Analysis Funktionentraining Ganzrationale Funktionen. Grades Die wichtigsten Aufgaentypen Alle Methoden ganz ausführlich Datei r. 50 Stand 8. Septemer 06 FRIEDRICH W. BUCKEL ITERETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades Vorwort Dieser Tet enthält Trainingsmaterial zum Thema Paraelfunktionen. Man kann die Grundlagen (nochmals) üen und die Methoden asichern. Grundlage des Ganzen ist das Lösen quadratischer Gleichungen, die man für die ullstellen enötigt. Da es hierzu einige Spezialmethoden git, sollte man vor allem die Aufgae komplett durchrechnen. Im. Teil git es 8 größere Aufgaen, in denen es auch um Tangenten, Schnitt einer Parael mit einer Geraden oder einer zweiten Parael geht, Dreiecksinhalte und auch Flächen zwischen einer Parael und einer Geraden zw. Parael sind gefragt. Bei der Berechnung von Längen oder Flächeninhalten sollte man hinter jeden Zahlenausdruck die Maßeinheit LE zw. FE schreien. Tut man das nur im Ergenis, dann muss man diese in Klammern setzen: (LE) zw. (FE), sonst liegt ein Gleichheitsfehler vor. Bei der Berechnung von Streckenlängen wende ich stets einen Rechentrick an, den ich meistens rot eingefärt hae. Durch geschicktes Ausklammern im Radikanden entstehen oft einfache Terme. Diese Methode kann man ausführlich nachlesen im Tet 005 auf Seite!!! Wichtige Lösungsmethoden Teil : Teil : Inhalt Aufgaen Lösungen Quadratische Gleichungen, Paraelscheitel 3 Grundaufgaen Aufgae is 6 9 is Umfangreiche Aufgaen Aufgaen is 8 5 is 8 is 5
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades 3 Hinweis auf wichtige Lösungsmethoden. Für die Lösung quadratischer Gleichungen git es verschiedene Verfahren: a) Reinquadratische Gleichung: ) Ohne Asolutglied: 9: 3, 3 c) Allgemein: Ich verwende stets die Mitternachtsformel : a c 0 hat diese Lösungen: 0 ausklammern: 0 Ein Faktor muss ull werden: 0 oder 0, ac d) Ist speziell a, dann steht im enner die Zahl und man kann ganz auf einen Bruch verzichten. hat diese Lösungen: c... c 0 a, Die häufig angewandte so genannte p-q-formel ezieht sich nur auf die Gleichung p q 0 und führt zur Lösung, p p q. Ich werde diese Formel nie anwenden, weil sie oft weniger handliche Ergenisse liefert, z.b. sehr oft dann, wenn der Koeffizient von Funktionenscharen. nicht sondern ein komplizierter Term ist wie ei. Für die Berechnung eines Paraelscheitels git es diese Methoden: a) Der Scheitel liegt stets in der Mitte zwischen den ullstellen. ac Berechnet man die ullstelle aus a c 0 zu,, dann a hat der Scheitel die -Koordinate: S. Diese Formel gilt auch, wenn keine a ullstellen eistieren. ) Man kann aus vorhandenen ullstellen und auch so rechnen: S. c) Im Scheitel hat eine Parael eine waagrechte Tangente, also die Steigung 0. Da man die Tangentensteigung mit der Aleitungsfunktion f' erechnet, lautet die f ' 0... Scheiteledingung: S Hinweis: Verwendet man die allgemeine Aleitung f' a, dann liefert die Scheiteledingung: f' 0 S a d) Man kann die Paraelgleichung durch quadratische Ergänzung in die Scheitelform y a y und dann die Scheitelkoordinaten alesen. ringen: S S
