Zu dieser Aufgabensammlung

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1 Zu dieser Aufgabensammlung Liebe Leser, diese Aufgabensammlung soll euch bei der Prüfungsvorbereitung in den Fächern Grundlagen der Elektrotechnik und Elektrotechnik für Ingenieure 1 & 2 helfen. Sie enthält alle Aufgaben aus den Tutorien, der großen Übung und den Klausuren der vergangenen Semester. Lösungen zu den Aufgaben solltet ihr euch im Idealfall vor Besuch der jeweiligen Veranstaltung selbst erarbeiten. Welche Aufgaben wann behandelt werden, wird im Stud.IP bekannt gegeben. Wenn ihr Verbesserungsvorschläge beziehungsweise Änderungswünsche für die Aufgabensammlung habt oder euch Fehler auffallen sollten, schreibt bitte eine kurze Nachricht an skripte@iee.tu-clausthal.de, damit wir die Sammlung für euch in Zukunft noch besser machen können. Diese Aufgabensammlung wird ständig erweitert, daher kann es passieren, dass die Version, die ihr in den Händen haltet nicht mehr ganz aktuell ist. Aber keine Panik! Auf könnt ihr euch alle neu dazu gekommenen Aufgaben herunterladen. Viel Spaß, Motivation und Erfolg beim Lernen wünschen die Autoren

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3 Inhaltsverzeichnis I. Gleichstrom 1 II. Elektrisches Feld 39 III. Magnetfeld 57 IV. Wechselstrom 79 V. Drehstrom 105 VI. Schutzmaßnahmen 127 VII. Gleichrichter 143 VIII. Transformator 155 IX. Transistor 173

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5 Teil I. Gleichstrom 1

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7 Gleichstrom Theorie Ohmsches Gesetz: U = R I für: R = const. Schaltbild: U R R I U I Kirchhoff sche Regeln: Knotenregel (Kirchhoff I): I 1 = I 2 + I 3 allgemein: I zu = I ab Maschenregel (Kirchhoff II): Umlauf einer Masche: U = 0 Vorzeichen beachten! I 1 I 2 R 1 R 2 U 0 U 1 U 2 I 3 Allein mit diesen drei Gesetzen ist schon vieles berechenbar! IEEE, Version

8 Gleichstrom Theorie Netzwerke: Reihenschaltung: R Ersatz = R 1 + R R n Parallelschaltung: R Ersatz = ( 1 R R R n ) 1 bei zwei Widerständen: R Ersatz = R 1 R 2 R 1 +R 2 R 1 R 2 R 1 Zur Berechnung komplexer Netzwerke: Um sich die Berechnung des Gesamtwiderstandes bei komplexen Netzwerken einfacher zu machen, sollten diese durch Umzeichnen auf standardisierte Form gebracht werden. Dabei sollten Widerstände von links nach rechts oder von oben nach unten angeordnet werden. Anschließend werden die Widerstände mit Hilfe der Formeln für Parallel- und Reihenschaltung zusammengefasst. Dabei wird von Innen nach Außen vorgegangen. R 2 R 3 R 5 I 1 I 3 I 5 R 1 I 1 I I 4 I I 4 R4 R 2 I 2 R 2 R 3 R 1 R 4 U I 3 I 5 U R 5 I 2 4 IEEE, Version 1.02

9 Gleichstrom Theorie Stromteilerregel: Bestimmung von Teilströmen in einer Parallelschaltung. Spannungsteilerregel: Bestimmung von Teilwiderständen in einer Reihenschaltung. I I 1 R 1 I R 1 R 2 U 1 U 2 I 2 R 2 U U U = R ges I = R 1 I = R 2 I mit: R ges = R 1 R 2 R 1 + R 2 I 1 = I R ges R 1 I 2 = I R ges R 2 R 2 = I R 1 + R 2 R 1 = I R 1 + R 2 U = R ges I; U 1 = R 1 I; U 2 = R 2 I I = U R ges = U 1 R 1 = U 2 R 1 U 1 = U R 1 + R 2 R 2 U 2 = U R 1 + R 2 R 2 Geometrieabhängigkeit von Widerständen R = ρ l A mit: ρ spezifischer Widerstand in Ωmm/m 2 l Länge in m A Querschnitt in mm Temperaturabhängigkeit von Widerständen R ϑ = R 20 (1 + α ϑ) mit: α Temperaturbeiwert des Materials in C 1 ϑ Temperaturänderung zum Bezugswert ( ϑ = ϑ 20 C) R 20 Widerstand bei 20 C in Ω IEEE, Version

10 Gleichstrom Theorie Messgeräte: Drehspulmessinstrument Permanentmagnetfeld Zweites Magnetfeld durch den Stromfluss in der Spule Kraft bewirkt Drehung der Spule, dabei bringt eine Feder die Gegenkraft auf N S Anzeige: lineare Skala, da Drehwinkel ϕ Feder I; F Feder = F Magnet ϕ I Symbol: misst arithmetischen Mittelwert, bei Wechselstrom 0 Weicheisenmessgerät Beide Magnetfelder werden durch den zu messenden Strom erzeugt, zwei dünne Magnetplättchen werden vom Strom gleichermaßen aufmagnetisiert Kraft proportional I 2, d. h. quadratische Skala misst Effektivwerte bei Gleichstrom und Wechselstrom Verschaltung Wattmeter: Fe Symbol: I In der Regel Drehspulmesswerk, in dem der Dauermagnet durch eine zweite Spule ersetzt wird eine Spule misst den Strompfad, die andere den Spannungspfad. A V W R 6 IEEE, Version 1.02

11 Gleichstrom Theorie Messbereichserweiterung: Spannungsmessbereichserweiterung Vorwiderstand nimmt überschüssige Spannung auf: U ges I R V = U ges U m I R v R i U m V Strommessbereichserweiterung Parallelwiderstand nimmt überschüssigen Strom auf: U R P = I ges I m R i I m A I ges R P U Innenwiderstände von Messgeräten: Voltmeter: Amperemeter: Idealfall R, damit kein Strom an der Schaltung vorbei fließt; Real einige kω pro Volt des Messbereichsendwerts Idealfall R 0, damit es keinen Spannungsabfall am Messgerät gibt; Real mω IEEE, Version

