Hans Walser, [0090b] Schnecke von Fibonacci Worum es geht Die Fibonacci-Rekursion wird verallgemeinert und auf Vektoren in der Ebene angewandt. Es entstehen Kreise und logarithmische Spiralen. Da die Fibonacci-Rekursion (auch die von uns verwendete verallgemeinerte Rekursion) linear ist, sind alle Folgevektoren Linearkombinationen der beiden Startvektoren. Die Figur liegt also in der durch die beiden Startvektoren aufgespannten Ebene. Daher können wir uns auf Vektoren in der Ebene beschränken. Beispiel: Wir arbeiten mit der Rekursion: a n+ = a n+ a n Mit den Startvektoren a = 0 und a = ergeben sich die folgenden Vektoren, deren Spitzen auf einer logarithmischen Spirale liegen: 8 9 0 8 9 Warum geht das so? Logarithmische Spirale Kreise. Die Rekursion Wir wählen zwei beliebige Ortsvektoren a und a gleicher Länge als Startvektoren. Weiter sei: p = a a a a Dieser Wert p ist also der Kosinus des Zwischenwinkels der beiden Startvektoren. Nun bilden wir eine Vektorenfolge mit der verallgemeinerten Fibonacci-Rekursion:
Hans Walser: Schnecke von Fibonacci /0 a n+ = p a n+ a n. Beispiel Wir wählen a = und a =. Damit ist p = a a =, und wir haben die Rekursion: a a a n+ = 8 a n+ a n Es sei n der Endpunkt des Ortsvektors a n. Das sieht dann so aus: Die ersten sieben Vektoren Offensichtlich sind die Vektoren gleich lang und haben gleiche Zwischenwinkel.
Hans Walser: Schnecke von Fibonacci /0 Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus folgender Figur. a n+ a n+ a n a n Beweisfigur In der Regel geht es aber nicht auf : 8 9 0 Es geht nicht auf 8 9 0
Hans Walser: Schnecke von Fibonacci /0 Aufgehen tut es genau dann, wenn der Zwischenwinkel in einem rationalen Verhältnis zu 0 steht.. Sieben.. Regelmäßiges Siebeneck Wir wählen a = 0 und a = regelmäßiges Siebeneck. cos sin. Es ist also =. Damit erhalten wir ein Regelmäßiges Siebeneck
Hans Walser: Schnecke von Fibonacci /0.. Siebenstern Wir wählen a = 0 und a = einen regelmäßigen Siebenstern. cos sin. Es ist also =. Damit erhalten wir Siebenstern.. Noch ein Siebenstern Wir wählen a = 0 und a cos( ) = sin( ) einen anderen regelmäßigen Siebenstern.. Es ist also =. Damit erhalten wir Ein anderer Siebenstern
Hans Walser: Schnecke von Fibonacci /0.. Und noch einer Wir wählen a = 0 und a = cos sin. Es ist also =. Damit erhalten wir einen regelmäßigen Siebenstern, der zwar gleich aussieht, aber einen anderen Eckendurchlauf hat. Ecken in anderer Reihenfolge durchlaufen. Ungleich lange Startvektoren Was ergibt sich, wenn die beiden Startvektoren a und a nicht die gleiche Länge haben?.. Das Linsengericht Wir versuchen es mit den Startvektoren a = und a =. Gegenüber dem Eingangsbeispiel ist nun auch der Zwischenwinkel und damit das p verändert. Das sieht dann so aus:
Hans Walser: Schnecke von Fibonacci /0 8 0 9 9 0 8 890 0 9 8 8 8 Versuch Wir wetten ein Linsengericht, dass das nun eine Ellipse ist. Allerdings sehen wir, dass es in diesem Beispiel nicht aufgeht... Beweis Wir normieren die beiden Startvektoren auf die Länge. Wir machen das mit einer linearen Abbildung, welche die beiden Startvektoren als Eigenvektoren und deren Längen als Kehrwerte der zugehörigen Eigenwerte hat. Nun sind wir in der Lage gleich langer Startvektoren, wo sich ein Kreis (nun sogar der Einheitskreis) ergibt. Rückabbildung ergibt eine Ellipse, da die Rekursion linear und damit affin invariant ist. Man beachte, dass der maßgebliche Winkel zwischen den Startvektoren nicht verändert wird, wohl aber die anderen Zwischenwinkel. Aufgehen tut es also nach wie vor genau dann, wenn der Winkel zwischen den Startvektoren in einem rationalen Verhältnis zum vollen Winkel steht... Ein affin reguläres Achteck Wir verwenden die Startvektoren a = und a =. Für den Zwischenwinkel finden wir: a cos( )= a = a a 0 = Somit ist =, und es sollte nach 8 Schritten aufgehen. Wir erhalten die Figur:
Hans Walser: Schnecke von Fibonacci 8/0 8 Affin reguläres Achteck Eine Figur, die mit einer linearen Abbildung aus einem regelmäßigen Achteck hervorgeht, wir als affin reguläres Achteck bezeichnet. Spiralen Wir ändern die Rekursion etwas ab. Beginnen tun wir wieder mit zwei beliebigen Startvektoren a und a. Damit berechnen wir die Werte: r = s = a a a a a Wir verwenden nun die Rekursion: a n+ = r a n+ + s a n
Hans Walser: Schnecke von Fibonacci 9/0. Beispiel Mit den Startvektoren a = 0 und a = erhalten wir folgende Figur. 8 9 8 9 0 Spirale Es dürfte sich um eine logarithmische Spirale handeln.. Beweis Wenn wir den Startvektor a mit dem Faktor a a auf die Länge des zweiten Startvektors a normieren, erhalten wir mit der eingangs verwendeten Rekursion a a a a a n+ = an+ an einen weiteren Fächervektor a gleicher Länge im gleichen Winkelabstand (Situation des Kreises). Nun multiplizieren wir diesen Vektor mit dem Faktor a a a a. Damit haben wir drei aufeinander folgende Vektoren mit dem gleichen Winkelabstand, aber eponentiell wachsender Länge. Die Spitzen liegen auf einer logarithmischen Spirale. Für die Rekursion heißt das: a n+ = a a a a a a an+ a a an = a a a a n+ a a a n = r a n+ + s a n
Hans Walser: Schnecke von Fibonacci 0/0. Weiteres Beispiel Die Frage des Aufgehens ist wieder eine Frage des Zwischenwinkels. Mit den Startvektoren a = und a =, welche den Zwischenwinkel haben, ergibt sich: 9 8 Schnecke