Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Übung 6

Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Übung 6 KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association www.kit.edu

Klausur Anmeldung und Details: http://www.physik.kit.edu/aktuelles/anmeldung_vd_ing.html Alle Vorlesungen und Übungen im Netz Zusammenfassung von einer ähnlichen Vorlesung im Netz Skript der vollständigen Mechanikvorlesung von Prof. Th. Mueller im Netz (Schwingungen und Wellen) 2 10.02.2012 Frank Hartmann

3 10.02.2012 Frank Hartmann

sin = 0 U eff = U 0 2 R < P > = U eff I eff U eff = 230V C R Z = ωl Gleichstrom Z = 1 ωc Gleichstrom Betrag L 4 10.02.2012 Frank Hartmann Siehe naechste Seite

Ohm'scher Widerstand: Z =R Kondensator (Kapazität): Z = 1 Spule (Induktivität): Z = ωl ωc Reihe/Serie Parallel 6 10.02.2012 Frank Hartmann

Kapazität U C = U t = U 0 sin ωt Q t = C U t = C U 0 sin ωt I t = dq(t) dt = d(c U t ) dt = ω C U 0 cos ωt = ω C U 0 sin ωt + π 2 } = I 0 R C = Z = 1 ωc 7 10.02.2012 Frank Hartmann

Induktivität U L = U t = U 0 sin (ωt) = L di t dt = U 0 L sin ωt di t dt I t = U 0 Lω cos ωt = U 0 Lω sin (ωt π 2 ) } Integriere 8 = I 0 10.02.2012 R l = Z = ωl Frank Hartmann

Lassen sich dann bei Reihen- oder Serienschaltungen die Impedanzen einfach addieren? Antwort: Nein. Die diversen Ströme (Parallel) bzw. Spannungen (Reihe) müssen Phasenrichtig addiert werden. Wird hier nicht behandelt. Kurz: U und I am Widerstand phasengleich U und I an C und L nicht phasenrichtig, aber C und L genau gegenphasig + π 2 ; π 2 Addition am einfachsten mit komplexen Zahlen Siehe Anhang zu diese Übung 9 10.02.2012 Frank Hartmann

Beginne mit Teil 2 10 10.02.2012 Frank Hartmann

Geladener Kondensator wird ueber Spule entladen Maschenregel: 0 = 1 C Q t di t + L dt = 1 C Q t + L d2 Q t dt 2 DGL 2. Ordnung: Ansatz: Q t = Q 0 sin (ωt) Einsetzen 0 = 1 C Q 0 sin ωt ω 2 L Q 0 sin (ωt) ω = 1 LC Q t = Q 0sin 1 LC t f 0 = 1 2π LC 11 10.02.2012 Frank Hartmann

Geladener Kondensator wird über Spule entladen DGL aus Energieerhaltung Energieerhaltung: konst = 1 2 CU2 t + 1 2 L I2 differenziere 0 = 1 2 C 2 U t U t + 1 2 L 2 I t I (t) Q t 0 = C C Q t C + L Q t Q (t) Q t 0 = Q t C + L Q (t) Q t 0 = C + L Q (t) DGL 2. Ordnung: Ansatz: Q t Einsetzen 0 = 1 C Q 0 sin ωt ω 2 L Q 0 sin (ωt) ω = 1 LC Q t = Q 0sin = Q 0 sin (ωt) 1 LC t 12 10.02.2012 Frank Hartmann

Überprüfe Energieerhaltung Q t = Q 0 sin 1 LC t Q 0 = U 0 C U 0 = Q 0 C I L t = d dt Q t dt = Q 0 1 LC cos 1 LC t = I 0 = Q 0 1 LC konst = 1 2 C U2 t + 1 L I2 2 U C t = 1 C Q t = Q 0 C sin 1 LC t konst 2 = Q 0 2 C sin 1 LC t 2 + Q 0 2 L LC cos 1 LC t 2 2 2 konst 3 = sin 1 LC t + cos 1 LC t = 1 ω = 1 LC 13 10.02.2012 Frank Hartmann

Induktivitaet f 0 = L = 2π 1 LC = 5735Hz 1 4π 2 C f 0 2 = 35mH C = 22nF 14 10.02.2012 Frank Hartmann

E C = W el t = 1 2 C U2 t = 1 2 C U 0 2 sin 2 (ωt) U 0 = Q 0 C = 15V L = W mag t = 1 2 L I2 t = 1 2 L I 0 2 cos 2 (ωt) I 0 = Q 0 1 LC = 11.9mA E L t = 1 2 E C(t) L I 0 2 cos 2 ωt = 1 2 C U 0 2 sin 2 ωt 2 = C C 2 Q 0 2 L 1 2 tan 2 ωt = tan 2 ωt t = LC Q 0 15 10.02.2012 Frank Hartmann arctan 2 ω