12 Gleichstrom Theorie Fehlerminimierte Messung von Widerständen: Spannungsrichtige Messung Die Spannung wird korrekt gemessen. Das Amperemeter zeigt jedoch den Strom mit an, der durch das Voltmeter fließt. Das Voltmeter besitzt einen hohen Innenwiderstand, daher fließt nur ein kleiner Strom durch das Messwerk. Je kleiner der Messwiderstand R x, desto größer der Strom durch R x und desto kleiner wird die Verfälschung durch das Voltmeter. bei kleinen Widerständen anwenden. Stromrichtige Messung R x V A Der Strom wird korrekt gemessen. Das Voltmeter zeigt jedoch die Spannung mit an, die über dem Amperemeter abfällt. Das Amperemeter besitzt einen kleinen Innenwiderstand, daher kommt es nur zu einem kleinen Spannungsabfall über das Messwerk. Je größer R x, desto größer ist der Spannungsabfall über R x und desto kleiner wird die Verfälschung durch das Amperemeter. bei großen Widerständen anwenden. R x V A Stern-Dreieck-Umrechnung 1 1 R 1 = R 31 R 12 R 12 + R 23 + R 31 R 1 R 31 R 12 R 2 = R 12 R 23 R 12 + R 23 + R 31 R 3 R 3 = R 23 R 31 R 2 R 12 + R 23 + R R IEEE, Version 1.02

13 Gleichstrom Theorie Spannungsquelle: Eine reale Spannungsquelle wird als ideale Spannungsquelle (verlustfrei) mit einem in Reihe geschalteten Innenwiderstand modelliert. R i ideale Betrachtung: R i = 0 U = U 0 U Ri U 0 U reale Betrachtung: R i 0 U 0 = U 0 U Ri = U 0 I R i Stromquelle: Eine reale Stromquelle wird als ideale Stromquelle (verlustfrei) mit eine parallel geschalteten Innenwiderständ modelliert. I K I a I i ideale Betrachtung: R i I = I K R i reale Betrachtung: R i < I = I K I i Umrechnung zwischen Strom und Spannungsquellen: ideales Bauteil Verluste R i ideales Bauteil I K Verluste I a I a I i U Ri U 0 R a U a R i U a 1. I a = I K I i = I K Ua R i (Stromquelle) IEEE, Version

14 Gleichstrom Theorie 2. U a = I K I a R i = I K R i I a R i = U 0 I a R i 3. U a = U 0 U = U 0 I a R i (Spannungsquelle) Die Gleichungen 2. und 3. sind gleich, also ist eine Umwandlung zwischen Strom- und Spannungsquellen möglich. Kennlinien: Stromquelle Spannungsquelle P = U I ideal P = U I U a U a real R a1 Leerlauf U 0 ideal R a2 R a1 Leerlauf U real Arbeitspunkt Arbeitspunkt R a2 Kurzschluss U a Kurzschluss 1 2 I K I K I a 1 2 I K I K I a I a I i I a I i Anpassung: Allgemein: Definiertes Verhältnis von Lastwiderstand zu Innenwiderstand Leistungsanpassung: größte Leistung an R a R a = R i Spannungsanpassung: größte Spannung an R a R a R i Stromanpassung: größter Strom durch R a R a R i 10 IEEE, Version 1.02

15 Umwandlung/Zusammenfassung von Strom- und Spannungsquellen: Gleichstrom Theorie 1. Berechnung des neuen Innenwiderstandes R i zwischen den Klemmen. Dabei: Stromquellen weglassen Spannungsquellen kurzschließen (durchzeichnen) Ersatzquellen: zur Auswahl der einfacheren Methode 1. Leerlauffall: R R I = 0 U q beliebiges Netzwerk R P U = 0 U 0 R R fällt weg, da I R = 0 und somit keine Spannung über R R abfällt U RP = U Kurzschlussfall R R U q beliebiges Netzwerk R P I = 0 U = 0 I K R P fällt weg, da parallel zu widerstandslosem Zweig I RP = I K IEEE, Version

16 Gleichstrom Theorie Anmerkung: wichtig ist nur, ob der letzte Widerstand in Reihe oder parallel zu den letzen Klemmen ist. An die Klemmen, die mit beliebiges Netzwerk beschriftet sind, kann beliebig etwas zwischengeschaltet werden, was jedoch bei der Kurzschluss- und Leerlauffallbetrachtung keine Rolle spielt. 12 IEEE, Version 1.02

17 Gleichstrom Tutorium Aufgabe T1 Tragen Sie qualitativ die Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes für Eisen und Konstantan in das Diagramm ein! spezifischer Widerstand Cu Temperatur Aufgabe T2 Ordnen Sie die Zählpfeilsysteme ein (Ankreuzen). I I Verbraucherzählpfeilsystem U Erzeugerzählpfeilsystem Verbraucherzählpfeilsystem U Erzeugerzählpfeilsystem Aufgabe T3 Gegeben ist folgende Kennlinienschar: Welche Aussage ist richtig? I R 1 R 2 R 1 < R 2 R 2 = R 3 R 3 R 3 > R 1 U IEEE, Version

18 Gleichstrom Tutorium Aufgabe T4 I 1 R 1 Wie hoch sind in der Schaltung die Teilströme I 1 und I 2, wenn I = 10 A, R 1 = 4 Ω und R 2 = 6 Ω sind? I I 2 R 2 Aufgabe T5 Eine Bogenlampe, die bei 50 V Lichtbogenspannung 20 A aufnimmt, soll an das 110 V-Netz angeschlossen werden. Welcher Widerstand muss der Lampe vorgeschaltet werden? Aufgabe T6 Zur Herstellung der Erregerwicklung einer elektrischen Maschine sind 2850 m Kupferdraht von 1,2 mm Durchmesser erforderlich. 1. Berechnen Sie den Widerstand der Wicklung bei 20 C! 2. Wie groß ist der Widerstand der Wicklung bei 75 C und 5 C? 3. Welche allgemeine Beziehung besteht zwischen den Widerstandswerten und den zugehörigen Temperaturen in warmen (R w, ϑ w ) bzw. im kalten Zustand (R k, ϑ k ) eines Leiters? 4. Ermitteln Sie mit der hergeleiteten Gleichung aus 3. die Temperatur ϑ der Wicklung für den Widerstandswert 58,5 Ω (indirekte Temperaturmessung). 14 IEEE, Version 1.02

19 Gleichstrom Tutorium spezifischer spezifische Temperatur- Widerstand Leitfähigkeit koeffizient ρ 20 κ α 20 Ω mm 2 m S mm 2 1/ C Metalle Silber 0,016 62,5 0,0038 Kupfer 0, ,0039 Aluminium 0, ,0038 Wolfram 0, ,0041 Nickel 0, ,0048 Zinn 0,11 9 0,0042 Eisendraht 0,12 8,3 0,0052 Platin 0,13 7,7 0,0025 Blei 0,21 4,8 0,0042 Quecksilber 0,96 1,04 0, Wismut 1,2 0,83 0,0042 Legierung Aldrey 0, ,0036 Bronze 0, ,0040 Messing 0,08 12,5 0,0015 Stahldraht 0,13 7,7 0,005 Konstantan 0,50 2 0, Nickel-Chrom 1,1 0,91 0,0002 Aufgabe T7 Ein Drehspulinstrument mit einem Innenwiderstand R m = 100 Ω und einem Messbereichsendwert U m = 1,5 V soll als U m R v Spannungsmesser mit dem Bereichsendwert U = 150 V eingesetzt werden. Welcher Widerstand R v ist vorzusehen? U IEEE, Version

