Statistische Maße für rechnerische Robustheitsbewertungen CAE gestützter Berechnungsmodelle

Statstsche Maße für rechnersche Robusthetsbewertungen CAE gestützter Berechnungsmodelle Johannes Wll 1*, Chrstan Bucher 1, 1 DYNARDO Dynamc Software and Engneerng GmbH, Wemar Insttut für Strukturmechank, Bauhaus-Unverstät Wemar Zusammenfassung In der vrtuellen Produktentwcklung werden heute zur Untersuchung des Enflusses von Engangsstreuungen auf wchtge Ergebnsgrößen n zunehmenden Maß stochastsche Berechnungen durchgeführt. De Bewertung ener Ingeneuraufgabenstellung erfährt durch ene stochastsche Betrachtungs- und Berechnungswese allerdngs unter Umständen zusätzlche Unscherheten. Zu den heute n determnstschen Berechnungen betrachteten Ursachen von Abwechungen der Berechnungsergebnsse gegenüber beobachteten (.d.r. gemttelten) Strukturantworten kommen Unscherheten der Schätzung statstscher Maße hnzu. Deshalb st es notwendg, de Vertrauenswürdgket der geschätzten statstschen Maße abzuschern. Zentraler Punkt der Vertrauenswürdgket statstscher Maße st ene ausrechende Anzahl von Stchproben (Durchrechnungen) zur scheren Bestmmung der statstschen Kenngröße. In der Folge wrd dskutert, we mttels Konfdenzschätzungen de Vertrauenswürdgket von Korrelatonskoeffzenten beurtelt werden kann. Es wrd gezegt, dass Latn Hypercube Samplngs bezüglch der Konfdenz der Schätzung wesentlch wenger Stchproben benötgen als Monte Carlo Samplngs. Weterhn wrd dskutert, we mttels Bestmmthetsmaßen geschätzt werden kann, we vel der Varaton ener Ergebnsgröße durch de gefundenen Korrelatonen zu Engangsstreuungen erklärt werden kann. Keywords: Robusthetsbewertungen, Korrelatonsanalyse, Bestmmthetsmaße, Konfdenzschätzung, Latn Hypercube Samplng * Kontakt: Dr.-Ing. Johannes Wll, DYNARDO Dynamc Software and Engneerng GmbH, Luthergasse 1d, D-9943 Wemar, E-Mal: ohannes.wll@dynardo.de

1 Enführung In der vrtuellen Produktentwcklung werden heute zur Untersuchung des Enflusses von Engangsstreuungen auf wchtge Ergebnsgrößen n zunehmenden Maß stochastsche Berechnungen durchgeführt. De Bewertung ener Ingeneuraufgabenstellung erfährt durch ene stochastsche Betrachtungs- und Berechnungswese allerdngs unter Umständen zusätzlche Unscherheten. Zu den heute n determnstschen Berechnungen betrachteten Ursachen von Abwechungen der Berechnungsergebnsse gegenüber beobachteten (.d.r. gemttelten) Strukturantworten, de zum Bespel aus der Modellerung oder aus Approxmatonsfehlern der numerschen Berechnungsverfahren herrühren können, kommen Unscherheten der Schätzung statstscher Maße hnzu. Deshalb st es notwendg, de Vertrauenswürdgket der geschätzten statstschen Maße abzuschern. Das enfachste statstsche Maß st dabe der Mttelwert ener Ergebnsgröße, der sozusagen de Brücke zur herkömmlchen determnstschen Betrachtungswese st. Sollen allerdngs höhere statstsche Momente, we Varanz und Standardabwechung oder Korrelatons- und Varatonskoeffzenten zur Beurtelung der Robusthet von Systemantworten herangezogen werden, stellt sch de Frage we vertrauenswürdg dese Schätzungen statstscher Maße von Systemantworten snd und n welcher Rehenfolge welche Maße zur Beurtelung herangezogen werden sollten. Zentraler Punkt der Vertrauenswürdgket statstscher Maße st ene ausrechende Anzahl von Stchproben (Durchrechnungen) zur scheren Bestmmung der statstschen Kenngröße. Be rechnerschen Robusthetsbewertungen werden n erster Lne de Senstvtäten wchtger Systemantworten gegenüber den Engangsstreuungen untersucht und herfür Mttelwerte, Varatons- sowe Korrelatonskoeffzenten und Bestmmthetsmaße herangezogen. Da zum Bespel be der Bestmmung vertrauenswürdger Korrelatonskoeffzenten und Bestmmthetsmaße de notwendge Anzahl von Stchproben stark vom normalerwese unbekannten Charakter der Korrelaton abhängen, st dese Fragestellung ncht a pror zu beantworten. Ene zu konservatve (also zu hohe) Abschätzung der Stchprobengröße wäre wederum aus Rechenzetgründen häufg unmöglch. Im Normalfall wrd man deshalb mt möglchst wengen Durchrechnungen de statstschen Maße schätzen wollen und muss glechzetg schern, sch ncht außerhalb der Grenzen statstsch vertrauenswürdger und damt wetgehend zufällger Maße zu bewegen. Nach unseren Erfahrungen st es zweckmäßg, de Anzahl der Durchrechnungen an den Korrelatonskoeffzenten, de für de spezelle Aufgabenstellung noch sgnfkant snd auszurchten. Es st dann empfehlenswert mttels Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

