BT/MT SS 6 Mathematik II Klausurvorbereitung www.eah-jena.de/~puhl Thema: Üben, üben und nochmals üben!!! Differentialrechnung Aufgabe Differenzieren Sie folgende Funktionen: a y = ln( b f( = a a + c f( = sin(ln( 5 d f( = ( + e e f( = ln( + + f f( = ( + g f( = ln ( + ( 4 ( + (4 Aufgabe Berechnen Sie die ersten Ableitungen der folgenden Funktionen: a f( = ln(sin(4 + b f( = ( + 4 c f( = arctan( d f( = e f( = 4 f f( = 4 g f( = ln + h f( = e ln cos i f( = e 4 + Aufgabe Stellen Sie die Gleichung y = m + n der Tangente an den Graph der Funktion f( = + + in den Punkten P (, y und P (, y auf! Aufgabe 4 Man bestimme den Winkel ϕ, unter dem sich die Graphen der Funktionen y = und y = schneiden! Aufgabe 5 Für die Funktion f( = sind zu bestimmen: + 4 a alle Etremwerte und deren Art (Maimum oder Minimum, b Bereiche, in denen f( monton fallend ist und c Bereiche, in denen f( konkav ist. Aufgabe 6 Es sei die Funktion f( = ln + gegeben. a Geben Sie den maimalen Definitionsbereich D(f der Funktion f( an. b Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f( im gesamten Definitionsbereich D(f. Aufgabe 7 Welche quadratische Funktion f( = a + b + c enthält den Punkt P = (,, hat in P den Anstieg und besitzt an der Stelle = den Anstieg 6? Aufgabe 8 Bestimmen Sie die Konstanten a, b, c der gebrochen rationalen Funktion f( = a + b + c derart, dass die Funktion f in = einen Pol und in = einen Etremwert mit f( =, 5 besitzt.
Aufgabe 9 Gegeben sei die Funktion f( = e ( +. Bestimmen Sie alle R, für die f( streng monoton wachsend ist. Für welche R ist f( konve? Aufgabe An welcher Stelle haben die Graphen von f( = + und g( = ln( + parallele Tangenten? Geben Sie die Gleichungen der Tangenten an! Aufgabe Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve y( = 6 im Punkt (, y mit =,. Aufgabe Gegeben sei die Funktion f( = ln(a + mit a. Geben Sie den Definitionsbereich D(f an und bestimmen Sie Nullstellen und Etrempunkte. Beschreiben Sie das Monotonieverhalten der Funktion. Aufgabe Diskutieren Sie den Verlauf der folgenden Kurven: a y = ( + b y = 4 4 c y = + d y = 6 9 ( e y = e + f y = e sin g y = e h y = ln Aufgabe 4 Berechnen Sie für die nachstehenden Funktionen für =, 5 und d =, 5 den Zuwachs der Funktion y und das Differential dy: a y = sin( b y = Aufgabe 5 Bestimmen Sie das Taylor-Polynom 4. Grades an der Entwicklungsstelle für: a f( = = b f( = e = c f( = e sin( = d f( = ln = Anwendung der Differentialrechnung Aufgabe 6 Welche Abmessung muss ein Zylinder mit dem Volumen V haben, wenn seine Oberfläche ein Minimum betragen soll? Aufgabe 7 Welche Punkte (, y der Hyperbel y = haben vom Punkt (, die kleinste Entfernung?
