Die Modellierung der Robotik-Domäne von SAMS im Theorembeweiser Isabelle
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- Theresa Hauer
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1 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 1 [12] Die Modellierung der Robotik-Domäne von SAMS im Theorembeweiser Isabelle Christoph Hertzberg Universität Bremen Fachbereich 3 Mathematik und Informatik Universität Bremen, Cartesium,
2 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 2 [12] Vortragsinhalt 1 Was ist ein Theorembeweiser? Ein Theorembeweiser ist kein... Ein Theorembeweiser ist... 2 Beispiele Einführungsbeispiel Beispiele aus der Domäne 3 Fazit
3 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 3 [12] Ein Theorembeweiser ist kein... Computer-Algebra-System Programm zum Rechnen mit symbolischen Ausdrücken Mathematica, Derive, Maxima,... Eignet sich zum Lösen von algebraischen Problemen Beispiel: solve(a*x^2+b*x+c=0, x)
4 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 3 [12] Ein Theorembeweiser ist kein... Computer-Algebra-System Programm zum Rechnen mit symbolischen Ausdrücken Mathematica, Derive, Maxima,... Eignet sich zum Lösen von algebraischen Problemen Beispiel: solve(a*x^2+b*x+c=0, x) b 2 4ac+b x = 2a x = Stimmt das? b 2 4ac b 2a
5 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 3 [12] Ein Theorembeweiser ist kein... Computer-Algebra-System Programm zum Rechnen mit symbolischen Ausdrücken Mathematica, Derive, Maxima,... Eignet sich zum Lösen von algebraischen Problemen Beispiel: solve(a*x^2+b*x+c=0, x) b 2 4ac+b x = 2a x = Stimmt das? Immer? b 2 4ac b 2a
6 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 3 [12] Ein Theorembeweiser ist kein... Computer-Algebra-System Programm zum Rechnen mit symbolischen Ausdrücken Mathematica, Derive, Maxima,... Eignet sich zum Lösen von algebraischen Problemen Beispiel: solve(a*x^2+b*x+c=0, x) b 2 4ac+b b 2 4ac b 2a x = 2a x = Stimmt das? Immer? Gegenbeispiel: a = 0, Division durch 0
7 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 3 [12] Ein Theorembeweiser ist kein... Computer-Algebra-System Programm zum Rechnen mit symbolischen Ausdrücken Mathematica, Derive, Maxima,... Eignet sich zum Lösen von algebraischen Problemen Beispiel: solve(a*x^2+b*x+c=0, x) b 2 4ac+b b 2 4ac b 2a x = 2a x = Stimmt das? Immer? Gegenbeispiel: a = 0, Division durch 0 Wenn b 2 4ac < 0, keine reelle Lösung.
8 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 3 [12] Ein Theorembeweiser ist kein... Computer-Algebra-System Programm zum Rechnen mit symbolischen Ausdrücken Mathematica, Derive, Maxima,... Eignet sich zum Lösen von algebraischen Problemen Beispiel: solve(a*x^2+b*x+c=0, x) b 2 4ac+b b 2 4ac b 2a x = 2a x = Stimmt das? Immer? Gegenbeispiel: a = 0, Division durch 0 Wenn b 2 4ac < 0, keine reelle Lösung. Korrektheit der Lösung nicht garantiert Falsche Lösungen können sich einschleichen Faktoren können weggekürzt werden CAS sind aber gut geeignet zum Suchen von Lösungen
9 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 4 [12] Was macht ein Theorembeweiser I Ein Theorem (auch Satz oder Lemma) ist eine im Sinne der Logik widerspruchsfreie Aussage, die mittels eines Beweises als wahr erkannt, das heißt, aus Axiomen und bereits bewiesenen Sätzen hergeleitet werden kann. Isabelle bekommt Axiome Als elementar richtig angesehene Aussagen, die sich nicht beweisen lassen (z. B. x = x). Definitionen Darauf aufbauende Lemmas und Theoreme mit Beweisen
10 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 5 [12] Was macht ein Theorembeweiser II In Isabelle bereits umgesetzt die klassischen Axiomensysteme (ZFC, HOL) darauf aufbauend Definitionen und Theoreme für Natürliche, Ganze, Rationale, Reelle und Komplexe Zahlen Funktionen, Grenzwerte, Ableitungen,... Vorhandene Definitionen entsprechen Lehrbuchdefinitionen Isabelle prüft ob die Beweise korrekt sind Isabelle prüft nicht ob die verwendeten Axiome sinnvoll und widerspruchsfrei sind ob die verwendeten Definitionen sinnvoll sind Sinnlose Definitionen erzeugen keinen Widerspruch
11 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 6 [12] Beispiel für ein Theorem Lösung der Quadratischen Gleichung Ziel: ax 2 + bx + c = 0 x = b 2 4ac+b 2a x = ohne zusätzliche Annahme nicht beweisbar lemma b 2 4ac b 2a [[a 0;b 2 4 a c 0]] = a x 2 + b x + c = 0 x = (sqrt(b 2 4 a c) b)/(2 a) x = ( sqrt(b 2 4 a c) b)/(2 a) Beweis erfolgt, indem zunächst p, q-formel bewiesen wird
12 Definitionen Konvexe Mengen Eine Menge ist konvex, wenn zu je zwei Punkten aus der Menge auch ihre Verbindungsgerade in der Menge enthalten ist. Konvexe Hülle Die konvexe Hülle einer Menge X ist der Schnitt aller konvexen Mengen, die X enthalten. C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 7 [12]