20 Gleichstrom Tutorium Aufgabe T8 Sie wollen mit einem Amperemeter, dessen Messbereich 5 A beträgt, Ströme bis 55 A messen. 1. Welche Maßnahmen müssen getroffen werden? a) Widerstand in Reihe zum Amperemeter anschließen. b) Widerstand parallel zum Amperemeter anschließen. c) Keine Maßnahmen notwendig. 2. Falls ein Widerstand notwendig ist, wie groß muss er sein, wenn das Messinstrument einen Innenwiderstand von R A = 10 Ω besitzt? Aufgabe T9 Gegeben: R 1 = 500 Ω R 2 = 5 kω R AB = 9 kω R 2 U = 12 V U R 1 Gesucht: Die Spannung U AB an den Klemmen. Der Innenwiderstand der Spannungsquelle ist zu vernachlässigen. R AB U AB 16 IEEE, Version 1.02

21 Gleichstrom Tutorium Aufgabe T10 R 1 Wie groß ist der Widerstand zwischen den Klemmen A A und B? R 4 R 5 R 2 R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = 40 Ω B R 3 Aufgabe T11 Gegeben: U = 6 V R1 = 4,5 Ω R 2 = 5 Ω I R 1 R 2 R 6 R 3 = 4 Ω R 4 = 11 Ω R 5 R 8 R 5 = 10 Ω R 7 = 10 Ω R 6 = 3,33 Ω R 8 = 1,25 Ω U R 3 R 4 R 7 Gesucht: Der Strom I. Aufgabe T12 Ein Amperemeter habe einen einzigen Messbereich I M = 30 A. Sein Messwerkswiderstand beträgt R M = 4 mω. Bei einer bestimmten Messung ist eine unzulässige Stromstärke von I = 50 A zu erwarten. Der Betreiber des Messgerätes schließt es daher mit einem Kupferleiter (Länge l = 0,25 m, Durchmesser d = 0,98 mm) kurz. Mögliche Temperaturänderungen sollen nicht berücksichtigt werden. Welcher Strom stellt sich jetzt im Messinstrument ein? IEEE, Version

22 Gleichstrom Tutorium Aufgabe T13 Gegeben ist folgende Schaltung: 1. Stellen Sie die Gleichung für die Spannung U auf! I A 2. Zeichnen Sie die Funktion U = f(i) bei Veränderung von R L! U 0 R i U R L 3. Wie groß ist die Steigung (erste Ableitung) der Funktion? B 4. Welche Bedeutung hat die Steigung der Funktion? Aufgabe T14 Gegeben ist die Belastungskennlinie einer realen Spannungsquelle. 1. Wie groß ist die Leerlaufspannung? U in V 2. Wie groß ist der Kurzschlussstrom? Wie groß ist der Innenwiderstand? Welche Leistung gibt die Spannungs- 5 quelle bei I = 15 A ab? 5. Welche Leistung wird bei I = 15 A in I in A der Spannungsquelle verbraucht? 18 IEEE, Version 1.02

23 Gleichstrom Tutorium Aufgabe T15 Wie groß muss der Verbraucherwiderstand R V sein, damit die Leistung am Verbraucher ein Maximum ist? R L bezeichnet die Leitungen R i R L zum Verbraucher. U 0 R V Gegeben: U 0 ; R i = R; R L = 0, 5R R L Aufgabe T16 Wandeln Sie die gegebene Schaltung hinsicht- A B lich der Klemmen A und B in eine äquivalente I K1 Ersatzspannungsquelle um. R 1 R 2 I K1 = I K2 = 3 A, R 1 = 4 Ω, R 2 = 3 Ω I K2 Aufgabe T17 Die angegebene Schaltung ist hinsichtlich der Klemmen A und B in eine äquivalente Ersatzspannungsquelle umzuwandeln. U 1 R 1 R 2 A U 2 U 1 = 5 V; U 2 = 10 V B R 1 = 10 Ω; R 2 = 15 Ω IEEE, Version

24 Gleichstrom Tutorium Aufgabe T18 Gegeben ist folgendes Netzwerk: I q = 8 A, R 1 = 2 Ω, R 2 = 2 Ω, R 3 = 1 Ω, R 4 = 5 Ω Bilden Sie bezüglich der Klemmen A B eine Ersatzspannungsquelle. I q R 1 R 3 1. Bestimmen Sie den Innenwiderstand R i. 2. Bestimmen Sie die ideelle Quellenspannung U q. A B 3. Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild der Ersatzspannungsquelle und geben Sie nochmals die charakteristischen Größen Quellenspannung U q, Innenwiderstand R i und Kurzschlussstrom I k an. R 2 R 4 4. Zeichnen Sie die Kennlinie der Ersatzspannungsquelle. Bestimmen Sie grafisch den Arbeitspunkt, der sich einstellt, wenn ein Widerstand R L = 0,5 Ω an die Klemmen der Ersatzspannungsquelle angeschlossen wird. 5. Bestimmen Sie den Arbeitspunkt rechnerisch für R L = 5 Ω. 20 IEEE, Version 1.02

25 Gleichstrom Tutorium Aufgabe T19 Wie groß ist die gesamte Leistung in den 3 Lastwiderständen? U = 15 V R 1 = 3 Ω A R 2 R L1 = RL2 = 2 Ω R 1 R L1 R L2 I R L3 = 1 Ω R 3 R 2 = 2 Ω R 3 = 4 Ω U R L3 I = 4,5 A B IEEE, Version

26 Gleichstrom Tutorium Aufgabe T20 Der Vielfach-Strom-Spannungsmesser nach Bild 1 habe folgende Daten: Messwerkswiderstand: R M = 50 Ω Messwerkskonstanten: für Strom k i = 0,05 ma/skt (100 Skalenteile) für Spannung k u = 2,5 mv/skt Max. zul. Messwerksspannung: U M = 0,25 V Vorwiderstand zur Temperaturkompensation: R T = 4 R M Je nachdem, welche Klemmenanschlüsse eingesetzt werden, besitzt das Messgerät verschiedene Messbereiche. Ein Kabel muss immer am Pluspol angeschlossen werden. Bild 1: Messwerk R M R T U M R 1 R 2 R R I 2 I 1 U 2 U 1 Messbereiche 250 ma 25 ma 25 V 250 V Durch die verschiedenen eingesetzten Widerstände wird der Messbereich jeweils entsprechend erweitert. Die gezeichneten Widerstände für die jeweilige Messbereichserweiterung müssen berechnet werden. Hilfe: Zeichnen Sie sich das Ersatzschaltbild für die jeweils eingesetzten Klemmen. 22 IEEE, Version 1.02

