Ergänzende Materalen zur Vorlesung Theoretsche Mechank, WS 005/06 Dörte Hansen Semnar 0 Starrer Körper und Kreseltheore. Der starre Körper.. A dfferent pont of vew Raum -und körperfeste Koordnatensysteme Bsher snd uns n der Vorlesung überwegend nertalparallele Koordnatensysteme begegnet. Wll man de Dynamk enes starren Körpers, oder spezell des Kresels, beschreben, zegt es sch jedoch, dass es günstger st, en körperfestes Bezugssystem enzuführen. Nun läßt sch bekanntlch jeder Vektor endeutg bezüglch ener gegebenen Bass zerlegen. Wählen wr den Schwerpunkt als Bezugspunkt, so st also r (t) = x a (t)e a = r = a= a= x a (t)e a (t). () Insbesondere st m Fall des starren Körpers x a (t) =const., d.h. de relatve Lage des -ten Massenpunkts bezüglch des Schwerpunkts ändert sch m körperfesten (d.h. mtroterenden) System ncht. Anders ausgedrückt, beschreben de Bassvektoren e a(t) des körperfesten Koordnatensystems ene Drehung gegenüber dem (raumfesten) Schwerpunktsystem, e a (t) = b e b R ba (t), () oder, vom Blckpunkt enes Beobachters m körperfesten Systems gesehen, führen de Koordnaten x a (t) des Schwerpunktsystems ene Drehung gegenüber den Koordnaten des körperfesten Systems aus, x a (t) = R ab (t)x b. (3)
Man kann sch lecht überlegen, welche Gestalt de Enträge der Drehmatrzen R j haben müssen: En Bassvektor e a des körperfesten Bezugssystems kann natürlch bezüglch der raumfesten Bass {e } endeutg zerlegt werden. Geht man von dem allgemenen Ansatz e = a () j e j aus und multplzert bede Seten deser Glechung skalar mt e k, so st En Verglech mt Gl. () lefert e e k = a () j δ jk = a () k. e = (e j e )e j =: R j e j. De so defnerten Matrzen (R j ) beschreben dredmensonale Drehungen und formen de Gruppe SO(3) (specal orthogonal group), d.h. es st R T R = R R =... De nfntesmale Drehmatrx Es betet sch an deser Stelle an, ene nfntesmale Drehmatrx Ω enzuführen. We der Name schon sagt, beschrebt se de Drehungen enes Vektors auf nfntesmaler Ebene. Überlegen wr uns zunächst, we wr de zetlche Abletung der Bassvektoren m körperfesten System ausdrücken. Mt Gl. () st ė a (t) = Ṙ ba e b = Ṙ ba R bc e c = R }{{} cbṙbae T c = (R T Ṙ) ca e c. (4) e b,c c b Deses Verhalten der zetlchen Abletung von e a legt nahe, de Matrx RT Ṙ als nfntesmale Drehmatrx Ω := R T Ṙ zu defneren. Man kann sch lecht davon überzeugen, dass Ω antsymmetrsch st, d dt (RT R) = 0 = ṘT R + R T Ṙ = Ω T + Ω. De Enträge deser Matrx snd gerade de Komponenten der Wnkelgeschwndgket m körperfesten Bezugssystem. Setzt man 0 ω Ω 3 ω = ω 3 0 ω ω ω 0 Man beachte, dass Ω de m körperfesten, d.h. mtroterenden Bezugssystem, defnert st.