Konfdenzschätzung de statstsche Vertrauenswürdgket zu schern sowe mt Bestmmthetsmaßen de Sgnfkanz der dentfzerten Korrelatonen bezüglch der Varaton der Antwortgrößen zu untersuchen. Wchtge Maße mathematscher Statstk für Robusthetsbewertungen n Ingeneuranwendungen Mathematsche Statstk beschäftgt sch damt, aufgrund von Kenntnssen über Egenschaften ener Telmenge (Stchprobe), de ener möglchen Gesamtmenge entnommen snd, etwas über de entsprechenden Egenschaften der Gesamtmenge (Grundgesamthet) auszusagen. Dabe handelt es sch um Merkmale, de zufallsbedngt snd und quanttatver (z.b. Durchmesser ener Welle) oder qualtatver (funktonert oder funktonert ncht) Natur sen können. De Grundgesamthet wrd mathematsch durch ene Zufallsgröße Im quanttatven Fall st n der Regel modellert. das Merkmal selbst, m qualtatven Fall st es häufg über x defnert (z.b. funktonert, wenn 0, funktonert ncht, wenn 0 ). x x Unter ener Stchprobenentnahme vom Umfang N versteht man ene zufällge Auswahl von N Eregnssen aus der Grundgesamthet. Im Regelfall wrd n der mathematschen Statstk davon ausgegangen, dass de Auswahl der Stchproben zufällg und unabhängg vonenander gescheht. In vrtuell erzeugten Stchproben würde das enem Monte Carlo Samplng entsprechen. Wchtge Egenschaften von Zufallsgrößen können aus konkreten (k ) Stchprobenumfängen ( ) we folgt geschätzt werden: x arthmetscher Mttelwert x 1 N = x N = 1 N 1 x = N 1 = 1 arthmetsche Varanz ( x x ) x x (Gl. -1) σ (Gl. -) wobe σ der Standardabwechung (mttlere quadratsche Abwechung) entsprcht Varatonsbrete R = x x (Gl. -3) max mn σ x Varatonskoeffzent COVx = (Gl. -4) x Zentrale Egenschaft ener zufällgen Größe st deren Vertelung bzw. Vertelungsfunkton. Um be enem quanttatven Merkmal ene erste Vorstellung von der Vertelung zu erhalten, konstruert man so genannte Hstogramme, Stufenblder relatver Häufgket der Stchproben n ener glechmäßgen Intervallentelung des Werteberechs der Zufallsgröße. Zur Prüfung welche Vertelungshypothese für de Beschrebung der Zufallsgröße geegnet st, können Sgnfkanztests für verschedene Vertelungshypothesen durchgeführt werden Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

