Schnellkurs ART: Metrik in der SRT und ART, Äquivalenzprinzip

Schnellkurs ART: Metrik in der SRT und ART, Äquivalenzprinzip

Space tells matter how to move, matter tells space how to curve. 1 1 Misner, Thorne, Wheeler

Grundlegende Frage Mit welchen mathematischen Methoden lässt sich die Welt in der wir leben beschreiben?

Annahmen 4d Raumzeit (RZ) hat alle Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit genauer: differenzierbare Mannigfaltigkeit Für Physiker ausreichende Definition: kontinuierliche Menge von Punkten (Folie 1) Punkte der RZ sind mögliche räumlich & zeitlich punktförmige Ereignisse Den Ereignissen sollten sich irgendwie Koordinaten (Hausnummern) zuordnen lassen

Anforderungen an die Koordinaten Eindeutige Zuordnung stetige Änderung Karten (Koordinatensystem) Atlas (Menge von überlappenden Karten)

Realisierung 1. Anlöten von Drähten zwei Klassen: (Folie 2) Drähte aus der selben Klasse schneiden sich nicht Drähte aus verschiedenen Klassen schneiden sich (höchtens) einmal 2. An jeden Gitterpunkt eine Uhr anbringen Koordinaten: x α (α = 0, 1, 2, 3) α = 0 Zeitkoordinate α = 1, 2, 3 Raumkoordinate

Metrik Wichtig für Physiker: Richtigkeit seiner Vorstellung durch Nachmessen erhärten. Die Mannigfaltigkeit (also die RZ) wird dazu mit einer Metrik ausgestattet die es erlaubt 1. die Länge eines Vektors und 2. den Winkel zwischen zwei Vektoren zu erklären.

Der metrische Tensor (Folie 3) g(, ) ist ein bilinearer Apparat und liefert je nach Eingabe g(u, u) = u 2 das Betragsquadrat eines Vektors und g(u, v) < u, v >= u v das Skalarprodukt zweier Vektoren Mathematisch ist die Metrik ein ( 0 2) -Tensor, d.h. eine bilineare Funktion, die jedem Vektorpaar aus dem selben Tangentialraum T p eine Zahl zuordnet.

Grundannahme der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) Physikalische Gesetze sind Gleichung zwischen geometrischen Objekten, wie bspw. Punkten (also Ereignisse) Vektoren Tensoren Differentialformen Vorteil: koordinatenunabhängige Formulierung Forminvarianz unter beliebigen Koordinatentransformationen

Gegensatz spezielle Relativitätstheorie (SRT) physikalische Gesetze nur in bestimmten Systemen (Intertialsystemen) gültig Forminvarianz nur unter speziellen Transformationen, den Lorentz-Transformationen ct x y z = γ γβ 0 0 γβ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ct x y z

Man kann die Metrik bei gegebenem Koordinatensystem messen! (Folie 4) Experimentell ergibt sich: s 2 12 = s 2 12 Die hierzu nötige Metrik ist gegeben durch g µν = η µν = +1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Man kann die Metrik bei gegebenem Koordinatensystem messen! (Folie 4) Experimentell ergibt sich: s 2 12 = s 2 12 Die hierzu nötige Metrik ist gegeben durch g µν = η µν = 1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 +1

Beispiel Kugeloberfläche Die Metrik auf einer Kugeloberfläche sieht folgendermaßen aus g µν = 1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 sin 2 (ϑ) Die Lösung des Geodätenproblems δ ds = δ gµν dx µ dx ν = 0 sind die sogenannten Großkreise. (Folie 5 dann 6)

Grundidee der ART Bei Anwesenheit von Masse Forderung dass die Bewegung ebenfalls durch δ B A ds = 0 beschrieben wird. Die Wirkung der Gravitation kommt durch ein verbogenes, i.a. ortsabhängiges Wegelement ds zustande. (Folie 7) ds = g µν (x 0, x 1, x 2, x 3 )dx ν dx µ

