9. Credibility: 9.1. Problemstellung. 9.1 Problemstellung

9. Credblty

9. Credblty: 9.. Problemstellug 9. Problemstellug

9. Credblty: 9.. Problemstellug 3 9... Utersched zur klasssche Statstk GLM s etc. Modellaahme: Homogee Kollektve, welche durch gleche Auspräguge der Rskomerkmale Rsko-Zelle defert werde. Ierhalb der homogee Kollektve werde für alle Rske detsche Verteluge uterstellt. Zel der klasssche Statstk: Schätzug der gemesame Vertelug der Rske erhalb ees homogee Kollektvs dabe beutzt de Schätzug auch Iformatoe über adere Kollektve Zelle sehe Kaptel 8 über Verallgemeerte Leare Modelle.

9. Credblty: 9.. Problemstellug 4 9... Credblty De Credblty-Theore stellt mathematsche Verfahre zur Verfügug, de es erlaube, de zuächst ehetlche Nettorskopräme E X auf der Bass der später beobachtete Schadehöhe so zu dfferezere, dass für ede Polce ee dem tatsächlche Rsko agemessee Präme zu zahle st. Credblty uterstellt für edes Rsko ee dvduelle der Zet kostate Vertelug.

9. Credblty: 9.. Problemstellug 5 Bedeutug des Kollektvs: De Parameter der rskodvduelle Vertelug spezell dere Erwartugswerte uterlege eer durch das Kollektv deferte Vertelug U Strukturvertelug. Wetere über de Kets der Strukturvertelug hausgehede Iformatoe über de dvduelle Vertelug des ezele Rskos werde cht betrachtet. Jede wetere Iformato st berets der Kollektvbldug ethalte d.h. m betrachtete Kollektv werde a pror alle Rske als glech betrachtet!. Zel: Schätzug der dvduelle Vertelug der Ezelrske aus der vorlegede Iformato über das Kollektv ud aus der rskodvduelle Schadeerfahrug.

9. Credblty: 9.. Problemstellug 6 Allgemee Vorgeheswese:. Kollektv-Bldug: Bldug vo möglchst weg homogee Kollektve mttels aller verfügbare Rskomerkmale - Ist e Kollektv hschtlch ees potezell schadebedarfsdfferezerede Merkmals utertelbar, köe de Ezelrske cht a pror als glech betrachtet werde, wel sost Credblty cht awedbar st! - De Ermttlug der Erwartugswerte Verteluge de durch de Tarfmerkmale gegebee Zelle erfolgt mttels klassscher Statstk. De Iterpretato deser Erwartugswerte gescheht edoch cht als Erwartugswerte der gemesame Ezelrsko-Vertelug, soder als Erwartugswert der Strukturvertelug.

9. Credblty: 9.. Problemstellug 7. Parameterschätzug - Schätzug der Varaz der Vertelug der Ezelrske - Schätzug der Varaz der Strukturvertelug De Varaze werde e ach Datelage drekt aus de vorlegede Date geschätzt, oder es werde Schätzuge aus adere Quelle verwedet. 3. A-posteror-Schätzug Für edes Ezelrsko des betrachtete homogee Kollektvs st de bestmöglche Schätzug des dvduelle Erwartugswertes ee Kovekombato aus Kollektv-Erwartugswert sehe Pukt ud der kokrete Schadeerfahrug des Ezelrskos. Das Gewcht der bede Tele deser Schätzug bestmmt ma mt Hlfe der bede Varaze gemäß Pukt.

9. Credblty: 9.. Problemstellug 8 Kokrete Aufgabestelluge uter verschedee Datelage: Datelage : Für alle Ezelrske des Kollektvs lege Zetrehe der Schadeerfahrug vor. Vertelugsfree Schätzug vo Erwartugswert ud Varaz der Strukturvertelug sowe der Varaz der Ezelrsko-Verteluge: Bühlma- Straub-Modell Starke Ählchket mt der aus dem Basswsse bekate Varazaalyse ANOVA. Datelage : Es besteht e Edruck über de Vertelug der Ezelrske z.b. aus eer bekate Schadehöhevertelug sowe über Erwartugswert ud Varaz der Strukturvertelug z.b. deshalb, wel das Kollektv mttels ees GLM kalkulert wurde ud das GLM ebe dem Erwartugswert e Gespür für de cht erklärte Varaz vermttelt; her st ee Schätzug der Überdsperso sehr ützlch!. Allgemees Credblty-Modell.