und de Vertelung mt dem besten Ft ausgewählt und n das Hstogramm gezechnet werden. Aus den Hstogrammen oder aus den Vertelungsfunktonen können dann Quantlwerte bezehungswese de Werte der zufällgen Antwortgröße mt den dazugehörgen Wahrschenlchketen geschätzt werden. Da be rechnerschen Robusthetsbewertungen n der Regel nur relatv wenge Stchproben berechnet werden, sollten nur Wahrschenlchketen relatv häufger Eregnsse (> 1%) ermttelt und bewertet werden. Für ene schere Bestmmung klenerer Wahrschenlchketen werden Methoden der Zuverlässgketsanalyse empfohlen. Abbldung 1 Hstogramm mt Varatonsbrete, Mttelwert, Standardabwechung, Varatonskoeffzent (CV) sowe geftteter Vertelungsfunkton Neben statstschen Maßen der enzelnen zufällgen Größen (Engangs- und Ergebnsgrößen) snd statstsche Maße über deren Zusammenhang, her nsbesondere zwschen den Engangs- und Ergebnsgrößen für Ingeneuraufgabenstellungen der Senstvtätsanalyse und Robusthetsbewertung besonders wchtg. Hefür werden n der mathematschen Statstk Regressonsund Korrelatonsanalysen durchgeführt. Während sch de Regressonsanalyse mt der funktonalen Art des Zusammenhangs beschäftgt, ermttelt de Korrelatonsanalyse den quanttatven Grad des Zusammenhangs. Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

3 Korrelatonsanalyse Der Grad des lnearen Zusammenhangs zweer zufällger Eregnsse wrd durch den Korrelatonskoeffzenten ρ angegeben. S ρ = (Gl. 3-1) S S 3.1 Lneare Korrelatonskoeffzenten Der gebräuchlchsten Korrelatonsschätzung legt ene lneare Regressonshypothese zugrunde. Der lneare Korrelatonskoeffzent (auch Pearson Product Moment Correlaton genannt): S S S N = k= 1 x = σ ( x x )( x x ) x ( N 1) ( N 1) = σ (Gl. 3-) ρ 1 N 1 = k= 1 N ( x x )( x x ) σ σ x x (Gl. 3-3) bestmmt dabe de Rchtung und de Überenstmmung ener Ausglechsgeraden mt der Stchprobe und kann dabe Werte zwschen +1 und -1 annehmen. Ist der Korrelatonskoeffzent +1 exstert en postver lnearer Zusammenhang, bede Werte werden mt mtenander größer oder klener. Ist der Korrelatonskoeffzent -1, exstert en negatver lnearer Zusammenhang, wenn en Wert größer wrd, wrd der andere klener. In der Lteratur werden dabe Korrelatonen mt Korrelatonskoeffzenten > 0.80 bzw. 0.70 als starke Korrelatonen, sowe Korrelatonen mt Korrelatonskoeffzenten < 0.50 als schwache Korrelatonen bezechnet. Ob en Korrelatonskoeffzent für enen Zusammenhang sgnfkant st, hängt allerdngs mmer auch davon ab, welche weteren Korrelatonen exsteren. Be klenen Korrelatonskoeffzenten (< 0.30 bzw. 0.0) sprcht man davon, dass ken nennenswerter lnearer Zusammenhang festgestellt werden kann. Dann st allerdngs zu prüfen, ob de zwe zufällgen Varablen vonenander unabhängg snd, also wrklch ken Zusammenhang besteht oder ob nchtlneare Zusammenhänge dentfzert werden können. Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