27 Gleichstrom Tutorium 1. Strommessung: Bestimmen Sie die Erweiterungswiderstände R 1 und R 2 (R 1, R 2 sind hierfür unwirksam). 2. Spannungsmessung: Bestimmen Sie die Erweiterungswiderstände R 1 und R 2. Mit Hilfe dieses Vielfachmessinstrumentes und einer realen Spannungsquelle (U q, R i bekannt) werden zwei Schaltungen zur Bestimmung der unbekannten Widerstände R a und R b aufgebaut, siehe Bilder 2a und 2b. + I 1 71,76 Skt. 39,6 Skt. + U 2 R i = 10 Ω R a R i = 10 Ω R i U q = 200 V U q = 200 V Bild 2a: Bild 2b: Bei Schaltung 2a zeigt das Instrument 71,76 Skt und bei Schaltung 2b 39,6 Skt an. 3. Zeichnen Sie für beide Messschaltungen das neue Ersatzschaltbild mit allen Messgerätewiderständen. Tragen Sie auch U M an. 4. Berechnen Sie die unbekannten Widerstände. 5. Welche Leistung P wird in den beiden Schaltungen in R a und R b umgesetzt? IEEE, Version

28 Gleichstrom Tutorium Aufgabe T21 I I 4 A C II R 1 R 2 I 1 I 2 I 3 R 12 U 1 R 3 U 2 D R 4 B III R 5 R 10 E R 7 R 9 G R 6 R 8 R 11 F H R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8 R 9 R 10 R 11 R 12 [Ω] U 1 U 2 [V] 10 0,5 24 IEEE, Version 1.02

29 Gleichstrom Tutorium 1. Ermitteln Sie für die Komponente I die Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen A und B! Geben Sie die Quellenspannung U q und den Innenwiderstand R i an! Berechnen Sie die Ströme I 1, I 2 und I 3! 2. Fassen Sie in der Komponente III die Widerstände R 5 bis R 11 zu einem Ersatzwiderstand R zusammen. 3. Wie groß ist die Spannung U CD am Widerstand R 12, wenn die Komponenten I, II und III durch die Klemmen A E, B F, G C und H D verbunden werden? Die Zwischen- und Endergebnisse sind rational, teilweise sogar ganzzahlig. Die Verwendung von Bruchrechnung vermeidet also Fehlerfortpflanzung durch unzulässiges Runden und ist daher erwünscht. IEEE, Version

30 Gleichstrom Große Übung Aufgabe Ü1 U G I R = 1 Ω Der ohmsche Widerstand in dem dargestellten Stromkreis bestehe aus einem Kupferleiter mit einem Querschnitt von 1 mm 2. Die Widerstände der Zuleitungen können vernachlässigt werden. Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen im Kupferdraht, wenn die Spannung U G des Generators 1. 1 V V V beträgt? Aufgabe Ü2 Wie groß muss ein Widerstand gemacht werden, damit bei einem Strom von 16 A eine Leistung von 1024 W umgesetzt wird? Welche Spannung muss in diesem Fall an den Widerstand gelegt werden? Aufgabe Ü3 I U = 220 V Lampe 1 Lampe 2 Zwei Glühlampen für U = 110 V haben die Leistungsangaben P 1 = 40 W und P 2 = 60 W. Sie liegen in Reihe an einer Spannung von 220 V. Welche Leistungen werden in beiden Lampen umgesetzt? Anmerkung: Vorausgesetzt ist, dass die Widerstände der Glühlampen konstant sind, was in der Praxis nicht der Fall ist, da R = f(ϑ). 26 IEEE, Version 1.02

31 Gleichstrom Große Übung Aufgabe Ü4 Die Abbildung zeigt ein Netzwerk, das aus einer Gleichspannungsquelle gespeist wird. 3R I A R I 2 I 1 3R I 5 R I 3 3R I 4 U 2R R B 1. Wie groß sind die sechs Zweigströme I und I 1 bis I 5? 2. Wie groß ist der Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen A und B? Aufgabe Ü5 R 1 Ein Spannungsteiler mit dem Gesamtwiderstand R = R 1 + R 2 = 400 Ω liegt an der Spannung U 0 = 100 V. Wie groß U 0 R 2 U B R B müssen die Teilwiderstände R 1 und R 2 sein, damit am Belastungswiderstand R B = 800 Ω eine Spannung von U B = 40 V liegt? IEEE, Version

32 Gleichstrom Große Übung Aufgabe Ü6 Gegeben ist eine (reale) Spannungsquelle mit linearem Strom-Spannungsverhalten. Diese soll durch eine Ersatzspannungsquelle nachgebildet werden. Hierzu werden zwei Belastungsversuche mit verschiedenen Widerständen (R 1 und R 2 ) durchgeführt. Es ergeben sich folgende Messwerte: I 1 = 50 A bei R 1 = 1 Ω I 2 = 10 A bei R 2 = 9 Ω 1. Wie groß sind die Leerlaufspannung U q, der Innenwiderstand R i und der Kurzschlussstrom I k? 2. Bei welchem Belastungswiderstand R L gibt die Spannungsquelle die maximale Leistung ab? Aufgabe Ü7 Zwei Generatoren mit den Leerlaufspannungen U 1 und U 2 und den inneren Widerständen R 1 und R 2 arbeiten parallel auf ein Netz, das den Strom I entnimmt. Zahlenwerte: U 1 = 120 V; U 2 = 122 V; I = 100 A; R 1 = R 2 = 0,05 Ω. 1. Wie groß sind die Teilströme I 1 und I 2? 2. Wie groß ist die Klemmenspannung U AB der beiden Generatoren? 28 IEEE, Version 1.02

33 Aufgabe Ü8 Elektrotechnik I und II Aufgabensammlung Gleichstrom Große Übung Gegeben ist ein Netzwerk mit zwei Stromquellen I und IV und zwei Spannungsquellen II und III. I 1 A R 2 I 2 C I 3 D I 4 R 3 I K1 II U 02 U 03 R 1 III I K4 R4 I 5 I B E VI Bekannt sind: I K1 = 4 A; I K4 = 1 A; U 02 = 1 V; U 03 = 6 V; R 1 = 1 Ω; R 2 = 1 Ω; R 3 = 1 Ω; R 4 = 3 Ω Gesucht sind: 1. die Ströme I 1 bis I 5 2. die Spannungen U AB, U AC, U CD, U DE und U BE. IEEE, Version

