Reihe 52 S 1 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Sinus, Kosinus und Tangens selbstentdeckendes Lernen an alltagsbezogenen Übungsaufgaben Nicole Müller, Kandern 1 2 I/ 3 VORNSIHT bb. 1: Der schiefe Turm von Pisa (Juli 2006), Thinkstockphotos / istockphoto; bb. 2: Giebelhaus, Systemhaus für Holz & Massivbau, Winsen/ller; bb. 3: Parthenon der kropolis, Modell (genauer: Parthenonmodell von dolfe Jolly, ca. 1880, Metropolitan Museum of rt, New York, The Willard ollection, 1883 1891): Roy Hessing / Museum für bgüsse Klassischer ildwerke München, Ludwig-Maximilians-Universität München Klasse: 10 Dauer: Inhalt: 5 7 Stunden (je nach Variante) die Erarbeitung der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck; Verallgemeinerung: Entsprechung der Sätze für das allgemeine Dreieck; leistungsdifferenzierte Übungen und nwendungsaufgaben Ihr Plus: Die Schüler erarbeiten sich selbstständig die Formeln und die Vorgehensweise bei der erechnung von Strecken und Winkelgrößen. In leistungsdifferenzierten/anwendungsorientierten ufgaben üben sie das Gelernte. Schiefe Gebäude, steile nstiege an verschiedenen Gebäuden erkennen Ihre Schüler rechtwinklige Dreiecke, in denen sie die trigonometrischen eziehungen anwenden können. uch Textaufgaben kommen vor. Da die nwendungsaufgaben in verschiedenen Niveaus vorliegen, kann jeder Schüler optimal gefördert werden.
Reihe 52 S 2 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Didaktisch-methodische Hinweise I/ Lehrplanbezug Da mit dem neuen ildungsplan das individualisierte, selbstentdeckende Lernen in den Vordergrund gerückt ist, zielt dieser eitrag darauf ab, dass Ihre Schüler sich möglichst viel selbst erarbeiten. Dies wird dann in der Klasse/in der Lerngruppe besprochen und korrigiert. Mit diesem eitrag fördern Sie demzufolge folgende Kompetenzen: Die Schüler erkennen selbstständig Zusammenhänge, Ordnungen und Strukturen und können diese beschreiben. berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen in der Ebene und im Raum mit trigonometrischen eziehungen. stellen rechnerische eziehungen zwischen Seitenlängen und Winkelmaßen im rechtwinkligen Dreieck her. Im Lehrplan ayern 1 indet man des Weiteren zum eispiel folgendes Unterrichtsziel: Die Schüler können sicher mit Sinus und Kosinus für beliebige Winkel umgehen. Dieses Ziel erreichen Ihre Schüler mithilfe der Materialien dieses eitrages. blauf Das Umstellen der Gleichungen zur erechnung wird von den Schülern zunächst in Einzelarbeit geleistet. Das Eintippen in den Taschenrechner sollten Sie mit der Klasse gemeinsam machen, da es je nach verwendetem Taschenrechner verschiedene Vorgehensweisen gibt. ei den Lösungen wurde bewusst die Schreibweise so gewählt, dass bei der Multiplikation einer Seitenlänge mit z.. dem Sinus eines Winkels die Länge immer zuerst kommt. Dies hat den Grund, dass viele Taschenrechner bei der Eingabe um die Gradzahl eine Klammer machen. Diese muss jedoch von den Schülern geschlossen werden, wenn dahinter eine Multiplikation kommt. Da das gerade Leistungsschwache vergessen, ist es empfehlenswert, von nfang an die folgende Schreibweise zu trainieren: VORNSIHT = 4,5 cos 30 Die Lösungen enthalten zudem immer Zwischenschritte. Leistungsstarke Schüler werden darauf verzichten können. usblick In den folgenden Stunden berechnen Ihre Schüler Strecken und Winkel in Vielecken und Körpern. Minimalplan Mithilfe des Materials M 1, das Sie Ihren Schülern als Hausaufgabe aufgeben, erarbeiten sich diese die Grundbegriffe im rechtwinkligen Dreieck (Gegenkathete, nkathete und Hypotenuse). Die Kärtchen von M 2 und das Material M 3 dienen in der Folgestunde zur Verinnerlichung der Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens. Das Umstellen der Formeln (M 4) bereiten Ihre Schüler wieder als Hausaufgabe vor. Die Lernerfolgskontrolle (M 5) führen Sie im Unterricht durch. Von den Textaufgaben (M 6 M 9) wählen Sie einzelne aus, und die Verallgemeinerung auf beliebige Winkel (M 10) lassen Sie weg. 1 http://www.isb-gym8-lehrplan.de/contentserv/3.1.neu/g8.de/index.php?storyid=26221