3. Konfdenzschätzungen lnearer Korrelatonskoeffzenten Alle zuvor aufgeführten statstschen Maße snd m Snne der mathematschen Statstk Punktschätzungen. Se snd dadurch gekennzechnet, dass dese Schätzwerte aus ener anderen Stchprobe der Grundgesamthet andere Werte annehmen. Deshalb können dese Maße wetgehend wertlos sen, wenn über de Scherhet der Schätzung nchts bekannt st. Es st daher notwendg, de Genaugket und Scherhet der Schätzung zu untersuchen. Derartge Angaben lefern Schätzungen von Konfdenzntervallen. Wel de Korrelatonskoeffzenten.d.R. de Bass der Senstvtäts- und Robusthetsbewertungen darstellen, werden n der Folge Konfdenzschätzungen der lnearen Korrelatonskoeffzenten dskutert. Dabe sucht man en Intervall ( I ρ ) um den Schätzwert ( ρ ) so anzugeben, dass deser mt ener Wahrschenlchket ( 1 α ) den unbekannten Parameter überdeckt. Dabe heßt γ = 1 α Konfdenznveau oder auch statstsche Scherhet und α st de tolererbare Irrtumswahrschenlchket, de Wahrschenlchket, dass der geschätzte Korrelatonskoeffzent außerhalb des Konfdenzntervalls legt. Abbldung Konfdenzntervall für Korrelatonskoeffzenten mt ener Irrtumswahrschenlchket von 5% Zur Schätzung der Konfdenzntervalle werden wegen der Nchtnormalvertelung der Schätzer der lnearen Korrelatonskoeffzenten de Korrelatonskoeffzenten mttels der Fscher-z-Transformaton n enen normalvertelten Raum prozert. Das Konfdenzntervall st dann gegeben durch: zc zc tanh z, tanh z + (Gl. 3-4) N 3 N 3 Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

De Irrtumswahrschenlchket soll für alle zu schätzenden ( m 1) Korrelatonskoeffzenten M = m zwschen m Engangs- und Ergebnsgrößen der gesamten Korrelatonsmatrx gelten. Deshalb wrd der krtsche Wert mttels Bonferron korrgerten Werten des Konfdenznveaus z c α α ' = ermttelt. Damt ergbt sch für ene Scherstellung enes geegneten M Konfdenzntervalls ene Abhänggket zwschen der notwendgen Anzahl von Stchproben (N) und der Anzahl der Engangs- sowe der Ergebnsvarablen (m). Abbldung 3 Matrx lnearer Korrelatonen mt Konfdenzntervallen 3.3 Enfluss der Samplngmethode auf das Konfdenzntervall lnearer Korrelatonskoeffzenten Zur Schätzung vertrauenswürdger Korrelatonskoeffzenten st ene geegnete Anzahl von Stchproben notwendg. In der Lteratur rechen dabe de Empfehlungen von mndestens Anzahl der Enganggrößen n + 1bs n für Monte Carlo Samplngs. Im Gegensatz zu beobachtender Statstk, wo n der Regel von Monte Carlo vertelten Stchprobensets ausgegangen werden muss, kann be vrtuellen, zu berechnenden Stchproben durch varanzmnmerende Samplngverfahren de statstsche Scherhet der Schätzung von Korrelatonskoeffzenten deutlch erhöht werden. Deshalb soll n der Folge der Enfluss von Latn Hypercube Samplng auf de Konfdenzntervalle untersucht werden. In den folgenden Verglechen werden de Konfdenzntervalle der Korrelatonskoeffzenten für ene Irrtumswahrschenlchket von 5% Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

