Brückenkurs Mathematik ( )

Fachhochschule Hannover Fachbereich Elektrotechnik Dr. Gerhard Merziger Brückenkurs Mathematik 4.9. 5.9.006) Montag 4.9.06 Zahlen: IN, Z, Q, IR 0) Bruchrechnung:... Rechnen mit rationalen Zahlen Bruchrechnung) Dezimalbrüche, Dreisatz ) Bestimme den ggt das kgv) von 80800 und 47000 a) b) mittels Primfaktorzerlegung, mittels euklidischem Algorithmus. ) Nach wieviel Umdrehungen befinden sich Zahnräder 5 bzw. 8 Zähne) jeweils in der Ausgangslage? ) Schreibe folgende rationale Zahlen als Dezimalbruch bzw. als gekürzten Bruch: a = 0, b = c = 00 7, d = 4 850, e = 0, 9, f = 0, 96, g = 0, 04. 4) Al ist 4 Jahre alt. Er ist doelt so alt wie Bob war als Al so alt war wie Bob ist. Wie alt ist Bob? 5) Eine Ware wird 5% teurer. Wieviel Prozent war sie vorher billiger? 6) Wieviell Prozent Zeit sart eine Autofahrer, der sein Durchschnittstemo auf einer gegebenen Strecke um % steigert? 7) 5 l Benzin kosten 8 C. a) Wieviel C zahlt man für l? b) Wieviel l erhält man für 0 C? 8) Schreibe im Dual bzw. Dezimalsystem: 5 0,.5 0, 4, 6 0 5, 4. 0 0, 0.,.0, 9) Schreibe im Dualsystem mit 4 Nachkommastellen..0 0.. Dienstag 5.9.06 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 0) Berechne x aus a) x = 4, x =, = x, b) log 56 = x, log x =, log x =, c) x ln x = ln x. ) Zeige: log a x = log b x log b a. ) Nach einer Fausformel verdoelt sich ein zu % angelegtes Kaital nach 70 Jahren. Begründung? Hinweis: Für kleine x gilt ln + x) x. n

Mittwoch 6.9.06 quadratische Gleichung,, q Formel, Parabeln, Binomische Formeln ) Zeige: Die Lösungen der quadratischen Gleichung ax + bx + c = 0 sind x, = b± b 4ac a 4) Zeige a + b + c) = a + b + c + ab + ac + bc.. Was ergibt a +... + a n ), a + b), a + b) n? 5) Skizziere folgende Parabeln Nullstellen, Scheitelunkt, evtl. Linearfaktorzerlegung): a) y = x x, b) y = x + 4x, c) y 6y + x + = 0, d) x + x y + = 0. 6) Bestimme die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Abstand von der Geraden x = gleich dem Abstand von dem Kreis x + y = ist. Donnerstag 7.9.06 Polynome, rationale Funktionen 7) Skizziere folgende Polynome Nullstellen, evtl. Linearfaktorzerlegung): a) y = x x x +, b) y = x 4 x +, c) y = x 5 x 4 5x + 6x. 8) Skizziere folgendes Polynom Nullstellen raten..., Linearfaktorzerlegung): y = 6x 4 + 7x x 4x + 4. 9) Skizziere folgende rationale Funktionen Nullstellen, Polstellen, Asymtoten): a) y = x+)x ), x x b) y = x+)x ), c) y = x x+, d) y = x+) x+)x x ) x ) ) x+) 4 x+) x ) x ) x ). Freitag 8.9.06 Rechnen mit Vektoren, Linearkombination, Betrag, Dreiecksungleichung, Skalarrodukt 0) Berechne x = ) + [ + ]. ) ) 0 ) Bestimme x, y so, daß ggf. x + y = ist. ) ) 7) ) Berechne ) cos t, skizziere { IR : 0 ϕ.5π}. sin t ) Skizziere { x IR : x < }. )

