44 Arkusunktionen 44 Die Umkehrun der Winkelunktionen - Arkusunktionen Die Funktion : sin ; ist in ID IR nicht umkehrbr Eine Umkehrunktion ibt es erst dnn, wenn mn die Deinitionsmene u ein Intervll einschränkt, indem die Sinusunktion stren monoton ist : sin ; ID ; \W ; und ist in seiner Die Funktion besitzt die Wertemene Deinitionsmene stren monoton steiend Die Sinusunktion besitzt nun eine Umkehrunktion Die Umkehrunktion der Sinusunktion nennt mn die Arcussinusunktion ür sie ilt: : rc sin ID ; ; Für die Wertemene der Arcussinusunktion ilt: \W ; Den Grphen der Arcussinusunktion erhält mn durch Spieelun des Grphen der Sinusunktion n der Winkelhlbierenden des und 3 Qudrnten G G Folende Beziehunen erklären sich von selbst: sin rcsin ür ; rcsin sin ür ; W Strk; Beruliche Oberschule Freisin
Auch die Kosinusunktion muss mn in seiner Deinitionsmene einschränken um eine Umkehrunktion zu bilden: cos; ID 0; : Die Funktion besitzt die Wertemene \W ; und ist in seiner Deinitionsmene stren monoton llend Die Umkehrunktion der Kosinusunktion nennt mn die Arcuskosinusunktion ür sie ilt: ; ID ; : rccos G Für die Wertemene der Arcuskosinusunktion ilt: \W 0; G Folende Beziehunen erklären sich uch hier von selbst: cos rccos ür ; rccos cos ür 0; Und uch bei der Tnensunktion muss mn die Deinitionsmene einschränken um eine Umkehrunktion zu bilden: : tn ; ID ; G Die Funktion besitzt die Wertemene \W IR und ist in seiner Deinitionsmene stren monoton steiend Die Umkehrunktion der Tnensunktion nennt mn die Arcustnensunktion ür sie ilt: : rctn ; ID Für die Wertemene der Arcuskosinusunktion ilt: \W ; IR G Folende Beziehunen sind dnn schon selbstverständlich: tn rctn ür IR rctn tn ür ; W Strk; Beruliche Oberschule Freisin
Aus den Eienschten der Tnensunktion knn mn olende Grenzwerte olern: lim rctn lim rctn Letztendlich ehlen noch ein pr Beziehunen die recht nützlich werden können: rcsin rcsin rccos rccos rctn rctn Diese ereben sich us Smmetriebetrchtunen bei den entsprechenden Grphen! Auben: Berechnen Sie rcsin ) b) rcsin c) rcsin 3 d) rccos e) rccos 3 ) rccos ) rctn h) rctn 3 i) rcsin0,480 k) rccos0,853 l) rctn 0,7536 m) rctn Bestimmen Sie die Lösunsmenen olender Gleichunen bzw Unleichunen ) rcsin 4 ) rccos 0,5 b) rcsin 6 ) rcsin c) rcsin 0,450 h) 0 rcsin 8 d) rctn 3 i) rcsin 5 3 e) rccos 3 Zeien Sie, dss ür 0; 6 ilt: ) rcsin rccos b) rccos rcsin c) rcsin rctn d) rccos rctn ; 0 Welche Veränderunen ereben sich ür 4 Vereinchen Sie ür 0; olende Terme: ) cosrccos d) tnrccos b) sinrccos e) cosrctn c) cosrcsin Welche Veränderunen ereben sich ür ; 0? W Strk; Beruliche Oberschule Freisin 3
5 Beweisen Sie olende Beziehunen: rcsin rccos ; ) ür lle ür lle 0; b) rcsin rccos ür lle 0; c) rcsin rcsin 6 Geeben ist die Funktion : rctn ; ID IR \ Bestimmen Sie lim sowie lim und lim Skizzieren Sie den Verlu des Grphen 7 Bestimmen Sie die mimle Deinitionsmene olender Funktionen ) rccos e) rcsin b) rcsinln rccos rcsin 4 rctn c) d) rccos e e ) 44 Die Ableitun der klssischen Arkusunktionen Die Ableitun der Arcusunktionen können wir reltiv einch us dem Ableitunsstz ür die Umkehrunktionen herleiten Dzu ehen wir zunächst von der Funktion : sin us und versuchen die Ableitun der Umkehrunktion zu bilden Ds eht dnn wie olt: sin rcsin W Strk; Beruliche Oberschule Freisin sin ID ; cos cos rcsin rcsin ID ; cos sin sin rcsin sin rcsin 4
Vereincht mn die Schreibweise wieder, so olt letztendlich ür die Ableitun der Arcussinusunktion: rcsin ID ; ID ; \W ; G Die lchste Stelle ht die Arcussinusunktion somit im Ursprun mit der Steiun m Außerdem ilt: lim und lim Dh dss der Grph der Arcussinusunktion n den Grenzen der Deinitionsmene prllel zur -Achse verläut G Nch Aube 5) ilt: rcsin rccos rccos Somit olt ür die Ableitun der Arcuskosinusunktion: rcsin rccos rcsin ID ; ID ; \W ; Die steilste Stelle ht die Arcuskosinusunktion somit im Ursprun mit der Steiun m Außerdem ilt: lim und lim Dh dss der Grph der Arcuskosinusunktion n den Grenzen der Deinitionsmene ebenlls prllel zur -Achse verläut G G W Strk; Beruliche Oberschule Freisin 5
