4. Trigonometrie
Winkel und Winkelmessung Winkel... Teil der Ebene, der von zwei Strahlen ( Schenkeln ) mit gleichem Anfangspunkt ( Scheitel ) begrenzt wird Winkelmessung... Quantitative Erfassung der Öffnungweite, d. h. lediglich der relativen Lage der Strahlen zueinander S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September 207 78/87
Bogenmaß Die Winkelmessung im Bogenmaß erfolgt unter Beachtung des Drehsinns am Einheitskreis: 0 ' ' Die Größe des Winkels im Bogenmaß entspricht der Länge des ausgeschnitten Bogens auf dem Einheitskreis. Einheit: Zur Identifikation als Winkel verwendet man mitunter den Radiant: rad = m m =. Mathematisch gesehen ist das verzichtbar. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September 207 79/87
Gradmaß Beim Gradmaß wird die Größe des Vollkreises auf 360 ± normiert. Damit entspricht dem Winkel º im Bogenmaß die Gradangabe 80 ±. Für beliebige Winkel gelten die Umrechnungsformeln Winkel in Grad = 80 º Winkel in Radiant = º 80 Winkel in Radiant Winkel in Grad Wie groß ist der rechte Winkel (90 ± ) im Bogenmaß? Wieviel Grad entspricht rad? S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September 207 80/87
Degree und Radiants Prägen Sie sich einige Werte auch im Bogenmaß ein. Achten Sie beim Rechnen mit Winkeln auf korrekte Taschenrechnereinstellung ( ± /rad). S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September 207 8/87
Winkelfunktionen und Trigonometrie Unter dem Begriff Winkelfunktionen fasst man die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens zusammen. Wir erinnern uns zunächst an die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis. sin ' ' 0 ' cos ' Durch Skalieren der Skizze erhält man die klassischen Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September 207 82/87
Eigenschaften von Sinus und Kosinus sin(x +2º) = sin(x), cos(x +2º) = cos(x), d. h. Sinus und Kosinus sind 2º-periodisch, sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x), d. h. der Sinus ist ungerade, der Kosinus gerade, sin(x) = cos(x º/2) und cos(x) = sin(x + º/2), d. h. die Graphen sind um º/2 gegeneinander verschoben, sin 2 (x) +cos 2 (x) = (Satz des Pythagoras), sin(x) = 0, x = kº mit k 2 Z und cos(x) = 0, x = (k +0.5)º mit k 2 Z, S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September 207 83/87
Markante Funktionswerte Es ist emphehlenswert, wenigstens einige Funktionswerte von Sinus und Kosinus zu kennen. 0/0 ± º 6 /30± º 4 /45± º 3 /60± º 2 /90± sinx 0 2 p 2 cosx p 3 2 2 p p 3 2 2 2 2 0 Aufgrund von Periodizität, Symmetrien und dgl. kann man auf weitere Werte schliessen. Zum Beispiel ist sin20 ± = sin60 ± = p 3 2. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September 207 84/87
Aufgaben Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichungen sin(2x +) = 0 und cos( º 2 3x) = p 3 2. Nutzen Sie die die Eigenschaften von Seite 83 wie auch die Funktionswerttabelle auf Seite 84. Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f (x) = sin(2x +) und g(x) = cos( º 2 3x). Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse aus dem vorigen Beispiel graphisch. Was ändert sich am Graphen einer Funktion y = f (x), wennmanx durch kx (k > 0), x bzw. x c ersetzt? Was ändert sich wenn man y = kf (x)(k > 0) statt y = f (x) betrachtet? S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September 207 85/87
Tangens und Kotangens Der Tangens von x ist definiert durch n f : R \ k + o 2 º : k 2 Z! R, x 7! tan(x):= sin(x) cos(x). Der Kotangens von x ist definiert durch f : R \ {kº : k 2 Z}! R, Im Gebrauch ist vor allem der Tangens. Wichtige Eigenschaften: tan und cot sind º-periodische Funktionen, x 7! cot(x):= cos(x) sin(x). tan( x) = tan(x) und cot( x) = cot(x), d. h. beide Funktionen sind ungerade, tan ist auf ( º/2,º/2) streng monoton wachsend und cot ist auf (0,º) streng monoton fallend. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September 207 86/87
Seiten-Winkel-Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck Satz des Pythagoras: a 2 +b 2 = c 2. Winkelbeziehungen: sinø = b c cosø = c a, tanø = b a Flächeninhalt: A = 2 ab c b a Machen Sie sich klar, dass die Winkelbeziehungen unmittelbar aus der Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis folgen. S. Bernstein, Vorkurs Mathematik für Ingenieure, September 207 87/87