9. Credblty: 9.. Problemstellug 9 Datelage 3: Das Ezelrsko st ke egetlches Ezelrsko, soder setzt sch aus mehrere Ezelrske zusamme, wrd aber trotzdem als dvdueller Tel ees größere Kollektvs betrachtet; de Vertelug des Ezelrskos st strukturell bekat; für de Varaz der Strukturvertelug besteht ee Abschätzug: kleer Abrechugsverbad erhalb ees Lebes-Bestades,... Bayes-Modell.

9. Credblty: 9.. Problemstellug 0 Credblty st de wchtgste mathematsche Begrüdug für Schadefrehets- Systeme. Verlustfree Gewerbeverscherug st ohe Credblty ahezu cht mehr möglch. Außerhalb Deutschlads wrd Credblty der Gruppe-Lebes- ud Krakeverscherug verwedet.

9. Credblty: 9.. Der Bayes-Asatz: Das Modell 9.. Der Bayes-Asatz: Das Modell

9. Credblty: 9.. Der Bayes-Asatz: Das Modell See X X e Rsko des betrachtete Kollektvs, Realseruge vo X der Vergagehet für,..., ud der zu progostzerede Zukuft für + Zufallsgröße, cht beobachtbarer Parameter, der dem Rsko X zugeordet se, Θ Zufallsgröße mt Wert, de de Auswahl des Rskos X aus dem Kollektv beschrebt. Isgesamt st also de Beobachtug der Realserug ees belebge Rskos aus dem Kollektv der Perode beschrebe durch das Paar X ; Θ vo Zufallsgröße mt Werte ;, wobe cht beobachtbar st.

9. Credblty: 9.. Der Bayes-Asatz: Das Modell 3 Se F ; : P X ; Θ de gemesame Vertelugsfukto der bede Zufallsgröße X ud Θ, F : P X Θ bedgte Vertelugsfukto vo X. de durch Θ Se weter mt Werte X T : X,..., X der Vektor der Zufallsgröße der Vergagehet T :,..., ud see ; F bzw. F de Vertelugsfuktoe bzw. bedgte Vertelugsfuktoe deser Zufallsvektore.

9. Credblty: 9.. Der Bayes-Asatz: Das Modell 4 Aahme: Für alle,...,+ see de durch bedgte Verteluge der X uabhägg ud detsch also für alle mt derselbe Vertelugsfukto F. Aus deser Vertelugsaahme folgt: E X + E X E X Perode,...,, Rske, Es hadelt sch um ee ezge Zahl, de für alle Rske, glech st, da der Erwartugswert cht ur über das ezele Rsko, soder sbesodere auch über alle Rske des Kollektvs gebldet wrd!, +, Θ Θ E X E X Perode,..., Es hadelt sch um ee Zufallsgröße, abhägg vo der Zufallsauswahl des Rskos X mt Parameter!

9. Credblty: 9.. Der Bayes-Asatz: Das Modell 5 Defto 9.. Mt de Bezechuge ud Voraussetzuge we obe ausgeführt heßt P koll : E + Kollektvpräme, X, P d : E X +, Θ Idvdualpräme, P Bayes : E X +, X Bayes-Präme, U Θ : P Θ Strukturvertelug.

9. Credblty: 9.. Der Bayes-Asatz: Das Modell 6 Aschaulche Iterpretato: Der Schade edes Rskos des Kollektvs se ach eer für das ezele Rsko dvduelle Vertelug vertelt. Dese dvduelle Vertelug se alle Perode vergagee beobachtbare ud küftge zu schätzede - detsch, ud ur für das Rsko betrachtet, also zwsche de Perode uabhägg. Für verschedee Rske habe de ewelge Vertelug ee verschedee für das ewelge Rsko charakterstsche Parameter z.b. Erwartugswert; aber möglch sd alle Parameter der verschedee Vertelugstype. Deser st aber cht bekat, ma ka also de Rske be der Auswahl aus dem Kollektv hre Parameter cht asehe auch we deser atürlch de Vertelug des Schades bestmmt. Theoretsch st es cht otwedg, dass alle Rske dem gleche Vertelugstyp mt uterschedlche Parameter folge, des wrd edoch de praktsche Rechuge mmer uterstellt.

