Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite von 8 Einführung. Zhlenmengen S N = {,, 3,...} ; N = {,,, 3,...} ; Z = {...,,,,,,..} ; Q = {x x = p / q mit p Z und (q Z {})} ; R = zb, π, φ. Mengenlehre A = {,,,, }, B = {,,, 3, 4} A B = {x x A und x B} A B = {x x A oder x B} A B = {x x A und x / B} Kommuttivgesetz: Assozitivgesetz: Distributivgesetz: A B = {,, } A B = {,,,, } A B = {, } A B = B A (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) A B = B A (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C).3 Beweismethoden S5.4 Spezielle Ungleichungen S3 Bernoulli-Ungleichung: ( + ) n > + n für n N, n, R, >, Binomische Ungleichung: b ( + b ) Dreiecksungleichung: + b + b b + b b b Geometrisches und rithmetisches Mittel: für i, n N, i {,,..., n} : n... n n i = ++...+n n Minim/Mxim: min{ i } n... n mx{ i } Ntürliche Funktionen: + x e x x x ln(x) x.5 Umgebung Jedes offene Intervll, dss die Zhl enthält, heisst eine Umgebung von. Es sei ɛ >. Unter der ɛ-umgebung von versteht mn ds offene Intervll ( ɛ, + ɛ). Eine ɛ-umbebung von ohne die Zhl selbst wird punktierte ɛ-umgebung von gennnt. Schreibweise: U() Schreibweise: U ɛ () Schreibweise: U ɛ () = U ɛ ().6 Summenzeichen S7 mit m n Die Lufvrible i wird immer um ufddiert. i immer kleiner-gleich n (z.b. wenn i R) i = m i + n i ; i = n j i+j ; = n ; (λ i + βb i ) = λ n i + β n i=m+ j.7 Produktzeichen S7 n (x x i ) = n (x x ) (x x )... (x x n ) n.8 Fkultät S3 n! = 3... n für n N, n 3 n! > n b i.9 Binomischer Stz S ( + b) n = n ( ni ) n i b i ; ( ) i= n ( ni ) ( ) n+ i + = i ; ( ni ) ( ni ) = n(n )... (n i+) 3... i ; = n! i!(n i)! ; ( ni ) ( ) n = n i ( n ) =. Einige Wurzeln =.44; 3 =.73; 5 =.36; 6 =.449; 7 =.645; F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite von 8 Funktionen S48. Einleitung Schreibweisen: f : D f W f mit x f(x) f : x f(x) mit x D f y = f(x) mit x D f Definitionen: x Argument oder Vrible von f f(x) Funktionswert, Wert von f n der Stelle x x f(x) oder y = f(x) Zuordnungsvorschrift D f Definitonsmenge oder Definitionsbereich W f Wertemenge oder Wertebereich Achsenbezeichnungen: Abszisse = X-Achse Ordinte = Y-Achse Applikte = Z-Achse. Trnsformtionen ± f( ± b ( x ± c)) ± d. Vertikle Streckung um bzw. Spiegelung n x bei -. b Horizontle Streckung um /b bzw. Spiegelung n y bei -b 3. c Verschiebung nch links (+c) oder rechts (-c) 4. d Verschiebung nch oben (+d) oder unten (-d).3 Spezielle Funktionen Identität: Schreibweise: f(x) = x Definition: Der X-Wert ist gleich dem Y-Wert Signumfunktion: Schreibweise: f(x) = sgn(x), flls x > Definiton: y =, flls x = -, flls x < Guss-Klmmer: Schreibweise: f(x) = [x] Definition: rundet den Y-Wert gnzzhlig b.4 Umkehrfunktion S5 Schreibweise: f Definition: ein Y-Wert drf nur einml vorkommen und W f muss D f sein.5 Verkettung oder mittelbre Funktion Schreibweise: h(x) = g f h(x) = g(f(x)) Sprechweise: g nch f Wertebereiche: W h = W f D h = D g h(x) = f g h(x) = f(g(x)) f nch g W h = W g D h = D f Wichtig: Funktionen sind ncheinnder usführbr, wenn der W f bzw. W g der.funktion im D g bzw. D f der.funktion enthlten ist..6 Beschränktheit S5.7 Monotonie S5 (siehe uch 5.7., Monotonie (S. 7)) monoton wchsend x < x f(x ) f(x ) streng monoton wchsend x < x f(x ) < f(x ) monoton fllend x > x f(x ) f(x ) streng monoton fllend x > x f(x ) > f(x ).8 Gerde/Ungerde Funktionen S5 Funktion ist gerde wenn f( x) = f(x) Achsensymmetrisch