Aufgabe 8 Von einem Dreieck seien die Summe s der Länge von zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben. Wie lang müssen die beiden Seiten sein, damit der Flächeninhalt des Dreiecks maimal wird? Aufgabe 9 Für die Ellipse + y = ist dasjenige achsenparallele Rechteck gesucht, welches in a b der Ellipse liegt und den maimalen Flächeninhalt hat. Aufgabe Der stationäre Teil einer gedämpften erzwungenen Schwingung ist gleich K cos (ωt + ϕ. Für die Amplitude gilt K = K (ω ω + (δω K, ω und δ sind konstant. Für welche Kreisfrequenz ω = ω r ergibt sich die maimale Amplitude (Resonanzfrequenz? Unbestimmte Integrale Aufgabe Berechnen Sie folgende Integrale: a ( + d b e d c sin( cos(d d ( e d e 5 d f (5 sin cos d 5 + 5 g 4 d h + d i + 4 + 4 4 9 d + 5 9 j + d k + 5 + 5 + + d Aufgabe Bestimmen Sie durch partielle Integration die Gesamtheit aller Stammfunktionen: a f( = sin(5 b f( = sin c f( = e sin d f( = sin cos e f( = cos( f f( = cos g f( = e cos( h f( = ln i f( = arctan Aufgabe Ermitteln Sie alle Stammfunktionen der folgenden Funktionen: f( = 4 + e h( = 7 4 5 + 7 g( = 4 i( = cos j( = cos + sin k(t = t sin t l(a = 5a m(s = s + s n( = 4 + o( = e ( + π p(t = t ln t 4 q( = 4 +
4 Bestimmte Integrale Aufgabe 4 Berechnen Sie folgende Integrale: a e d + + 5 b + d f π cos d + sin d 4 + 5 c g e π 4 π 4 sin(ln d d 5 cos(d h π sin d ( e d i d j + π sin d Aufgabe 5 Berechnen Sie den Wert der folgenden bestimmten Integrale: a d 6 d b + 4 5s ds e + s.5.5 d c + 9 4 + d Aufgabe 6 Berechnen Sie den Wert der folgenden Integrale: π cos d a d a a + d b + a a d (a > e π π t sin(t dt c t sin(t + π dt b a d Aufgabe 7 Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale (falls sie eistieren: a d e d b e a d (a > e e c ( + d f.5 d ( d Aufgabe 8 Ein Kanal hat einen parabelförmigen Querschnitt. Wieviel Prozent der ursprünglichen Wassermenge führt der Kanal noch, wenn die Wasserhöhe auf 5% absinkt? 4
Aufgabe 9 Durch Rotation der Kurve y = um die y-achse entsteht ein trichterförmiger Drehkörper. Bestimmen Sie sein Volumen, wenn er in Höhe y = 5 abgeschnitten wird! Aufgabe Berechnen Sie die Fläche zwischen den Graphen der Sinus- und der Kosinusfunktion im Bereich zweier aufeinanderfolgender Schnittpunkte! 5 Funktionen mehrerer Variablen Aufgabe Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen. Ordnung folgender Funktionen: a z(, y = y + e y ln + y b z(, y = cos(a by c z(, y = sin y d f(, y = sin(y cos(y e f(, y, z = ( + y + z f z(, y = y 4 cos y g f(,,..., n = n ( + +... + n h f(,,..., n = n... n Aufgabe Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen. Ordnung der Funktion: a f(, y = y b f(, y = y c f(, y = e y + cos y d f(, y = e +y e f(, y = ln y Aufgabe Bestimmen Sie die Etremwerte der folgenden Funktion: a f(, y = + 9y y b f(, y = 4 4y + y c f(, y = y (6 y (, y > d f(, y = ( + y e Aufgabe 4 Für welche Werte von a, b R hat die Funktion f(, y = ( + a + y(y + b im Punkt (, y = (, ein lokales Etremum? Von welcher Art und wie groß ist dieses Etremum? 6 Totales Differential Aufgabe 5 Berechnen Sie das totale Differential von: a f(, y = y + ln y b f(, y = sin( + y c f(, y = y y Aufgabe 6 Für die Funktion z = 4 ln y vergleiche man im Punkt P (, die Differenz der Funktionswerte z mit dem Wert des vollständigen Differentials dz und berechne z dz, falls d =, und dy =, 5