so läßt sch de zetlche Abletung des Vektors r m roterenden Bezugssystem sehr enfach mt Hlfe von Ω ausdrücken, ṙ = ω r = Ω ab x b e a. (5) Das bsher Gesagte galt m körperfesten Bezugssystem. Wenden wr uns nun dem nertalparallelen Koordnatensystem zu. Her behalten de Bassvektoren hre Lage m Raum be, während de Komponenten x a (t) des Vektors r ene Drehung bezüglch der Vektorkomponenten m körperfesten System ausführen. Mt Gl. (3) erhalten wr ẋ a (t) = Ṙab(t)x b = Ṙ(t) abr bc x c(t) = (ṘR ) ac x c(t) =: Ω ac (t)x c (t), (6) wobe wr de nfntesmale Drehmatrx Ω = ṘR m raumfesten Koordnatensystem engeführt haben. Zwschen Ω und Ω besteht de folgende Bezehung: Damt st Ω = R Ṙ = R} {{ R} R ṘR }{{ } R = R ΩR. Ω ṙ = a,b e a Ω ab x b = a x aė a = a,b e b Ω ba x a. (7) Man seht auch lecht, dass Ω ab = c ε abc ω c bzw. Ω ab = c ε abc ω c mt ω a = b R ab ω b (8) st...3 De Eulerschen Wnkel De Bedeutung der Eulerschen Wnkel geht wet über den Komplex des Starren Körpers und der Kreseltheore hnaus. Se vermtteln ganz allgemen ene Transformaton zwschen zwe Koordnatensystemen gemensamen Ursprungs, von denen enes en nertalparalleles Koordnatensystem, das andere en mtroterendes Koordnatensystem st. Nun kann jede Drehung enes raumfesten, nteralparallelen Koordnatensystems n en mtroterendes Koordnatensystem (bem Starren Körper: körperfestes System) n dre Schrtte zerlegt werden (sehe Abb. ): ) Ene Drehung um de e 3 -Achse mt dem Wnkel ϕ. Offenbar st e = cos ϕe + sn ϕe, e = sn ϕe + cos ϕe, e 3 = e 3. 3
Verglechen wr mt der allgemenen Transformatonsvorschrft (), e = R je j = (R T ) j e j so lautet de entsprechende Rotatonsmatrx R(e 3, ϕ) = cos ϕ sn ϕ 0 sn ϕ cos ϕ 0 0 0 ) Im zweten Schrtt wrd ene Drehung mt dem Wnkel ϑ um de neue e -Achse ausgeführt. Das bedeutet, = e, = cos ϑe + sn ϑe 3, 3 = sn ϑe + cos ϑe 3, und de entsprechende Rotatonsmatrx lautet 0 0 R(e, ϑ) = 0 cos ϑ sn ϑ 0 sn ϑ cos ϑ 3) Schleßlch wrd m drtten Schrtt ene Drehung um de neue e 3 -Achse mt dem Wnkel ψ ausgeführt: = cos ψe + sn ψe, = sn ψe + cos ψe, 3 =. De entsprechende Rotatonsmatrx st cos ψ sn ψ 0 R( 3, ψ) = sn ψ cos ψ 0 bzw. R T ( 3, ψ) = 0 0 Hnterenander ausgeführt, erhält man so de Transformatonsvorschrft cos ψ sn ψ 0 sn ψ cos ψ 0 0 0. e = j e j R(ϕ, ϑ, ψ) j mt R(ϕ, ϑ, ψ) = R(e 3, ϕ)r(e, ϑ)r(e 3, ψ). (9) De Matrx R(ϕ, ϑ, ψ) vermttelt zwschen den Bassvektoren des raumfesten (Schwerpunkt)- Systems und den Bassvektoren des körperfesten Systems. Explzt ergbt sch cos ϕ cos ψ sn ϕ cos ϑ sn ψ sn ϕ cos ϑ cos ψ cos ϕ sn ψ sn ϕ sn ϑ R(ϕ, ϑ, ψ) = sn ϕ cos ψ + cos ϕ cos ϑ sn ψ cos ϕ cos ϑ cos ψ sn ϕ sn ψ cos ϕ sn ϑ. sn ϑ sn ψ sn ϑ cos ψ cos ϑ (0) 4