Montag.9.06 Vektorrechnung im IR Skalarrodukt) 4) Skizziere { x IR : x }. ) 5) Bestimme den Einheitsvektor in Richtung der Winkelhalbierenden 8 von und. 4) 6) 6) Berechne die Skalarrodukte und. 7) Berechne Seitenlängen und Winkel des Dreiecks mit den Endunkten,, ),, 0, 4),,, ). 8) Berechne und skizziere folgende Mengen: a) { x IR : x = 0}, ) b) { x IR : x = }, c) { x IR : x ) = }. Dienstag.9.06 LGS, Gaußsches Eliminationsverfahren Matrizen?) 9) Löse folgende linearen Gleichungssysteme LGS): a) x y = x + y = 4 b) x y = 4x + y = 4 c) x y = x + 4y = 0) Löse folgende linearen Gleichungssysteme LGS): x + 8x + x = x + 4y + z 9w = x + 4x x = x + y 5z + w = + 5x + x = 0 x + 5y + 8z + w = x + 9x + 5x = 4x y + 5z w = 4 Mittwoch.9.06 LGS, Skalarrodukt, Vektorrodukt ) Berechne folgende Mengen: 0 a) { x IR : x = und x = }, b) { x IR : x = 0 und x = }. ) Zeige die Gleichheit folgender Mengen: A = { x IR : x) = 0}, B = { x IR : 5 x = 0}, C = { x IR : x = r + s, r, s IR}.

Donnerstag 4.9.06 Trigonometrie, Cosinussatz γ b h a q c ) Beweise mit Hilfe der Rechenregeln für das Skalarrodukt: a) Dreiecksungleichung a + b c, b) Cosinussatz c = a + b ab cos γ, c) Pythagoras a + b = c, d) e) Kathetensatz a = c, Euklid Höhensatz) h = q. 4) Gegeben γ = 90 0, a = 8, b = 6. Berechne c, h,, q. 5) Gegeben γ = 90 0, a =, q = 6. Berechne b, c, h, q. 5 Freitag 5.9.06 Differentialrechnung: Differenzenquotient, Differentialquotient 6) Bestimme Steigung und Steigungswinkel der Geraden durch die Punkte a), ),, 5), b), 4, 6), 4, 4, 4) Steigung bzgl. x, y) Ebene. 7) Gegeben sei die Normalarabel y = x. a) Bestimme die Durchschnittssteigung für x =, x =. b) Bestimme die Steigung im Punkt, 4). Was fällt auf? Ist das Zufall? 8) Gegeben sei die Parabel y = ax, a 0. Zeige: Sind P = x, y ) und P = x, y ) Punkte auf der Parabel, so gilt: a) b) Die Steigung der Geraden durch P, P ist gleich der Steigung der Parabel für x 0 = x + x ) arithmetisches Mittel). Der x Wert des Schnittunktes der Tangenten an die Parabel in den Punkten P, P ist ebenfalls x 0 = x + x ) arithmetisches Mittel). c) Verifiziere diese Ergebnisse für y = x, x =, x =. 9) Welcher Punkt auf dem Parabelbogen y = x x, 0 x hat vom Nullunkt 0, 0) maximalen Abstand? 40) Fertige aus drei gleichbreiten Brettern eine Rinne mit maximalem Querschnitt!

Fachhochschule Hannover Fachbereich Elektrotechnik Dr. Gerhard Merziger Brückenkurs Mathematik Lösungshinweise Montag 4.9.06 Zahlen: IN, Z, Q, IR Rechnen mit rationalen Zahlen Bruchrechnung) Dezimalbrüche, Dreisatz F+H S.6 ) Bestimme den ggt das kgv) von 80800 und 47000 a) 80800 = 5 5 47000 = 5 7 = ggt = 5 = 600 kgv = 5 5 7 = 68 796 000 b) 80800 = 47000 + 800 47000 = 800 + 00 800 = 0 00 + 800 000 = 7 800 + 600 = ggt letzter Rest 0) 800 = 600 ) Nach wieviel Umdrehungen befinden sich Zahnräder 5 bzw. 8 Zähne) jeweils in der Ausgangslage? kgv 5, 8) = 90. Re. ) Schreibe folgende rationale Zahlen als Dezimalbruch bzw. als gekürzten Bruch: 0 =.5, =.6584, 00 7 = 8.5748, 4 850 = 0.405, 0.9 =, 0, 96 =, 07 0.04 = 4975. Z.B. x = 0.04 000x =.0404 999x =.9 also 0.04 =.9 999 = 9 99900 = 07 4975. 4) Al ist 4 Jahre alt. Er ist doelt so alt wie Bob war als Al so alt war wie Bob ist. Wie alt ist Bob? Aus A = 4 und A = B A B)) folgt B = 8, Bob ist 8 Jahre alt. 5) Eine Ware wird 5% teurer. Wieviel Prozent war sie vorher billiger? 0% 6) Wieviell Prozent Zeit sart eine Autofahrer, der sein Durchschnittstemo auf einer gegebenen Strecke um % steigert? s = v t = + )v + 00 00 ) t, er sart also + 00 ) = 00+ = 00 00+ % Zeit. 7) 5 l Benzin kosten 8 C. a) Wieviel C zahlt man für l? 8 5 C. b) Wieviel l erhält man für 0 C? 5 0 l. 8 F+H S.8 8) Schreibe im Dual bzw. Dezimalsystem: 0 = 4 + 5 + + = 0,.5 0 =., 6 5 = 0 0 4 =.0 0, 0 =.00, 4. 0 = 00.0, 0. = + +... = geometrische Reihe! oder wie Aufgabe ) Z.B.!, 4.0 = 0 7,.0 = 0 = 9 0.. Z.B. x =.0 000x = 0.0 x = 00 also 7x = 0, x = 0 7. 9) Schreibe im Dualsystem mit 4 Nachkommastellen. Es ist 0 = 0. Probieren, Rechnen im Dualsystem: = < 0,. = 0.0 > 0,.0 =.00 < 0,.0 =.00 < 0,.0 = 0.000000 > 0, also 0 =.00....