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades Teil : Grundaufgaen Aufgae : ullstellen und Scheitel estimmen, Zeichnung Die Aufgaen enthalten verschiedene Gleichungsformen a) d) g) Aufgae : y ) y 3 e) 9 y h) y 3 7 c) y f) 3 y i) Berechne den Scheitel auf drei Arten: y () als Paraelpunkt in der Mitte zwischen den ullstellen () mit der Aleitungsfunktion (3) mit quadratischer Ergänzung a) f ) 5 f Aufgae 3: a) d) Aufgae : 6 5 0 y y 5 3 c) f Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung üer die ullstellen einer quadratischen Funktion und die Lage der zugehörigen Parael ) 3 9 0 e) 0 c) 3 35 f) 3 3 0 3 0 Stelle die Gleichung der Parael K mit folgenden Eigenschaften auf: a) K geht durch A 3, B, C ) K geht durch A,B5,C.. c) K geht durch A 9, B, C 3 d) K geht durch A5, B, C3 Aufgae 5:. Stelle die Gleichung der Parael K mit folgenden Eigenschaften auf: a) Sie hat den Scheitel S 5 und geht durch A 3 ) Sie hat den Scheitel S und geht durch A3. Aufgae 6: Stelle die Gleichung der Parael K mit folgenden Eigenschaften auf: a) Sie hat in A5 0 die Tangentensteigung - und geht außerdem durch B 3. ) Sie geht durch A 6 und hat in B ( I ) eine Tangente mit der Steigung -. c) Sie hat den Scheitel S und erührt die Gerade g mit y in A y. d) Sie hat ihren Scheitel ei = und erührt die Gerade g: y 9 an der Stelle. A
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades 5 Teil : Umfangreiche Aufgaen (keine Anwendungsaufgaen) Aufgae Gegeen ist die Parael K durch die Funktion 5 y f a) Berechne Scheitel und Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Zeichne die Parael für 6 mit Längeneinheit cm. ) Die Punkte und A 3 y A B 3 y B liegen auf der Parael K. Berechne die Gleichung der Geraden (AB). c) Es git eine Tangente an K, die parallel zu (AB) ist. Stelle ihre Gleichung auf. Der Berührpunkt heiße R. d) Die Tangenten in A und B ilden zusammen mit der Geraden g ein Dreieck ABC. Berechne den dritten Eckpunkt C, den Innenwinkel ei C sowie den Inhalt des Dreiecks ABC. e) Die Gerade g: 5 y schneidet K in P und Q. Das Viereck ABPQ ist ein Trapez. Der Inhalt dieses Trapezes kann auf kürzeste Weise erechnet werden, wenn es gelingt, diese in zwei günstige Dreiecke zu zerlegen. Wir groß ist der Inhalt? Gegeen ist die Parael K durch Aufgae (siehe ) 5 f() =- + + a) Berechne Scheitel und Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. ) Die Gerade g: 3 y = + schneidet K in C und D. Die Tangenten in C und D schneiden sich in E. Berechne den Inhalt des Dreiecks CDE. Verwende CD als Basis. Zeichnung! c) Welche Gleichung hat die Tangente parallel zu g?
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades 6 Aufgae 3 Gegeen ist die Parael K mit der Gleichung 5 y f. a) Berechne den Paraelscheitel und zeichne die Parael (von = - is = 7) Berechne die Schnittpunkte der Parael mit den Koordinatenachsen. ) Die Gerade g: 3 y schneidet die Parael K in den Punkten A (links) und B (rechts). Berechne deren Koordinaten und die Länge der Sehne. c) Welche Gleichungen haen die Tangenten t in A und t in B. Berechne deren Schnittpunkt Q. Trage g und die Tangenten in die Zeichnung ein. d) Das Lot L auf die Gerade g im Punkt A y A schneidet K noch einmal in einem Punkt C. Berechne dessen Koordinaten. Welchen Inhalt hat das Dreieck ABC? e) In welchem Punkt hat die Parael eine Tangente, die parallel zu diesem Lot L ist? Gi auch die Gleichung dieser Tangente an. Aufgae 9 Gegeen ist eine Parael K durch die Funktion y f a) Berechne den Scheitel der Parael sowie deren Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen. Zeichne die Parael für - 6. ) Die Punkte und A y A B 3 y liegen auf der Parael K. B Berechne die Gleichung der Sekante g = (AB) und die Länge der Sehne AB. c) Das Lot in A auf g schneidet die Parael K noch einmal in C. Berechne den Inhalt des Dreiecks ABC. d) Unter welchen Winkeln schneiden sich die Tangenten in A und in B mit der Geraden (AB)? e) Berechne den Kurvenpunkt D, in dem die Tangente parallel zu AB ist.