9. Credblty: 9.. Der Bayes-Asatz: Das Modell 7 - De Vertelug der Parameter der dvduelle Schadeverteluge st de Strukturvertelug. - De Idvdualpräme st der echte Schade-Erwartugswert des ewels betrachtete Ezelrskos de ma aus dem Parameter der dvduelle Schadevertelug bereche köte, we ma kee würde!. - De Kollektvpräme st der Erwartugswert über alle Rske, also über de Strukturvertelug der dvduelle Erwartugswerte also der e Ezelrsko.a. ubekate Idvdualpräme, de ach dem Satz vom tererte Erwartugswert glt P koll E X +, E E X +, Θ E E X Θ Deser lässt sch bereche, da cht für de kokrete Ezelrske, a- ber mt hrer Vertelug U m Kollektv de Idvdualpräme bekat sd. De Kollektvpräme wrd be Kalkulato mt klassscher Statstk Regresso oder GLM s etc. geschätzt.

9. Credblty: 9.. Der Bayes-Asatz: Das Modell 8 - De Bayes-Präme st der Schätzer für de Idvdualpräme, der statt des ubekate Parameters desse Erwartugswert - aber bedgt, gegebe de kokrete Beobachtuge verwedet. Ma beachte: +, +, Θ E X X E X E X.

9. Credblty: 9.. Der Bayes-Asatz: Das Modell 9 Kokrete Schätzmethode m Folgede. De Schätzug des küftge Schade-Erwartugswertes st fast detsch mt der Schätzug des ubekate Parameters, da aus desem für de üblche Vertelugstype der Erwartugswert berechet werde ka. Bemerkug: Das Kozept der Zufallsauswahl des Parameters besagt, dass ahad messbarer Rskomerkmale kee Vorhersage möglch st, ob es sch um e relatv zum Kollektv gutes oder schlechtes Rsko hadelt. Des st ee etschedede Voraussetzug für de Awedug vo Credblty! Bezechug: De Iformatosstad, der sch ur auf messbare Rskomerkmale bezeht, et ma a pror -Schätzuge. De Iformatosstad, der auf a-pror-iformato ud zusätzlch auf Realseruge der X beruht, et ma a posteror.

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer 0 9.3. Bayes-Schätzer

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer Allgemee Herletug Bezechuge m Folgede wrd auf de Bezechug des Rskos verzchtet: f, gemesame stetge oder Zähl-Dchte des Parameters Θ ud der Beobachtuge X X,..., X T bzgl. des Maßes µ d ν d de Kompoete des Maßes üblcherwese Zähl- oder Lebesgue-Maß f : f bedgte stetge oder Zähl- Dchte der Vertelug vo X, bedgt durch Θ bzgl. des Maßes µ d f : f bedgte stetge oder Zähl- Dchte der Vertelug der ezele Beobachtuge X, bedgt durch Θ bzgl. des Maßes µ d aufgrud d-aahme detsch für alle

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer f X stetge oder Zähl- Raddchte der Beobachtuge X bzgl. des Maßes ν d u stetge oder Zähl- Raddchte der Strukturvertelug des Parameters Θ bzgl. des Maßes µ d Zel der Aalyse: u ~ : f bedgte Dchte bzgl. des Maßes µ d des Parameters Θ des betrachtete Rskos, gegebe de Beobachtuge X.

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer 3 Aus de Recheregel für bedgte Verteluge folgt: 9.3.a f, f u 9.3.b f, f u X Aus der Voraussetzug, dass de X,..., X bedgt uabhägg sd, folgt 9.3.a f f De Raddchte f X lässt sch darstelle als 9.3.b f X f, µ d

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer Geschätzt wrd der bedgte Erwartugswert vo uter der Bedgug, dass bekat st. Der Satz vo Bayes sagt seer stetge Form herfür uter Verwedug obger Folgeruge: 9.3.3 ~ u, f f X d f u f u µ Für de gesuchte Erwartugswert folgt durch Itegrato über de soebe ermttelte Dchte der Erwartugswert des Parameters uter Vorlege der Beobachtuge : 9.3.4 ˆ E ~ µ d u µ µ d f u d f u 4

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer 5 Daraus st de gewüschte Progose a posteror-schätzer E X ˆ + abletbar: Esetze vo ˆ de Dchte f ud Berechug des Erwartugswertes. Bemerkuge: Es st erschtlch, dass de a-posteror-dchte u~ ee adere st als de a-pror-dchte u! Der Neer hägt ur vo der kokrete Schadeerfahrug ab. Der bedgte Erwartugswert mmert de Erwartugswert vo quadratscher Abwechug zwsche Schätzug ud wahrem ubekate Wert vo. Im Bayes-Kotet sprcht ma vo Mmerug der quadratsche Verlustfukto.