Dienstag 5.9.06 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen F+H S.6 0) Berechne x aus a) x = 4 = x =, x = = x = = 4, = x = x = 6, b) log x = = x = 4, log x = = x =, c) x ln x = ln x. x = und x ln x = log ln x, also x = log = ln ln, nach ). Re S.85 ) Zeige: log a x = log b x log b a folgt aus alog a x = x = log a x log b a = log b x. ) Nach einer Fausformel verdoelt sich ein zu % angelegtes Kaital nach 70 Jahren. Begründung? Hinweis: Für kleine x gilt ln + x) x. n K sei Anfangskaital, K n Kaital nach n Jahren, also K n = + K n = + 00 )n ln K = K = n = ln+ 0.69 00 ) 00 70. 00 )n K. Mittwoch 6.9.06 quadratische Gleichung,, q Formel, Parabeln, Binomische Formeln Re S.64 ) Zeige: Die Lösungen der quadratischen Gleichung ax + bx + c = 0 F+S S. sind x, = b± b 4ac a. Quadratische Ergänzung! 4) Zeige a + b + c) = a + b + c + ab + ac + bc. Ausrechnen! Was ergibt a +... + a n ), a + b), a + b) n? Binomialkoeffizienten! Re S.64 5) Skizziere folgende Parabeln Nullstellen, Scheitelunkt, evtl. Linearfaktorzerlegung): a) y = x x = x + )x ) b) y = x + 4x = x ) c) d) y 6y + x + = 0 x + = y ) x + x y + = 0 x + ) = y 7 4 6) Bestimme die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Abstand von der Geraden x = gleich dem Abstand von dem Kreis x + y = ist. x + = x + y x + = x + y x + 6x + 9 = x + y x = 6 y in x Richtung geöffnete Parabel). Donnerstag 7.9.06 Polynome, rationale Funktionen Re S.64 7) Skizziere folgende Polynome Nullstellen, evtl. Linearfaktorzerlegung): a) y = x x x + = x )x )x + ) b) y = x 4 x + = x )x + )x )x + ) c) y = x 5 x 4 5x + 6x = x x )x + )x ) Re.5 8) Skizziere folgendes Polynom Nullstellen raten..., Linearfaktorzerlegung): y = 6x 4 + 7x x 4x + 4 = x )x )x + )x + ) [REP.5]. 9) Skizziere folgende rationale Funktionen Nullstellen, Polstellen, Asymtoten): a) y = x+)x ) x x b) y = x+)x ) c) y = x = x, x x+ d) y = x+) x+)x x ) x ) ) x+) 4 x+) x ) x ) x )

