Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 03.12.2013 Alexander Lytchak 1 / 16
Wiederholung und Beispiele Der Spaltenrang einer Matrix ist gleich ihrem Zeilenrang. Lösung von homogenen linearen Gleichungssystemen in Parameterform ist ein Koordinatensystem des Vektorraumes der Lösungen. So wird die Menge L der Lösung des Gleichungssystems aus der ersten Vorlesung in Parameterform als Bild der bijektiven linearen R 4 L R 7 beschrieben: L = x 1 = λ 1 x 2 = 3 2 2λ 2 3λ 3 5 2 λ 4 x 3 = 1 3 3λ 2 2λ 3 + 1 3 λ 4 x 4 = λ 2 x 5 = λ 3 x 6 = 2 3 1 3 λ 4 x 7 = λ 4 λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 R R 7 Alexander Lytchak 2 / 16
Wiederholung und Beispiele Sind W 1, W 2 endlich-dimensionale Untervektorraüme von V so gilt (span(w 1 W 2 )) = W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 w i W i }. Ferner haben wir dim(w 1 + W 2 ) = dim(w 1 ) + dim(w 2 ) dim(w 1 W 2 ). Betrachten wir den Fall V = R 3 und dim(w 1 ) = dim(w 2 ) = 1, so sehen wir, dass W 1 und W 2 entweder gleich sind, oder eine direkte Familie bilden und einen 2-dimensionalen Unterraum erzeugen. Allgemeiner, ist dim(w 1 ) = 1, so gilt W 1 W 2, oder W 1 und W 2 erzeugen einen Unterraum der Dimension dim(w 2 ) + 1. Ist dim(v ) = n und dim(w 1 ) = n 1. So gilt entweder W 2 W 1, oder W 1 W 2 ist ein Unterraum von W 2 von Dimension dim(w 2 ) 1. Die nächsten beiden Vorlesungen haben teilweise keine Entsprechungen im Skript von Herrn Hanke. Eine alternative Quelle sind Vorlesungen 6-8 aus http://users.minet.uni-jena.de/ matveev/lehre/la10/ Alexander Lytchak 3 / 16
Affine Unterräume Definition Es sei V ein Vektorraum. Ein affiner Unterraum von V ist eine Teilmenge von V der Form v + W := {v + w w W }, wobei v V und W V ein Untervektorraum ist. Der Punkt v V heißt auch Aufhängepunkt des affinen Unterraumes. Bemerkung Ein affiner Unterraum Z = v + W ist in der Regel kein Untervektorraum von V. Dies ist genau dann der Fall, falls 0 Z liegt. Äquivalent dazu ist die Bedingung v W. Definition Ist W V ein Untervektorraum und sind v 1, v 2 V, so nennen wir die affinen Unterräume v 1 + W und v 2 + W parallel. Alexander Lytchak 4 / 16
Proposition Es sei V ein reeller Vektorraum und Z V ein affiner Unterraum. Schreiben wir Z = v + W mit v V und einem Untervektorraum W V, so ist W durch Z eindeutig bestimmt. Der Aufhängepunkt v ist ein beliebiger Punkt aus Z. Verschiedene Aufhängepunkte unterscheiden sich um einen Vektor aus W. Alexander Lytchak 5 / 16
Definition Es sei Z = v + W V ein affiner Unterraum. Die Dimension von A wird definiert als die Dimension von W (W ist ja durch A eindeutig bestimmt). Affine Unterräume der Dimension 0 heißen Punkte, der Dimension 1 Geraden, der Dimension 2 Ebenen und der Dimension n 1 Hyperebenen in V. Proposition Es sei ein lineares Gleichungssystem durch die erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) R m (n+1) gegeben. Es sei L R n die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssysstems. Dann tritt genau einer der folgenden beiden Fälle ein: L =. L R n ist ein affiner Teilraum mit dim L = dim L hom, wobei L hom R n die Lösungsmenge des zugehörigen durch A gegebenen homogenen Systems ist. Alexander Lytchak 6 / 16
Bemerkung Ist f : V W linear und b W, so ist das Urbild f 1 ({b}) V entweder leer oder ein affiner Unterraum der Dimension dim ker f. Im zweiten Fall ist f 1 (b) zu ker(f ) parallel. Falls A R m n, so ist f 1 A ({b}) Rn genau die Lösungsmenge des durch (A b) gegebenen linearen Gleichungssysstems. Das lineare Gleichungssystem mit der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b) hat genau dann eine Lösung, wenn der Spaltenrang der Matrix A gleich dem Spaltenrang der Matrix (A b) ist. Alexander Lytchak 7 / 16
Proposition Es sei Z R n ein affiner Teilraum. Dann existiert ein m N, eine Matrix A R m n und ein Vektor b R m, so dass Z genau die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems mit erweiterter Koeffizientenmatrix (A b) ist. D.h. Z ist die Menge aller Lösungen x der Gleichung Ax = b Alexander Lytchak 8 / 16
Translationen Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Translation mit v V ist die Abbildung T v : V V, die durch T v (w) = v + w definiert ist. Für v 1, v 2 V gilt T v1 T v2 = T v1 +v 2 = T v2 T v1. T 0 = id V. Es ist die einzige Translation von V, die eine lineare Abbildung ist. Jede Translation T v ist invertierbar und es gilt T v = T 1 v. Eine Teilmenge Z von V ist ein affiner Teilraum genau dann, wenn es einen Untervektorraum W von V und eine Translation T v von V mit T v (W ) = Z gibt. Jede Translation von V schickt jeden affinen Teilraum Z von V auf einen anderen affinenen Teilraum von V, der zu Z parallel ist. Translationen führen affine Fragen/Probleme/Antworten auf Fragen/Probleme/Anworten über Untervektorräume zurück. Alexander Lytchak 9 / 16