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer 6 Awedug : Strukturvertelug Gamma α, β, Ezelrskovertelug Posso Posso-Gamma-Modell Es glt: 9.3.5a f e! 9.3.5b u β e Γ α α α β Also Erwartugswert α / β, Varaz α / β der Strukturvertelug. Durch Esetze vo 9.3.5a ud 9.3.5b 9.3.3, Zehe des Produktes de Epoete der e-fukto, geegete Zusammefassug ud Kürze erket ma mt folgeder Rechug für Iteresserte:

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer ~ u, f f X d f u f u ν 0 /! /! e e e e d α α β α α β β α β α Γ Γ Kürze!, / α α Γ + Γ, α β ; verwede β β e e e + 7

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer α α β α β α d e e + Γ + Γ + + 0 / / Erweter + + α β α β α β β α α β α α d e e + Γ + + Γ + + + + + + + 0 / / Der Zähler st de Dchte eer Gamma-Vertelug, ~, ~ + + Γ Γ β α β α, der Neer das Itegral über ebe dese Vertelug, also glech. 8

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer 9 De a-posteror-dchte st 9.3.6 ~ ~ u Γ ~ α, β Γ α +, β, + + α 9.3.7 E β + β α + + β + β β mt : Bemerkuge zum Posso-Gamma-Modell: Das Posso-Gamma-Modell eget sch zur Progose vo Stückzahle. Es bldete de 60er-Jahre de theoretsche Begrüdug zur Kostrukto der europäsche Schadefrehets-Systeme der Kraftfahrt-Verscherug. Es st übrges auch geeget zur Modellerug vo cht gaz klee Persoeverscherugskollektve, sbesodere be Krakeverscheruge, da für Erwartugswerte > 9 Bomal- ud Posso-Vertelug kaum uterschedbar sd.

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer 30 Der Kollektv-Erwartugswert α β st mest aus Aalyse mttels klassscher Statstk bekat, der Varatoskoeffzet α edoch mest cht. Zu desse Schätzug stehe mdestes de folgede 4 Wege offe: - Schätzug mt Methode der Credblty de deselbe Schätzer beutzt we de bekate Varazaalyse ANOVA, - Messug der Überdsperso ud dere Iterpretato als Varaz der Strukturvertelug, - Schchtug der Rskogruppe ach Schadeerfahrug ud Behadlug der Schadeerfahrug we e Merkmal mt klassscher Statstk, - Messug der Varaz der Stückzahl-Vertelug ud Iterpretato des Tels der Varaz, der de Varaz der Posso-Vertelug überstegt, als Varaz der Strukturvertelug. Alle Herageheswese habe Vor- ud Nachtele, ma sollte sch mt verschedee Herageheswese e Bld mache. Beachte, dass de Strukturvertelug e eplzt beobachtbar st!

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer 3 3 Lege kee Beobachtuge vor, st der a-posteror-erwartugswert glech dem a-pror-erwartugswert: E E. 4 Pras-relevate Modfkato: De beobachtbare Zufallsgröße X,..., werde cht mt ehetlchem Posso-Parameter soder mt dvduelle Posso-Parameter λ modellert. De λ resultere dabe aus eer a- pror-schätzug. Se müsse sch cht emal auf e ezges verschertes Obekt bezehe. Aufgrud der Addtvtät der Posso-Vertelug ka λ auch als Erwartugswert eer Summe vo ezele Rske terpretert werde. Der Parameter beschrebt de über de Zet kostate Abwechug des Rskos X vo der a-pror-schätzug. De Schätzug vo ˆ erfolgt we obe dargestellt. I 9.3.7 steht edoch λ astelle vo. Da be deser Parametrserug der Erwartugswert der Strukturvertelug st, glt α β.

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer 3 5 Im Posso-Gamma-Modell erket ma ebeso we m ute dargestellte Normal-Normal-Modell: De a-posteror-vertelug des Parameters also uter Vorlege kokreter Schadeerfahrug des betrachtete Rskos st vom selbe Typ we de a- pror-vertelug des Parameters, allerdgs mt eem Erwartugswert, der e gewchtetes Mttel aus a-pror-erwartugswert ud Messwert der Schadeerfahrug st, ud mt eer gergere Varaz. Deses schöe Ergebs st cht selbstverstädlch. Es zegt sch ur für sehr spezelle Kombatoe vo Strukturvertelug ud Ezelrsko- Vertelug. Ma et solche Paare vo Verteluge kougerte Verteluge.