(Konfdenzlevel 95%) von Monte Carlo Samplngs und Latn Hypercube Samplngs ausgewertet. Es werden Schätzungen für de Konfdenzntervalle aus 1000 Wederholungen der Samplngs angegeben. N Korrelatonskoeffzent ρ 0.0 0.3 0.5 0.7 0.9 10 1.61 1.31 1.054 0.757 0.99 30 0.71 0.68 0.557 0.381 0.149 100 0.409 0.374 0.306 0.199 0.079 300 0.30 0.09 0.170 0.116 0.045 1000 0.14 0.115 0.093 0.06 0.03 Tabelle 1Konfdenzntervalle zur Schätzung enes Korrelatonskoeffzenten (Konfdenzlevel 95%) für Monte Carlo Samplng N Korrelatonskoeffzent ρ 0.0 0.3 0.5 0.7 0.9 10 0.40 0.38 0.60 0.158 0.035 30 0.197 0.194 0.139 0.073 0.018 100 0.111 0.101 0.071 0.04 0.009 300 0.065 0.057 0.04 0.04 0.006 1000 0.038 0.033 0.05 0.014 0.003 Tabelle Konfdenzntervalle zur Schätzung enes Korrelatonskoeffzenten (Konfdenzlevel 95%) für Latn Hypercube Samplng Tabelle 1 und zegen de Abhänggket der Konfdenzntervalle der Schätzung enes Korrelatonskoeffzenten von der Anzahl der Stchproben. Für de Schätzung der Korrelatonskoeffzenten st ene sgnfkante Verbesserung der Schätzung be Verwendung enes Latn Hypercube Samplng deutlch zu erkennen. Zum Bespel wrd be der Schätzung enes Korrelatonskoeffzenten von 0.5 be Verwendung enes Monte Carlo Samplng mt 1000 Stchproben en Konfdenzntervall von 0.093 sowe be Latn Hypercube Samplng schon mt 100 Stchproben en Konfdenzntervall von 0.071 errecht. Mt 1000 Stchproben kann bem Latn Hypercube Samplng en Konfdenzntervall von 0.05 errecht werden, was ene sgnfkant bessere Schätzung als mt Monte Carlo Samplng darstellt. Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass Latn Hypercube Samplng ene um den Faktor ~1 gerngere notwendge Anzahl von Stützstellen benötgt, um verglechbare Konfdenzntervalle we das Monte Carlo Samplng aufzuwesen. Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

Abbldung 4 Konfdenzntervalle (Konfdenzlevel 95%) für M- Korrelatonskoeffzenten 0.5 Monte Carlo Samplng Abbldung 5 Konfdenzntervalle (Konfdenzlevel 95%) für M- Korrelatonskoeffzenten 0.5 Latn Hypercube Samplng Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

Abbldungen 4 bs 9 zegt de Abhänggket de Konfdenzntervalle der Schätzung von M Korrelatonskoeffzenten aus m Engangs- und Ergebnsgrößen (Number of Varables)von der Anzahl der Stchproben (Sample Sze). De Konfdenzntervalle wurden her nach Kap. 3. mttels Fscher s z-transformaton und Bonferron Korrektur ermttelt. Dabe wurde en Faktor von 1 n der Stchprobengröße zwschen Monte Carlo Samplng und Latn Hypercube Samplng berückschtgt. 3.4 Bestmmthetsmaße Konfdenzntervalle von Korrelatonskoeffzenten geben de Vertrauensbereche der Schätzung an. Aus Scht praktscher Aufgabenstellungen snd Bestmmthetsmaße wetere wchtge Krteren über de Aussagekraft der Korrelatonsanalyse. Das Bestmmthetsmaß st en quanttatves Maß we vel der Varaton ener Größe mttels der gefundenen Korrelatonen zu den Engangsgrößen erklärt werden kann. Das Bestmmthetsmaß kann dabe Werte zwschen 0 und 1 bezehungswese 0 bs 100% annehmen Das Bestmmthetsmaß ener lnearen Bezehung zwschen zwe unkorrelerten Zufallsgrößen st als das Quadrat des Korrelatonskoeffzenten defnert. S R = (Gl. 3-5) S S Bestmmthetsmaße werden allgemener (z.b. n optslang) aus den Korrelatonen der beobachteten Ausgangsgrößen z und der über Regresson von geftteten Werten x = z x ) ermttelt. ( Wrd das Bestmmthetsmaß ener Ergebnsgröße bezüglch aller n- Engangsgrößen ermttelt, st ene quanttatve Aussage gefunden, we vel der Varaton der Ergebnsgröße mt der zugrunde legenden Regressonshypothese erklärt werden kann. Exstert also be lnearer Regressonshypothese ene nennenswerte Abwechung zu 100 %, exsteren entweder (außerhalb lnearer Zusammenhänge) nennenswerte wetere Korrelatonen (z.b. quadratsche Zusammenhänge, Clusterungen) oder de Schätzung der Korrelatonskoeffzenten st zu ungenau oder de Varaton der Ergebnsgrößen enthält nennenswert Rauschen, z.b. aus dem CAE-Berechnungsprozess oder dem Extraktonsprozedere der Ergebnsgröße. Be der Schätzung der Bestmmthetsmaße von mehreren Engangsvarablen zu ener Ausgabegröße können sch de Fehler des Schätzers vor allem be klener Stchprobenanzahl und klenen Korrelatonskoeffzenten nennenswert summeren. Dese Korrelatonskoeffzenten und dazugehörgen Bestmmthetsmaße klener Korrelatonskoeffzenten (z.b. < 0.3) unterlegen be klenen Stchproben großen statstschen Fehlern und erhöhen nur schenbar de Bestmmthet des Modells. Zur Prüfung deses Sachverhaltes kann en so genannter adusted herangezogen werden: R Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

