4. Grenzwerte und Stetigkeit reeller Funktionen 73 4. Grenzwerte und Stetigkeit reeller Funktionen Definition 4.. Gegeben sei eine Funktion y = mit D(f). (i) Sei D(f). heißt stetig in, falls es für alle ε > eine positive Zahl δ = δ(ε, ) gibt, so dass für alle D(f) mit < δ gilt f( ) < ε. (ii) f heißt stetig auf D(f), falls f in jedem Punkt D(f) stetig ist. Beispiele : () = c, c R, stetig in D(f) = R: sei D(f), ε >, δ > beliebig y ( δ, + δ) : () = stetig in D(f) = R: sei D(f), ε >, suchen δ(, ε) > mit y < δ f(y) f( ) = y < ε =, y < δ f(y) f( ) = y < δ ε für δ ε wählen zunächst δ c c = {}}{ f(y) f( ) < ε y + = y + y + < δ + 3 y = y + y < 3 δ ε für δ ε }{{}}{{} 3 <3 <δ ( ) ε δ(ε, ) := min, 3 (3) =, D(f) = (, ] f stetig auf D(f): sei D(f), ε >, suchen δ(, ε) > mit y < δ f(y) f( ) = y < ε y = y < δ, y y δ y y y < δ δ y ε für δ ε (4) s() = [], D(s) = R s stetig auf D(s) \ Z: für δ ( ) δ(ε, ) := min, ε sei D(s) = R m Z : m < m + s( ) = [ ] = m = m Z, z.z.: ε > δ > y δ ( δ, +δ) : s( ) s(y δ ) ε wählen ε =, sei δ > y δ ( δ, ) y δ < δ, s(y δ ) s( ) = (m ) m = = ε Z, d.h. m < < m + wählen δ < min( m, m + ) < sei y < δ m < δ < y < + δ < m + [y] = [ ] = m s( ) s(y) = m m = < ε
74 4 Reelle Funktionen (5) Dirichlet-Funktion ϕ() = {, Q, Q }, D(ϕ) = [, ] nirgends stetig: z.z.: ε > δ > y δ ( δ, + δ) : ϕ( ) ϕ(y δ ) ε wählen ε =, sei δ > beliebig, wählen y δ ( δ, + δ) { } R \ Q, Q Q, Q ϕ( ) ϕ(y δ ) = Satz 4.. Eine Funktion f ist stetig in D(f) genau dann, wenn für alle Folgen ( k ) k D(f) mit lim k = gilt lim f( k) = f( ). B e w e i s : : sei f stetig in, ( k ) k Folge mit lim k k =, z.z. : lim k f( k) = f( ) Sei ε > δ > D(f), < < δ : f( ) < ε k = k (δ) k k : < k < δ k = k (δ(ε)) k k : f( k ) f( ) < ε lim k f( k) = f( ) = : Kontraposition, d.h.: f nicht stetig in ( n ) n, lim n =, lim f( n) f( ) n n f nicht stetig in ε > δ > δ, δ < δ : f( δ ) f( ) ε setzen δ n = n, n = δn, n N n N n, n < n, f( n) f( ) ε ( n ) n, lim n =, f( n ) f( ) ε ( n ) n, lim n =, n n lim f( n) f( ) n Definition 4..3 Gegeben sei eine Funktion mit D(f) = (a, b) R. Dann ist Für alle Folgen ( k ) k= D(f) mit lim k = gilt lim f( k) = y. lim = y Schreibweise : lim = y, y, y für Folgerung 4..4 Die Funktion ist in D(f) stetig genau dann, wenn lim = f( ) gilt. Einseitige Grenzwerte & Stetigkeit Definition 4..5 Gegeben seien eine Funktion und σ >. (i) Sei D(f) = [, + σ). heißt rechtsseitig stetig in, falls es für alle ε > eine positive Zahl δ = δ(ε, ) gibt, so dass für alle D(f) mit < < + δ gilt f( ) < ε. (ii) Sei D(f) = ( σ, ]. heißt linksseitig stetig in, falls es für alle ε > eine positive Zahl δ = δ(ε, ) gibt, so dass für alle D(f) mit δ < < gilt f( ) < ε.