Aufgabe 7 Die Schwingungsdauer T eines ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreises mit der Induktivität L und der Kapazität C wird durch die Formel T = π LC berechnet. Berechnen Sie mit Hilfe des vollständigen Differentials die prozentuale Änderung von T, wenn die Induktivität um 5% verkleinert und die Kapazität um % vergrößert wird! Hinweis: Berechnen Sie zunächst die absolute Änderung von T. 7 Differentialgleichungen Aufgabe 8 Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen: a y + y = b y = y c y y + y = d y = e y e y = e +y f y = y sin g y = y h y = e y Aufgabe 9 Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen durch geeignete Substitutionen: a y = ( + y b y = + y c yy = + y Aufgabe 4 Lösen Sie die folgenden linearen Differentialgleichungen. Ordnung durch Variation der Konstanten! a y + y = e b y = + y + ( + c y = y + Aufgabe 4 Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a y + y = e y( = b yy = 7 y( = 4 c y = y cos( y( = d y + y = 5 sin( y( = 4 e y = y + 5 y( = f y + y y = y( = Aufgabe 4 Eine chemische Reaktion mit Anfangskonzentration C und Reaktionskonstante k wird durch die Differentialgleichung y = dy dt = k(c y beschrieben. Dabei bedeutet y(t die Konzentration der zum Zeitpunkt t umgesetzten Substanz. Für t = sei y( =. Lösen Sie dieses Anfangswertproblem! 6
Aufgabe 4 Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben! a y y = y( =, y ( = b y + y + y = y( =, y ( = c y + 8y + 6y = y( = y ( = d y + 9y = y( = y ( = 6 e y + y + 5y = y( = y ( = f y y = y( =, y ( = Aufgabe 44 Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der folgenden DGLn! a y y = 8 + 6 b ẍ ẋ = sin(t 5 cos(t c y y 5y y = 8e d y y y = e e y y = 8 + 6 f y y 5y y = 8e g y + y 4y = 6 Aufgabe 45 Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben: Lösungen a d e e g a y + y + 4y = sin y( =, y ( = 4 b y y + 5y = + e 5 y( =, y ( = 4 c y + 4y + 5y = y( = π, y ( = d y y + 4y = 4 e y( = 4, y ( =, y ( = 4 a b (a + + + c cos(ln( 6 5 5 ( f ( + ln( + + ( + + + + ( 4 + + 4 + a f ( = 4 cot(4 + b f ( = + 4 ( + c f ( = { { + 4 : > : <, > 4 d f ( = e f : < ( = + : < < 4 f f ( = 5 4 4 g f ( = ln + + ( + h f ( = (e cos + (e ln sin ( cos i f ( = 4 e + + 4 ( + + bzw. 4 ϕ = 6, 9 und ϕ = 9 5 a Minimum in (, b monoton fallend in (, 4 c konkav in (, ( 4, 6 a D(f = (, b f( ist streng monoton wachsend im gesamten D(f 7
7 f( = 6 + + 7 8 a =, 7 b =, 75 c = 4, = f( =,7+,75 4 9 f ist streng monoton wachsend für (, und f ist konve für (, 5 ( + 5, parallele Tangenten bei = : f T ( = und g T ( = + ln y T ( =, 45 + 4, 9 Definitionsbereich: a > = D(f = (, und a < = D(f = (, Nullstelle: N = a e Etremstellen: a > = Maimum in = a und a < = Minimun in = a monoton fallend für > a für a > bzw. < a für a <, sonst monoton wachsend 4 a y =, 46, dy =, 488 b y =, 88, dy =, 5 a f( = + ( 8 ( + 6 ( 5 8 ( 4 b f( = + + 4 c f( = 5 + + 5 6 + 4 d f( = ( + ( 4 ( 4 6 h = r = V π 7 P = (, 5 4 und P = (, 