Matrizen 9. ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON MATRIZEN MULTIPLIKATION EINER MATRIX MIT EINEM SKALAR 9.. Definition der Matrizenaddition, der Matrizensubtraktion und der Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Beispiel C: Die folgenden Tabellen beschreiben das Exportgeschäft einer Firma Zahl der verkauften Stück) in den Jahren 8 und 9: 8: Belgien Irland Chile 9: Belgien Irland Chile Modell 8 6 Modell Modell 7 9 Modell 9 ) Beschreibe das Exportgeschäft von 8 9 durch eine einzige Tabelle! ) Beschreibe durch eine Tabelle, wie sich das Exportgeschäft im Jahr 9 gegenüber 8 verändert hat! ) Das Exportgeschäft ist doppelt so gut wie das von 8. Was kann das bedeuten? Lösung: ) Man hat die Summe entsprechender, d. h. gleich plazierter Elemente zu bilden: Belgien Irland Chile Modell + 8 + 6 + Modell + 7 + 9 + 9 6 7 8 ) ) Man hat die Differenz entsprechender, d. h. gleich plazierter Elemente zu bilden: Belgien Irland Chile Modell 8 6 Modell 7 9 9 6 ) ) Unter der Voraussetzung, dass diese Verdoppelung für jedes Modell und jedes Exportland gilt, hat man jedes Element der Matrix mit zu multiplizieren. Belgien Irland Chile Modell 8 6 Modell 7 9 6 7 8 ) Wie müsste im Beispiel C die Ergebnismatrix zu Frage ) aussehen, wenn die Exportmatrizen für 8 und 9 gleich wären? Die Matrix müsste aus lauter Nullen bestehen. ) Definition: Eine Matrix, deren Elemente sämtlich null sind, heißt Nullmatrix O : O = Buchstabe O
Addieren und Subtrahieren von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar In Verallgemeinerung von Beispiel C gibt man die folgende Definition: Es seien A und B Matrizen vom selben Typ m; n) und v : ) Unter der Summe A + B versteht man jene Matrix C vom Typ m; n), deren Elemente die Summe gleichplazierter Elemente von A und B sind: = a a n b b n a + b a n + b n a a n b b n a + b a n + b C = A + B n + = a m a mn b m b mn a m + b m a mn + b mn ) Unter der Differenz A B versteht man jene Matrix C vom Typ m; n), deren Elemente die Differenz gleichplazierter Elemente von A und B sind: = a a n b b n a b a n b n a a n b b n a b a n b C = A B n = a m a mn b m b mn a m b m a mn b mn ) Unter dem Produkt der Matrix A mit dem Skalar v versteht man jene Matrix C, deren Elemente das v-fache der gleichplazierten Elemente von A sind: a a n v a v a n a a n v a v a C = v A = v n = a m a mn v a m v a mn Bemerkung: Analog zu v A lässt sich A v definieren. Dann gilt: v A = A v. Begründe! Statt ) A bzw. O A schreibt man einfach A. 9.. Rechnen mit Matrizen Durch Verknüpfen der drei Rechenoperationen entstehen Matrizenterme, die letztlich durch geeignete Umformungen auf die Gestalt v A + v A + + v k A k gebracht werden können. In Verallgemeinerung des Begriffs aus der Vektorrechnung nennt man einen solchen Ausdruck eine Linearkombination von Matrizen. Für das Rechnen mit solchen Linearkombinationen gelten die Rechenregeln:! Es seien A, B und C Matrizen vom gleichen Typ, v und w Skalare aus. Dann gilt: ) A + B = B + A ) A + B + C) = A + B) + C ) A + O = A ) A + A) = O ) A = A 6) A = O 7) v w A) = v w) A 8) v A ± B) = v A ± v B 9) v ± w) A = v A ± w A Man sieht: Die Nullmatrix spielt bei der Matrizenaddition und Matrizensubtraktion die gleiche Rolle wie der Nullvektor bei der Vektoraddition und bei der Vektorsubtraktion; sie ist das neutrale Element der Matrizenaddition.