Im nächsten Schrtt wollen wr de Komponenten der Wnkelgeschwndgket ω mt Hlfe der Euler-Wnkel ausdrücken. Dese Bezehungen werden wr später verwenden, um n engen Spezalfällen de Dynamk enes Kresels zu dskuteren. Wr haben gesehen, dass de Elemente der nfntesmalen Drehmatrzen Ω (m nertalparallelen Schwerpunktsystem) und Ω (m körperfesten System) gerade de Komponenten der Wnkelgeschwndgket m raumfesten bzw. körperfesten Koordnatensystem snd. Mt der Defnton Ω ab = (ṘR ) ab ergbt sch unter Berückschtgung von (0) nach ener enfachen, aber etwas länglchen Rechnung (ω a ) = ϑ cos ϕ + ψ sn ϕ sn ϑ ϑ sn ϕ ψ cos ϕ sn ϑ ϕ + ψ cos ϑ () bzw. für de Komponenten der Wnkelgeschwndgket m körperfesten System (ω a) = ϑ cos ψ + ϕ sn ψ sn ϑ ϑ sn ψ + ϕ cos ψ sn ϑ ψ + ϕ cos ϑ ()..4 Rotatonsenerge und Träghetstensor De knetsche Energe enes Massenpunktsystems setzt sch bekanntlch aus der Summe der knetschen Energen der enzelnen Massenpunkte zusammen, also T = m ṙ. Bem Übergang von enem belebgen Inertalsystem ns Schwerpunktsystem r (IS) = r + s (s st her der Schwerpunktvektor) spalten wr de Bewegung n Schwerpunkts -und Relatvbewegung, d.h. ene Bewegung relatv zum Schwerpunkt, auf. Für de entsprechenden entsprechenden Geschwndgketen glt dann ṙ (IS) = ṡ + ṙ bzw. für de knetsche Energe des Gesamtsystems T = m (ṡ + ṡ ṙ + ṙ ) (3) = Mṡ + m ṙ. Der zwete Term n (3) verschwndet aufgrund der Defnton des Schwerpunktsystems ( m r = 0), der erste Term beschrebt gerade de Translatonsenerge des Schwerpunkts. 5
e 3 e 3 ) e 3 ϕ e frag replacements e e ϕ e ) 3 3) 3 ϑ 3 ϑ ϑ e Abbldung : Zur Transformaton vom nertalparallelen Schwerpunktsystem n en körperfestes System. ϕ ψ 6
Wenden wr uns nun spezell dem starren Körper zu, be dem de Abstände der enzelnen Massenelemente zum Schwerpunkt fxert snd, dann können dese nur noch ene Rotaton bezüglch des Schwerpunkts ausführen. Für de knetsche Energe bedeutet das T = M ṡ + m (ω r ) = T trans + T rot (4) Schauen wr uns nun den zweten Ausdruck n (4) genauer an, so st (ω r ) = ω r (ω r ) = = (r δ abω a ω b x a x b ω a ω b ) a,b= (r δ ab x a x b )ω a ω b. a,b= Damt ergbt sch für de Rotatonsenerge Herbe snd T rot = m (ω r ) = = = a,b= a,b= m a,b= (r δ ab x a x b )ω a ω b (5) Θ ab ω a ω b m raumfesten System (6) Θ ab ω aω b m körperfesten System (7) Θ ab = m (r δ ab x ax b ) (8) de Elemente des Träghetstensors m körperfesten (d.h. mtroterenden) System, und Θ ab = m (r δ ab x a x b ) (9) de Elemente des Träghetstensors m nertalparallelen System. Man beachte, dass der Träghetstensors nur m körperfesten System zetlch konstant st. Im nertalparallelen System snd de Komponenten des Träghetstensors zetabhängg. Man wrd daher häufg das körperfeste dem raumfesten bzw. nertalparallelen System vorzehen und erst zum Schluß der Rechnungen ns nertalparallele System transformeren, sowet das überhaupt erforderlch st. Da nertalparalleles System (Schwerpunktsystem) 7