Freitag 8.9.06 Rechnen mit Vektoren, Linearkombination, Betrag, Dreiecksungleichung, Skalarrodukt Re S. 0) Berechne x = ) + [ ) + y ) Bestimme x, y so, daß ggf. x Re S. ) ) cos t =, { IR sin t Re S. ) { x IR : x + ) ] = 6 = 0 + 0 = ist, x =, y =. 7) : 0 ϕ.5π} ist /4 Einheitskreis. 9. ) < } ist das Innere des Kreises um, ) mit Radius. Montag.9.06 Vektorrechnung im IR Skalarrodukt) Re S. 4) { x IR : x } ist das Äußere mit Rand des Kreises um, ) mit Radius. ) Re 5.5 5) Bestimme den Einheitsvektor in Richtung der Winkelhalbierenden 8 von und. Normieren: 4) 6) + 5 4) 8 = 7, also 0 6 5 ) 0 7. Re S.8 6) = und = 0. ) ) Re S.8 7) Berechne Seitenlängen und Winkel des Dreiecks mit den Endunkten,, ),, 0, 4),,, ). Rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck: Längen,,, Winkel 90 0, 45 0, 45 0. 8) Berechne und skizziere folgende Mengen: a) { x IR : x = 0}, Gerade y = ) x, b) { x IR : x = }, Gerade y = x +, c) { x IR : x ) = }, Gerade y = ) x +. Dienstag.9.06 LGS, Gaußsches Eliminationsverfahren Matrizen?) Re S.44 9) Löse folgende linearen Gleichungssysteme LGS): a) x y = x + y = 4 b) x y = 4x + y = 4 c) x y = x + 4y = a) x =, y =, b) y = x +, c), keine Lösung. Re. Re.5 0) Löse folgende linearen Gleichungssysteme LGS): x + 8x + x = x + 4x x = + 5x + x = 0 x + 9x + 5x = Gauß: a) [Re.] x = 5 5 x + 4y + z 9w = x + y 5z + w = x + 5y + 8z + w = 4x y + 5z w = 4 7 7, b) [Re.5] x = 0 + r 0 0

Mittwoch.9.06 LGS, Skalarrodukt, Vektorrodukt Re S.4 Re S.47 Re S.44 ) Berechne folgende Mengen: a) { x IR : x = und x 0 = }, x = 0 + r, 0 b) { x IR : x = 0 und x = }, x = 4. 4 5 Re S.45 ) Zeige die Gleichheit folgender Mengen: A = { x IR : x) = 0} B = { x IR : 5 x = 0}, C = { x IR : x = r + s, r, s IR}. Donnerstag 4.9.06 Trigonometrie, Cosinussatz γ b h a q c ) Beweise mit Hilfe der Rechenregeln für das Skalarrodukt: Re 5. a) Dreiecksungleichung a + b c, Re 5.65 b) Cosinussatz c = a + b ab cos γ, Re 5.65 c) Pythagoras a + b = c, d) Kathetensatz a = c, Beweis: a = a = a c = c = c. Re 5.6 e) Euklid Höhensatz) h = q. 4) Gegeben γ = 90 0, a = 8, b = 6. Also c = 0, h = 4 5, = 5, q = 8 5. 5) Gegeben γ = 90 0, a =, q = 6 5. Also b = 4, c = 5, h = 5, = 9 5.

Freitag 5.9.06 Differentialrechnung: Differenzenquotient, Differentialquotient 6) Bestimme Steigung und Steigungswinkel der Geraden durch die Punkte a), ),, 5), m = y x = 5 ) ) = 8 4 =, b), 4, 6), 4, 4, 4) Steigung bzgl. x, y) Ebene. m = 4 6) 4 )) + 4 4) = 0 0 =. Re S.60 7) Gegeben sei die Normalarabel y = x. a) Bestimme die Durchschnittssteigung für x =, x =. m = y x = 9 = 8 = 4, b) Bestimme die Steigung im Punkt, 4). Was fällt auf? Ist das Zufall? y ) = 4, kein Zufall, siehe Aufgabe 8). 8) Gegeben sei die Parabel y = ax, a 0. Zeige: Sind P = x, y ) und P = x, y ) Punkte auf der Parabel, so gilt: a) b) Die Steigung der Geraden durch P, P ist gleich der Steigung der Parabel für x 0 = x + x ) arithmetisches Mittel). Der x Wert des Schnittunktes der Tangenten an die Parabel in den Punkten P, P ist ebenfalls x 0 = x + x ) arithmetisches Mittel). c) Verifiziere diese Ergebnisse für y = x, x =, x =. Re.8 9) Welcher Punkt auf dem Parabelbogen y = x x, 0 x hat vom Nullunkt 0, 0) maximalen Abstand? Der Punkt, 0), Randextremum! 40) Fertige aus drei gleichbreiten Brettern eine Rinne mit maximalem Querschnitt! ϕ Steigungswinkel der Seitenwand. Fläche fϕ) = sin ϕ + sin ϕ cos ϕ f ϕ) = cos ϕ + cos ϕ sin ϕ = cos ϕ + cos ϕ = 0, also ϕ = 60 0.