Matrizen 79 Berechne die folgenden Matrizenterme für A = ) C = ) B = 7 a) A + B C b) A B C c) A + B) A B) d) A A B) + B e) A + B) C f) A B + C) g) A B) + C_ h) A_ B + C) ) 8 Löse die folgenden Matrizengleichungen nach X auf! Verwende die Angaben von Aufgabe 79! a) X = A + B b) X = A B c) A X = B X) d) C + X = A X) e) A + X) C = B + X f) X A X) = X + B g) A_ X = B_ h) C_ + X = A_ 8 Vereinfache durch Herausheben eines Faktors! a) 9 6 b) 68 86 c) 9 d) 8 ) 68 ) 9 6) 6 8 6 8),6, ),9,9 ),,8),, ) e),6,8 f),,9 g),, h),8, 8 Beweise die Rechenregel von Seite anhand der Definitionen der Matrizenoperationen und der Rechenregeln für reelle Zahlen! a) Regel ) b) Regel ) c) Regel 8) d) Regel 9) e) Regel ) f) Regel 7) g) Regel ) h) Regel ) 8 Eine Motorenfabrik erzeugt Gleichstrommotoren G) und Wechselstrommotoren W) an zwei gleichartig ausgerüsteten Standorten T und T. Die nachfolgenden Tabellen geben die Produktionsergebnisse einer bestimmten Woche wieder. Ermittle ) die Tabelle der Gesamtproduktion dieser Woche, ) eine Tabelle, welche einen Vergleich der Produktivität an den beiden Betriebsstätten zulässt! T Mo Di Mi Do Fr T Mo Di Mi Do Fr G 6 8 8 G 8 9 W 8 9 W 8 7 6 9 8 Die nachstehenden Tabellen geben die Nettoverkaufspreise ) verschiedener Waren A, B, in den Güteklassen I, II, an. Gib die Matrix für die Bruttoverkaufspreise ) für den angegebenen Mehrwertsteuersatz an! a) % A B C D b) % A B C I 8,,8 7,, I 6, 8 7 6 II,6 7, 66, 8,6 III,,,8 87, II 967, 8 7 III,8 6 98 7 8 Schreibe ein Computer-Programm a) für die Addition zweier Matrizen! b) für die Subtraktion zweier Matrizen! c) für die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar!
Multiplikation einer Matrix mit einer Matrix 9. MULTIPLIKATION EINER MATRIX MIT EINER MATRIX 9.. Multiplikation einer Matrix mit einer Matrix MMM) Beispiel D: Im Jahresbericht einer Schule wurden die Tabellen A und B über die Rauchgewohnheiten ihrer Schülerinnen und Schüler veröffentlicht. Ermittle eine Tabelle C, in der die Anzahl der starken Raucher, schwachen Raucher und Nichtraucher unter Schülerinnen und unter Schülern insgesamt aufgelistet ist! A. 6. 7. 8. Starke Raucher % % % 8 % Schwache Raucher 9 % % 7 % % Nichtraucher 7 % % 8 % 7 % Lösung: Die Lösung ist offenbar eine Tabelle C mit Zeilen für die Rauchgewohnheiten) und Spalten für das Geschlecht), d. h. eine Matzrix C vom Typ ; ). Die Berechnung der 6 Elemente demonstrieren wir für die Elemente c und c : c =, +, 6 +, +,8 8 = 9 c =,7 +, +,8 +,7 9 =, Man sieht: c ist eine Verknüpfung des -ten Zeilenvektors von A mit dem -ten Spaltenvektor von B. Eine derartige Verknüpfung nennt man skalares Produkt. Ebenso ist c das skalare Produkt des -ten Zeilenvektors von A mit dem -ten Spaltenvektor von B. Die restlichen Elemente c ij erhält man in analoger Weise durch skalare Multiplikation des i-ten Zeilenvektors von A mit dem j-ten Spaltenvektor von B: c ij = a i b j + a i b j + + a in b nj Die folgende Tabelle zeigt die notwendigerweise gerundeten Ergebnisse: C Schüler Schülerinnen