34 Gleichstrom Große Übung Aufgabe Ü9 In der Abbildung ist ein Netzwerk mit zwei Gleichspannungsquellen dargestellt. Der Laststrom I ist zu berechnen. Hierzu soll der linke Teil des Netzwerkes in eine Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen A und B umgewandelt werden. A R 3 I 1 Es gilt: R 1 R 2 R 4 U 1 R 5 R 6 R 1 = R R 3 = R R 5 = 2R R 2 = R R 4 = R R 6 = 2R U 2 B Aufgabe Ü10 Ein elektrischer Widerstand nimmt bei einer Temperatur von 20 C an einer Gleichspannung von 160 V eine Leistung von 256 W auf. Bei einer Umgebungstemperatur von 270 C sinkt die Leistungsaufnahme auf die Hälfte. 1. Welchen Strom nimmt der Verbraucher jeweils auf? 2. Wie groß ist der elektrische Widerstand bei 20 C? 3. Welchen mittleren Temperaturkoeffizienten weist das Widerstandsmaterial im Bereich zwischen 20 C und 270 C auf? 4. Wie groß ist der elektrische Widerstand bei 320 C (gleicher Temperaturkoeffizient vorausgesetzt)? 5. Welchen spezifischen Widerstand hat der Widerstandsdraht bei 20 C, wenn der Draht 200 cm lang ist und eine Stromdichte von 1,6 A/mm 2 herrscht? 6. Auf welchen Wert müßte die Speisespannung gesteigert werden, damit bei 270 C die ursprüngliche Leistung bei 20 C aufgenommen wird? 30 IEEE, Version 1.02

35 Gleichstrom Große Übung Aufgabe Ü11 Gegeben ist ein Drehspulmesswerk mit dem Innenwiderstand R M = 100 Ω und dem Messbereichsendwert U Me = 1,5 V. Dieses soll 1. als Voltmeter mit dem Messbereichsendwert U V = 150 V 2. als Amperemeter mit dem Messbereichsendwert I A = 1,5 A verwendet werden. Wie ist in beiden Fällen das Messwerk zu beschalten, um die geforderte Aufgabe zu erfüllen? Aufgabe Ü12 Ein Heißwasserspeicher mit 70 L Inhalt und einer Leistungsaufnahme von 1500 W soll mit Nachtstrom (0,25 e/kwh) von 15 C auf 90 C Wassertemperatur aufgeheizt werden. Der Wirkungsgrad η kann mit 87 % angenommen werden. Gesucht sind die Stromkosten für die erforderliche elektrische Arbeit und die Aufheizdauer. IEEE, Version

36 Gleichstrom Große Übung Aufgabe Ü13 Gegeben ist ein Netzwerk, das vier nichtlineare Widerstände enthält. Diese Widerstände sind wie folgt stromabhängig: R 1 = a 1 I 2 1 R 2 = a 2 I 2 2 R 3 = a 3 I 2 3 R 4 = a 4 I 2 4 Man bestimme: mit: a 1 = 4 Ω A 2 a 2 = 6 Ω A 2 a 3 = 1 Ω A 2 a 4 = 2 Ω A 2 U 1 = 21 V U 2 = 7 V U 3 = 108 V U 4 = 20 V I 1 I 3 1. Die Ströme I 1 bis I 4 I 5 2. Die in den vier Widerständen umgesetzten Leistungen. U 1 R 1 U 2 R 3 I 7 3. Die von den Spannungsquellen abgegebenen bzw. aufgenommen Leistungen. R 2 I 6 U 3 U 4 R 4 I 4 Aufgabe Ü14 Die Stoßstange eines Autos mit der Oberfläche A = 3600 cm 2 soll verchromt werden. Zu diesem Zweck wird sie t = 16 min in ein vom Strom I = 1 ka durchflossenes Galvanisierungsbad getaucht. Wie dick ist die Chromauflage nach Beendigung des Galvanisiervorganges? M Cr = kg/mol; z = 2; ρ = 7, kg/m 3 32 IEEE, Version 1.02

37 Gleichstrom Klausuraufgaben Aufgabe K1 Gegeben sei folgendes Gleichstromnetzwerk. Die Größen U q, R 0, R 1, R 2, L und C seien bekannt. R 0 L R 1 U q C A R 2 B 1. Bestimmen Sie die zugehörige Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen A und B für den Gleichstromfall (sämtliche Ausgleichsvorgänge seien abgeschlossen)! Skizzieren Sie dazu die Ersatzquelle und berechnen Sie die Ersatzgrößen U 0, R i und I K! 2. Gegegen welche Werte konvergieren die Ersatzgrößen, wenn R 1 = R 2 = R ist und R 0 0 geht? Es sind nun folgende Werte gegeben: R 0 = 5 Ω, R 1 = 100 Ω, R 2 = 100 Ω, L = 1 mh, C = 220 µf 3. An den Klemmen A und B soll ein Messwerk mit Vorwiderstand angeschlossen werden. Das Messwerk hat einen Innenwiderstand von R m = 250 Ω und erreicht seinen Vollausschlag bei einem Strom von I = 20 ma. Bestimmen Sie den Vorwiderstand R v so, dass das Messwerk bei einer Spannung von U q = 50 V seinen Vollausschlag erreicht! IEEE, Version

38 Gleichstrom Klausuraufgaben Aufgabe K2 An ein aus einer idealen Spannungsquelle U g und den Widerständen R 1, R 2 und R 3 bestehendes Netzwerk wird eine Batterie mit der Kapazität (Ladungsmenge) Q B = 44 Ah und dem Innenwiderstand R B = 0,05 Ω angeschlossen. A I L R 1 U g R 2 R 3 U K R B U B B mit U g = 21 V; R 1 = 0,5 Ω; R 2 = R 3 = 3,2 Ω 1. Wandeln Sie den aus Spannungsquelle U g und den Widerständen R 1, R 2 und R 3 bestehenden Netzwerkteil in eine Ersatzspannungsquelle um und geben Sie die Leerlaufspannung U 0, den Innenwiderstand R i und den Kurzschlussstrom I K der Ersatzspannungsquelle an! 2. Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild für die gesamte Schaltung, bestehend aus Ersatzspannungsquelle und Batterie! 3. Wie groß ist der Ladestrom I L bei einer Batteriespannung von U B = 14 V? 34 IEEE, Version 1.02