Bewegungsgleichungen Die Bewegungsgleichungen ergeben sich nun durch skalare Multiplikation mit der Masse und Addition aller äußeren Kräfte m duσ ds = f σ m Γ σ µνu µ u ν mit u σ = dxσ ds Ziel ist es also bei gegebener Massenverteilung die g µν (x α ) zu bestimmen. Die Gleichungen die das leisten sind die Einsteinschen Feldgleichungen! R µν R 2 g µν = 8πG c 4 T µν

Schwarzschildmetrik Die Lösung der Feldgleichungen für eine sphärische, statische Massenverteilung (Folie 8) ϱ(r) = { 0 (r r0 ) 0 (r > r 0 ) ds 2 = ( 1 r S r ) c 2 dt 2 dr2 1 r S r r 2 ( dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2) r S 2GM c 2 unsere Sonne: r S, = 2GM c 2 3 km Erde: r S,E 0,89 cm

Newtonsche Bewegungsgleichung Gravitation Elektrostatik Bewegungsgleichung m t d 2 r dt 2 = m s φ(r) m d2 r dt 2 = q φ e (r) Feldgleichung φ(r) = 4πGϱ(r) φ e = 4πϱ e (r) Als Kopplungskonstante der Wechselwirkung tritt die Ladung q auf, also eine von der Masse m unabhängige Größe! Analog wäre es denkbar, dass die an die Gravitation gekoppelte schwere Masse m s sich von der trägen Masse m t unterscheidet.

Äquivalenzprinzip I Beobachtung: Gravitationsbeschleunigung ist massenunabhängig, die Gravitationskraft also massenproportional. (Galilei: Alle Körper fallen gleich schnell) Einsteins Idee: Gravitationskraft ist eine Scheinkraft die durch eine nicht Lorentzsche Metrik zustande kommt. (Folie 9) schwere und träge Masse sind wesensgleich Wenn dem so ist, lassen sich Schwerefelder durch einen Übergang in beschleunigte KS eliminieren. (Folie 10 und 11)

Äquivalenzprinzip II In einem kleinen Labor, das in einem Schwerefeld fällt, sind die mechanischen Phänomene dieselben wie jene, die in Abwesenheit eines Schwerefeldes in einem Newtonschen Inertialsystem beobachtet werden. 2 (Folie 12 2 Einstein, 1917

Zusammenfassung Raumzeit ist eine vierdimensionale Punktemenge sie wird ausgestattet mit Koordinaten und einer Metrik Metrik der flachen Raumzeit ist die Minkwoski- Metrik für die gekrümmte Raumzeit bekommt man die Metrik aus den Einsteinschen Feldgleichungen Bewegungsgleichungen folgt aus der Geodätengleichung aus ihr folgt auch die geometrische Sicht der Gravitation Grundanahme der ART ist das sogenannte Äquivalenzprintzip die Wesensgleichheit von schwerer und träger Masse

Einheitskugel S 2 ϕ =bel., ϑ = 0 ϕ =bel., ϑ = π ϕ : 2π 0 am Nordpol am Südpol am Nullmeridian

Koordinatenlinien

Forderungen an die Metrik Symmetrie: g µν = g νµ Invertierbarkeit: detg 0 Partiellen Ableitungen stetig: g µν C 2 Invariantes Wegelement: ds 2 = g µν dx µ dx ν Die Anwenung der Metrik auf zwei Vektoren liefert ein geometrisches Objekt (ds 2 ) dieses ist koordinatenunabhängig, d.h. invariant unter beliebigen Koordinatentransformationen.

Inertialsysteme K bewegt sich gegenüber K mit konstanter Geschwindigkeit v.