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer 33 Awedug : Strukturvertelug Normal Normal N µ, τ, Ezelrskovertelug N, σ Normal-Normal-Modell 9.3.8a f ep πσ σ 9.3.8b u ep πτ µ τ

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer Aalog zum Posso-Gamma-Fall berechet ma durch Esetze ~ u, f f X d f u f u ν πσ πτ πσ πτ σ τ µ σ τ µ d e e e e 34

9. Credblty: 9.3. Bayes-Schätzer 35 Wege e σ τ σ µ τ µ σ τ σ + + + + e ep τ σ µ σ + τ σ µ + τ cost ep σ τ σ + τ folgt 9.3.9 u ~ σ τ σ τ N µ +, σ + τ σ + τ σ + τ σ τ 9.3.0 E µ + σ + τ σ + τ

9. Credblty: 9.4. Bühlma- ud Bühlma-Straub-Credblty 36 9.4. Bühlma- ud Bühlma-Straub- Credblty

9. Credblty: 9.4. Bühlma- ud Bühlma-Straub-Credblty 37 De klasssche Credblty eakt formulert vo H. Bühlma ud H. Straub schätzt Erwartugswerte ezeler Rske ees homogee! Kollektvs - als Learkombato vo Kollektv-Erwartugswert ud dvduelle Messwerte, - mt Schätzer, de sch als Erwartugswert- ud Varaz-Schätzer beobachtbarer Date zusammesetze, de ebe de vertelugsfree Schätzuge vo Erwartugswert ud Varaz kee Aahme über Verteluge beötge ud damt kee Lkelhood-Schätzug verwede.

9. Credblty: 9.4. Bühlma- ud Bühlma-Straub-Credblty 38 Ählchket zwsche Bayes-Asatz ud klassscher Credblty: - Be Verwedug kougerter Verteluge ur da! führe de Bayes- Schätzer auf Learkombatoe vo a-pror-erwartugswert ud Messwert-Mttel. - De de resulterede Schätzer ethaltee Parameter der betelgte Verteluge spele m Hblck auf Erwartugswerte ud Varaze deser Verteluge deselbe Rolle, de der klasssche Credblty de dort vertelugsfre zu schätzede Erwartugswerte ud Varaze spele. - De Bayes-Iterpretato erlechtert tedezell das Verstäds des zu lösede Problems ud ermöglcht damt Schlüsse auch be cht stadardmäßger Datelage. Für de kokrete Parameter-Schätzug be guter Datelage eget sch de klasssche Credblty oft besser.

9. Credblty: 9.4. Bühlma- ud Bühlma-Straub-Credblty 39 Es gbt Modelle, das efache Bühlma- ud das durch ee Erweterug daraus abgeletete Bühlma-Straub-Modell. Im Folgede wrd das Credblty-Kozept ahad des Bühlma-Modells dargestellt, de Agabe der Schätzer erfolgt am allgemee Bühlma-Straub- Modell.

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 40 9.5. Bühlma-Credblty

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 4 9.5.. Das Modell Se,..., T X X X e durch ee Parameter bestmmtes Rsko ees homogee Kollektvs ud de Zufallsvarable X,,...,, de beobachtbare Realseruge z.b. Schäde vo X der Vergagehet. De Zufallsvarable mt Realserug beschrebe de Auswahl des Rskos. Das Bühlma-Modell besagt, dass de vergagee beobachtbare Realseruge X uabhägg ud detsch vertelt uter der Bedgug der Zufallsvarable sd. Se : EX : Var X.

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 4 Defto 9.5.: See,,..., M X X Zufallsvarable mt EM ud EX. Ee Zufallsvarable Y der Form 9.5. Y a 0 a X, a,..., 0 a, für alle heßt leare Credblty-Präme oder learer Credblty-Schätzer vo M auf der Bass vo X,..., X, falls 9.5. E Y M f E Y M, Y wobe das Ifmum über alle Zufallsvarable Y der Form 9.5. gebldet wrd.

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 43 Satz 9.5.: Ee Zufallsvarable Y der Form 9.5. st geau da e Credblty- Schätzer für M, falls se de folgede Normalglechuge erfüllt: 9.5.3 EM E Y Cov Y, X Cov M, X Sd de Zufallsvarable Y, Y der Form 9.5. Lösuge vo 9.5.3, so glt Y Y P -f.s. ud Cov Y, M Var Y Var M Var Y M.