und körperfestes System durch ene zetabhängge Drehung mtenander verknüpft snd, x a (t) = b R ab(t)x b, erhalten wr für den Träghetstensor de Transformatonsvorschrft Θ ab (t) = = m (x c x c δ ab x a x b ) ( m Rcd x d R cgx g δ ab R ad x d R bgx ) g = R ac (t)θ cd R bd(t) = R(t)Θ R T (t). Im Falle kontnuerlcher Massenvertelungen geht de Summe n Gl. (8) bzw. (9) n en Integral über, Θ ab = dv ρ(r )(r δ ab x a x b ), Θ ab = dv ρ(r)(r δ ab x a x b ). (0) Physkalsche Bedeutung und Egenschaften des Träghetstensors De physkalsche Bedeutung des Träghetstensors legt darn, dass er de Träghet des starren Körpers gegenüber Drehungen beschrebt. Er st symmetrsch und bestzt daher m allgemenen sechs vonenander unabhängge Komponenten. Aus der Algebra st bekannt, dass sch symmetrsche Matrzen mt Hlfe ener geegneten Transformatonsmatrx n Dagonalmatrzen transformeren lassen. Gleches glt auch für Tensoren. Das bedeutet, es exstert en körperfestes Koordnatensystem, n dem (Θ j ) Dagonalgestalt hat, A (Θ j) = B. () C A, B und C werden als Hauptträghetsmomente bezechnet. En Blck auf de Defnton des Träghetstensors zegt, dass de Hauptträghetsmomente postv semdefnt snd, d.h. A, B, C 0. Außerdem st de Summe zweer Hauptträghetsmomente mmer größer oder zumndest glech dem drtten Hauptträghetsmoment, A + B C und zyklsch. Von deser letzten Aussage kann man sch anhand enes Bespels lecht überzeugen. So st A = m (y + z ), B = m (x + z ), C = m (x + y ), und damt A + B = m (x + y + z ) m (x + y ) = C. Im folgenden wrd de Enstensche Summenkonventon angewendet, d.h. über doppelt auftretende Indzes wrd summert. 8
Ene wetere nützlche Egenschaft des Träghetstensors st sene Addtvtät, d.h. der Träghetstensor zweer Körper st glech der Summe der Träghetstensoren der enzelnen Körper. Handelt es sch be dem betrachteten starren Körper um ene Kugel oder enen Würfel, so snd alle Hauptträghetsmomente glech, d.h. der Träghetstensor m körperfesten System st proportonal zur Enhetsmatrx, Θ = A. Aufgrund der Transformatonsvorschrft Θ(t) = R(t)Θ R T (t) st n desem Fall der Träghetstensor m nertalparalellen System mt dem m körperfesten System dentsch, Θ = Θ(t). Auch n enem weteren Spezalfall st der Träghetstensor m nertalparallen System zetunabhängg: Dann nämlch, wenn A = B C st und de Drehung um de 3. Hauptachse, d.h. de Achse mt dem Hauptträghetsmoment C, erfolgt. Explzt st n desem Fall cos ϕ sn ϕ A cos ϕ sn ϕ A (Θ ab ) = sn ϕ cos ϕ A sn ϕ cos ϕ = A. C C Der Stenersche Satz Alle bshergen Aussagen bezehen sch auf Drehungen um den Schwerpunkt. We aber seht der Träghetstensor Θ (C) bezüglch enes Punktes s + c aus? De Antwort lefert der Stenersche Satz: Das Träghetsmoment enes starren Körpers um ene durch enen belebgen Punkt verlaufende Achse st glech dem Träghetsmoment bezüglch ener parallel zu deser Achse verschobenen Achse durch den Schwerpunkt plus Mr, wobe r der senkrechte Abstand beder Achsen st, Θ (C) ab = Θ ab + M(c δ ab c a c b ) Als Bewes betrachten Abb. und berechnen den Träghetstensor bezüglch des Punktes s + c; der Vektor von desem Punkt zum -ten Massenpunkt wrd mt r = r c bezechnet. Damt ergbt sch Θ (C) ab = m (x qx qδ ab x ax b ) [ ] δ ab (x qx q + c q c q x qc q ) (x a c a )(x b c b) = = [ δ ab (m r = + m c m x q c q ) m x ax b }{{} m c a c b + m x a }{{} P =0 P m (r δ ab x a x b ) + M(c δ ab c a c b ) b c a =0 c b + m x }{{} =0 P ] 9
r PSfrag replacements SP r s c Abbldung : Zum Stenerschen Satz. Elementare Kreseltheore Der Kresel st en wchtger Spezalfall des Starren Körpers. Er st dadurch charaktersert, dass der starre Körper n enem Punkt (ncht notwendgerwese der Schwerpunkt) festgehalten wrd, so dass nur noch de dre Frehetsgrade der Rotaton übrg bleben... Drehmpuls und Träghetstensor Zwschen dem Drehmpuls L rot bezüglch des Schwerpunktes und dem Träghetstensor läßt sch sehr lecht ene Bezehung herleten. Betrachten wr den Drehmpuls L rot bezüglch enes m Schwerpunkt zentrerten Koordnatensystems, so st L rot = m r ṙ = m r (ω r ). Mt Hlfe der Rechenregeln für das doppelte Kreuzprodukt erhalten wr r (ω r ) = ωr r (ω r ) = e a (r δ ab x a x b )ω b = e a (r δ ab x a x b )ω b. Mt der Defnton des Träghetstensors folgt daraus sofort Herbe snd L rot = e a Θ ab ω b = e }{{} a Θ ab ω b. () }{{} L L a a L a = Θ ab ω b (3) de Komponenten des Drehmpulses m körperfesten System und L a = Θ ab ω b (4) 0
de Komponenten des Drehmpulses m Schwerpunktsystem. Offenbar besteht de Bezehung L a = R ab L b. (5) Wr wollen uns zunächst ener recht anschaulchen Darstellung der Träghetsbewegung zuwenden. Betrachten wr enen kräftefreen Kresel, so st dessen Rotatonsenerge ene Konstante, T rot = ω a Θ ab ω b = ω aθ ab ω b = const. Das aber st de Defntonsglechung enes Ellpsods. De Sptze des Vektors der Wnkelgeschwndgket ω legt also auf der Oberfläche des Ponsot-Ellpsods das kongruent zum Träghetsellpsod st. Außerdem sehen wr, dass Anders ausgedrückt, E(t) = {ω a ; ω a Θ ab ω b = T rot } E 0 = {ω a ; ω a Θ ab ω b = T rot} L rot ω = e a Θ ab ω b ω a e a = ω a Θ ab ω b = T rot. L rot ω = const. (6) De Sptze des Drehvektors legt somt n ener nvaranten Ebene senkrecht zu L rot... De Eulerschen Glechungen De Dynamk des Kresels wrd durch de Eulerglechungen beschreben. Wr wr sehen werden, handelt es sch um Blanzglechungen für de Komponenten des Drehmpulses m körperfesten (d.h. mtroterenden) System. Im vorgen Abschntt haben wr de Bezehung zwschen den Komponenten des Drehmpulses und dem Träghetstensor kennengelernt. Zur Herletung der Eulerglechungen gehen wr von der Zerlegung des Drehmpulsvektors bezüglch der Bass des körpferfesten Systems aus, L rot = e aθ ab ω b. (7) De zetlche Abletung des Drehmpulses st gerade das Drehmoment, also Anderersets folgt aus Gl. (7) L rot = M = M ae a. L rot = ( ė a Θ ab ω b + e a Θ ab ω b).
