ELEKTRODYNAMIK UND RELATIVITÄTSTHEORIE

ELEKTRODYNAMIK UND RELATIVITÄTSTHEORIE Kapitel 10: Relativistische Hamiltonfunktionen Vorlesung für Stuenten er Technischen Physik Helmut Nowotny Technische Universität Wien Institut für Theoretische Physik 7., von A. Rebhan korrigierte Auflage Wien, Februar 2006

X.1. Hamilton Formalismus 145 X. RELATIVISTISCHE HAMILTONFUNKTIONEN X.1. Hamilton Formalismus X.1.A. Grunlagen Klassische Newton Dynamik Das Newtonsche Kraftgesetz F = m v 1) t bilet zusammen mit em Konzept er virtuellen Arbeit virtuelle Verrückungen) ie Grunlage er klassischen Mechanik. Es existieren verschieene gleichwertige Formulierungen er klassischen Mechanik: D Alembertsches Prinzip Langrangesche Gleichungen Hamiltonsches Prinzip Hamiltonsche Gleichungen D Alembertsches Prinzip Hiebei wir irekt mittels es Konzeptes er virtuellen Arbeit ie Gleichung ) Ft m t r t δ rt = 0 2) t als Basisgleichung er Mechanik verwenet. Die Summe t läuft hiebei über alle Teilchen es betrachteten Systems un im allgemeinen verschwinen ie einzelnen Summenterme nicht, a ie Verrückungen δ r t infolge von Zwangsbeingungen nicht unabhängig voneinaner sein müssen. Entsprechen umgeformt wir iese Gleichung auch als Lagrangesche Bewegungsgleichung 1. Art bezeichnet un ie im folgenen besprochenen Lagrangeschen Gleichungen ann als Lagrangesche Gleichungen 2. Art). Langrangesche Gleichungen Unter Einführung er zu verallgemeinerten Koorinaten q r gehörigen verallgemeinerten Kräfte F qr F qr = r t F t 3) t ergeben sich aus Gleichung 2 unter Verwenung er Transformationsformeln r t = r t..q r..) wegen er Unabhängigkeit er verallgemeinerten Koorinaten ie Lagrangeschen Gleichungen t ) T q r T = F qr, 4)

146 X. RELATIVISTISCHE HAMILTONFUNKTIONEN wobei T ie kinetische Energie er Teilchen ist: T = t m t r 2 t 2. 4a) Es gibt für jeen Freiheitsgra eine Lagrangesche Gleichung 4. Sin ie Kräfte aus einem Potential ableitbar konservative Systeme) F qr = V q), 5) so können ie Gleichungen 4 mittels er Lagrangeschen Funktion auch in er Form geschrieben weren. Lq, q) = Tq, q) V q) t ) q r = 0 6a) 6b) X.1.B. Extremalprinzip für ie Wirkung Man kann ie Lagrangeschen Gleichungen 6b auch aus einem Extremalproblem gewinnen. Man betrachtet hiezu ie Wirkung S S = t 1 t Lq, q, t) 7) un forert für en physikalischen Bewegungsablauf q r = q r t) as Auftreten eines Extremalwertes Minimalwertes) ieser Wirkung, soaß ieses Prinzip auch als Prinzip er kleinsten Wirkung bezeichnet wir Hamiltonsches Prinzip). Aus em Variationsproblem δ t 1 t Lq, q, t) = 0, δq r t 1 ) = δq r t 2 ) = 0, 8) ergeben sich ie Euler-Lagrange-Gleichungen t ) welche mit en Lagrangeschen Gleichungen 6b übereinstimmen. q r = 0, 9) Dieses Prinzip er kleinsten Wirkung ist für eine relativistische Formulierung er Bewegungsgleichungen vorteilhaft, a sich aus einer forminvarianten Wirkung immer forminvariante Bewegungsgleichungen ergeben. Man hat somit in einem ersten Schritt eine Lagrangefunktion L so zu postulieren, aß ie Wirkung forminvariant ist. In einem zweiten Schritt ist ann ie gewählte Lagrangefunktion als em Problem angepaßt zu verifizieren z.b. aurch, aß man bestimmte Bewegungsgleichungen erhalten möchte).