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 44 De allgemee Resultate aus Defto 9.5. werde u zur Ermttlug der zuküftge och cht beobachtete Realserug X heragezoge, de ur lear vo X,..., X abhäge, d.h. ma betrachtet de Fall M : X Satz 9.5. Credblty-Präme m Bühlma-Modell: Glt Defto 9.5. sowe alle, da st 9.5.4 Y a a X ZX Z mt X : X, Z / ud 0 e Credblty-Schätzer für X. Var EX 0, ud E VarX : E X für, dem Bühlma-Credblty-Faktor / VarEX E Var X

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 45 Bemerkuge: Der quadratsche Fehler des Credblty-Schätzers errechet sch zu 9.5.5 / E E Y M Z Var E Var. Aus der bedgte Uabhäggket der X gegebe folgt: 9.5.6 VarX E Var

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 46 3 Damt glt für das Gewcht Z der dvduelle Schadeerfahrug sowe für Z des Kollektvmttels: das Gewcht Z Var E X Var X, Z Var X. Var X Der Credblty-Schätzer st also das gewchtete Mttel aus de bede Iformatoe Messwert-Mttel X ud Kollektvmttel. Dese bede Iformatoe sd ebefalls erwartugstreue Schätzer. Ihre quadratsche Feh- Z ud Z ler sd geau de Zähler de o.a. Formel für de Gewchte allerdgs vertauscht. De Gewchte der bede Iformatoe verhalte sch also we de quadratsche Fehler der ewels adere Größe, we dese als Schätzer verwedet würde.

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 47 4 Der Credblty-Koeffzet E Var X Var E X st das Verhälts vo mttlerer Varaz erhalb der Rske über de Zet zur Varaz der Erwartugswerte der ezele Rske, also zwsche de Rske. De kozeptoelle Nähe zu Varazaalyse ANOVA st offeschtlch. De Iterpretato st der Pras besoders hlfrech, we kee Date zur Parameterschätzug der rerassge Datestruktur des ächste Kaptels vorlege. We stattdesse der Aktuar aus Uterehmes- oder Verbadsstatstke für bede Varaze ee grobe Abschätzug hat, ka er der Pras see a-pror Schätzuge mt Credblty deutlch verbesser.

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 48 Ee kokrete Schlusswese st oft de folgede: - Varaz der Ezelrske: Aus eer Schadehöhevertelug gemäß Verbads- oder Uterehmes statstk ud eer als Posso-vertelt ageommee Schadeazahlver telug. - Varaz zwsche de Rske: Grobe Abschätzug der durch Tarf cht erklärte Varaz, z.b. aus der Überdsperso des der Tarfkalkulato zugrude legede GLMs oder aus eer subektve Abschätzug, welche Verbesserug der Apassugsgüte durch küftge zusätzlche Merkmale möglcherwese och erzelt werde ka. Oder efach Messug der Varaz des Tarfes selbst ud grobe Abschätzug, we groß de cht erklärte Varaz relatv zur Tarf-Varaz st. Erklärte Varaz bezechet her E Var X, wobe sch de Erwartugswert-Bldug cht ur über ee Tarfzelle erstreckt,

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 49 soder über de gesamte Tarf. bezechet her kee feste Wert, soder de Schätzug a pror, z.b. durch e GLM. - Credblty über de Schadequote ees Rskos uter dem betrachtete Tarf mt dem aus de geschätzte Varaze.

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 50 9.5.. Awedugsbespel GuV-Hochrechug Se S der zu progostzerede Jahres-Schade eer Verscherugsart, B der wetgehed scher vorhersagbare Jahresbetrag deser Verscherugsart. Der Gew G S B st Progose-Zel. Bekat se der Schade S des erste Halbahres. Es se bekat, dass der Schade glechvertelt über de Zet etrtt ud sofort gemeldet wrd. Bekat see auch de Schadequote dere Mttelwert S Q. SQ,,...,, der Vergagehet sowe Gesucht: Schätzug für de Erwartugswert des Schades S des. Halbahres.

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 5 Grudsätzlch sd mdestes folgede bede Schätzer für S svoll: Sˆ : S Sˆ : SQ B Se Vˆ SH der aus der bekate Schadehöhevertelug der Pras auch oft mttels des Kollektve Modells aus Schadestück- ud höhevertelug abletbare Schätzer der Varaz vo S. Se Vˆ >> Vˆ der Schätzer der Varaz vo S, der sch aus de gemessee Schadequote der letzte Jahre multplzert mt B errechet. SQ SH

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 5 Iterpretato: De Zufällgket des ährlche Schades S wrd eersets durch de Zufällgket der Ezelschäde bestmmt herfür st Vˆ SH ee geegete Messgröße als auch durch ährlche Selektoe der Bestadszusammesetzug. De herdurch etstehede Varaz se mt V Sel bezechet. Bede Zufällgkete köe der Pras als wetgehed uabhägg agesehe werde. De Gesamt-Varaz vo S, V SQ, setzt sch aus de geate Tele zusamme: V V + V. SQ SH Sel De bede geate Schätzer bezehe sch also auf uterschedlche wrtschaftlche Größe!