Invarianz des Intervalls Zwei Ereignisse in K E 1 (ct 1, x 1 1, x 2 1, x 3 1) und E 2 (ct 2, x 1 2, x 2 2, x 3 2) sowie in K E 1(ct 1, x 1 1, x 2 1, x 3 1 ) und E 2(ct 2, x 1 2, x 2 2, x 3 2 ) Definiere Abstandsquadrat in K durch s 2 12 = +c 2 (t 2 t 1 ) 2 (x 1 1 x 1 2) 2 (x 2 1 x 2 2) 2 (x 3 1 x 3 2) 2 und in K durch s 2 12 = +c 2 (t 2 t 1) 2 (x 1 1 x 1 2 ) 2 (x 2 1 x 2 2 ) 2 (x 3 1 x 3 2 ) 2

Grosskreise auf einer Kugel Also diejenigen Kreise, deren Mittelpunkte auch im Mittelpunkt der Kugel liegen.

Bewegungsgleichung SRT Fordere kräftefreie Bewegung als kürzeste Verbindung zwischen zwei Raum-Zeit-Ereignissen A und B. δ B A ds = δ B A c2 (dt) 2 (dx) 2 (dy) 2 (dz) 2 = 0 δ B A dt ṙ 2 + c 2 = [...] = 0 = d dt ṙ = const. = v ṙ c2 v 2 Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten A und B in der flachen RZ ist also eine Gerade! Multiplikation mit m 0 c liefert die Bewegungsgleichung für den relativistischen Impuls p rel : d m 0 ṙ dt d 1 β 2 dt p rel = 0

Bewegungsgleichung ART Wähle als Bahnparameter nun die Bogenlänge s ds = g µν dx µ ds dx ν ds ds = F ) (x α, dxα ds ds Die Euler-Lagrange-Gleichungen zum vorliegenden Variationsproblem δ ( ) F x α, dxα ds ds lauten: d ds ( ) F ( ) dx α ds F x α = 0 Und mit den Christoffel-Symbolen 2. Art: Γ σ µν 1 ( gαν 2 gσα x µ + g µα x ν g ) µν x α Ergibt sich die gesuchte Geodäten-Gleichung: d 2 x σ ds 2 + Γ σ µν dxµ ds dx ν ds = 0

dt = dϑ = dϕ = 0 r 2 r 1 r2 r 1 dr = r2 r 1 dr 1 r s r

Das Äquivalenzprinzip In einem Minkowski-System bewegen sich freie Teilchen auf Geraden (Kurven minimaler invarianter Länge); nicht für einen beschleunigten Beobachter: d 2 x α ds 2 0 Aussage, dass ein freies Teilchen eine Bahn minimaler invarianter Länge besitzt ist eine geometrische Aussage die auch im beschleunigten System richtig ist. Die Kurven minimaler Länge sind die schon bekannten Geodäten: m d2 x µ ds 2 = m dx ν dx λ Γµ νλ ds ds Das freie Teilchen bewegt sich also beschleunigt aufgrund einer massenproportionalen Scheinkraft m Γ µ dx ν dx λ νλ ds ds

Fahrstuhlexperimente I Auf der Erde stehend beschleunigt Frage: Kann der Beobachter im Fahrstuhl durch irgend ein Experiment feststellen, ob er im Schwerefeld ruht oder mit g beschleunigt wird? Die Antwort lautet NEIN, er kann es nicht!

Fahrstuhlexperimente II Im leeren Raum frei fallend Frage: Kann der Beobachter im Fahrstuhl durch irgendein Experiment feststellen, ob er im schwerelosen Raum ruht (also in einem IS) oder im Schwerefeld fällt? Auch hier lautet die Antwort NEIN.

Einsteins Verallgemeinerung In einem frei fallenden KS laufen alle Vorgänge so ab als ob kein Gravitationsfeld vorhanden sei. Äquivalenzprinzip Im Lokalen Inertialsystem gelten die Gesetze der SRT. Satelliten-Labor Transformation Koordinaten-System ds 2 = η αβ dξ α dξ β ds 2 = g µν (x)dx µ dx ν

Mit klein ist genau genommen infinitesimal klein gemeint.