Technische Universität Chemnitz 4. April 2011 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 1: Funktionen, Interpolation, Grenzwerte, Ableitung Letzter Abgabetermin: 2. April 2011 (in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 41/15) Bitte die Arbeiten deutlich mit Höhere Mathematik I.2, Aufgabenkomple 1 kennzeichnen und die Übungsgruppe angeben, in der die Rückgabe erfolgen soll Elektronische Hilfsmittel dürfen nur für die Aufgaben 2b und 4b sowie für die Berechnung der tatsächlichen Funktionswerte bei Aufgabe verwendet werden 1. Sei f()=2+3 und g()= 2 2 24. Ermitteln Sie die Funktionen( f g)() und(g f)() sowie die Definitions- und Wertebereiche von f, g, f g und g f 2. Zwischen den Größen und y bestehe der funktionelle Zusammenhang y= f()=5 10 2 +1. a) Es seien nur die Funktionswerte an 5 Stellen bekannt: 1 0 1 2 3 y 0 5 0 3 4 Nehmen Sie für diese die Lagrange-Interpolation vor b) Stellen Sie dieses Interpolationspolynom und die Funktion f() für 4, y 8 in einer gemeinsamen Skizze dar 3. a und b seien reelle Parameter. Berechnen Sie lim a 2 + 2000+2 b 2 5 8 4. Sei t das ungerundete im Veranlagungszeitraum 2010 erzielte zu versteuernde Einkommen eines Steuerpflichtigen. a) Stellen Sie die tarifliche Einkommensteuer dafür (s. Aufgabe 4 aus Übung 3) unter Verwendung der Gaußklammer und ohne die Nutzung weiterer Variablen formelmäßig als Funktion S(t) dar b) Obwohl in der Realität für t nur Vielfache von 1/100 in Frage kommen, sollen beliebige reelle t zugelassen werden. Untersuchen Sie unter dieser Voraussetzung die Funktion S(t) aus a) an den Stellen t=13470 und t=13471 auf Stetigkeit 5. Berechnen Sie die ersten Ableitungen folgender Funktionen: a) f()= 5 5, b) f()=(+sin 2 +cos 2 ) 5, c) f()=ln 2 +sin 2, d) f()=cos( 2 +2)(3 4) 3 ln(3 4), e) f()= (2 +3+5)sin cos. Gegeben sei die Funktion f()= e 1. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Funktion f() im Punkt 0 =1 b) Geben Sie mithilfe des Ergebnisses von a) Näherungswerte für f(1,001), f(1,01), f(1,1) und f(2) an und vergleichen Sie diese mit den tatsächlichen Funktionswerten c) Notieren Sie für die Situationen in b) jeweils Differenzial d f und tatsächliche Funktionswertänderung f
Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 1 4. April 2011 2 Aufgabenkomple 1: Funktionen, Interpolation, Grenzwerte, Ableitung Letzter Abgabetermin: 2. April 2011 1. Sei f()=2+3 und g()= 2 2 24. Ermitteln Sie die Funktionen( f g)() und(g f)() sowie die Definitions- und Wertebereiche von f, g, f g und g f ( f g)()= f(g())=2( 2 2 24)+3=2 2 4 45, (g f)()=g( f())=(2+3) 2 2(2+3) 24=4 2 +12+9 4 24=4 2 +8 21 f()=2+3 : DB( f)=wb( f)=r g()= 2 2 24=( 1) 2 25, DB(g)=R, WB(g)=[ 25, ) ( f g)()=2 2 4 45=2( 1) 2 47, DB( f g)=r, WB( f g)=[ 47, ) g [ 25, ) f [ 47, ) 2 ( 25)+3= 47 (g f)()=4 2 +8 21=4(+1) 2 25, DB(g f)=r, WB(g f)=[ 25, ) f g [ 25, ) 2. Zwischen den Größen und y bestehe der funktionelle Zusammenhang y= f()=5 10 2 +1. a) Es seien nur die Funktionswerte an 5 Stellen bekannt: 1 0 1 2 3 y 0 5 0 3 4 Nehmen Sie für diese die Lagrange-Interpolation vor b) Stellen Sie dieses Interpolationspolynom und die Funktion f() für 4, y 8 in einer gemeinsamen Skizze dar a) P 4 ()=0 ( 1)( 2)( 3) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 5(+1)( 1)( 2)( 3) + 0 (+1)( 2)( 3) 1 ( 1) ( 2) ( 3) 2 1 ( 1) ( 2) + 3 (+1)( 1)( 3) 3 2 1 ( 1) + 4 (+1)( 1)( 2) 4 3 2 1 = 5 (2 1)( 2 5+) + 3 (2 1)( 2 3) + 4 (2 1)( 2 2) 24 = 2 1( 5( 2 5+) 3( 2 3)+( 2 2) ) = 2 1 = 2 1 (5 2 25+30 3 2 +9+ 2 2) (3 2 18+30)= 2 1 2 (2 +10)= 1 2 (4 3 + 10 2 2 + 10) = 1 2 4 3 3 + 9 2 2 +3 5
Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 1 4. April 2011 3 b) y P 4 () f() 1 1 a 2 + 2000+2 3. a und b seien reelle Parameter. Berechnen Sie lim b 2 5 8 Verhalten eines Polynoms für von Glied mit höchster Potenz bestimmt. = 4 Fälle: a 0, b 0 a=0, b 0 a 0, b=0 a=0, b=0 a 2 + 2000+2 a 0, b 0 : lim b 2 = lim 5 8 2000+2 a=0, b 0 : lim b 2 5 8 = lim a 2 + 2000+2 2 a 0, b=0 : lim = lim 5 8 a=0, b=0 : lim 2000+2 5 8 = lim ( 2 ) = (b a 2 5 8 b 2 ( 2000+ 2 ) 2000 ( ) = lim 2 b 5 8 b = 0 ( 2 ) a+ 2000 + 2 2 ( a 5 8 ) = lim 5 = ( 2000+ 2 ) ) = 2000 5 = 400 ( 5 8 a+ 2000 + 2 2 ) {, a>0 + a<0
Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 1 4. April 2011 4 4. Sei t das ungerundete im Veranlagungszeitraum 2010 erzielte zu versteuernde Einkommen eines Steuerpflichtigen. a) Stellen Sie die tarifliche Einkommensteuer dafür (s. Aufgabe 4 aus Übung 3) unter Verwendung der Gaußklammer und ohne die Nutzung weiterer Variablen formelmäßig als Funktion S(t) dar b) Obwohl in der Realität für t nur Vielfache von 1/100 in Frage kommen, sollen beliebige reelle t zugelassen werden. Untersuchen Sie unter dieser Voraussetzung die Funktion S(t) aus a) an den Stellen t=13470 und t=13471 auf Stetigkeit a) S(t)= 0, t< 8005 ( ) 912,17 t 8004 2+ 1400 t 8004, 8005 t< 13470 ( ) 228,74 t 1349 2+ 2397 t 1349 + 1038, 13470 t< 52882 0,42t 8172, 52882 t<250731 0,45t 1594, 250731 t b) Ist eine ganze Zahl, so gilt t= für t< +1. Folglich ist dann lim t= 1 und lim t= und damit auch lim S(t)=S( 1) und lim t + t lim S(t)=S(1349)= t 13470 S(t)=S(). t + 912,17 ( ) 1349 8004 2+1400 1349 8004 lim S(t)=S(13470)= 228,74 ( 13470 1349 t 13470+ ) 2+2397 13470 1349 t =1037,53=1037 +1038 lim S(t)=S(13470)=1038 t 13471 lim S(t)=S(13471)= 228,74 ( ) 13471 1349 2+2397 13471 1349 t 13471+ Wegen lim t 13470 S(t) S(13470)= lim also unstetig (nur rechtsseitig stetig), wegen t 13470+ +1038 =1038,23 =1038,47 =1038 =1038 S(t) ist die Funktion S(t) an der Stelle t= 13470 lim S(t)=S(13471)= lim S(t) aber an der Stelle t=13471 stetig. t 13471 t 13471+ 5. Berechnen Sie die ersten Ableitungen folgender Funktionen: a) f()= 5 5, b) f()=(+sin 2 +cos 2 ) 5, c) f()=ln 2 +sin 2, d) f()=cos( 2 +2)(3 4) 3 ln(3 4), e) f()= (2 +3+5)sin cos a) f ()=5 4 5 + 5 5 ln5= 4 5 (5+ln5) b) f()=(+1) 5, f ()=5(+1) 4 c) f 1 ()= 2+2sincos 2 +sin 2 2 2 +sin 2 = +sincos 2 +sin 2
Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple 1 4. April 2011 5 d) f ()= sin( 2 +2)2(3 4) 3 ln(3 4)+cos( 2 +2)3 3(3 4) 2 ln(3 4) + cos( 2 +2)(3 4) 3 3 3 4 = 2sin( 2 +2)(3 4) 3 ln(3 4)+ ( (9 ln(3 4)+3 ) cos( 2 +2)(3 4) 2 ( (2+3)sin+( e) f 2 +3+5)cos ) cos ( 2 +3+5)sin(cos sin) ()= = (2+3)sincos+(2 +3+5)(cos 2 sincos+sin 2 ) = (22 +3) sincos+( 2 +3+5)( sincos) = (22 +3 2 3 5) sincos+ 3 +3 2 +5 = (2 5) sincos+ 3 +3 2 +5. Gegeben sei die Funktion f()= e 1. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Funktion f() im Punkt 0 =1 b) Geben Sie mithilfe des Ergebnisses von a) Näherungswerte für f(1,001), f(1,01), f(1,1) und f(2) an und vergleichen Sie diese mit den tatsächlichen Funktionswerten c) Notieren Sie für die Situationen in b) jeweils Differenzial d f und tatsächliche Funktionswertänderung f a) f(1)= e 0 =1, f 1 ()= 2 e 1 e 1 1 e 1 2 = 4, f (1)= 1 4 Tangente T()= f( 0 )+ f ( 0 )( 0 )=1+ 1 4 ( 1) b) =1,001 : T(1,001)=1,00025, f(1,001) 1,00024997 =1,01 : T(1,01) =1,0025, f(1,01) 1,0024989 = 1,1 : T(1,1) = 1,025, f(1,1) 1,0247045 =2 : T(2) =1,25, f(2) 1,23011392 c) Das Differenzial von f() für 0 =1 ist d f = f ( 0 )d= f ( 0 ) = 1 4. =0,001 : d f =0,00025 f = f() f( 0 ) 0,00024997 =0,01 : d f =0,0025 f = f() f( 0 ) 0,0024989 =0,1 : d f =0,025 f = f() f( 0 ) 0,0247045 =1 : d f =0,25 f = f() f( 0 ) 0,23011392