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 53 Das Modell Durch de zufällge Selekto st der Jahresschade Zufallsgröße mt Erwartugswert ud Varaz : ES : VarS. Für de bede Halbahresschäde glt: / E S E S Var S Var S /.

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 54 Wetere Bezechuge: :, 0 :, : E E Var Beachte: σ ud τ bezehe sch her auf de Jahresschade, währed der Halbahresschade geschätzt wrd. Nahe legede Schätzer: Vˆ SH für Vˆ SQ für σ B SQ für µ 0 S astelle X Vˆ Vˆ für σ + τ ud damt SQ SH Beachte: τ Var S / astelle Var X /

9. Credblty: 9.5. Bühlma-Credblty 55 Weter st Also st Var E S Var / / 4 mt Schätzer Vˆ ˆ SQ VSH / 4. Var S mt Schätzer Vˆ / + Vˆ Vˆ / 4. / / 4 Damt besagt 9.5.4 uter Verwedug vo 9.5.6, bezoge auf de her verwedete Bezechuge: Var E S Z mt Schätzer Var S Der Credblty-Schätzer für S ergbt sch daher zu ˆ Cred ˆ ˆ B S Z S Z SQ. SH ˆ ˆ V Z Vˆ SQ SQ SQ Vˆ Vˆ SH SH SH

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 56 9.6. Bühlma-Straub-Credblty

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 57 Bs her wurde och kee kokrete Schätzer agegebe, de aus vorlegede Date gebldet sd. Alle Aussage bezoge sch auf Erwartugswerte ud Varaze der betelgte Verteluge. Im Folgede werde kokrete Schätzer ohe Bewes agegebe. Im Iteresse der Prasrelevaz wrd e etwas erwetertes Modell zugrude gelegt, das der Zet e Ezelrsko ee Veräderug des Volumes erlaubt ud damt ee durch de Volumeäderug verursachte Äderug der Varaz.

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 58 9.6. Das Modell See X,,..., m, vo eem Parameter mt Auspräguge abhägge Rske ees homogee Kollektvs. De Zufallsgröße X,,...,, see beobachtbare Realseruge des Rskos X de für das dvduelle Rsko Vergagehet. X beobachtbare Perode der Für ede Realserug des Rskos se e Gewcht 0, w bekat. De Zufallsgröße mt Realserug beschrebe de Auswahl des Rskos das durch see Parameter bestmmt wrd. X

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 59 Weter gelte: De X,,..., m, see für alle bedgt auf uabhägg ud detsch vertelt mt Var X E X De Paare, X, w, m w 0, Gewchte Volumemaß,..., m see paarwese uabhägg.

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 60 Bemerkuge: De Awedug vo Credblty setzt stets voraus, dass für de betrachtete Rske a pror kee Abwechug vom Kollektvmttel ahe legt Zufallsauswahl vo. Das Bühlma-Modell legt aufgrud seer Varaz-Aahme de drekte Beobachtug ezeler Rske ahe. Des st der Pras oft problematsch, da selte Kollektve vo Rske vorlege, de sch ud über de Zet a pror cht uterschedbar sd. Das Bühlma-Straub-Modell legt aus desem Grud mt seer Varaz- Struktur de Betrachtug vo Quote ahe: Als Rske sollte ma sch Telsegmete Gruppeverträge,... vorstelle, de sch aus ezele Rske verschedeer Tarfpostoe zusammesetze köe.

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 6 Beschrebt X das Verhälts Quote vo gemesseem Schade oder Lestug Stückzahl, Aufwad, Durchschtt des Rskos zum a pror für das Rsko kalkulerte Schade bzw. Lestug, legt ahe, dass a dese Quote a pror für alle Rske glech se sollte, auch we verschedee Rske verschedee Kollektv-Erwartugswerte Tarfpräme etc. habe mdestes we der Tarf als Gazes far kalkulert wurde, b de Varaz ees Rskos proportoal zu seem Volume üblcherwese der Tarfpräme etc. st, de Varaz der Quote mth umgekehrt proportoal zum Volume st. Dese Tatsache werde geau durch de Aahme ud des Bühlma-Straub-Modells beschrebe.