Funktion ist ungerde wenn f( x) = f(x) Punktsymmetrisch.9 Gnzrtionle Funktionen (Polynom) S6 u. 64 Aussehen: f(x) = n x n + n x n + + x + Nullstellen bestimmen (siehe uch.7, Produktezeichen (S. )): flls Polynom (x + bx + c) qudrtische Lösungsformel: b± b 4c fktorisieren mit Hilfe von Binomen fktorisieren mit Hilfe des Hornerschems S94 Wichtig: eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht höchstens n verschiedene Nullstellen F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite 3 von 8. Hornerschem S94 - Pfeile Multipliktion - Zhlen pro Splte werden ddiert Beispiel: f(x) = x 3 67x 6 x Nullstelle (muss errten werden!!) oberste Zeile = zu zerlegendes Polynom f(x) = (x x )(b x + b x + b ) = (x + )(x x 63). Gebrochenrtionle Funktionen S6 u. 66 Aussehen: f(x) = pm(x) q n(x) = mxm + m x m + + x + nx n + n x n + + x + Definitionen: wenn m < n ist f echt gebrochen, wenn m n ist f unecht gebrochen x ist Nullstelle von f flls p m(x ) = und q n(x ) gilt. x heisst Polstelle von f flls q n(x ) = und p m(x ) gilt. x heisst Lücke von f flls q n(x ) = und p m(x ) = gilt. Jede unecht gebrochene rtionle Funktion lässt sich ls Summe einer gnzrtionlen Funktion und einer echt gebrochenen Funktion schreiben. Dies ist möglich mit der Polynomdivision S5. Prtilbruchzerlegung S5 f(x) = x + x + 49 x 3 + 4x x 3 Anstz: Nenner fktorisieren mit Hornerschem S94, Binom, etc. x 3 + 4x 3 = (x + )(x + x 5) = (8x + )(x + 5)(x 3) f(x) = x + x + 49 x 3 + 4x x 3 = A x 3 + B x + + C A(x + )(x + 5) + B(x 3)(x + 5) + C(x 3)(x + ) = x + 5 (x 3)(x + )(x + 5) Gleichungssystem ufstellen mit beliebigen x i-werten (m Besten Polstellen oder,,- wählen): x = 3 : 9 + 6 + 49 = A 5 8 A = 5 x = : 4 4 + 49 = B( 5) 3 B = 7 x 3 = 5 : 5 + 49 = C( 8)( 3) C = f(x) = 5 x 3 + 7 x + x + 5 weitere Ansätze für ndere Typen von Termen: f(x) = 5x 37x + 54 x 3 6x + 9x = A x + f(x) = f(x) =, 5x x 3 6x + x 8 = x x 3 + x x = B x 3 + A x + A x + C (x 3) = A(x 3) + Bx(x 3) + Cx x(x 3) B (x ) + C (x ) = A(x ) + B(x ) + C 3 (x ) 3 Bx + C x + 4x + 6 = A(x + 4x + 6) + (Bx + C)(x ) (x )(x + 4x + 6).3 Trigonometrische Funktionen S76 sin : D f = [ π, π ] W f = [, ] rcsin : D f = [, ] W f = [ π, π ] cos : D f = [, π] W f = [, ] rccos : D f = [, ] W f = [, π] tn : D f = ( π, π ) W f = R rctn : D f = R W f = ( π, π ) cot : D f = (, π) W f = R rccot: D f = [, ] W f = (, π).4 Potenz- und Wurzelfunktionen S8,7 gerde Potenzfunktion: D f = R W f = R + gerde Wurzelfunktion: D f = R + W f = R ungerde Potenzfunktion: D f = R W f = R ungerde Wurzelfunktion: D f = R W f = R F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite 4 von 8.5 Hyperbolische Funktionen S88 sinh(x) = ex e x ; D = R, W = R cosh(x) = ex +e x ; D = R, W = [, ) tnh(x) = ex e x e x +e x ; D = R, W = (, ).6 Logrithmus- und e-funktion S7 e-funktion: D f = R W f = R + Logrtihmus-Funktion: D f = R + W f = R 3 Zhlenfolgen 3. Einführung: rithmetische Folge: = c und n+ = n + d geometrische Folge: = c und n+ = q n d = n+ n q = n+ n Monotonie: bzw. > bzw. bzw. < bzw. bzw. > bzw. bzw. < bzw. 3. Beschränktheit S5 Beschränkt wenn k n K, wobei k bzw. K die untere bzw. obere Schrnke ist 3.. Bolzno-Weierstrss Jede beschränkte, reelle Zhlenfolge (mit unendlich vielen Gliedern) enthält mindestens eine konvergente Teilfolge. 