Der hntere Term deses Ausdrucks beretet kenerle Schwergketen. Um de zetlche Abletung der Bassvektoren m körperfesten System auszudrücken, verwenden wr Gl. (4), ė a = (RT R) ca e c = Ω ca e c, wobe Ω de n Abschnt... defnerte nfntesmale Drehmatrx st. Setzen wr das en, ergbt sch L rot = ( e cω caθ ab ω b + e cθ ) cb ω b = e [ c Θ cb ω b + (Ω Θ ) cb ω b] (8) Legen wr nun de Bassvektoren e a n Rchtung der Hauptachsen, so stellt Gl. (8) gerade de Kurzschrebwese der Eulerglechungen dar. Dese lauten explzt..3 Der kräftefree symmetrsche Kresel M = A ω + (C B)ω ω 3, (9) M = B ω + (A C)ω ω 3, (30) M 3 = C ω 3 + (B A)ω ω. (3) Ene analytsche Lösung der Eulerglechungen st nur n sehr wengen Fällen möglch. Ene Ausnahme stellt der kräftefree symmetrsche Kresel dar. Symmetrsch wrd en Kresel dann genannt, wenn zwe der dre Hauptträghetsmomente glech snd, also z.b. A = B. Für enen kräftefreen symmetrschen Kresel verenfachen sch de Bewegungsglechungen enorm, da der Drempulsvektor n desem Fall konstant st. Wr nehmen nun an, dass de e 3-Achse n Rchtung der Fgurenachse, d.h. n Rchtung der drtten Hauptachse, zegt, während e 3 n Rchtung des konstanten Drehmpulses L rot = le 3 zegen soll. Im ersten Schrtt wollen wr de Komponenten des Drehmpulses m körperfesten System berechnen. Wr wssen, dass de Komponenten der Vektoren m körperfesten System durch ene Drehung mt der Matrx R n de entsprechenden Vektorkomponenten m raumfesten System transformert werden, L a = R ab (t)l b (t). Wenden wr auf bede Seten deser Glechung (R ) ca an, so ergbt sch d.h. (R ) ca L a = (R ) ca R ab L b = δ cbl b, L c = L ar ac = lr 3c, wobe wr m letzten Schrtt verwendet haben, dass L rot m raumfesten System nur ene 3-Komponente haben soll. Aus Gl. () lesen wr nun ab, sn ϑ sn ψ (L c ) = l sn ϑ cos ψ cos ϑ. (3)
Anderersets aber st L a = Θ ab ω b, (33) wobe (ω b ) durch Gl. (3) gegeben st. Setzen wr (3) und (33) glech, ergbt sch L = l sn ϑ sn ψ = Θ ω = A( ϑ cos ψ + ϕ sn ψ sn ϑ) (34) L = l sn ϑ cos ψ = Θ ω = A( ϑ sn ψ + ϕ cos ψ sn ϑ) (35) L 3 = l cos ϑ = Θ 33 ω 3 = C( ψ + ϕ cos ϑ). (36) Multplzert man (34) mt cos ψ, Gl. (35) mt sn ψ und subtrahert de resulterenden Glechungen vonenander, fndet man sehr lecht d.h. l sn ϑ sn ψ cos ψ l sn ϑ cos ψ sn ψ = A ϑ(cos ψ + sn ψ) = A ϑ = 0, ϑ = ϑ 0 = const. Setzen wr deses Ergebns n (34) en, folgt sofort also st Analog fndet man aus Gl. (35) l sn ϑ 0 = A ϕ sn ϑ 0 ϕ = l A, ϕ(t) = l A t + ϕ 0. l cos ϑ 0 = C ψ + l A C cos ϑ 0 ψ = ( l C l ) cos ϑ 0 A und damt ( ψ(t) = lt C ) cos ϑ 0 + ψ 0. A Für den kräftefreen Kresel snd also alle Eulerwnkel endeutg bestmmt. Das körperfeste System dreht sch so um das raumfeste System, dass der Wnkel ϑ 0 zwschen e 3 und e 3 konstant st und de Wnkel ϕ und ψ jewels proportonal zur verstrechenden Zet t snd. 3