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 6 De Varaz-Aahme st.d.r. be de Größe Schade-/Lestugs- Stückzahl ud Schadedurchschtt erfüllt, mest auch für de Schadeaufwad. st be Verwedug vo Quote kompatbel mt der Varazfukto Var des GLM der Posso-Vertelug: Der Erwartugswert der Quote beträgt überall sehe Kaptel 8 ud Volume Erwartugswert! w Stückzahl a-pror- Das heßt: Wer ee Tarf mt eem GLM der Posso-Vertelug kalkulert hat, hat des mt der gleche Berechtgug geta, mt der er Bühlma-Straub- Credblty auf Schadequote uter desem Tarf awede darf!

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 63 Der m Folgede agegebee Credblty-Schätzer st we der allgemee Defto 9.5. defert. Alle Schätzer werde mt Hlfe der Normalglechuge hergeletet, we allgeme bem Bühlma-Modell dargestellt, allerdgs uter Verwedug der uterschedlche Varaz-Aahme. De de Bemerkuge 3 zum Bühlma-Modell getroffee Aussage gelte vollstädg aalog.

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 64 Satz 9.6. Credblty-Präme m Bühlma-Straub-Modell: Es gelte 0, Var E X für alle. Da st 9.6. Y ZX Z w w X w w w E X mt w w, : Credblty-Faktor X X, w : w Z w / w E X, E Var X Var E X ud dem e Credblty-Schätzer für X.

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 65 Für de Schätzug der 9.6. verwedete Größe E Var X τ Var E X Θ ud σ Θ, κ σ τ werde folgede Bezechuge gebraucht: Se I de Azahl der Rske, N de Azahl der Beobachtugsahre. 9.6.a I w : w, wobe... w. :.. N I w. X. 9.6.b X :, w wobe X :. 9.6.c 9.6.d 9.6.e SS SS SS tot w b I N w w N w. : w X X sum of squares total I N : w X X sum of squares wth groups I. : w. X. X sum of squares betwee groups X

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty De Schätzer: 9.6.3a w SS N I ˆ σ 9.6.3b.......... ˆ ˆ ma ;0 b I SS I I w w w w w w σ τ 9.6.3c ˆ ˆ, falls 0 ˆ ˆ ˆ 0, falls 0 σ τ κ τ τ > 66

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 67 Bemerkug: I w.. Mt C : ud I w. w. w.. w.. w.. ˆ C σ ˆ κ I. ˆ τ F F : SSb I SSw I glt für ˆ τ > 0: F st geau de Teststatstk, de be der aus dem Grudwsse bekate Varazaalyse ANOVA für ormalvertelte Zufallsgröße verwedet wrd, um zu teste, ob de Erwartugswerte vo I Messrehe verschede sd. Des erklärt de Verwadtschaft zur Varazaalyse ANOVA. Für F wrd de Hypothese de Erwartugswerte sd glech zu keem Sgfkazveau 0 abgeleht, d.h. es werde keerle Uterschede zwsche de Messrehe erkat.

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 68 9.6.. Zusammefassug: Credblty passt alle Verscherugskotete. Durch de Aahme homogeer Kollektve ergäzt se alle klasssche Kalkulatosverfahre, de de Rskozelle homogee Kollektve uterstelle. Des st sbesodere bemerkeswert Zusammehag mt der modere Defto des Ausglechs m Kollektv als Abahme des Varatoskoeffzete be stegeder Kollektvgröße cht vollstädg korrelerter Rske uabhägg vo der Glechhet der Erwartugswerte. De dre Kozepte Bayes-Asatz kougerte Verteluge, allgemee Bühlma-Credblty, Bühlma-/Straub-Schätzer führe zu deselbe Ergebsse. De Verwedug des ewelge Modells hägt vo der ewelge Datelage ab ud vermttelt uterschedlche Iterpreterbarket der kokrete Zufallsgröße.

9. Credblty: 9.6. Bühlma-Straub-Credblty 69 De Verwadtschaft zu de GLM s wrd der Bayes-Iterpretato erschtlch ML-Schätzug der ewelge Vertelugsfukto, Erklärug der Strukturfukto als Überdsperso aber auch m Bühlma-Straub-Modell: Desse Varaz-Aahme st de Varaz-Fukto des de meste Verscherugskotete verwedete GLM. Awedug auf Ezelrske aber sbesodere auch auf Quote uter eem gegebee Tarf. Im Repettorum ud der Prüfug! werde kokrete Rechuge durchgeführt. Dort wrd sbesodere auch der Zusammehag zwsche de Kozepte a eer kokrete Rechug dargestellt. Lteratur: Bühlma, H. ud Gsler,A.: A Course Credblty Theory ad ts Applcatos. Sprger Verlag, Berl, Hedelberg, New York, 005.