Starke Raucher 9 9 Schwache Raucher 8 Nichtraucher 8 B Schüler Schülerinnen. Kl 6. Kl 6 7. Kl 8. Kl 8 9 In Verallgemeinerung dieser Überlegungen geben wir die Definition: Ist A eine Matrix vom Typ m; n) und B eine Matrix vom Typ n; r), so heißt die gemäß b a a a b b r a b + + a n b n a b r + + a n b nr n b a a a b b r a b + + a n b n a b r + + a n b nr n = a m a m a mn b n b n b nr a m b + + a mn b n a m b r + + a mn b nr erklärte Verknüpfung Multiplikation einer Matrix mit einer Matrix. Das Ergebnis ist eine Matrix C vom Typ m; r), bei der das Element c ij der Matrix C das Skalare Produkt des i-ten Zeilenvektors a i der Matrix A mit dem j-ten Spaltenvektor b j der Matrix B ist: c ij = a i b j + a i b j + + a in b nj
Matrizen Bemerkung: ) Matrizen kann man genau dann multiplizieren, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt! Merkregel: m; n) n; r) = m; r) ) Ist insbesondere eine der beiden Matrizen ein Vektor, so spricht man von der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor MMV). Gemäß der Merkregel gibt es die Fälle m; n) n; ) = m; ) Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor von rechts ; n) n; r) = ; r) Multiplikation einer Matrix mit einem Zeilenvektor von links Beim händischen Multiplizieren von Matrizen ist das Falk sche Schema hilfreich: Wir erläutern es an der Fortsetzung von Beispiel D: Ermittle mit Hilfe des Falk schen Schemas ) C = A B, ) C = B A! Lösung: ) ; ) ; ) = ; ) 6 8 9,,,,8 9, 8,6,9,,7 7,67 m =,,,7,,8,7 8,, n = r = ) Das Produkt B A kann man nicht bilden, da die Spaltenzahl von B nicht mit der Zeilenzahl von A übereinstimmt! 9.. Rechenregeln Gibt es für die Matrizenmultiplikation ein neutrales Element, d. h. eine Matrix E, deren Produkt mit jeder Matrix A wieder die Matrix A ergibt? Die Antwort ist ja. Die Elemente in der Hauptdiagonale von E haben den Wert, alle anderen haben den Wert :! Definition: Die quadratische Matrix E = vom Typ n; n) heißt n x n Einheitsmatrix. Es seien v und A, B und C Matrizen mit Zeilen- und Spaltenzahlen, welche die Produktbildung erlauben, dann gelten die folgenden Rechenregeln: ) A B C) = A B) C ) v A B) = v A) B = A v B) ) A O = O und O A = O ) A E = A und E A = A ) A B ± C) = A B ± A C Ungültig ist jedoch das Kommutativgesetz A B = B A Aufgabe 86). benannt nach Sigurd Falk
Matrizenrechnung mit Hilfe des Computers 9. MATRIZENRECHNUNG MIT HILFE DES COMPUTERS 9.. Matrizenrechnung mittels des CAS wxmaxima Das Rechnen mit Matrizen lässt sich mit Hilfe wxmaxima leicht durchführen: Fortsetzung von Beispiel D Seite ): Im Fenster Algebra öffnet man Matrix eingeben, wählt dann im Fenster die Anzahl der Zeilen hier ) und Spalten hier ). Nach Ok kann dann die Matrix eingegeben werden Dezimalpunkt verwenden!). Soll dieselbe Matrix öfters verwendet werden, kann man ihr eine Variable im Fenster Eingabe zuordnen. Man gibt A:%i bzw. B:%i ein. Nun lassen sich die gewünschten Rechenoperationen sehr bequem durchführen. Beachte, dass das Matrizenmultiplikationszeichen ein Punkt ist.