Geraden und affine Teilräume Proposition Zwei verschiedene Punkte z 1, z 2 von V sind in genau einer Geraden G z1,z 2 enthalten. Diese Gerade kann in Parameterform G z1,z 2 = {tz 2 + (1 t)z 1 t R} = {z 1 + t(z 2 z 1 ) t R} dargestellt werden. Proposition Eine nicht-leere Teilmenge Z von V ist genau dann ein affiner Teilraum, wenn es mit jedem Paar verschiedener Punkte z 1, z 2 Z, die durch diese beiden Punkte gehende Gerade G z1,z 2 enthält. Bemerkung Dies gibt eine geometrische Charakterisierung von Untervektorräumen. Es sind genau solche Teilmengen von V, die 0 enthalten, und mit jedem Paar von Punkten die Gerade durch diese Punkte. Alexander Lytchak 10 / 16
Affine Hüllen Folgerung Ein Durchschnitt i I Z i einer Familie Z i,i I affiner Teilräume von V ist entweder leer oder ein affiner Teilraum von V. Ist X eine nicht-leere Teilmenge von V so heißt der Durchschnitt aller X enthaltenden affinen Teilräume von V die affine Hülle von X und wird mit Aff (X ) bezeichnet. Es ist der kleinste affine Unterraum von V, der X enthält. Enthält X V die Null, so ist Aff (X ) = span(x ). Sei X V gegeben und sei x X beliebig. Dann ist Aff (X ) das Bild unter der Translation mit x des von X x aufgespannten Untervektorraums von V. In Formeln: T x (span(x x)) = Aff (X ). Alexander Lytchak 11 / 16
Durch eine (k + 1)-elementige Teilmenge X = {x 0, x 1,..., x k } von V geht immer ein k-dimensionaler affiner Teilraum. Wenn so ein X nicht in einem (k 1)-dimensionalen affinen Teilraum enthalten ist, so sind k Vektoren x 1 x 0, x 2 x 0,..., x k x 0 linear unabhängig in V. In diesem Fall hat die affine Hülle von X die Dimension k. Wir sagen dann, dass die Punkte x 0,..., x k affin unabhängig sind. Ein Punkt ist ein Punkt. Ein Punkt ist immer affin unabhängig. Durch je zwei Punkte geht eine Gerade. Diese ist eindeutig bestimmt, wenn die Punkte verschieden sind. Zwei verschiedene Punkte sind immer affin unabhängig, zwei gleiche Punkte niemals. Durch je drei Punkte geht eine Ebene. Diese ist eindeutig bestimmt, wenn die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. Drei Punkte sind affin unabhängig, genau dann wenn sie nicht auf einer Geraden liegen. Durch 43 Punkte geht ein 42-dimensionaler affiner Unterraum. Alexander Lytchak 12 / 16
Transversalität Proposition Es seien X und Y affine Teilräume in einem endlichdimensionalen Vektorraum V. Dann ist entweder X Y leer oder wieder ein affiner Teilraum von V. Im letzten Fall gilt die Ungleichung dim(x Y ) dim(x ) + dim(y ) dim V (1) Definition Falls in obiger Proposition X Y nichtleer ist und in (1) Gleichheit gilt, so sagt man, dass sich X und Y transversal schneiden. Proposition Die affinen Teilräume X und Y schneiden sich genau dann transversal, wenn für die zugehörigen Untervektorräume W X und W Y die Gleichung W X + W Y = V gilt. Alexander Lytchak 13 / 16
Transversalität: Beispiele Was bedeutet es im R 2, R 3, R 4 und R 5, dass sich zwei Ebenen transversal schneiden? Für zwei sich schneidende Ebenen im R 2 gilt dim(a B) 2 + 2 2 = 2, und der Schnitt ist genau dann transversal, wenn dim(a B) = 2. Da jede Ebene im R 2 gleich R 2 ist, schneiden sich zwei Ebenen im R 2 also immer transversal. Für zwei sich schneidende Ebenen im R 3 gilt dim(a B) 2 + 2 3 = 1, und der Schnitt ist genau dann transversal, wenn dim(a B) = 1. Die beiden Ebenen schneiden sich also in einer Gerade oder in einer Ebene, und der Schnitt ist genau dann transversal, wenn der Schnitt eine Gerade ist. Alexander Lytchak 14 / 16
Für zwei sich schneidende Ebenen im R 4 gilt dim(a B) 2 + 2 4 = 0, und der Schnitt ist genau dann transversal, wenn dim(a B) = 0. Die beiden Ebenen schneiden sich also in einem Punkt, in einer Gerade oder in einer Ebene. Der Schnitt ist genau dann transversal, wenn der Schnitt aus einem Punkt besteht. Für zwei sich schneidende Ebenen im R 5 gilt dim(a B) 2 + 2 5 = 1, und der Schnitt ist genau dann transversal, wenn dim(a B) = 1. Da Dimensionen immer nicht-negativ sind, können sich zwei Ebenen im R 5 nie transversal schneiden. Alexander Lytchak 15 / 16
Genauso, schneiden sich zwei Geraden im R 3 niemals transversal. Sie sind entweder gleich, oder schneiden sich in einem Punkt oder gar nicht. Im letzten Fall können sie parallel sein, oder nicht. Zwei disjunkte nicht-parallele Geraden im R 3 nennt man windschief. Für eine Ebene und eine Gerade im R 3 gibt es folgende Möglichkeiten. Entweder ist die Gerade in der Ebene enthalten, oder sie schneiden sich transversal, oder sie schneiden sich nicht. Im letzten Fall ist der zugehörige Untervektorraum der Geraden enthalten im zugehörigen Untervektorraum der Ebene. Alexander Lytchak 16 / 16