Nein gedaempft Widerstand Nein, abhaengig, Nein, siehe A5.3. Im Schwingfall Im Prinzip leiten wir das in der Aufgabe zu mechanischen Schwingung her Ähnlich aber nicht gleich, DGL anders (Strom statt Spannungsaddition) 17 10.02.2012 Frank Hartmann

MECHANIK 18 10.02.2012 Frank Hartmann

21 10.02.2012 Frank Hartmann Selbe Rechnung wie LC Schwingkreis

DGL mit Daempfung Dämpfung d linear mit der Geschwindigkeit v oder hier φ cφ + dφ + θφ = 0 Ansatz: φ t = A e λt cos ωt φ t = λa e λt cos ωt ωa e λt sin (ωt) φ t = +λ 2 A e λt cos ωt + λωa e λt sin ωt +λωa e λt sin ωt ω 2 Ae λt cos ωt Einsetzen: A e λt (c cos ωt dλ cos ωt dω sin ωt +θλ 2 cos ωt + 2θλω sin ωt θλω 2 cos ωt ) = 0 22 10.02.2012 Frank Hartmann Achtung: ich nutze der Einfachheithalber w statt w D

Weiter A e λt (c cos ωt dλ cos ωt dω sin ωt +θλ 2 cos ωt + 2θλω sin ωt θω 2 cos ωt ) = 0 A e λt cos ωt c dλ + θλ 2 θω 2 = A e λt sin ωt ( dω 2θλω) Dies gilt fuer alle t; daraus folgt: (...) = 0 (,,,) = 0 Zeitkonstante λ: dω 2θλω = 0 λ = d 2θ ω: c dλ + θλ 2 θω 2 = 0 ω = λ 2 + c θ dλ θ = d2 4θ 2 + c θ d2 2θ 2 = c θ d2 4θ 2 φ t = A e d 2θ cos 23 10.02.2012 Frank Hartmann c θ d2 4θ 2 t Kann man auch mit dem LCR Schwingkreis vergleichen

Und hier nochmal fuer eine Federschwingung Masse m; Dämpfung b; Federkonstante k: Auslenkung x(t) ansonsten alles gleich kx + bx + mx = 0 Ansatz: x t = A e λt cos ωt x t = λa e λt cos ωt ωa e λt sin (ωt) x t = +λ 2 A e λt cos ωt + λωa e λt sin ωt +λωa e λt sin ωt ω 2 Ae λt cos ωt A e λt (k cos ωt bλ cos ωt bω sin ωt +mλ 2 cos ωt + mλω sin ωt + mλω sin ωt mλω 2 cos ωt ) = 0 Zeitkonstante λ: bω 2mλω = 0 λ = b 2m ω: k bλ + mλ 2 mω 2 = 0 ω = λ 2 + k m bλ m = b2 4m 2 + k m b2 2m 2 = c m b2 4m 2 x t 24 = A e b 2m cos 10.02.2012 Frank Hartmann k m b2 4m 2 t

Wie sieht das Ganze aus? x t = A e b 2m cos k m b2 4m 2 t ω = k m b2 4m 2 ω2 = ω 0 2 δ 2 Abklingzeit: Lebensdauer: λ = b 2m ; b = 0: freie Schwingung: ω = k m x t = A cos k m t 25 10.02.2012 Frank Hartmann

Wie sieht das Ganze aus? x t = A e b 2m cos k m b2 4m 2 t ω = k m b2 4m 2 ω2 = ω 0 2 δ 2 Abklingzeit: Lebensdauer: λ = b 2m ; Einhüllende Schwingfall ω 0 2 > δ 2 ω > 0 x t = A e b 2m cos k m b2 4m 2 t 26 10.02.2012 Frank Hartmann

Wie sieht das Ganze aus? x t = A e b 2m cos k m b2 4m 2 t ω = k m b2 4m 2 ω2 = ω 0 2 δ 2 Abklingzeit: Lebensdauer: λ = b 2m ; Einhüllende Aperiodischer Grenzfall ω 0 2 = δ 2 ω = 0 cos0 = 1 x t = e b 2m x t = e b 2m 27 10.02.2012 Frank Hartmann

Wie sieht das Ganze aus? x t = A e b 2m cos k m b2 4m 2 t ω = k m b2 4m 2 ω2 = ω 0 2 δ 2 Abklingzeit: Lebensdauer: λ = b 2m ; Einhüllende ω 0 2 < δ 2 ω ist imaginaer Kriechfall: Überdämpfung: Dämpfung ist stärker als Schwingung und die Schwingung schafft keine Periode ; der Cosinusansatz ist ungültig 28 10.02.2012 Frank Hartmann