Matrizen 9.. Matrizenrechnung mittels Excel Da Excel ein Tabellenkalkulationsprogramm ist, kann es mit Tabellen rechnen. Die Addition ist durch Addieren der entsprechenden Zellen sehr einfach. Daher zeigen wir die Multiplikation. Fortsetzung von Beispiel D Seite ): Trage die beiden Matrizen in das Tabellenblatt ein. Da das Ergebnis eine mal -Matrix sein muss, markiere zwei Zeilen und drei Spalten und gib die Formel =MMULTA:D*A:B8) ein. Nun drücke gleichzeitig Strg, Shift und Enter. Excel schließt die Formel in geschlungene Klammern ein und liefert das Ergebnis. 86 Berechne A B und B A! a) A = ) B = ) c) A = B = ) b) A = ) d) A = ) B = 7 ) B = ) ) 87 Gegeben sind die Matrizen A, B, C und D. Berechne: a) A B b) A C c) A D d) D B e) D C f) C A 6 ) A = B = C = D = 6 7 8 88 Berechne die angegebenen Produkte! Was fällt dir auf? Formuliere das Ergebnis allgemein! a) A B b) C D c) A C d) A D e) B C f) B D a ) e ) a d c) f h) i A = b c B = f g C = b D = g d h e j 89 ) Überprüfe anhand der folgenden Matrizen, dass das Produkt A B die Nullmatrix ergeben kann, ohne dass A oder B eine Nullmatrix ist! A = 6 8) B = ) ) Welcher Satz für das Rechnen mit reellen Zahlen lässt sich daher nicht auf Matrizen übertragen? ) Finde selbst ein Paar von Matrizen A, B, für die A B = O gilt! 9 ) Überprüfe anhand der folgenden Matrizen, dass das Produkt A B die Einheitsmatrix ist! A = ) B =,8,,6,) ) Wie könnte man daher B in Bezug auf A bezeichnen? ) Finde selbst ein Paar von Matrizen A, B, für die A B = E gilt! 9 Berechne! a) 8 e) ) ) b) ) ) f) ) ) c) 6 ) ) g) 7 6 ) 7) d) ) 6) h) 8 6 6 ) ) 7) ) 6
9 Zeichne analog zur Fortsetzung von Beispiel D das Falk sche Schema ) für die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor von links, ) für die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor von rechts, ) für das skalare Produkt zweier Vektoren! Matrizenrechnung mit Hilfe des Computers 9 Begründe anhand des Falk schen Schemas, warum in der Definition verlangt wird, dass die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmen muss! 9 Unter welcher Voraussetzung kann man eine Matrix quadrieren, kubieren? 9 Es gibt Matrizen, die mit ihrem Quadrat übereinstimmen. Gib zwei Beispiele solcher Matrizen a) vom Typ ; ), b) vom Typ ; ) an! 96 Berechne A, A, A. Was fällt dir auf? ) a) b) ) c) ) d) ) 97 Verifiziere anhand geeignet gewählter Matrizen und Skalare die a) linke Gleichung von Regel ) auf Seite! b) rechte Gleichung von Regel ) auf Seite! 98 Wie Aufgabe 97 für das Assoziativgesetz der MMM! 99 Beweise die a) linke Gleichung von Regel ) auf Seite! b) rechte Gleichung von Regel ) auf Seite! Für die Matrizenmultiplikation gilt das Kommutativgesetz nicht. Dennoch gibt es Paare von Matrizen, für die A B = B A gilt. Gib ein solches Paar an und bilde zur Kontrolle beide Produkte! In der ersten Produktionsstufe werden aus den Rohstoffen R, R die Zwischenprodukte Z, Z und Z, in einer zweiten Produktionsstufe aus diesen die Endprodukte E und E hergestellt. Der Materialverbrauch von Stufe zu Stufe ist je Einheit in den folgenden Tabellen angegeben. Wie viele Einheiten von R und R sind erforderlich für die Herstellung a) von je Stück E und E? b) von je 6 Stück E und E? c) von je Stück E und E? d) von je Stück E und E? Z Z R R E E Z Z Z Z In der ersten Produktionsstufe werden aus den Rohstoffen R, R und R die Zwischenprodukte Z und Z, in einer zweiten Produktionsstufe aus diesen die Endprodukte E, E und E hergestellt. Der Materialverbrauch von Stufe zu Stufe ist je Einheit in den folgenden Tabellen angegeben. Wie viele Einheiten von R, R und R sind erforderlich für die Herstellung a) von je Stück E, E und E? b) von je 8 Stück E, E und E? R R R Z Z c) von je Stück E, E und E? Z E d) von je Stück E, E und E? 6 Z 7 E E 7