39 Gleichstrom Klausuraufgaben Jetzt soll die Schnellladung der Batterie untersucht werden. Dabei wird das nachfolgende Ersatzschaltbild für Netzteil und Batterie zugrunde gelegt. Die Batterie soll innerhalb von einer Stunde bei konstanter Klemmspannung U K = 16 V mit I L = 44 A geladen werden. Die Quellenspannung U 0,neu ist zunächst unbekannt; für den Innenwiderstand R i setzen Sie den in Aufgabenteil 1 bestimmten Wert an. I L R B U 0,neu R i U K U B 4. Berechnen Sie zunächst die für die Schnellladung benötigte Quellenspannung U 0,neu! 5. Geben Sie die ohmsche Verlustleistung P v an, die beim Laden auftritt! 6. Welchen Wirkungsgrad haben die Batterie und das Netzteil zusammen, wenn in dieser Form geladen wird? 7. Wenn die Batterie statt in einer Stunde in zwei Stunden geladen werden kann, reduziert sich der Ladestrom von 44 A auf 22 A. Wie groß ist die Verlustleistung dann im Verhältnis zur vorherigen Schnellladung mit 44 A? Begründen Sie ohne Rechnung! IEEE, Version

40 Gleichstrom Klausuraufgaben Aufgabe K3 Gegeben sei folgendes Gleichstromnetzwerk. Weiterhin seien jeweils einige der Größen gegeben und eine bestimmte Größe sei konkret gesucht. I I 1 I 3 R 1 R 3 U q I 2 A I 5 R 5 B I 4 R 2 R 4 1. Gegeben seien die Widerstände R 1 = R 2 = R 3 = R 5 = 1 kω, ferner die Spannung U q = 15 V. Bestimmen Sie den Widerstand R 4 so, dass der Strom I 5 = 1 ma fließt! 2. Gegeben seien die Widerstände R 1 = R 2 = R 3 = 1 kω, R 4 = 500 Ω und R 5 = 100 Ω, ferner die Spannung U q = 15 V. Bestimmen Sie den Strom I 5! Tipp: Ersatzspannungsquelle bezüglich A und B. 36 IEEE, Version 1.02

41 Gleichstrom Klausuraufgaben Aufgabe K4 Gegeben sei folgendes Gleichspannungsnetzwerk, mit U q1 = 2 V, U q2 = 6 V, I q = 6 A sowie R = 2 Ω und C = 1 µf. Der Schalter S ist anfangs offen und der Kondensator C hat eine Restladung von Q = 10 5 C. U q1 2R A S R R R U q2 I q U AB i C C + B Geben Sie bei allen Berechnungen stets den vollständigen Rechenweg inklusive Formeln mit eingesetzten Zahlenwerten an! Der Schalter S bleibt zunächst geöffnet. 1. Bestimmen Sie die Ersatzspannungsquelle des Netzwerkes bezüglich der Klemmen A und B. Skizzieren Sie dazu ein entsprechendes Ersatzschaltbild für die Ersatzspannungsquelle und geben Sie die Kenngrößen U 0, I K und R i an! 2. Skizzieren Sie die U-I-Kennlinie der Ersatzspannungsquelle (mit Achsenskalierung)! Fortsetzung auf der nächsten Seite! IEEE, Version

42 Gleichstrom Klausuraufgaben Der Schalter S ist weiterhin geöffnet. Der Kondensator hat die Ladung Q = 10 5 C. Zum Zeitpunkt t 1 wird der Schalter dann geschlossen. Hinweis: Falls Sie die Werte der Ersatzspannungsquelle nicht bestimmen konnten, nehmen Sie für die weiteren Aufgaben an, dass U 0 = 14 V und R i = 2 Ω sind. 3. Berechnen Sie den Anfangsstrom i C (t 1 ), der beim Schließen des Schalters fließt! Bestimmen Sie dazu zunächst die Spannung U C, die vor Schließen des Schalters am Kondensator anliegt, und skizzieren Sie das vereinfachte Ersatzschaltbild bei geschlossenem Schalter S. 4. Skizzieren Sie den qualitativen Verlauf des Stromes i C (t) und geben Sie die Achsenbezeichnungen sowie den Anfangs- und Endwert des Stroms an. 38 IEEE, Version 1.02

43 Teil II. Elektrisches Feld 39

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45 Elektrisches Feld Theorie Kondensator: Ein Kondensator besteht aus zwei elektrischen Leitern, zwischen denen sich ein Isolator (Dielektrikum) befindet. Sind die Platten des Kondensators aufgeladen, entsteht zwischen den Platten ein elektrisches Feld, da sich positive und negative Ladungen gegenüberstehen. + + E + E = U d in V m + Ein Kondensator ist ein Speicher für Ladungen. d C Schaltzeichen des Kondensators Kapazität: C = Q U in F = A s V A Kapazität eines Plattenkondensators aus der Geometrie: C = ε A d = ε r ε 0 A d mit: ε 0 = 8, As/Vm elektrische Feldkonstante ε r Dielektrizitätszahl (ε r = 1 Vakuum; ε r = 1,0059 Luft) d Im Dielektrikum kommt es zu einer Ladungsverschiebung. Das Dielektrikum wird polarisiert, dadurch wird auf den Platten neuer Platz für Ladungen geschaffen. IEEE, Version

46 Elektrisches Feld Theorie Parallelschaltung: Reihenschaltung: Q ges = Q 1 + Q 2 Prinzipiell hat sich die Fläche für die Ladungen vergrößert (die Kondensatorplatten quasi aneinanderlegen). U ges = U 1 + U 2 In der Reihenschaltung ist der Aufladestrom der einzelnen Kondensatoren immer gleich: Q = Idt. C ges U = C 1 U + C 2 U C ges = C 1 + C 2 U ges Q = U 1 Q + U 2 Q 1 C ges = 1 C C 2 U C 1, Q 1 C 2, Q 2 U ges U 1 U 2 C 1 C 2 Energie des Kondensators: W = 1 2 C U 2 Elektrische Verschiebungsstromdichte: Beschreibt die im Feld mögliche Ladungsverschiebung. Diese ist unabhängig von den Materialeigenschaften des Dielektrikums. D = ε E = Q A im homogenen Feld 42 IEEE, Version 1.02

47 Umladevorgänge von Kondensatoren an einer Gleichspannung: Elektrotechnik I und II Aufgabensammlung Elektrisches Feld Theorie Aufladen: S R u(t), i(t) U u R (t) i C (t) u C(t) U u C (t) C U R u R(t) 0 t = τ i(t) t Maschenregel: U = u R (t) + u C (t) = R i C (t) + u C (t) mit: i C (t) = dq dt = dc u C(t) = C du C(t) dt dt Differentialgleichung: U = R C du C(t) + u C (t) dt Anfangsbedingung: u C (0) = 0 Lösung: u C (t) = U (1 e t τ ) mit: τ = R C (Zeitkonstante) i C (t) = C du C(t) dt = C U e t τ 1 τ = U R e t R C Allgemein: Nach t = 5 τ ist der Endwert erreicht. Für t : u c (t ) = U, i C (t ) = 0. IEEE, Version