Alles A) Schwingfall: ω 2 0 > δ 2 ; ω > 0 B) Aperiodischer Grenzfall ω 2 0 = δ 2 ω = 0 schnellstes Abklingen auf Null C) Kriechfall: ω 2 0 < δ 2 ω ist imaginaer ω = k m b2 4m 2 ω2 = ω 0 2 δ 2 29 10.02.2012 Frank Hartmann LCR Schwingkreis funktioniert genauso

Wellenfunktion: y x, t = A sin (kx ωt) beschreibt eine Welle, welche sich in positiver x- Richtung ausbreitet Unsere Welle bewegt sich in negativer x-richtung v = ω k = 314s 1 62.8m 1 = 5 m s 30 10.02.2012 Frank Hartmann

Wellenlaenge: λ = 2π k = 2π = 10cm 62.8m 1 f = ω 2π = 314s 1 2π = 50s 1 = 50Hz T = 1 f = 0.02s 31 10.02.2012 Frank Hartmann

v max = Max(y x, t ) y x, t = Aωcos (kx ωt) Kann man jetzt eine Maximalaufgabe draus machen; ableiten und Ableitung gleich null setzen oder man weiß, dass ein Cosinus maximal 1 oder -1 sein kann v max = Max y x, t = Aω = 0.001m 314s 1 = 0.314 m s 32 10.02.2012 Frank Hartmann

y 30cm, t = 0,001m sin ( 30cm m 62,8 314s 1 t) y 30cm, t = 0,001m sin (94,2 314s 1 t) 33 10.02.2012 Frank Hartmann

Welle (n,l): Ausbreitung mit Wellengeschwindigkeit c; unabhängig von der Quelle. Wenn sich nun die Quelle mit der Geschwindigkeit v bewegt wird die nächste Wellenfront an anderer Stelle bezüglich der vorhergehenden Wellenfront ausgesendet Veränderung der realen Wellenlänge l und Frequenz f. Siehe Bild: l < l <l ; kleinere Wellenlänge höhere Frequenz Hier c = Lichtgeschwindigkeit c = λν l l Wegbewegen: λ = λ + Δx = λ + v t = c + v ν ν + Δν = ν = c λ = c c + v ν v = c ν + Δν c V l WIKIPEDIA 34 10.02.2012 Frank Hartmann

Größere Wellenlänge kleinere Frequenz Δν = 293Hz v = Wegbewegen: λ = λ + Δx = λ + v t = c + v ν ν Δν = ν = c λ = c c + v ν v = c ν Δν c c 2 10 9 ν Δν c = 3 108 m s Hier Weg: Quelle-Empfaenger-Quelle, darum fehlt ein Faktor 2 4.4m/s = 2v v=2.2m/s 2 10 9 293 1 = 4.4 m s 35 10.02.2012 Frank Hartmann

1) negativ interferieren können sie schon, sie Können sich nur nicht auslöschen. 2) Ja 3) Nein, sie müssen zusätzlich Gegenphasig (p verschoben) sein 4) Nein, dann verstärken sie sich 5) Ja p { 36 10.02.2012 Frank Hartmann

a d d a = tan θ sin θ sin (θ ) Wege/Längen L Konstr. Interferenz: L 1 = L 2 ± nλ Auslöschung: L 1 = L 2 ± 2n+1 λ 2 (Verschiebung π; 3π; 5π, etc. ) q b q a 37 10.02.2012 Frank Hartmann Δs = b sin θ b d a d Konstr. Interf: Δs = b sin Θ tan θ = d a = nλ sin θ = nλ b d = λ a b

tan θ = d a sin θ = nλ b d = λ a b λ = b sin θ n = 1,6 10 5 m 5 sin9.8 = 545nm 38 10.02.2012 Frank Hartmann

Maximum bei Δs = nλ = λ mit n = 1) θ θ θ Teil 1 sin θ 39 10.02.2012 = Δs b = λ b = 600nm 1mm θ = arcsin 600nm 1mm θ = arcsin = 0.6 mrad = 0.034 600nm 0.01mm = 0.06 rad = 3.4

von Teil 1: sin θ = Δs b = λ b b θ Teil 2 tan θ = d 2a sin θ = λ b 40 10.02.2012 Frank Hartmann b = 2aλ d 1,58m 633nm = = 50μm 20mm

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Oder via komplexe Zahlen 42 10.02.2012 Frank Hartmann