4. Grenzwerte und Stetigkeit reeller Funktionen 75 Definition 4..6 Gegeben seien eine Funktion und σ >. (i) Sei D(f) = (, +σ). besitzt einen rechtsseitigen Grenzwert y in, lim = y Für alle Folgen ( k ) k= D(f) mit lim k = gilt lim f( k) = y. (ii) Sei D(f) = ( σ, ). besitzt einen linksseitigen Grenzwert y in, lim = y Für alle Folgen ( k ) k= D(f) mit lim k = gilt lim f( k) = y. Folgerung 4..7 Gegeben sei eine Funktion mit D(f) = ( σ, + σ) für ein σ >. ist stetig in lim = lim = f( ). Unstetigkeiten Sei, D(f) R, unstetig in Folg.4..4 () Hebbare Unstetigkeit, Lücke y R : lim f( ) lim = lim = y f( ) (bzw. f( ) nicht definiert) Beispiel : =,, =, = y () Sprungstelle lim lim, aber beide Grenzwerte eistieren, > Beispiel : = sgn() =, =, =, < y (3) Polstelle lim und / oder lim streben gegen ± Beispiel : =, = 5 5-5 - -5 (4) wesentliche Singularität, Unstetigkeit. Art lim und / oder lim eistieren nicht ( ) Beispiel : = sin, D(f) = (, ], = k = πk ξ k = πk + π η k = πk + 3π f( k ) k f(ξ k ) k f(η k ) k -.5 -.5 - -4-3 - - 3 4...3.4.5.6.7.8.9
76 4 Reelle Funktionen 4.3 Eigenschaften stetiger Funktionen Satz 4.3. Es seien Funktionen und g() mit D(f) = D(g) gegeben, die in D(f) = D(g) stetig sind. (i) Sind λ, µ R, so ist (λf + µg) () in stetig. (ii) Die Funktion (fg) () ist in stetig. ( ) f (iii) Ist zusätzlich g( ), so ist auch () in g stetig. B e w e i s : folgt aus Sätzen 3..9, 3.. und 4.. Folgerung 4.3. Jedes Polynom p(), D(p) = R, und jede rationale Funktion { } m k= = a k k n n l= b, D(f) = R \ : b l l l l = sind auf ihren Definitionsgebieten stetig. l= Satz 4.3.3 Seien f stetig in D(f) und g mit W (f) D(g) stetig in y = f( ) D(g), so ist g f stetig in D(g f). B e w e i s : sei ( n ) n D(f), lim n n = g stetig in f( ) Satz 4.. f stetig in Satz 4.. lim f( n) = f( ) n lim g(f( n)) = g(f( )) n Satz 4.. g f stetig in Satz 4.3.4 Die Funktion sei stetig auf dem abgeschlossenen Intervall D(f) = [a, b]. Dann eistieren, [a, b] mit f ( ) = inf f ( ) = sup Insbesondere ist W (f) = { : [a, b]} beschränkt. = min = ma,. Bemerkung : Alle Voraussetzungen sind wesentlich: = [], D(f) = [, ] nicht stetig: sup ( []) =, aber [, ] : [ ] = [,] =, D(f) = (, ] : sup (,] = +, aber (, ] : < =, D(f) = [, ) : sup [,) =, aber [, ) : < Lemma 4.3.5 Die Funktion sei stetig auf dem abgeschlossenen Intervall D(f) = [a, b], und es gelte f(a)f(b) <. Dann eistiert ein ξ (a, b), für das f(ξ) = gilt.
4.4 Umkehrfunktionen 77 B e w e i s : Sei o.b.d.a. f(a) > und f(b) <, setzen M = {y [a, b] mit > für alle [a, y]} M (a M), M beschränkt (y b) Aiom V ξ [a, b] : ξ = sup M f(a) n.z.z. : (i) f(ξ) = (ii) ξ (a, b) zu (i): Annahme : f(ξ) f(b) a b f(ξ) > f stetig f(ξ) < f stetig Widerspruch, d.h. f(ξ) = δ > (ξ δ, ξ + δ) : > ξ nicht obere Schranke von M η > (ξ η, ξ +η) : < ξ nicht kleinste obere Schranke von M zu (ii): f(a)f(b) < f(a), f(b) f(ξ) = ξ [a, b] ξ (a, b) Satz 4.3.6 (Zwischenwertsatz) Es sei I ein Intervall (offen, halboffen, abgeschlossen) und eine stetige Funktion mit D(f) = I. Ist α eine reelle Zahl mit inf { : I} < α < sup { : I}, so gibt es mindestens einen Punkt I mit f( ) = α. B e w e i s : Def. sup, inf, I : inf { : I} f( ) < α < f( ) sup { : I}, o.b.d.a. sei <, setzen h() := α, D(h) = [, ], h() stetig, h( ) <, h( ) > Lemma 4.3.5 (, ) : h( ) = D(f) : f( ) = α Bemerkung : Beim Übergang von einem Wert zu einem anderen Funktionswert nimmt eine stetige Funktion jeden dazwischen liegenden Wert mindestens einmal an. Ist { : I} nicht nach oben bzw. unten beschränkt, so setzt man sup { : I} := + bzw. inf { : I} :=. Ist nicht stetig, dann gilt Satz 4.3.6 i.a. nicht. α 4.4 Umkehrfunktionen Ähnlich wie bei Matrizen ( linearen Abbildungen) sucht man für f : X Y die inverse bzw. Umkehrfunktion f : Y X mit f f = id Y und f f = id X. Begriffe f : D(f) Y heißt surjektiv ( von... auf ), falls Y = W (f), d.h. y Y D(f) : = y f : D(f) Y heißt injektiv (eineindeutig), falls, D(f) : f( ) = f( ) = f : D(f) Y heißt bijektiv f surjektiv & injektiv