X.1. Hamilton Formalismus 147 X.1.C. Hamiltonsche Gleichungen Man bezeichnet p r := q, q, t) q r = p r q, q, t) 10) als en zur verallgemeinerten Koorinate q r gehörigen verallgemeinerten Impuls p r kanonischer Impuls). Der Übergang von en Variablen q r un q r auf ie Variablen q r un p r erfolgt mittels einer Legenre Transformation Hq, p, t) := r p r q r Lq, q, t). 11) Die Funktion H wir Hamiltonsche Funktion genannt un führt, wie aus er folgenen Rechnung zu ersehen ist Hq, p, t) = r zu en Bewegungsgleichungen p r q r + q r p r }{{} ṗ r q r q }{{} r p r q r ) t t, q r = Hq, p, t) Hq, p, t), ṗ r =, 12) p r welche als Hamiltonsche Gleichungen oer auch als kanonisch konjugierte Bewegungsgleichungen) bezeichnet weren. Ferner gilt bei expliziter Zeitabhängigkeit er Lagrangefunktion L H t =. 13) t Mit er Beziehung p r q r = 2 T 14a) folgt H = r r p r q r L = 2 T T V ) = T + V, 14b).h. ie Hamiltonfunktion H entspricht er gesamten Energie kinetische Energie T plus potentielle Energie V ). Betrachten wir ie totale Zeitableitung er Hamiltonfunktion H H t = r H }{{} ṗ r q r + H ) ṗ r + H p }{{} r t = H t q r, 15) so sehen wir, aß H = E eine Erhaltungsgröße ist, wenn H nicht explizit von er Zeit abhängt.

148 X. RELATIVISTISCHE HAMILTONFUNKTIONEN X.2. Hamiltonfunktion eines freien Punktteilchens X.2.A. Nichtrelativistische Hamiltonfunktion Die nichtrelativistische Lagrangefunktion eines freien Teilchens ist urch L = i m q 2 i 2 16) gegeben ies ist ie klassische kinetische Energie eines Teilchens, a für ein freies Teilchen keine potentielle Energie vorhanen ist). Aus ieser Lagrangefunktion folgt sofort er Impuls p i = q i = m q i 17) sowie ie Hamiltonfunktion H = i p i q i L = i ) p i p i m p2 i 2 m = i p 2 i 2 m. 18) Die kanonischen Bewegungsgleichungen folgen aus ieser Hamiltonfunktion zu q i = Hq, p) p i = p i m, ṗ Hq, p) i = = 0, 19) q i un beschreiben ein freies Teilchen in er klassischen nichtrelativistischen Mechanik. X.2.B. Relativistische Hamiltonfunktion Damit ie Wirkung S eine invariante Größe ist, muß gemäß er Gleichung ie folgene Beziehung gelten: S = t 1 t L = τ2 τ 1 τ γ L 20) γ L = invarianter Ausruck. 21) Zur Bilung ieses invarianten Ausruckes haben wir nur ie Masse m es Teilchens un ie Vierergeschwinigkeit u ν zur Verfügung. Aus er Vierergeschwinigkeit u ν kann nur ie skalare Größe u ν u ν = c 2 gebilet weren, welche aber eine Konstante ist. Dies führt zum folgenen Ansatz für ie relativistische Lagrangefunktion L ft eines freien Teilchens γ L ft = Konstante, 22a) wobei zur Übereinstimmung mit en nichtrelativistischen Grenzfall iese Konstante mc2 gesetzt wir: γ L ft = mc 2,.h. L ft = mc 2 1 u 2. 22b) c 2