48 Elektrisches Feld Theorie Entladen: S R u(t), i(t) U u R (t) i C (t) u c(t) U u C (t) C 0 t = τ t U R i(t) u R(t) U Maschenregel: u C (t) = u R (t) = R i C (t) Hier ist u C Quellspannung. Differentialgleichung: Anfangsbedingung: Lösung: u C (t) = R C du C(t) dt u C (0) = U u C (t) = U e t τ mit: τ = R C (Zeitkonstante) i C (t) = C du C(t) dt = C U e t τ 1 τ = U R e t R C 44 IEEE, Version 1.02

49 Elektrisches Feld Tutorium Aufgabe T1 Berechnen Sie die Kapazität der angegebenen Schaltung! C C C C C Aufgabe T2 In welchem Verhältnis stehen die Gesamtladungen der beiden Kondensatorenanordnungen? C C C C U C C C C U IEEE, Version

50 Elektrisches Feld Tutorium Aufgabe T3 Ein Kondensator mit dem Plattenabstand d und Luft als Dielektrikum (ε r = 1) wird kurzzeitig mit einer Spannungsquelle verbunden und dadurch auf U aufgeladen und anschließend abgeklemmt. a) b) d d 2d A ε 0 A ε r A ε 0 U U U 1. Welche Spannung liegt am Kondensator an, wenn der gesamte Raum zwischen den Platten mit einer Isolierstoffplatte (ε r = 2) gefüllt wird (Fall a)? 2. Welche Spannung liegt am Kondensator an, wenn der Plattenabstand auf 2d vergrößert wird (Fall b)? 46 IEEE, Version 1.02

51 Aufgabe T4 Elektrotechnik I und II Aufgabensammlung Elektrisches Feld Tutorium Zwei Kondensatoren C 1 = 10 µf und C 2 = 15 µf sind mit den Ladungen Q 1 = A s und Q 2 = A s aufgeladen. Der Schalter S ist zunächst geöffnet. S C 1 C U 1 U 2 1. Welche Spannungen U 1 und U 2 liegen an den Kondensatoren beim geöffneten Schalter S an? 2. Welche Ladungsmengen Q 1 und Q 2 besitzen die Kondensatoren, wenn der Schalter S geschlossen wird? Aufgabe T5 Wie lautet der allgemeine funktionale Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an einem Kondensator? (i c, u c = f(t)) Aufgabe T6 1. Vier gleich große Metallplatten der Plattenfläche A = 2 m 2 sind jeweils parallel zueinander im Abstand d = 1 mm angeordnet. Berechnen Sie allgemein und mit Zahlenwerten die Kapazität zwischen der ersten und vierten Platte. (ε 0 = 8,85 pf/m) 2. Wie ändert sich die Kapazität, wenn die zweite und dritte Platte entfernt werden? IEEE, Version

52 Elektrisches Feld Tutorium Aufgabe T7 Die beiden dargestellten Kondensatoren mit den Kapazitäten C 1 = 3 µf und C 2 = 5 µf sind über den Schalter S 1 mit einer Batterie verbunden. Die Pole der Batterie weisen gegen Erde die Spannungen U 1 = 100 V und U 2 = 100 V auf. Die Schalter S 1 und S 2 sind zunächst geöffnet und die Kondensatoren sind vollständig entladen. S 1 U 1 U 2 R R C 1 C 2 S 2 1. Welche Ladungsmenge fließt in die Kondensatoren, wenn S 1 geschlossen wird (S 2 bleibt offen)? 2. Welche Ladungsmenge kommt noch hinzu, wenn anschließend S 2 ebenfalls geschlossen wird? 48 IEEE, Version 1.02

53 Elektrisches Feld Tutorium Aufgabe T8 Gegeben ist folgende Schaltung. Der Kondensator ist ungeladen und zum Zeitpunkt t = t 0 wird der Schalter S geschlossen. I S R 1 C U 0 U 2 R 2 Bekannte Größen: U 0, R 1, R 2, C 1. Wie hoch ist der Spannungsabfall am Widerstand R 2 zum Zeitpunkt t = t 0 (unmittelbar nach dem Einschalten)? 2. Wie hoch ist der Strom I zum Zeitpunkt t? Aufgabe T9 Gegeben ist die folgende RL-Reihenschaltung in der eine Spule und ein Widerstand über S R L einen Schalter S an die Gleichspannung U gelegt sind. Die Diode sperrt, da die Kathode U des Ventils am + Pol der Gleichspannungs- D quelle U liegt. Leiten Sie, unter Verwendung des Kirchhoffschen Gesetzes, eine allgemeine Rechenvorschrift für den Verlauf der Spannungen am Widerstand und der Spule her. IEEE, Version

54 Elektrisches Feld Tutorium Aufgabe T10 Gegeben ist ein Kondensator mit 22 µf. An dem Kondensator wurde folgender Verlauf der Spannung gemessen: I II III 8 Uc (V) Zeit (ms) Bereich I Bereich II Bereich III t 1 = 5 ms Spannung bleibt konstant auf dem Endwert von Bereich I t 2 = 8 ms Spannung fällt linear vom Endwert von Bereich II ab. t 3 = 10 ms Berechnen Sie für alle 3 Bereiche den Verlauf des Stromes und skizzieren Sie diesen. Aufgabe T11 u(t) 1 V Gegeben ist ein zeitlicher Verlauf einer Spannung. Berechnen Sie den Effektivwert der Spannung. t 50 IEEE, Version 1.02

55 Elektrisches Feld Große Übung Aufgabe Ü1 In der Abbildung sind zwei Kondensatoren mit verschieden angeordneten Dielektrika dargestellt. Die Plat- l A ε 3 A 2 tenfläche beträgt A, der Plattenabstand l. Randeffekte sind zu vernach- ε 1 ε 2 ε 4 A 2 lässigen. Wie groß sind die Kapazitäten C 1 und C 2? x l x l Aufgabe Ü2 Zwischen zwei dünnwandigen, koaxial angeordneten Metallrohren mit der Länge l soll eine Spannung U herrschen. E i, D i r 2 r E a, D a 1. Wie groß muss der Radius r 1 des Innenleiters r 1 sein, damit bei vorgegebenem Außenradius r 2 das elektrische Feld an der Oberfläche der d Innenelektrode minimal wird? 2. Wie verändert sich der Wert für die Feldstärke an der Oberfläche der Innenelektrode, wenn ihr Radius r 1 bei festem r 2 kleiner wird und im Grenzfall zu Null wird? IEEE, Version

56 Elektrisches Feld Klausuraufgaben Aufgabe K1 Es soll das elektrische Feld an einem Zylinderkondensator berechnet werden. Dazu sei zunächst ein einfacher Zylinderkondensator mit homogenem Dielektrikum gegeben. ε r 2 Elektrode 1 r 1 Elektrode 2 1. Zeichnen Sie das Feldlinienbild des einfachen Zylinderkondensators! Ist der Betrag der Feldstärke konstant (Begründung)? 2. Leiten Sie die allgemeine Formel für die Kapazität des einfachen Zylinderkondensators her! 52 IEEE, Version 1.02

