11. Elektronen im Festkörper

11. Elektronen im Festkörper 11.1 Elektrische Leitung in Festkörpern Ohmsches Gesetz Wiedemann-Franz-Gesetz Drude-Modell und Erweiterungen WS 2013/14 1

Theorien zur elektrischen Leitung in Metallen Um 1900 unabhängig voneinander: Paul Drude (Leipzig, Giessen,Berlin) Hendrik Antoon Lorentz (Leiden) J.J. Thomson (Cambridge) Modell des freien Elektronengases WS 2013/14 2

Drude-Theorie 1900 freie Elektronen im Ionenkristall Elektronengas durch kinetische Gastheorie (Boltzmann-Statistik) beschrieben Äußeres elektrisches Feld beschleunigt Elektronen NICHT kontinuierlich, da Stöße mit Gitter ( Relaxationszeit) Paul Karl Ludwig Drude (1863-1906) [wikipedia] WS 2013/14 3

Drude-Theorie Im Gleichgewicht ist mittlere Geschwindigkeit der Elektronen proportional zur Feldstärke Bewegungsgleichung: Stationärer Zustand: WS 2013/14 4

Drude-Theorie Mit der Ladungsträgerdichte n ist die Stromdichte j Leitfähigkeit σ ist WS 2013/14 5

Drude-Theorie erstmals das ohmsche Gesetz erklärt mit diesem Modell berechnete Widerstandswert etwa sechs mal größer als der gemessene Wiedemann-Franz-Gesetz näherungsweise erhalten Jedes Elektron müsste also 3/2 k B T liefern. Messungen haben aber gezeigt, dass der elektronische Beitrag zur Gesamtenergie etwa tausendmal kleiner ist (berechnete spezifische Wärme viel zu groß) WS 2013/14 6

Drude-Theorie Proportionalität von Widerstand und Elektronengeschwindigkeit zur Wurzel aus der Temperatur, was experimentell nicht stimmt Es kann überhaupt keine Aussage darüber getroffen werden, ob ein Material ein Leiter, Halbleiter oder ein Isolator ist WS 2013/14 7

Elektrische Leitfähigkeit elektrische Leitfähigkeit [Ω -1 cm -1 ] 1x10 7 1x10 5 1x10 3 1x10 1 1x10-1 1x10-3 1x10-5 1x10-7 1x10-9 10-11 Supraleiter >10 23 Cu YBa 2 Cu 3 O 7 La 0.75 Ca 0.25 MnO 3 Pb Graphit Na 2 O*11Al 2 O 3 Ge Si Glas 1 10 100 1000 Temperatur [K] Isolatoren Halbleiter Metalle Supraleitung: beim Abkühlen fällt der Widerstand sprungartig auf Null. Die elektrische Leitfähigkeit von Metallen nimmt mit der Temperatur ab Die Leitfähigkeit von Isolatoren und Halbleitern nimmt mit der Temperatur zu [ K. Conder ] WS 2013/14 8

Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) Elektron als Träger der Ladung Lorentzkraft Nobelpreis 1902 mit P. Zeeman Gemälde von Menso Kamerlingh Onnes [Wikipedia] WS 2013/14 9

Drude-Lorentz-Theorie 1905 Beschreibung der zusätzlichen Absorptionsmaxima (z.b. durch Bandübergänge) Dielektrische Funktion von Halbleitern und Isolatoren beschrieben WS 2013/14 10

Wechselfelder: Drudeformel Plasmafrequenz WS 2013/14 11

Bewegung im Magnetfeld Lorentzkraft Zyklotronfrequenz Leitfähigkeitstensor WS 2013/14 12

Hall-Effekt WS 2013/14 13

Edwin Herbert Hall (1855-1938) 1879 Halleffekt 1881-1921 Harvard Thermoelektrizität WS 2013/14 14

11.2 Freies Elektronengas im Sommerfeld-Modell Leitungselektronenwolke Fermistatistik Zustandsdichte Fermikugel Beitrag zur spezifischen Wärme Dispersionsrelation WS 2013/14 15

Drude-Sommerfeld-Theorie 1927 Verbesserung der Drude-Theorie durch Anwendung der Quantenmechanik Sommerfeldsches Modell des freien Elektronengases (Schrödingergleichung für Kastenpotential) WS 2013/14 16

PHYSIK IV SS 2004 Quantenmechanik: Elektron im unendlichen Kastenpotential ( Freies Elektronengas Festkörperphysik 5. Semester ) φ ( x) 15 2 M φ ( x) 3 φ ( x) 2 2 2 2 2 π h En = 2 2ma a = 0.1nm m = n 2 31 9.1 10 kg ( ) 2 2 sin 2 πnx φn x = a a φ ( x) 1 2 0 a x [Tolan,Stolze] 17

Potentialkastenmodell: k Y E(k) k F k Z 2π/l Y 0 Darstellung der nach den Randbedingungen (Potentialkasten) erlaubten Werte für E(k) und k X mit k Y = k Z = 0 k X 2π/l Z Schnitt durch den k-raum in der k X - k Y Ebene mit den erlaubten k Werten und der Fermikugel a) b) E A E 0 E(k) E F k X Schematische Darstellung der besetzten Zustände im a) Potentialkastenmodell und b) E(k) Schema WS 2013/14 18

Besetzung der Zustände im Potentialkastenmodell für T 0: N(E) f 0 (E) 1 10000 K 5000 K 2000 K 500 K E F Darstellung der Zustandsdichte N(E) des dreidimensionalen Potentialkastens E 0 5 10 E/eV Fermi-Verteilungsfunktion f 0 (E,T) für verschiedene T, E F = 5eV N(E) n(e) f 0 N(E) n(e) = N(E) f 0 (E,T) mit: f ( E, T) E Besetzung der Energieniveaus des dreidimensionalen Potentialkastens für T > 0 WS 2013/14 0 = 1+ 1 E E exp k T B F 19

3-D Zustandsdichte WS 2013/14 20

Zustandsdichten WS 2013/14 21

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Fermikugel [ Bechstedt ] WS 2013/14 23

11.3 Bändermodell des Festkörpers Elektron im periodischen Potenzial Bloch-Wellen Energielücke Reduziertes Energieschema Periodisches Energieschema Fermiflächen Bandstrukturen WS 2013/14 24

Gitterperiodisches Potential [ Bechstedt ] WS 2013/14 25

Felix Bloch ( 1905-1983) Studium ETH Leipzig (Heisenberg) Bandstruktur (Bloch-Theorem) 1929 Assistent Pauli (ETH) 1934-71 Stanford Manhattan project Ferromagnetismus (B.-Wand) 1952 Nobelpreis (NMR) [nobelprize.org ] WS 2013/14 26

Blochwelle [ Hunklinger ] WS 2013/14 27

[http://www.falstad.com/qm1dcrystal/index.html ] WS 2013/14 28

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E Gitter E 0 0 Wirkung des periodischen Gitterpotentials: a 2a 3a 4a x Ψ 1 (x) 2 x Ψ 2 (x) 2 Veranschaulichung der Energieaufspaltung unter der Einwirkung des periodischen Gitterpotentials für den eindimensionalen Fall E x Schematische Darstellung der Bänder erlaubter Energiezustände im periodischen Gitterpotential WS 2013/14 x 30

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[ Magnussen ] WS 2013/14 37

Experimentelle Bestimmung von Fermiflächen [ Magnussen ] WS 2013/14 47

Elektronen im Magnetfeld: Landau-Niveaus [ Magnussen ] WS 2013/14 48