X.2. Hamiltonfunktion eines freien Punktteilchens 149 Hieraus ergibt sich nun sofort er Teilchenimpuls zu p i = ft u i = γ m u i. 23) Die relativistische Hamiltonfunktion H ft eines freien Teilchens lautet somit H ft = p u L ft = γ m u 2 + m )] c2 = γ m [u 2 + c 2 1 u2 = γ m c 2 γ c 2. 24) Dieser Ausruck für ie Hamiltonfunktion eines freien Punktteilchens entspricht genau em Energieausruck für ein freies Punktteilchen, wie er in Gleichung VIII.18 angegeben ist. X.2.C. Bewegungsgleichungen eines freien Punktteilchens Wir müssen aber für ie Anwenung er kanonischen Bewegungsgleichungen iese Hamiltonfunktion 24 nun noch urch ie kanonisch konjugierten Größen r un p ausrücken. Ausgehen von er Gleichung 23 erhalten wir en folgenen Zusammenhang zwischen er Geschwinigkeit u un em Impuls p : p 2 = γ 2 m 2 u 2 1 u2 c 2 Auflösung nach er Geschwinigkeit u ergibt nun ) p 2 = m 2 u 2. u 2 c 2 = p 2 p 2 + m 2 c 2, γ = p2 + m 2 c 2 m c, 25) womit sich ie Hamiltonfunktion in er kanonischen Form H ft = m 2 c 4 + c 2 p 2 26) schreiben läßt. Dieser Ausruck für ie Hamiltonfunktion stimmt genau mit em relativistischen Energieausruck für ein freies Teilchen überein siehe Gl. VIII.20b). Aus ieser Hamiltonfunktion ergeben sich sofort ie kanonischen Bewegungsgleichungen für ein freies Teilchen: ẋ i = H ftx, p) p i = p i γ m, ṗ i = H ftx, p) x i = 0. 27)

150 X. RELATIVISTISCHE HAMILTONFUNKTIONEN X.3. Freie elektromagnetische Feler X.3.A. Elektroynamik als Lagrangesche Feltheorie Haben wir anstelle eines Punktteilchens, welches eine Weltlinie urchläuft, ein en ganzen Raum erfüllenes Fel φx µ ) vorliegen, so müssen wir ie Wirkung in Analogie zu Gleichung 7 urch ein Wirkungsfunktional S[φ, ν φ] := t Lt) = 1 4 x L φx µ ), ν φx µ )) 28) t 1 c Ω angeben, wobei L φ r, t), ν φ r, t)) eine invariante Langrangeichte arstellt. Damit ieses Wirkungsfunktional ein Extremum aufweist δ t Lt) = δ t 3 r L φ r, t), φ r, t), φ r, t) ) = 0 29a) t 1 t 1 unter en Nebenbeingungen δ φ r, t 1 ) = 0, δ φ r, t 2 ) = 0 29b) un er weiteren Forerung, aß ie Variation von φ auf em Rane es Feles zu jeer Zeit verschwinet, müssen wieer ie zugehörigen Euler Lagrange Gleichungen erfüllt sein. φx µ ) ν ν φx µ )) = 0 30) Haben wir ein Fel A µ mit mehreren Komponenten vorliegen, so erhalten wir aus em Variationsprinzip anstelle einer partiellen Differentialgleichung mehrere partielle Differentialgleichungen : A µ ν ν A µ ) = 0. 31) Zu bemerken ist noch, aß für vorgegebene Felgleichungen ie Lagrangeichte nicht eineutig bestimmt ist, a ie Aition er Viererivergenz eines beliebigen Feles zur Lagrangeichte keine Auswirkung auf ie Euler Lagrange Gleichungen hat ein solcher Zusatzterm in Gl. 28 kann mittels es vierimensionalen Gaußschen Integralsatzes in ein Oberflächenintegral umgewanelt weren un ergibt somit keinen Beitrag bei er Variation δs = 0). Hamiltonichte In Analogie zu Gleichung 10 efiniert man ie zur Felgröße φ r, t) kanonisch konjugierte Impulsichte π r, t) := φ 32) un hiemit ie Hamiltonichte H bzw. ie Hamiltonfunktion H Hφ, π) := π φ L Ht) = 3 r Hφ, π). 33a) 33b)