adusted R n = k 1 ( R (1 R )) = 1 k n Gl. 3-6 R En deutlch klenerer adusted als zegt dabe an, dass zahlreche ncht R sgnfkante Engangsgrößen bem Bestmmthetsmaß berückschtgt worden snd. Zegen de Bestmmthetsmaße R adusted R große Unterschede an, st davon, auszugehen, dass de Schätzung der Bestmmthetsmaße ncht vertrauenswürdg st und se sollte für enen kleneren Satz von sgnfkanten Engangsvarablen wederholt werden. De Sgnfkanz der Engangsvarablen wrd dabe anhand der Größe des Korrelatonskoeffzenten festgestellt. Abbldung 10 Bestmmthetsmaße ener Ergebnsgröße sowe Bestmmthetsmaße der Antele enzelner streuender Engangsvarablen 3.5 Quadratsche Korrelatonskoeffzenten In der Lteratur wrd mmer weder darauf hngewesen, dass de Feststellung gernger lnearer Korrelatonen ken hnrechender Grund für de Annahme st, dass kene wchtgen Zusammenhänge zwschen den Varablen exsteren. Geht man zum Bespel davon aus, dass zwe Varablen enen deal quadratschen Zusammenhang haben, st hr lnearer Korrelatonskoeffzent 0.0 und hr quadratscher Korrelatonskoeffzent 1.0. Deshalb wurde de Korrelatonsanalyse n optslang auf quadratsche Regressonshypothese erwetert. Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

Quadratsche Korrelatonskoeffzenten werden n der Regel über quadratsche Regresson der Antwortgrößen x zu den Engangsgrößen x ermttelt. x = A + B x + C x = z ( x ) Gl. 3-7 De Regressonskoeffzenten A, B, C werden standardmäßg über Mnmerung der Fehlerquadrate über de Stchproben x, x, k = 1... N ermttelt. De quadratschen Korrelatonskoeffzenten ergeben sch danach durch Ensetzen der (k ) (k ) geftteten Werte z an Stelle von sowe der x n Glechung 3.3. De Werte x der Korrelatonskoeffzenten gegenüber der quadratschen Funkton 3.7 enthalten dabe sowohl den lnearen als auch den quadratschen Antel und legen zwschen 0.0 und 1.0. De Bestmmthetsmaße werden analog lnearer Regressonshypothese aus Glechung 3-6 ermttelt. Da de Regresson n Glechung 3-7 ncht enfach de Rollen von x_ und x_ vertauschen kann, st de sch ergebende Matrx der quadratschen Korrelatonskoeffzenten ncht symmetrsch. 4 Zusammenfassung Abbldung 11 Matrx quadratscher Korrelatonen Aus den Studen und bshergen Erfahrungen mt rechnerschen Robusthetsbewertungen lässt sch für praktsche Aufgabenstellung folgende Empfehlung ableten: a) Verwendung enes Latn Hypercube Samplng Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