3.3 Grenzwerte von rekursiven Folgen. Monotonie nnehmen (ev. erste Glieder berechnen) mit vollständider Induktion beweisen z.b. Vernkerung: f < f < Vererbung: f n < f n+ f n+ = f n + < f n+ + = f n+... +. Hypothetischer Grenzwert usrechnen (indem mn Beschränkheit nnimmt und den Limes zieht) z.b. f n + = f n+ x + = x (fn = f n+ in Unendlichkeit!!) n x = 3± 5 x = 3+ 5 (d der Grenzwert grösser sein muss ls (monoton steigend siehe.)) 3. Beschränktheit mittels des hypothetischen Grenzwertes und vollständiger Induktion beweisen z.b. Vernkerung: f < 3+ 5 < 3 < 3 Vererbung: f n < 3... + f n+ = f n + < 3 + < 3 F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite 5 von 8 4 Grenzwerte S53 4. Berechnung von Grenzwerten S56 Technik des Erweiterns: n Binom. Formel: n n = Erweitern mit = n n n n n n = = (siehe uch 5.6, Bernoulli-Hospitl (S. 7)) n n ( n + n)( n + + n) n + n n + n = = = n n n + + n n n + + n Ausserdem gibt es ds Prinzip der Einschliessung: Die zu untersuchende Funktion wird in eine Ungleichung mit beknnten Grenzwerten (siehe uch.4, Spez. Ungleichungen (S. )) eingeschlossen. 4. Links-/Rechtsseitiger Grenzwert S54 Rechtsseitiger Grenzwert: Linksseitiger Grenzwert: 4.3 Konvergenz, Divergenz f(x) = f(x) = g + x x + x x f(x) = f(x) = g x x x x Konvergenz: g + = g = g R oder: monoton und beschränkt Bestimmte Divergenz: g = + oder: g = Unbestimmte Divergenz: Es existiert kein Grenzwert (g für Grenzwert) 4.4 Stetigkeit S59 Wenn mn die Funktion mit einem Strich zeichnen knn : f(x) = f(x x x ) 4.5 Spezielle Grenzwerte S58, 9, 47, 45 sin x x x = x α = ( > ; α, β > ) x βx ( + x x )x = e log (x + ) = x x ln x x ln x x = x = e x x x ( + x) x = e (ln x) α = x x β ln x x ln x = x + { q k + q = q < q k= (ln x) α = x x β x = ln x x x 4 x = ln e x = x x ( + x) α = α α x x n x k = (x > ) x n! x q = (q > ; k N) x p = x x 4.6 Asymptotenbestimmung S5 Ausrechnen der Asymptote einer gebrochen rtionlen Funktion r : x r(x) = Pm(x) Q n(x) : m < n m = n m > n m x ± bn + oder Asymptote x-achse Prllel zur x-achse Gnzrtionler Teil y = g(x) = m b n der Polynomdivision (siehe uch 5.7.5, Asymptote (S. 7)) F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite 6 von 8 5 Differentilrechnung S394 f (x ) = df dx x=x f (x ): Ableitung oder Differentilquotionent von f n der Stelle x = ( d dx f)x=x f(x = Df(x ) = +h) f(x ) h h f r(x f(x ) = +h) f(x ) h h f l f(x (x ) = +h) f(x ) h h Rechtsseitige f r(x ) bzw. linksseitige f l (x ) Ableitung. Flls f r(x ) = f l (x ) und f n der Stelle x stetig, dnn ist f n der Stelle x differenzierbr. 5. Spezielle Ableitungen S396 ( x ) = sgn(x) = x x = x x, x (tn x) = + tn x, x R\ { k+ π } (cot x) = ( + cot x), x R\ {kπ} 5. Höhere Ableitungen S4 ( ln + x x (sin x) (k+) = ( ) k cos x, k N (cos x) (k ) = ( ) k cos x, k N ( ) (n) + x = x ) (n) = ( ) n+ (sin x) (k) = ( ) k sin x, k N (cos x) (k) = ( ) k cos x, k N n! ( x) n+ ( x) (n) = ( ) n+ 3... (n 3) n x n x (n )! (n )! + ( + x) n ( x) n (x e x ) (n) = n e x + x e x = e x (n + x) 5.3 Differentil, Fehlerrechnung S85/968 bsoluter Fehler: y dy = f ( x) dx f ( x) δ reltiver Fehler: f ( x) dx f ( x) δ = f ( x) δ ȳ ȳ Auf n-stellen nch dem Komm genu bsoluter Fehler: δ = ±.5 n f( x) 5.4 Mittelwertstz S44 f(b) f() b = f (ξ) 5.5 Tylor Polynom S45 (x = Entwicklungspunkt) f(x + h) = f(x ) + f (x )h + f (x ) R n (Lgrnge): R n(x, h) = f (n+) (x + θh) h n+, ( < θ < ); (n + )! McLurinsche-Form (gilt für x =, h = x): f(x) = 5.5. Einige Reihen S9/47/45 k= f (k) () k! h + f (x ) 3! h 3 +... + f (n) (x ) h n + R n(x, h) n! Rn(x, h) = = n