X.3. Freie elektromagnetische Feler 151 X.3.B. Lagrangeichte es freien elektromagnetischen Feles Mit Hilfe er relativistischen Schreibweise kann man ie relativistischen Forminvarianten es elektromagnetischen Feles als Ausgangspunkt für ie Konstruktion einer Lagrangeichte nehmen. Aus em Felstärketensor F µν können ie beien in en Gleichungen IX.34a un IX.34b angegebenen Invarianten gebilet weren. Da ie Invariante von Gleichung IX.34b nur einen Pseuoskalar arstellt, verwenen wir nur en invarianten Ausruck von Gleichung IX.34a zur Aufstellung er Lagrangeichte L em es freien elektromagnetischen Feles : L em := 1 16π F νµf νµ = 1 8π E 2 B 2 ) 34) wir haben hier bereits konstante Faktoren so hinzugefügt, aß ie aus ieser Lagrangeichte folgene Hamiltonichte mit er Energieichte es elektromagnetischen Feles übereinstimmt). X.3.C. Bewegungsgleichungen es freien Feles Stellen wir ie Lagrangeichte von Gleichung 34 mit Hilfe es Viererpotentiales un seiner Ableitungen ar L em [A µ x), ν A µ x)] = 1 16π νa µ µ A ν ) ν A µ µ A ν ), 35) so können wir ie Euler Lagrange Gleichungen entsprechen Gl. 31 bilen: em A µ ν em ν A µ ) = 1 4π ν F νµ = 0. 36) Dies sin ie inhomogenen Maxwellgleichungen IX.15 für ein quellenfreies Raumgebiet. Die homogenen Maxwellgleichungen IX.18a bzw. IX.19 sin keine Bewegungsgleichungen im Sinn er Euler-Lagrange Gleichungen, sonern folgen ganz allgemein aus er Definition es Felstärketensors siehe Kap. IX.1.C). Hamiltonfunktion Bilen wir entsprechen Gleichung 32 ie kanonischen Impulsvariablen so erhalten wir π σ r, t) = 1 c em A µ, ν A µ ) 0 A σ ) = ema µ, ν A µ ) A σ r, t), 37) π 0 r, t) = 0, π i r, t) = 1 4π c E i r, t). 38) Die Hamiltonichte H em bzw. ie Hamiltonfunktion H em ergeben sich aus H em r, t) = c π σ 0 A σ L em, H em t) = 3 r H em, 39) zu H em = 1 E 2 + B 8π 2 + 2 E gra φ ), 40a) H em t) = 3 r H em = 1 3 r E 2 + B 8π 2). 40b)

152 X. RELATIVISTISCHE HAMILTONFUNKTIONEN X.4. Elektromagnetische Wechselwirkung X.4.A. Lagrangefunktion er Wechselwirkung Wir wollen nun ie Wechselwirkung zwischen einem elektrisch gelaenen Teilchen un einem elektromagnetischen Fel betrachten. Hiezu beachten wir, aß ein bewegtes gelaenes Teilchen einen Viererstrom j µ erzeugt un ein elektromagnetisches Fel urch as Viererpotential A µ beschrieben wir. Zur Erzielung einer linearen Theorie haben wir für ie Wechselwirkungs Lagrangeichte L ww aus iesen beien Vierergrößen eine lineare Invariante zu bilen. Die einzige lineare Invariante, welche aus iesen beien Vierergrößen gebilet weren kann, ist urch L ww x) = 1 c Aµ x) j µ x) 41) gegeben wobei wieer ein konstanter Faktor so hinzugefügt wure, aß sich ie Maxwellgleichungen mit en richtigen Faktoren ergeben). Unter Verwenung er expliziten Darstellung es Viererstromes Gleichung IX.5) un er expliziten Darstellung es Viererpotentiales Gleichung IX.8) ) ) cϱ φ j µ =, A µ =, 42) j A kann iese invariante Wechselwirkungs Lagrangeichte auch in er Form geschrieben weren. Punktteilchen L ww r, t) = ϱ r, t) φ r, t) + 1 c j r, t) A r, t) 43) Für ein Punktteilchen mit er elektrischen Laung q lauten Laungsichte un Stromichte siehe ie Gleichungen II.6a un II.6b) ϱ r, t) = q δ r r t)), j r, t) = q ut) δ r r t)), 44) so aß sich für ie Lagrangefunktion L ww, welche ie Wechselwirkung eines gelaenen Punktteilchens mit einem elektromagnetischen Fel beschreibt, er Ausruck L ww t) = 3 r L ww r, t) = q φ r t), t) + q c ut) A r t), t) 45) ergibt. X.4.B. Bewegungsgleichungen er elektromagnetischen Feler Betrachten wir nun ie aus er Lagrangeichte L em es freien elektromagnetischen Feles Gleichung 34) un er Lagrangeichte L ww er Wechselwirkung Gleichung 41) gebilete Lagrangeichte Lx) = L em x) + L ww x) = 1 16π F νµx) F νµ x) 1 c Aµ x) j µ x), 46)