b) Ermttlung der Anzahl notwendger Durchrechnungen für de Schätzung von erwarteten Korrelatonskoeffzenten mt enem gewünschten Vertrauensberech. Werden zum Bespel lneare Korrelatonskoeffzenten von 0.50 mt enem Konfdenzntervall 0.1 für en Konfdenzlevel von 95% für alle Korrelatonskoeffzenten gesucht, kann unter Berückschtgung der Anzahl der Engangs- und Ergebnsgrößen aus Abbldung 1 de notwendge Anzahl von Stchproben abgeschätzt werden. So würde sch für ene Anzahl von 40 Engangs- und Ergebnsgrößen ene notwendge Anzahl von 00 Stchproben ergeben. Damt würde en Korrelatonskoeffzent von 0.50 mt 95-prozentger Scherhet nnerhalb enes Fehlerntervalls der Größe ±0.06 geschätzt werden. Abbldung 1 Konfdenzntervalle (Konfdenzlevel 95%) für M- Korrelatonskoeffzenten der Größe 0.5, Latn Hypercube Samplng c) Nach der Durchrechnung können n folgender Rehenfolge de statstschen Maße zur Bewertung herangezogen werden: a. Varatonsbrete und Varatonskoeffzent. Überschretet de Varatonsbrete der Ergebnsgrößen zulässge Werte bezehungswese snd de Varatonskoeffzenten wchtger Ergebnsgrößen sgnfkant größer als de mt desen Ergebnsgrößen verknüpften Engangsgrößen, sollten mttels Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

Bestmmthetsmaßen und Korrelatonskoeffzenten de sensblen Engangsgrößen dentfzert werden. b. Bestmmthetsmaße wchtger Ergebnsgrößen lnearer Korrelatonshypothese. Ist das Bestmmthetsmaß ( R, adusted R ) hoch (> 80 bs 100%) kann über lneare Korrelatonen de Varaton der betreffenden Ergebnsgröße n ausrechendem Maße erklärt werden und de Korrelatonen zu den wchtgsten Engangsgrößen können dentfzert werden und n den dazugehörgen Anthll-Plots auf Plausbltät geprüft werden. c. Snd de Bestmmthetsmaße lnearer Korrelaton klener als 80% sollten für dese Ergebnsgrößen de quadratschen+lnearen Korrelatonskoeffzenten und Bestmmthetsmaße geprüft werden. Aufgefundene sgnfkante quadratsche Korrelatonen sollten n den dazugehörgen Anthll-Plots auf Plausbltät geprüft werden. d. Kann de Varaton der Ergebnsgröße ncht n ausrechendem Maße durch lneare und quadratsche Korrelatonen (gernge Bestmmthetsmaße R < 80%) erklärt werden, snd m Zwefelsfall alle Anthll Plots der Engangsgrößen zur betreffenden Ergebnsgröße auf Nchtlneartäten, we Clusterungen oder Verzwegungen zu prüfen. e. Können kene sgnfkanten lnearen und quadratschen Korrelatonen bezehungswese Nchtlneartäten aufgefunden werden, sollten wetere potentelle Ursachen der Varaton der Ergebnsgröße überprüft werden. Resulteren gernge Bestmmtheten von Ergebnsgrößen aus dem Anregen von Verzegungsproblemen durch numerschen Rauschen, sollten de mt desen Verzwegungsproblemen verbundenen physkalschen streuenden Engangsgrößen dentfzert und ns Modell ntegrert werden. Ist de Bestmmthet wchtger Ergebnsgröße dann mmer noch gerng, kann es snnvoll sen, de Konstrukton bezüglch der Ergebnsgröße bestmmter auszulegen. Wenn de Varaton der Ergebnsgröße n enem hohen Maße von Approxmatonsfehlern der CAE-Berechnung beenflusst wrd oder de Extrakton der Ergebnsgrößen Streuungen (z.b. durch Abhänggketen von Ausgabezetschrtten oder Fltern) erzeugt oder gernge Bestmmtheten aus Unzulänglchketen der Modelle resulteren, sollten dese Unzulänglchketen behoben werden. Wemarer Optmerungs- und Stochastktage 3.0 November 3-4, 006

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