13 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 8 [12] Weitere Definitionen Typen Funktionen SO2 2. Spezielle Orthogonale Gruppe (Rotation/Orientierung in der Ebene) SKT Starrkörpertransformationen (Position und Orientierung) sinc Sinus cardinalis: sinc x = { sinx x x 0 1 x = 0 transformiere Wende eine Starrkörpertransformationen auf einen Punkt an bogen Gibt zu Strecke s, Winkel α und Startpunkt P die zugehörige Punktmenge
14 Domänentheorem Ein Kreis ist konvex lemma kreis_konvex: "konvex {q. norm q <= r}" Beweisziel: konvex{q.normq r} C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 9 [12]
15 Domänentheorem Ein Kreis ist konvex lemma kreis_konvex: "konvex {q. norm q <= r}" apply(simp add: konvex_def) Beweisziel: x.normx r ( y.normy r ( t {0..1}.norm(t R x + (1 t) R y) r)) C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 9 [12]
16 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 9 [12] Domänentheorem Ein Kreis ist konvex lemma kreis_konvex: "konvex {q. norm q <= r}" apply(simp add: konvex_def) apply auto Beweisziel: x y t.[[normx r;normy r;0 t;t 1]] = norm(t R x + (1 t) R y) r
17 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 9 [12] Domänentheorem Ein Kreis ist konvex lemma kreis_konvex: "konvex {q. norm q <= r}" apply(simp add: konvex_def) apply auto apply(rule real_le_trans[of norm_triangle_ineq]) Beweisziel: x y t.[[normx r;normy r;0 t;t 1]] = norm(t R x) + norm((1 t) R y) r
18 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 9 [12] Domänentheorem Ein Kreis ist konvex lemma kreis_konvex: "konvex {q. norm q <= r}" apply(simp add: konvex_def) apply auto apply(rule real_le_trans[of norm_triangle_ineq]) apply(simp add: norm_scaler) Beweisziel: x y t.[[normx r;normy r;0 t;t 1]] = t normx + (1 t) normy r
19 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 9 [12] Domänentheorem Ein Kreis ist konvex lemma kreis_konvex: "konvex {q. norm q <= r}" apply(simp add: konvex_def) apply auto apply(rule real_le_trans[of norm_triangle_ineq]) apply(simp add: norm_scaler) apply(drule_tac c=t in mult_left_mono, simp) Beweisziel: x y t.[[normy r;0 t;t 1;t normx t r]] = t normx + (1 t) normy r
20 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 9 [12] Domänentheorem Ein Kreis ist konvex lemma kreis_konvex: "konvex {q. norm q <= r}" apply(simp add: konvex_def) apply auto apply(rule real_le_trans[of norm_triangle_ineq]) apply(simp add: norm_scaler) apply(drule_tac c=t in mult_left_mono, simp) apply(drule_tac c="1-t" in mult_left_mono, simp) Beweisziel: x y t.[[0 t;t 1;t normx t r;(1 t) normy (1 t) r]] = t normx + (1 t) normy r
21 Domänentheorem Ein Kreis ist konvex lemma kreis_konvex: "konvex {q. norm q <= r}" apply(simp add: konvex_def) apply auto apply(rule real_le_trans[of norm_triangle_ineq]) apply(simp add: norm_scaler) apply(drule_tac c=t in mult_left_mono, simp) apply(drule_tac c="1-t" in mult_left_mono, simp) apply(simp add: ring_simps) Beweisziel: No Subgoals! C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 9 [12]
22 Domänentheorem Ein Kreis ist konvex lemma kreis_konvex: "konvex {q. norm q <= r}" apply(simp add: konvex_def) apply auto apply(rule real_le_trans[of norm_triangle_ineq]) apply(simp add: norm_scaler) apply(drule_tac c=t in mult_left_mono, simp) apply(drule_tac c="1-t" in mult_left_mono, simp) apply(simp add: ring_simps) done Beweisziel: No Subgoals! C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 9 [12]
23 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 10 [12] Weitere Lemmas und Theoreme (Auswahl) bogenpunkt in konvexer huelle Beweist, dass Bogen im berechneten Dreieck liegt bogen n aufgeteilt Beweist, dass sich Bogen in Teilbögen zerlegen lässt sin cos le poly trigpoly Sinus und Cosinus lassen sich durch Taylorentwicklung abschätzen
24 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 11 [12] Fazit Isabelle Isabelle erspart es nicht den Beweis vorher manuell zu führen, bzw. eine Beweisidee zu kennen viele grundlegende Dinge sind schon bewiesen vieles triviales muss man noch beweisen Nachdem man sich eingearbeitet hat, lassen sich viele Beweise relativ komfortabel umsetzen Termumformungen sind z. T. etwas anstrengend Keine offensichtlich gilt - oder andere Fälle analog -Beweise SAMS-Domäne Über Zeilen an Definitionen und Lemmas und Beweisen Domäne kann für spätere Projekte wiederverwendet werden
25 C. Hertzberg: Modellierung der SAMS-Robotik-Domäne 12 [12] Vielen Dank! Fragen?
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