wr wollen noch der Frage nachgehen, we nnerhalb der Vektorrechnung gezegt werden kann, dass dese Orthogonaltäts-Schlusswese für allgemenes n zum Mnmum der Quadratsumme führt. De Tragwete deser Überlegungen wrd auf der nächsten Sete schtbar. Der Nachwes gelngt, wenn wr uns de betrachtete Ebene von zwe zuenander orthogonalen Enhetsvektoren aufgespannt denken: OX = λ a +µ b, a b, a = b = Das noch Fehlende soll m Hnblck auf Späteres etwas allgemener formulert werden. 3
Weg n de Abstrakton Se a, =...m, en Orthonormalsystem, d.h. de Vektoren haben de Länge und snd paarwese orthogonal. Wr rechnen das Quadrat des Abstands enes Punkts P zu ener Lnearkombnaton der a aus. λ a = ) = OP OP = OP = OP = = ( m λ a + λ a = λ OP a + m OP a = = ) + m = λ ) ( λ OP ) a Offenschtlch wrd das Mnmum für de Wahl von λ = OP a angenommen. Nun kann abschleßend noch der Nachwes der Orthogonaltät erbracht werden. Der Vektor, der den Fußpunkt mt dem Punkt P verbndet, = OP a ) a st orthogonal zu jedem a k und damt auch zu jeder Lnearkombnaton der a k, m Fall n = 3 also zu allen Vektoren der Ebene: = ) OP a ) a a k = Damt wurde unser Vorgehen nachträglch gerechtfertgt. OP a k OP a k = 0 Be der vektorellen Bearbetung des Ausglechsproblems haben wr uns letztendlch von der Anschauung getrennt und uns nur noch auf de rechnerschen Umformungen verlassen. Zum Verständns weterer Methoden zur Lösung von Approxmatonsproblemen, z.b. der Approxmaton ener Funkton durch ene Lnearkombnaton trgonometrscher Funktonen (Foureranalyse) st en zusätzlcher Abstraktonsschrtt erforderlch. Blcken wr noch enmal zurück und versuchen, das Wesentlche herauszustellen. Wr bewegten uns n ener Menge von Elementen (Vektoren), auf denen Rechenoperatonen und en Skalarprodukt, d.h. ene Zuordnung mt gewssen Egenschaften, defnert snd. Das Skalarprodukt legt für de Elemente des Vektorraums ene Länge (Norm), enen Abstand und ene Orthogonaltätsbezehung fest. In desem mathematschen Kontext kann zu enem Element de hm nächstlegende Lnearkombnaton enes Orthonormalsystems gefunden werden. Statt der Vektoren betrachten wr nun Funktonen auf enem Intervall [a,b]. Funktonen können addert, mt ener Zahl multplzert und auf hnen kann en Skalarprodukt defnert werden, und zwar durch: <f g> = b a f g dx, <f g> st ene von mehreren gebräuchlchen Schrebwesen. 4
Weg n de Abstrakton Das Skalarprodukt hat ene Norm f = <f g> und ene Abstandsdefnton d(f, g) = f g zur Folge. Übertrage a) f = b) f g c) f g 00 n Aussagen über Flächennhalte. Das für Approxmatonen am häufgsten verwendete Orthonormalsystem besteht aus bestmmten trgonometrschen Funktonen; es snd jedoch auch andere Systeme bestmmter Polynome bekannt. y f(x) = 4 π (snx+ 3 sn3x+ 5 sn5x) 3 4 5 6 x - y f(x) = 3 4 + 3 π (snx+ sn4x+ 3 sn6x) 3 4 5 6 x - 5