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades 7 Aufgae 5 9 Gegeen ist eine Parael K durch die Funktion 5 und die Gerade g durch die Gleichung y. y f a) Berechne den Scheitel der Parael sowie deren Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen. Zeichne die Parael für - 3 7 ) Berechne die Schnittpunkte von P und Q von K und g. c) Die Tangenten in P und Q ilden zusammen mit g ein Dreieck. Berechne den dritten Eckpunkt Z und den Dreiecksinhalt. d) Welche Gleichung hat die Tangente an K, die zu g parallel ist? e) In welchem Verhältnis teilt die Parael die Fläche des Dreiecks PQZ aus Teilaufgaen c)? Aufgae 6 Gegeen ist die Parael K durch ihre Gleichung a) Berechne Scheitel und Schnittpunkte mit der -Achse. y f Zeichne K in ein Achsenkreuz (eide Achsen von - is 8, LE cm) 9 ) Die Gerade g: y schneidet K in den Punkten A und B. Berechne die Länge der Sehne AB. c) Das Lot vom Ursprung auf g schneidet K nochmals in D. Berechne die Länge der Sehne OD. d) Berechne den Inhalt der Vierecks OADB. e) K hat eine zur Geraden y = parallele Tangente. Berechne den Berührpunkt und die Gleichung dieser Tangente. f) Die Sehne AB und die Tangenten in A und B ilden ein Dreieck. Berechne den dritten Eckpunkt C, den Innenwinkel ei A und den Flächeninhalt. g) In welchem Verhältnis teilt die Parael die Fläche des Dreiecks ABQ aus Teilaufgaen f)?
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades 8 Aufgae 7: Zwei Paraeln Gegeen sind die Paraeln K durch y f und K durch g() =- + 6. a) Berechne die Scheitel der Paraeln und zeichne die Kurven in ein gemeinsames Achsenkreuz. ) In welchen Punkten A, B und unter welchen Winkeln schneiden sie sich? Wie lang ist die gemeinsame Sehne AB? c) Berechne den Inhalt des Vierecks S AS B. d) Wie groß ist die Fläche, die von eiden Paraeln egrenzt wird? e) Wie groß ist die Fläche, die von eiden Paraeln egrenzt wird? Aufgae 8: Zwei Paraeln a) Eine Parael K geht durch A, B5 und C. Bestimme ihre Gleichung. Berechne ihren Scheitel S und die Schnittpunkte mit der -Achse ) Eine zweite Parael H hat ihren Scheitel ei und erührt die Gerade g: y ei. Bestimme ihre Gleichung. Berechne den Scheitel Q und die ullstellen. c) Zeichne eide Paraeln. d) Berechne ihre Schnittpunkte und die Länge der gemeinsamen Sehne. e) In welchen Punkten haen K und H eine Tangente parallel zur gemeinsamen Sehne? Stelle die Gleichungen auf. f) Unter welchen Winkeln schneiden sich die Paraeln? g) Jede zur y-achse parallele Gerade mit der Gleichung = u schneidet die eiden Paraeln. So entstehen zwischen den eiden Schnittpunkten der Paraeln vertikale Strecken unterschiedlicher Länge. Gi die Länge der Strecke in Ahängigkeit von u an. Stelle die Streckenlänge graphisch dar (es entsteht eine Parael). Welche dieser Strecken hat die größte Länge und wie lang ist sie wirklich? h) Wie groß ist die Fläche, die von eiden Paraeln egrenzt wird?