Die Ableitun der Arcustnensunktion muss llerdins wieder nch dem Ableitunsstz ür die Umkehrunktionen ebildet werden Dzu ehen wir zunächst von der Funktion : tn us und versuchen die Ableitun der Umkehrunktion zu bilden Ds eht dnn wie olt: tn rctn tn ID ; tn tn rctn rctn ID IR tn tn rctn Vereincht mn die Schreibweise wieder, so olt letztendlich ür die Ableitun der Arcustnensunktion: rctn ID IR ID IR \W 0; G G Die steilste Stelle ht die Arcustnensunktion somit im Ursprun mit der Steiun m Außerdem ilt: lim 0 und lim 0 W Strk; Beruliche Oberschule Freisin 6
Dh dss der Grph der Arcuskosinusunktion n den Grenzen der Deinitionsmene immer lcher, nhezu wrecht wird Auben: 80 Geeben ist die Funktion : rcsin in der mimlen Deinitionsmene ID 8 Geben Sie die Deinitionsmene der Funktion n und untersuchen Sie den Grphen der Funktion u Smmetrie 8 Ermitteln Sie die Stelle n welcher der Grph der Funktion eine wrechte Tnente besitzt Um welchen besonderen Punkt hndelt es sich? 83 Untersuchen Sie ds Verhlten der Ableitunsunktion n den Rändern des Deinitionsbereichs LE 4cm 84 Zeichnen Sie den Grphen der Funktion F : rcsin eine 85 Zeien Sie, dss die Funktion Stmmunktion der Funktion ist Berechnen Sie sodnn den Wert des Interls 0 d und zeichnen Sie die entsprechende Fläche in ihr Dirmm ein 90 Geeben ist die Funktion : rcsin ID ; in der Deinitionsmene 9 Zeien Sie, dss der Grph der Funktion einen Terrssenpunkt besitzt Geben Sie uch dessen Koordinten n 9 Ermitteln Sie, in welchem Punkt der Grph der Funktion die Winkelhlbierende des und 3 Qudrnten berührt LE 4cm 93 Zeichnen Sie den Grphen der Funktion 00 Geeben ist die Funktion : rccos 0 Zeien Sie, dss der Punkt, IR und ID ; P 0 0 ür jedes IR u dem Grph der Funktion liet Ermitteln Sie llemein die Gleichun der Tnente n den Grphen der Funktion im Punkt P 0 Bestimmen Sie nun IR so, dss die in 0 bestimmte Tnente die Steiun m besitzt Setzen Sie nun 03 Bestimmen Sie Art und Le der reltiven Etrem des Grphen der Funktion 04 Zeichnen Sie den Grphen der Funktion LE 4cm 0 Geeben ist die Funktion : rccos IR und ID ; Zeien Sie, dss die Grphen der Funktion die -Achse immer unter demselben Winkel schneiden W Strk; Beruliche Oberschule Freisin 7
Setzen Sie nun Ermitteln Sie Art und Le der reltiven Etrem des Grphen der Funktion 3 Zeichnen Sie den Grphen der Funktion LE 4cm, IR und ID IR Untersuchen Sie den Grphen der Funktion u Smmetrie Zeien Sie, dss lle Grphen den Koordintenursprun emeinsm hben Geben Sie llemein die Gleichun der Tnente durch den Koordintenursprun n den Grph der Funktion n 3 Zeien Sie, dss der Koordintenursprun ür lle IR Wendepunkt ist 4 Bestimmen Sie nun IR 0 0 Geeben ist die Funktion : rctn so, dss ilt: Setzen Sie nun 0,4 5 Ermitteln Sie Art und Le der reltiven Etrem des Grphen der Funktion 0,4 6 Zeichnen Sie ür 8 8 den Grphen der Funktion 0,4, IR und ID IR Der Grph der Funktion wird mit G bezeichnet 3 Zeien Sie, dss ilt: Ws olern Sie drus? 3 Zeien Sie, dss lle Grphen G durch den Koordintenursprun verluen und dort eine von unbhänie Tnente besitzen 33 Zeien Sie, dss lle Grphen G höchstens eine Stelle mit wrechter Tnente besitzen 34 Bestimmen Sie nun IR 0 30 Geeben ist die Funktion : rctn so, dss ilt: Geben Sie die Art des reltiven Etremum n und Zeichnen Sie den dzuehörien Funktionsrphen 444 Die Ableitun der llemeinen Arkusunktionen Die Ableitun der llemeinen Arcusunktionen können wir reltiv einch us der Kettenreel olern Für diese ilt nämlich: Somit olt ür die Ableitun der Funktion rcsin Für die Ableitun der Arcuskosinusunktion W Strk; Beruliche Oberschule Freisin 8