f(x + h) = x k + R n; R n = f (n+) (θx) (n + )! n= f (n) (x ) h n n! x n+, ( < θ < ); sin x = x x3 3! + x5 5!... + ( ) n x n (n )! + R n {}}{ ( ) n cos(ϑx) (n + )! xn+ e x = + x + x! +... + xn n! + eϑx (n+)! xn+ ln( + x) = x x + x3... + 3 ( )n xn + ( ) n xn+ n (+ϑx) n+ n+ F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite 7 von 8 5.6 Bernoulli-de l Hospitl S56 f (x) = f x x f (x) x x (x), dies gilt für: f (x). Regel, oder ±. Regel; Zähler und Nenner seprt bleiten! ± 5.6. Spezilfälle ± f f = oder f f = ± ± f f f g : f f = eg ln(f) = e e e 5.7 Kurvenuntersuchungen S43. Definitionsbereich S48 D f und Abschätzung des Wertebereichs W f. Symmetrie S5 und Periodizität S5 3. Nullstellen 4. Stetigkeit S58f und Differenzierbrkeit S394 (Berechnung der Ableitungen) 5. Extremwerte, Wendepunkte und Wendetngenten, Monotonie, Krümmungsverhlten 6. Grenzwertussgen (Asymptote, Pole, Verhlten von f m Rnde des Definitionsbereichs) 5.7. Monotonie S43 f (x) ( x (, b)) (monoton steigend) f (x) ( x (, b)) (monoton fllend) f (x) > ( x (, b)) (streng monoton steigend) f (x) < ( x (, b)) (streng monoton fllend) 5.7. Konvexität - Krümmungsverhlten S35f konvex (linksgekrümmt) f f (x) streng konvex f f (x) > konkv (rechtsgekrümmt) f f (x) streng konkv f f (x) < 5.7.3 Extremlstelle S45f f (x ) =, potentieller Kndidt für Extremlstelle { f n (x ) > reltives Minimum bei x f (x ) =,..., f n (x ) =, f n n gerde (x ) f n (x ) < reltives Mximum bei x n ungerde Terssenpunkt bei x Zweite Vrinte Flls bei f (x) n der Stelle x ein Vorzeichenwechsel besteht, existiert dort eine Extremlstelle. 5.7.4 Wendepunkt (Terssenpunkt) S38f f (x ) =, potentieller Kndidt für Wendepunkt. { Gilt für n 3. n ungerde Wendestelle bei f (x ) =,..., f n (x ) =, f n x (flls f (x ) = Terssenpunkt bei x ) (x ) n gerde Flchstelle bei x Zweite Vrinte Flls bei f (x) n der Stelle x ein Vorzeichenwechsel besteht, existiert dort ein Wendepunkt. 5.7.5 Asymptote S4f Für Funktionen, die nicht gebrochenrtionl(siehe uch 4.6, Grenzwerte (S. 5)) sind, knn die Asymptote wie folgt bestimmt werden. Dies lles gilt sinngemäss uch für x. Asymptote g: y = x + b (f(x) x b) = x f(x) = oder = f (x) x x x b = (f(x) x) x Spezilfll Wenn f(x) existiert, so ist = und b = f(x). x x Existiert jedoch nur, wenn lle drei Grenzwerte existieren. Zweite Vrinte nur möglich, wenn Bedingungen für Bernoulli-de l Hospitl erfüllt sind. F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9
Anlysis E - Formelsmmlung (v.) Seite 8 von 8 6 Integrlrechnung S444 6. Bestimmtes Integrl S457 I = b f( x)d x = S(Z) = d(z) O(Z) = d(z) U(Z) d(z) x: Integrtionsveränderliche, f: Integrnden, [,b]: Integrtionsintervll, /b: untere bzw. obere Integrtionsgrenze 6. Integrierbrkeit 6.3 Flächeninhlt Inhlt der Fläche unter dem Grphen f : A = 6.4 Mittelwertstz S46 b f( x) d x f uf [, b] stetig mind. eine Stelle ξ (, b) mit b f(x)dx = (b )f(ξ) h = b b f(x)dx 6.5 Integrlfunktion x c [, b] und f(x) über [, b] integrierbr: I : x I(x) = f(t)dt 6.5. Differenzierbrkeit Integrlfunktion S459, 46 c d dx b(x) (x) f(t)dt = f(b(x)) b (x) f((x)) (x) d dx x f(t)dt = f(x) 6.6 Unbestimmtes Integrl S444 x I(x) + C = f(x)dx 6.7 Stmmfunktion S444 Jede uf [, b] differenzierbre Funktion F nennt mn Stmmfunktion, wenn F = f. 6.8 Rechenregeln S447 b b b f(x)dx = f(x)dx f(x)dx = f(x)dx ( ) f(x)dx F. Brun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller. Jnur 9