5 4 8 a = b = s 9 Rechteckseiten mit Länge a und b, Flächeninhalt ab ω r = ω δ a F ( = + 4 5 5 + + C b F ( = e + C c F ( = 8 cos(4 + C d F ( = 6e + C e F ( = 5 8 8 5 + C f F ( = 5 cos sin( + C g F ( = + + ln + C h F ( = ln + + ln( + 4 + arctan + C i F ( = ln ln + + j F ( = ln + + 4 ln + 5 6 arctan ( + C + 5 + C + C k F ( = ln + + 8 arctan ( + (Ergebnisse jeweils ohne Integrationskonstante a F ( = 5 cos(5 + 5 sin(5 b F ( = ( cos + sin c F ( = e (sin cos d F ( = cos bzw. = sin e F ( = sin + 9 cos f F ( = sin + cos 6 sin 6 cos g F ( = 5 e ( sin + cos h F ( = 4 4 ln 9 6 4 i F ( = arctan + arctan F ( = 8 4 ln e + C, G( = + 5 + 7 ln + C H( = 4 8 47 5 7 + C, I( = cos( + C, J( = 4 (sin( + 4 + C K(t = cos(t + C, L(a = (5a 4 + C, M(s = ln + s + C N( = 4 7 7 8 + + C, O( = e ( + + 9 + C P (t = 4 ln ln t + C, Q( = ln + C 4 a π 8 b π 4 c cos 5 d π e f π 4 g h e 4 9 i 4 ln j 8
π 5 a, b 6 ln c d 5 ln e ln 5 6 a, 8 b 4π c ( b a d a e 7 a b e c eistiert nicht, Integral ist divergent d a e a e, 5 f π 8 5, 6% 9 65π 96, 5 a z = y + e y (ln + z y = y + e y ln + y b z = a sin(a by z y = b cos(a by c z = cos y y z y = cos y d f = y(cos(y + sin(y f y = (cos(y + sin(y e f = ( + y + z f y = y( + y + z f z = z( + y + z f z = 6y 4 cos y z y = + 4 sin y g f i (,..., n = n, i =,..., n h f i (,..., n = n (... n n... i i+... n, i =,..., n a f = y y f y = y ln = f = y(y y f yy = y (ln f y = f y = y ( + y ln b f = y f y = y f = 6y f yy = f y = f y = 6 y = f = 6y f yyy = f y = f y = f y = y f yy = f yy = f yy = 6 c f = ye y f y = e y sin y = f = y e y f yy = e y cos y f y = f y = e y + ye y d f = e +y f y (, y = ye +y = f = e +y ( + 4 f yy = e +y ( + 4y f y = 4ye +y e f = ln y f y = y f = f yy = y f y = f y = y = f = f yyy = y f y = f y = f y = f yy = f yy = f yy = y a lokales Minimum: (, Sattelpunkte: (,, (,, (, (, b (, und (, - Minimum (, - Sattelpunkt c (, - Maimum d (, - Minimum (, - Sattelpunkt 4 Für a =, b = hat die Funktion in (, ein Minimum und es ist f(, = 4. ( ( 5 a dz = y + d + y + y dy b dz = cos( + y d + y cos( + y dy c dz = ( y 4y d + ( 6 y dy y 6 dz = 8 d + 4 y dy, z dz =, 44 7 Schwingungsdauer verringert sich um %. Vollständige Lösung: Für das Differential erhält man dt = T T dl + L C dc = π LC (CdL + LdC 9
Es gilt näherungsweise T dt, prozentuale Änderung dl = L und dc = C. Somit ergibt sich für die T T = π LC (C L + L C π LC 8 a y( = c b y( = ( 6 + c oder y( = c y( = (ce 4 + oder y( = d y( = ( = ( L L + C C = ( 5% + % = % e + c f y( = ce cos g y( = (ln + c h y( = ln ( + c e y( = ln( e + c 9 a y( = + tan( + C b y( = C c y( = ± ln + C 4 a y( = 5 e + Ce b y( = ( + + C( + c y( = 9 7 + C e 4 a y( = ( e e b y( = 6 7 c y( = sin( cos(+ d y( = 5 e + (cos( sin( e y( = 5( f y( = 4 ( + 4 y(t = C ( e kt 4 a y( = e + b y( = e + e c y( = ( + 5e 4 d y( = sin( + cos( e y( = e sin( + e cos( f y( = e + e 44 a y( = + + C + C e + C e b (t = 5 (cos(t sin(t + C e + C e c y( = e + C e + (C + C e d y( = C e + C e + e e y( = 4 + C + C e + C e f y( = e + C e + C e + C e g y( = C e + C e + 7 + 59 864 45 a y( = ( + 4 e cos( + e sin( 4 cos( b y( = ( 5 4 5 + e 5 + ( 5 + 5 c y( = πe (cos + sin d y( = 8 (e + e