Reihe 52 S 4 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen uf einen lick Erarbeitung der Grundbegriffe Material Thema Stunde I/ M 1 (H) M 2 M 3 Gegenkathete, nkathete, Hypotenuse wichtige egriffe im rechtwinkligen Dreieck sich die Grundbegriffe erarbeiten itte ziehen! Kärtchen für die Gruppenarbeit ufgabenkärtchen zum Material M 3 Sich den Sinus, Kosinus und Tangens erarbeiten schrittweise Hinführung zu den Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens erechnung im rechtwinkligen Dreieck Material Thema Stunde M 4 (H) M 5 (LEK) Von der Rolle Ordnen der Filmschnipsel zum Umstellen der Formel Winkel, Kathete und Hypotenuse durch Umstellen der Formeln berechnen Teste dich! Leistungsdifferenzierte ufgaben den eigenen Lernerfolg feststellen VORNSIHT Textaufgaben zu Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck Material Thema Stunde M 6 M 7 M 8 Der schiefe Turm von London so löst du Textaufgaben! schrittweise nleitung zur Lösung einer Textaufgabe Schiefe Gebäude, steile nstiege nwendungsaufgaben Vertiefung des Gelernten anhand von Praxisaufgaben Lösung zu M 7: Schiefe Gebäude, steile nstiege Die Lösung wird auf die Rückseite von Material M 7 kopiert. M 9 Was der Dachdecker berechnet nwendungsaufgaben 2 drei weitere Praxisaufgaben zur Vertiefung 1. 2. 3. 4. 5. 6. H Trigonometrie im allgemeinen Dreieck Material Thema Stunde M 10 (Ex) Weg vom rechten Winkel Sinus, Kosinus und Tangens in beliebigen Dreiecken Erarbeitung der Vorgehensweise für beliebige Winkel 7. Ex = Material für Experten
Reihe 52 Verlauf Material S 1 LEK Glossar Lösungen M 1 Gegenkathete, nkathete, Hypotenuse wichtige egriffe im rechtwinkligen Dreieck ufgaben: Erarbeitung von Grundlagen 1. Lies dir den folgenden Text durch. us Klasse 9 kennst du noch die egriffe Hypotenuse und Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Katheten sind die Schenkel des rechten Winkels, die Hypotenuse (Hyp) liegt diesem Winkel gegenüber. Für das neue Thema werden die Katheten nun noch einmal genauer benannt. Die Kathete, die einem Winkel gegenüberliegt, nennt man Gegenkathete (GK) des Winkels (kurz: Gegenkathete von ). Die Kathete, welche mit der Hypotenuse den Winkel bildet, nennt man nkathete (K) des Winkels (kurz: nkathete von ). Je nachdem, auf welchen Winkel man sich bezieht, kann eine Kathete also n- oder Gegenkathete sein. 2. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck () in dein Heft und beschrifte die Ecken (,, ) und Seiten (,, ). 3. a) eschrifte die Seiten zudem mit den egriffen aus dem Text (Hypotenuse, nkathete von α, Gegenkathete von α). b) Ergänze: nkathete von = von α, Gegenkathete von = von α 4. Vergleiche deine eschriftung mit deinem Nachbarn. VORNSIHT M 1 Gegenkathete, nkathete, Hypotenuse wichtige egriffe im rechtwinkligen Dreieck ufgaben: Erarbeitung von Grundlagen 1. Lies dir den folgenden Text durch. I/ us Klasse 9 kennst du noch die egriffe Hypotenuse und Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Katheten sind die Schenkel des rechten Winkels, die Hypotenuse (Hyp) liegt diesem Winkel gegenüber. Für das neue Thema werden die Katheten nun noch einmal genauer benannt. Die Kathete, die einem Winkel gegenüberliegt, nennt man Gegenkathete (GK) des Winkels (kurz: Gegenkathete von ). Die Kathete, welche mit der Hypotenuse den Winkel bildet, nennt man nkathete (K) des Winkels (kurz: nkathete von ). Je nachdem, auf welchen Winkel man sich bezieht, kann eine Kathete also n- oder Gegenkathete sein. 2. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck () in dein Heft und beschrifte die Ecken (,, ) und Seiten (,, ). 3. a) eschrifte die Seiten zudem mit den egriffen aus dem Text (Hypotenuse, nkathete von α, Gegenkathete von α). b) Ergänze: nkathete von = von α, Gegenkathete von = von α 4. Vergleiche deine eschriftung mit deinem Nachbarn.