X.4. Elektromagnetische Wechselwirkung 153 so erhalten wir aus en Euler Lagrange Gleichungen 30 ie folgenen Bewegungsgleichungen für as an Quellströme gekoppelte elektromagnetische Fel: A µ ν ν A µ ) = 1 c j µx) + 1 4π ν F νµ x) = 0. Diese Gleichungen sin genau ie inhomogenen Maxwellgleichungen wie sie bereits in Kapitel IX angegeben wuren. 47a) ν F νµ x) = 4π c j µx), 47b) Für ie homogenen Maxwellgleichungen ergibt sich urch ie Ankopplung er Feler an ie Ströme keine Änerung, a sie irekt aus er Definition es Felstärketensors folgen. Auch ie kanonischen Impulsvariablen es elektromagnetischen Feles änern sich urch ie Ankoppelung nicht: π σ r, t) = 1 c A µ, ν A µ ) 0 A σ ) = 1 4π c F 0σ. 48) X.4.C. Bewegungsgleichungen eines Punktteilchens Die Lagrangefunktion eines elektrisch gelaenen Punktteilchens ist urch ie Summe er Langrangefunktion L ft es freien Punktteilchens Gleichung 22b) un er Lagrangefunktion L ww er Wechselwirkung Gleichung 45) gegeben: L r, u, t) = L ft + L ww = mc 2 1 u 2 c q φ r, t) + q 2 c u A r, t) 49) Aus ieser Lagrangefunktion ergibt sich er kanonisch konjugierte Teilchenimpuls P zu P i = q = γ m u i + u i }{{} c A i = p i + q c A i. 50) p i Der in ieser Gleichung verwenete Ausruck wir als mechanischer Impuls es Teilchens bezeichnet. Hamiltonfunktion p := γ m u 51) Die Hamiltonfunktion ieses wechselwirkenen Systems ergibt sich entsprechen er allgemeinen Gleichung 11 zu H r, P, t) = P u L r, u, t) = γ m u 2 + q c A u+ m c2 γ +q φ q c u A = γ m c 2 +q φ. 52) Eliminieren wir ie Geschwinigkeit u mittels er aus Gleichung 50 folgenen Beziehung P q A c ) ) 2 1 u2 = m 2 u 2, c 2

154 X. RELATIVISTISCHE HAMILTONFUNKTIONEN woraus sich u 2 c 2 = P q c A ) 2 P q c A ) 2 + m2 c 2, γ = P q c A ) 2 + m2 c 2 m c 53) ergibt, so lautet ie kanonische Form er Hamiltonfunktion folgenermaßen: H r, P, t) = m 2 c 4 + c 2 P q A c ) 2 + q φ. 54a) Die nichtrelativistische Näherung ergibt sich aus er Reihenentwicklung Bewegungsgleichungen H r, P, t) = m c 2 + P q c A ) 2 2 m +... + q φ. 54b) Berechnen wir nun entsprechen en kanonischen Bewegungsgleichungen 12 ie zeitliche Änerung von r un P aus er Hamiltonfunktion 54a, so ergibt sich für ie Geschwinigkeit u ie Beziehung u i = t x i = H = 1 P i γ m c 2 c2 P i q ) c A i, 55) welche mit Gleichung 50 übereinstimmt. Für ie zeitliche Änerung es kanonischen Impulses P ergibt sich ie Gleichung t P i = H = 1 x i γ m c 2 c2 P j q ) q c A j }{{} c γ m u j welche wir unter Verwenung von Gl. 50 in er Form t P i = t p i + q ) c A i = t p i + q c A j q φ = q x i x i c u A j j q φ, 56) x i x i A i t + q c A i x j u j auch als Bewegungsgleichung für en mechanischen Impuls p schreiben können: t p i = q A i t φ 1 x i c }{{} E i ) + q c ) A j A i u j u j = q E i + q ) u B x i x j c }{{} ) u rota i i. 57) Wir haben somit aus em Ansatz 41 für ie Wechselwirkung zwischen gelaenen Teilchen un elektromagnetischem Fel nicht nur ie inhomogenen Maxwellgleichungen 47b hergeleitet, sonern auch ie Lorentzkraft siehe ie Gleichungen VIII.8 un II.8).