rccos Und ür die Ableitun der Arcustnensunktion rctn Auben: 40 Geeben ist die Funktion : rctn rctn, ID IR Der Grph der Funktion wird mit G bezeichnet 4 Untersuchen Sie den Grphen G u Smmetrie und zeien Sie, dss die Funktion keine Nullstellen ht 4 Bestimmen Sie lim Gibt es eine wrechte Asmptote? 43 Bestimmen Sie Le und Art des reltiven Etremum 44 Ermitteln Sie die Koordinten der Wendepunkte 45 Zeichnen Sie ür 4 4 den Grphen G, ; 50 Geeben ist die Funktion : rcsin Der Grph der Funktion wird mit G bezeichnet ; die Deinitionsmene der Funktion 5 Ermitteln Sie in Abhänikeit von und zeien Sie, dss der Grph G chsensmmetrisch zu -Achse verläut 5 Zeien Sie, dss die Grphen G ür lle einen reltiven Tiepunkt n der Stelle 0 0 besitzen 53 Untersuchen Sie ür ds Verhlten des Grphen G n den Rändern seiner Deinitionsmene : rcsin u Stetikeit und 54 Untersuchen Sie, die Funktion Dierenzierbrkeit n der Stelle 0 0 Zeichnen Sie den Grphen G 60 Geeben ist die Funktion : rctn Der Grph der Funktion wird mit G bezeichnet 6 Geben Sie die Deinitionsmene ID der Funktion n und untersuchen Sie ds Verhlten des Grphen G n den Rändern des Deinitionsbereichs 6 Zeien Sie, dss der Grph G kein Etremum besitzt, jedoch einen Wendepunkt ht Geben Sie uch die Gleichun der Wendetnente n 63 Zeichnen Sie ür 4 4 den Grphen G W Strk; Beruliche Oberschule Freisin 9
70 Geeben ist die Funktion : rccos Der Grph der Funktion wird mit G bezeichnet 7 Ermitteln Sie die mimle Deinitionsmene der Funktion und untersuchen Sie den Grphen G u Smmetrie 7 Bilden Sie die erste Ableitun der Funktion und eben Sie dmit die Monotonieintervlle der Funktion 73 Untersuchen Sie den Grph G u Dierenzierbrkeit n der Stelle 0 0 74 Zeichnen Sie den Grphen G 80 (AP 000 AI) Geeben ist nun die Funktion Deinitionsmene ID IR 4 : rctn mit der 4 8 Geben Sie die Nullstellen von n, und bestimmen Sie ds Smmetrieverhlten des Grphen von und ds Verhlten von () ür sowie die Gleichun der Asmptote des Grphen von 8 Ermitteln Sie ds Monotonieverhlten und die Art und Le des Etrempunktes des Grphen von Untersuchen Sie ds Verhlten von in der Umebun des Etrempunktes 6 Teilerebnis : ür 0 6 83 Zeichnen Sie den Grphen von ür 6 6 in ein Koordintensstem einle cm 90 (LK Ininitesimlrechnun II) Geeben ist die Funktion : mit der rößtmölichen Deinitionsmene ID Der zu ehörende Grph heißt G 9 Bestimmen Sie ID, untersuchen Sie den Grphen G u Smmetrie und eben Sie die Nullstellen n 9 Berechnen Sie die Ableitun von und eben Sie die mimle Deinitionsmene ID von n 4 Teilerebnis : Ermitteln Sie ohne Benützun der zweiten Ableitun Art und Koordinten der Etrempunkte von G Untersuchen Sie ds Verhlten von n den Rändern von ID und deuten Sie die Erebnisse eometrisch 0,5, 0,9 und 0 Zeichnen Sie den Grphen G unter Verwendun der bisherien Erebnisse LE 5 cm 93 Berechnen Sie 94 Nun wird die Funktion : rcsin mit der Deinitionsmene ID 0; betrchtet Der Grph von heißt G Geben Sie die Wertemene und die Nullstellen von n Beründen Sie usührlich ohne Bezunhme u die erste Ableitun, dss n W Strk; Beruliche Oberschule Freisin 0
der Stelle ein lokles Mimum ht, und eben Sie den zuehörien Funktionswert n und eben Sie die mimle Deinitionsmene ID von 95 Berechnen Sie n Wie verhält sich n den Rändern von ID? 96 Zeien Sie, dss in der Form rcsin ür 0; rcsin c ür ; mit c IR drestellt werden knn, und bestimmen Sie den Wert von c 97 Zeichnen Sie den Grphen G unter Verwendun der bisherien Erebnisse in ds bereits nelete Koordintensstem W Strk; Beruliche Oberschule Freisin