Reihe 52 Verlauf Material S 2 LEK Glossar Lösungen M 2 itte ziehen! Kärtchen für die Gruppenarbeit I/ = 4 cm α = γ0 = 4 cm α = 40 = 4 cm α = 50 = 5 cm α = γ0 = 5 cm α = 40 = 5 cm α = 50 = 6 cm α = γ0 = 6 cm α = 40 = 6 cm α = 50 = 7 cm α = γ0 = 7 cm α = 40 = 7 cm α = 50 VORNSIHT = 4 cm α = 60 = 5 cm α = 60 = 6 cm α = 60 = 7 cm α = 60 = 4 cm = 5 cm = 6 cm = 7 cm α = γ5 α = γ5 α = γ5 α = γ5 = 4 cm = 5 cm = 6 cm = 7 cm α = β5 α = β5 α = β5 α = β5
Reihe 52 Verlauf Material S 5 LEK Glossar Lösungen M 5 Teste dich! Leistungsdifferenzierte ufgaben 1. Gib jeweils den Sinus, Kosinus und Tangens der Winkel an. 2. Übertrage die Gleichungen in dein Heft und fülle die Lücken aus: I/ sin α= = ; tan γ = = ; cos = D D D cos β 1= ; tan β 2 = ; tan α= = D D D tan β= 1 ; cos β= 2 ; cos = D 3. erechne die dick markierten Größen. Runde auf zwei Nachkommastellen genau. a) b) c) VORNSIHT 25 8 cm 43 6,5 m d) e) f) 6 cm 64 E 5,6 cm g) h) i) 4,9 cm 7,2 cm 3 cm 3 2 E D 63 4,7 cm 7,5 m 58 D D E 8,4 cm 5 cm 3,7 cm D 4. Zeichne zu jeder Gleichung jeweils ein Dreieck und beschrifte es. 5 sin β= tan α= 5 sin α= D tan ε= E sin 35 = DE tan 40 = D
Reihe 52 Verlauf Material S 7 LEK Glossar Lösungen M 7 Schiefe Gebäude, steile nstiege nwendungsaufgaben bb.5: Schiefer Turm von Pisa (Juli 2006), Thinkstockphotos / istockphoto Der Turm war ursprünglich 55,8 m hoch und hat jetzt eine Neigung um 4. a) erechne die tatsächliche Höhe. b) erechne die uslenkung an der Spitze. bb. 6: aldwin Street in Neuseeland, Foto: Wikimedia ommons/jartesorensen Die aldwin Street in Neuseeland hat eine Steigung von 35 %. a) erechne den Steigungswinkel. b) Die Straße ist 350 m lang. Welchen Höhenunterschied hat die Straße? VORNSIHT bb. 7: Metzgerturm in Ulm, H. Helmlechner Y S 4.0 bb. 9: Kirchturm Oberkirche ad Frankenhausen, Foto: Wikimedia ommons/hobbyelektroniker Der Metzgerturm in Ulm war eigentlich 36 m hoch und ist nun um 2,05 m nach Nordwesten geneigt. a) erechne den Neigungswinkel. b) erechne die tatsächliche Höhe. Der Kirchturm der Oberkirche in ad Frankenhausen ist 56 m hoch. Die Spitze ist um 4,6 m verschoben. a) erechne den Neigungswinkel. b) erechne die ursprüngliche Höhe. vgl. http://derschiefe-turm. de/zum-turm/ schiefstellung/ bb. 8: Terrasse Ingram Publishing/Thinkstock Eine Terrasse braucht ein Gefälle von 2 %, damit der Regen abließen kann. a) erechne den Neigungswinkel. b) Der Platz, auf dem die Terrasse gebaut werden soll, ist 4 4 m. Wie viele Steinplatten braucht man, wenn eine 40 40 cm groß ist? bb. 10: Eisenbahngleis istock/thinkstock Ein normales Eisenbahngleis darf maximal eine Steigung von 25 (25 m auf 1000 m) haben. a) erechne den Steigungswinkel. b) Die ahn soll einen Höhenunterschied von 50 m überwinden. Wie lange wird die Schienenstrecke? I/
Reihe 52 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen S 1 Lösungen und W Tipps zum Einsatz M 1 Gegenkathete, nkathete, Hypotenuse wichtige egriffe im rechtwinkligen Dreieck Kopieren Sie das ufgabenblatt entsprechend der halben Klassenstärke und halbieren Sie es. Mit diesem latt erarbeiten sich Ihre Schüler selbstständig die Grundbegriffe. 2. und 3. a) 3. b) nkathete von β = Gegenkathete von α, Gegenkathete von β = nkathete von α I/ M 2 itte ziehen! Kärtchen für die Gruppenarbeit ls Hilfestellung können Sie die Kärtchen auf der Rückseite mit einem farbigen Punkt versehen. So können sich die passenden Gruppen leichter finden. Es ist empfehlenswert, die Kärtchen vor dem Zerschneiden zu laminieren. M 3 Einzelarbeit: Sich den Sinus, Kosinus und Tangens erarbeiten VORNSIHT 1. 3./5.: individuelle Lösung 4. individuelle Lösung (Es kommen unterschiedliche Werte heraus.) 5. a) sin α hat den gleichen Wert wie 3. c). b) cos α hat den gleichen Wert wie 3. a). c) tan α hat den gleichen Wert wie 3. e). Gruppenarbeit: 1. gleiche Ergebnisse trotz unterschiedlicher Seitenlängen bei gleichem Winkel 2. Siehe 5. [M 3] 4. individuelle Lösung (z.. die Werte hinschreiben oder schon in Worten) 5. Gegenkathete α nkathete α Gegenkathete α sin α= = ; cos α= = ; tanα= = Hypotenuse Hypotenuse nkathete α sinβ= cosβ= 6. individuelle Lösung tanβ= 7. Der Sinus eines Winkels berechnet sich als Quotient aus der Gegenkathete des Winkels und der Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels berechnet sich als Quotient aus der nkathete des Winkels und der Hypotenuse. Der Tangens eines Winkels berechnet sich als Quotient aus der Gegenkathete des Winkels und der nkathete des Winkels.