1. Geschwindigkeiten (8 Punkte) Ein Schwimmer, der sich mit konstanter Geschwindigkeit v s = 1.25 m/s im Wasser vorwärts bewegen kann, möchte einen mit Geschwindigkeit v f = 0.75 m/s fließenden Fluß der Breite b = 100 m überqueren. a) Wie lange braucht er zur Überquerung, wenn seine Schwimmrichtung relativ zum Wasser immer senkrecht zur Flußrichtung bleibt? Wie weit wird er längs des Flußes abgetrieben, wenn er am anderen Ufer ankommt? b) Unter welchem Winkel α muß er relativ zur Flußrichtung schwimmen, damit er genau gegenüber am Ufer ankommt? Welche Bedingung muß dabei im Allgemeinen erfüllt werden? Geben Sie in diesem Fall an, wie lange er zur Überquerung braucht. Hinweis: Geben Sie für den Winkel α keinen konkreten Wert, sondern nur für sin α und/oder cos α an.
2. Münzwurf (20 Punkte) Eine horizontale Platte bewegt sich, durch einen Motor angetrieben, harmonisch in der vertikalen Richtung im Schwerefeld der Erde. Für ihre z-koordinate gilt z = z 0 cos (ω t), wobei z 0 > 0. Zur Zeit t = 0, wenn die Platte im untersten Punkt angelangt ist, wird eine Münze auf sie gelegt. Die Münze beeinflußt die Bewegung der Platte nicht. a) Welche Bedingung müssen z 0 und ω erfüllen, so dass die Münze sich von der Platte abhebt? b) Zu welcher Zeit t = t 1, bei welchem Wert von z(t 1 ) = z 1 und mit welcher Geschwindigkeit v(t 1 ) = v 1 hebt die Münze von der Platte ab, wenn die Bedingung aus a) erfüllt ist? c) Welche maximale Höhe z m erreicht die Münze bei Vernachlässigung der Luftreibung?
3. Arbeit und Potenzial (15 Punkte) Ein Körper befindet sich in einem Kraftfeld, das von seiner z Position r = (x, y, z) wie A x 2 F (x, y, z) = κ y 2 z 2 R γ 2 abhängt. Der Körper kann sich auf der x 0 Ebene zwischen der Punkten A = (0, 0, R) und B = (0, R, 0) entlang zwei Pfaden, entweder γ 1, bestehend aus zwei Strecken von A zum Ursprung O und von O nach B, x oder einem Viertelkreis γ 2, bewegen. γ 1 O γ 1 R B y a) Geben Sie jeweils eine mögliche Wegparametrisierung für γ 1 und γ 2 an. b) Berechnen Sie explizit die Arbeit, die F entlang der beide Pfade entrichtet. c) Ist F konservativ? Wenn ja, geben Sie das zugehörige Potenzial U(x, y, z) an; berechnen Sie dann die entsprechende Arbeit von A nach B über das Potenzial. d) Ist F ein Zentralkraftfeld?
4. Schwingungen (5 Punkte) Ein m = 10 g schweres Teilchen führt eine harmonische Schwingung mit einer Amplitude A = 1.0 10 2 m und einer maximalen Beschleunigung vom Betrag a M = 4.0 10 2 m/s 2 aus. Die maximale Amplitude wird zur Zeit t M mit ω t M = π/3 erreicht, wobei ω die Kreisfrequenz der Schwingung ist. a) Geben Sie den Betrag der maximalen Kraft an, die auf das Teilchen ausgeübt wird. b) Wie groß ist die Kraft, die auf das Teilchen zur Zeit t = 0 wirkt? c) Welche Periode hat die Schwingung? d) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit, die das Teilchen erreicht? e) Wie groß ist die Gesamtenergie des schwingenden Teilchens?
5. Oszillator mit externer Kraft (20 Punkte) Auf einen Körper der Masse m, dessen Bewegung auf die x Richtung beschränkt ist, wirken eine harmonische Kraft F H und eine zeitabhängige Kraft F t der Form: F H = k x ê x = m ω 2 x ê x, Ft = m Φ 0 t 2 ê x, wobei m, k, Φ 0 und ω Konstante sind. Der Körper ruht zur Zeit t = 0 am Punkt x = 0. a) Lösen Sie die Bewegungsgleichung des Körpers mit den gegebenen Anfangsbedingungen. Hinweis Verwenden sie für die Suche nach einer speziellen Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung eine Funktion in Gestalt eines Polynoms endlichen Grades. b) Betrachten Sie die Grenzfälle ω t 1 und ω t 1. Geben Sie in beiden Fällen eine nichtverschwindende Näherung für x(t) an. c) In welchem der beiden Grenzfällen spielt die harmonische Kraft eine relevante Rolle? Vergleichen Sie zu diesem Zweck die oben gefundenen Näherungen mit der Lösung der Bewegungsgleichung des Körpers, bei der die harmonische Kraft ausgeschaltet ist und die gleichen Anfangsbedingungen gelten.
6. Gravitation einer Massenverteilung (8 Punkte) Ein stellares Objekt besitzt eine durch die radialsymmetrische Dichte gegebene Massenverteilung. ρ(r) = ρ 0 e r3 R 3 a) Zeigen Sie, dass die Masse, die sich innerhalb einer Kugel des Radius r befindet, sich mit M(r) = 4 ( ) 3 π ρ 0 R 3 1 e r3 R 3 ausdrücken läßt. Betrachten Sie insbesondere die Fälle r R und r R. b) Berechnen Sie aus M(r) das Gravitationspotential, welches in Distanz r vom Zentrum des Objektes wirkt. Geben Sie dessen Form für die oben berechneten Grenzfälle an. c) Berechnen Sie die Größenordnung der Gesamtmasse des Objektes, wenn ρ 0 10 3 kg/m 3 und R = 10 9 m.
7. Keplerbahnen (8 Punkte) Ein Komet beschreibt eine Bahnkurve um einen Stern S der Masse M. Im Scheitel beträgt der kürzeste Abstand zwischen Komet und Stern r; die Bahngeschwindigkeit an diesem Ort sei v. Welche Beziehung muss zwischen v und r bestehen, damit der Komet tatsächlich periodisch wiederkehrt?
8. Impulserhaltung (16 Punkte) Eine Scheibe der Fläche A und Masse m 0 fliegt ungestört durch das Weltall mit Geschwindigkeit v 0 senkrecht zu ihrer Fläche. Zur Zeit t = 0 trifft sie auf eine Staubwolke homogener Dichte des Volumes V und der Masse M. Bei jedem Stoß mit der Scheibe bleiben die Staubkörner, die man als ruhend betrachten kann, an ihr hängen. Nachdem die Scheibe eine Länge L durchgeflogen ist, verlässt sie die Wolke. a) Berechnen Sie die Masse m(t) der Scheibe, nachdem sie nach einer Zeit t eine Strecke x(t) durch die Wolke geflogen ist. b) Geben Sie eine Beziehung zwischen der Masse der Scheibe m(t) und ihrer Geschwindigkeit ẋ(t) nach einer Zeit t an. Welche Geschwindigkeit hat die Scheibe beim Verlassen der Wolke? c) Wie viel länger braucht die Scheibe, um die Strecke L zurückzulegen, im Vergleich zu dem Fall, wenn die Wolke nicht da gewesen wäre? Hinweis Verwenden Sie die Ergebnisse aus Punkt a) und b), um eine Differenzialgleichung für x(t) abzuleiten. Lösen Sie sie dann am besten für t(x).