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades 9 Lösungen der Grundaufgaen is 6 Aufgae : ullstellen und Scheitel estimmen, Zeichnung a) d) g) y ) y 3 e) 9 y h) y 3 7 c) y f) 3 y i) a) ullstellenedingung: 6+ 8 0 7 0, = = = { - 3 7 3 Scheitel: S, ys 8 5 S 5 ) ullstellenedingung: 3 7 0 y 8 0 8 56 6, Oder so: 37 0 3 9+ 7 ( ) = = 3 = { - Scheitel: S 6 ys 3687 6 S 6 6 c) ullstellenedingung: 0 ergit, 6 =- + 8 =-» { -5, 6 Scheitel: S, y 6 S 6 S d) ullstellenedingung: 9 3 0 9 3 9 9 3 99 3 3 0 Es git nur eine ullstelle, d.h. dort erührt die Parael 3 S 0. die -Achse: y y 5
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades Aufgae : Berechne den Scheitel auf drei Arten: () als Paraelpunkt in der Mitte zwischen den ullstellen () mit der Aleitungsfunktion (3) mit quadratischer Ergänzung a) f ) 5 f a) ullstellen der Parael: Scheitelerechnungen 0 3 c) 8 : R : Keine!. ullstellenmitte: S ys f a. Tangentensteigung = 0: f hat die Aleitung Bed.: 0 ergit S ys f Ergenis: S 3. Quadratische Ergänzung: ) ullstellen: Scheitelerechnungen y f. S f' y Ziel: ergänzen: y. ullstellenmitte: S y 5 5 5 3 6 5 Ergenis: S 0,5 0 3 5 S, y f : 5 S 0 5. Tangentensteigung = 0: f hat die Aleitung Bed.: 0 d. h. 3. Quadratische Ergänzung: S : f' 5 mit y f S 0,5 y 5 5 S - ausklammern: y Ziel: ergänzen: 5 y Da ergänzt worden ist, muss man als Ausgleich anschreien: S 0,5 y Hinweis: -Koordinate mit umgekehrtem Vorzeichen alesen.
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades c) ullstellen: 0 3 3 96 35 Scheitelerechnungen. ullstellenmitte: S 3, 3 0 3 9 3 3 9 8 6 5 : S 3 5 y f S 6 6 6 6 6 3 3. Tangentensteigung = 0: f hat die Aleitung f' 3 3 3 Bed.: f' 0 0 S 3 9 3 3 9 8 6 5 y f : S 3 5 3. Quadratische Ergänzung: S 6 6 6 6 y 3 y 3 ausklammern : 3 Ziel: y... Quadrat 9 ergänzen: 9 y 3 9 3 5 Zusammenfassen: y : Ergenis: S 3 5 6 6 6
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades 3 Aufgae 3: Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung üer die ullstellen einer quadratischen Funktion und die Lage der zugehörigen Parael a) 6 5 0 ) 0 c) 3 3 3 0 d) 3 9 0 e) 35 f) 3 0 6 360 6 5 a) ullstellen: 6 5 0 Da die Parael nach oen geöffnet ist und zwei ullstellen esitzt, haen die Paraelpunkte außerhal des ullstellenintervalls positive y-koordinaten. Die Ungleichung 6 5 0 L ] ;[ ]5; [ \[;5]. ) ullstellen: hat also diese Lösungsmenge 3 0 3 0 3 96 35 Da die Parael nach oen geöffnet ist und zwei ullstellen esitzt, haen die Paraelpunkte außerhal des ullstellenintervalls positive y-koordinaten. Also hat die Ungleichung 3 0 diese Lösungsmenge: L ] ; ] [; [ R \ ] ;[. c) ullstellen: 3 3 0 3 3 0 3 9 Da diese Parael nach unten geöffnet ist und keine ullstellen hat, verläuft sie ganz unterhal der -Achse. Es git daher keine Paraelpunkte deren y-koordinaten 0 sind. Die Ungleichung d) ullstellen: 3 3 0 hat daher: 3 9 0 : 3 3 97 39 3 L. Da die Parael nach oen geöffnet ist und zwei ullstellen esitzt, haen die Paraelpunkte zwischen den ullstellen negative y-koordinaten. Also hat die Ungleichung L [ 3; ] 3 3 9 0 die Lösungsmenge
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades 5 Aufgae : Stelle die Gleichung der Parael K mit folgenden Eigenschaften auf: a) K geht durch A3, B, C. ) K geht durch A,B5,C. c) K geht durch A 9, B, C 3 d) K geht durch A5, B, C3. a) Gegeen sind drei Punkte A3, B, C Ergenis: Ansatz: y a c A -3 K 9a 3 c () B - K a c () C - K a c (3) () - (): 3 5a () (( - (3): 8 (5) Aus (5) folgt: = -. In (): 5a = 3 = - 3 = - 5 also a = - In (): c = 9a + 3 = + 9 6 = y ) Eine Parael K geht durch A( I - ), B ( 5 I - ) und C ( I ). Ansatz: y a c Ergenis: A K a c () B K 5a 5 c () CK a c (3) () (): 0 a 6a 0 () (3) (): 6 3a 3a 6 (5) () (5): 3a 6 a in (): 6a in (): c a y f
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades 7 Aufgae 5: Stelle die Gleichung der Parael K mit folgenden Eigenschaften auf: a) Sie hat den Scheitel S 5 und geht durch A 3 ) Sie hat den Scheitel S und geht durch A3. Wissen: Eine Parael der mit Gleichung hat die Scheitelkoordinate y a c a S. Setzt man in diese Gleichung links für S die -Koordinate des gegeenen Scheitels ein, erhält man folgende erste Bedingung: Aus folgt: a zw. a 0 () a Ansatz für die Gleichung der Parael: y a c Durch Einsetzen der Punktkoordinaten von A und S entstehen weitere Gleichungen: A K : 3 6a c () S K : 5 a c (3) Zunächst wird c durch () - (3) eliminiert: 8 a : 6a () Durch Sutraktion () (3) fällt weg: a ergit a Setzen wir a in () ein folgt: a 8 a und in (3): c 5a 586 3 Ergenis: y 8a 3 ) Eine Parael hat ihren Scheitel in S ) und geht durch. Lösungsweg: A 3. Ansatz für die Gleichung der Parael: y a c Durch Einsetzen der Punktkoordinaten von A und S entstehen Gleichungen: A 3 K : 9a 3 c () S K : a c () Die Scheiteledingung lautet a S a a Hieraus folgt: 0 a (3) Elimination von c durch: () - (): 8 8a I : a () Elimination von durch: (3) + () a in (3): = a a S A a, in (): Ergenis: 9 c a y 9
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades 8. Lösungsweg y a y Die Scheitelform einer Parael lautet: Mit S folgt: S y a a 3 Einsetzen von A3 : 6a 8a a y Ergenis: 3. Lösungsweg Ergenis: Ansatz für die Gleichung der Parael: S mit f'() a y f() a c Durch Einsetzen der Punktkoordinaten von A und S entstehen Gleichungen: A3 K : S K : Waagrechte Tangente in S: 9a3 c () a c () f' 0 a 0 (3) Elimination von c durch: () - (): 8 8a I : a () Elimination von durch: () (3): a a a in (3): a, in (): 9 c a y 9
50 Funktionentraining Ganzrational. Grades 9 Aufgae 6: Stelle die Gleichung der Parael K mit folgenden Eigenschaften auf: a) Sie hat in A5 0 die Tangentensteigung - und geht außerdem durch B 3. ) Sie geht durch A 6 und hat in B ( I ) eine Tangente mit der Steigung -. c) Sie hat den Scheitel S und erührt die Gerade g mit y in A y. d) Sie hat ihren Scheitel ei = und erührt die Gerade g: y 9 an der Stelle. a) Ansatz: y f a c mit f' a Aufstellen des Gleichungssystems für a, und c durch Punktproen: A K d.h. 0 5a 5 c () B K d.h. 3 a c () TA m f' 5 d.h. 0a (3) () - (): - 3 = a + 6 : 3 - = 8a + () () (3) : 3 = - a also a in (3): = - - 0a = a 5 a, in (): c = 3 - a + = 3 y f Ergenis: 5 ) Ansatz: y f a c mit 5 f' a Aufstellen des Gleichungssystems für a, und c durch Punktproen: A 6 K : d. h.: 6 a c () B K : d. h.: 6a c () () - () a : 6a (3) un müssen wir noch ausnützen, dass die Tangente im Punkt B, das heißt an der Stelle = die Steigung - hat, das heißt aer: f' 8a () () - (3) führt zur Elimination von : a a. a in (3) ergit : 6a 3 a und in () ergit c: c 6a 6 y f Ergenis: A