57 Elektrisches Feld Klausuraufgaben Für die folgenden Aufgabenteile gelte nachfolgende Abbildung. Der Raum zwischen den Elektroden eines Zylinderkondensators der Länge l r 1, r 2 sei in zwei Segmente aufgeteilt, die mit unterschiedlichen Dielektrika gefüllt sind. ε 2 r 2 Elektrode 1 r 1 Elektrode 2 ε 1 α ε 1 = 3ε 2 = 3ε 0 3. Wie groß ist die Kapazität der dargestellten Anordnung? 4. An die Elektroden werde eine Spannung U gelegt. Die Beträge der elektrischen Verschiebungsdichte D und der elektrischen Feldstärke E sind für beide Segmente als Funktion der Ortskoordinate r (D = f(u, r) und E = f(u, r)) für r 1 r r 2 zu ermitteln. IEEE, Version

58 Elektrisches Feld Klausuraufgaben Aufgabe K2 Gegeben ist folgendes Gleichstromnetzwerk mit einem Plattenkondensator (Bild 1): S R v A C S R v A C Plattenkondensator a a U 0 U C d Luft U 0 U C B B Bild 1 Bild 2 d ε r h Dielektrikum d Bild 3 Die Kondensatorplatten sind quadratisch ausgeführt (Bild 3). Folgende Daten sind bekannt: U 0 = 1000 V, R v = 8 MΩ, d = 5 cm, h = 3 cm, a = 100 cm ε r,dielektrikum = 13,6 Für die Aufgaben werden nacheinander vier Schaltvorgänge durchgeführt: Vorgang 1: Zuerst wird der Schalter S geschlossen und damit der Plattenkondensator durch die Gleichspannungsquelle U 0 aufgeladen. Vorgang 2: Nach dem vollständigen Aufladen des Kondensators wird der Schalter wieder geöffnet. Vorgang 3: Bei geöffnetem Schalter wird anschließend ein plattenförmiges Dielektrikum zwischen die Kondensatorplatten geschoben (Bild 2). Vorgang 4: Nachdem das Dielektrikum zwischen die Platten geschoben wurde, wird der Schalter wieder geschlossen. Hinweise: Für die Berechnungen ist die Kondensator-Anordnung als ideal anzunehmen; Randeffekte sowie Verluste im Dielektrikum können vernachlässigt werden. Alle Feldlinien verlaufen parallel zueinander und senkrecht zwischen den Kondensatorplatten. 54 IEEE, Version 1.02

59 Elektrisches Feld Klausuraufgaben 1. Berechnen Sie die Kapazität C des Kondensators ohne Dielektrikum! 2. Wie groß ist die Spannung U C zwischen den Klemmen A und B nach dem Einschieben des Dielektrikums (nach Vorgang 3)? 3. Berechnen Sie die Energieinhalte im Kondensator vor und nach dem Einschieben des Dielektrikums! 4. Welche Ladungsmenge fließt zusätzlich auf die Kondensatorplatten, nachdem der Schalter S wieder geschlossen wurde (nach Vorgang 4)? 5. Zeichnen Sie qualitativ den Verlauf des Kondensatorstroms i C (t) und der Kondensatorspannung u C (t) für den Schaltvorgang 4! Geben Sie auch die Anfangs- und die Endwerte der Verläufe auf der y-achse an! IEEE, Version

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63 Spule/Drossel: Elektrotechnik I und II Aufgabensammlung Magnetfeld Theorie Eine Spule besteht aus einem Draht, der auf einem Körper aufgewickelt ist. Fließt durch die Spule ein Strom, so entsteht in der Spule und um die Spule herum ein magnetisches Feld durch die Bewegung von elektrischen Ladungen. allgemeines Durchflutungsgesetz: U I N Windungen θ = I = I N = Hd I In einer Spule berechnet sich dann die magnetische Feldstärke zu: Integrationsweg H = I = I N l m in A m Eine Spule ist ein Speicher für elektrischen Strom. Eine ideale Spule ohne ohmschen Widerstand würde einen Strom halten, da dann das Magnetfeld konstant ist. Es kostet Energie, das Magnetfeld zu ändern. Daraus folgt das Induktionsgesetz und die Lenz sche Regel. Lenz sche Regel: Ändert sich aufgrund einer elektrischen Spannung der Stromfluss durch eine Spule, erzeugt diese Änderung in der Spule eine Magnetfeldänderung, die eine Spannung induziert, die der treibenden Spannung entgegengesetzt ist. Diese Spannung zögert daher das Anwachsen und Abfallen des Magnetfelds heraus. IEEE, Version

64 Magnetfeld Theorie Wichtige Gleichungen: Induktionsgesetz: magnetischer Fluss: magnetische Flussdichte (Induktion): für A = konst.: Induktivität: magnetische Feldkonstante: Permeabilitätszahl: U = N dφ dt Φ = A BdA B = µ0 µ r H = µ H U = N A db dt = N A µ 0 µ r dh dt = N 2 A µ 0 µ r l m di dt = L di dt L = N 2 A µ 0 µ r in H = V s l m A, H = Henry µ 0 = 4 π 10 7 V s m A µ r = 1(Luft, Vakuum), µ r = (Eisen) Es kommt im eingeschlossenen Stoff durch das äußere Feld zur Ausrichtung der Elementarmagnete (sogenannte Weißsche Bezirke), die dann verstärkend wirken. Lorenzkraft: Ein Magnetfeld übt auf bewegte Ladungsträger eine Kraft aus. Diese Kraft steht immer senkrecht auf der Ebene, die durch die Richtung der Ladungsbewegung und der magnetischen Flussdichte B festgelegt ist. 1. Ladungsträger können sich frei bewegen: F L = Q v B 2. Ladungsträger in einem Leiter: die Richtung ist durch die Richtung des Leiters vorgegeben. F L = l I B Die Richtung der Kraft lässt sich mit der rechten-hand-regel konstruieren: 60 IEEE, Version 1.02

65 Magnetfeld Theorie Daumen technische Stromrichtung Zeigefinger Richtung der magnetischen Flussdichte Mittelfinger Richtung der Kraft Der Winkel α zwischen magnetischer Flussdichte und Bewegungsrichtung muss dabei nicht 90 sein. In diesem Fall ist F L = Q v B sin α. Hysteresekurve: B Die Ausrichtung der Elementarmagnete folgt einer nichtlinearen Funktion mit Sättigung (Neukurve). Wenn dann das äußere Feld wieder auf Null reduziert wird, bleibt im Spulenkern die Remanenzflussdichte B r erhalten. Die Remanenz kann nur durch ein entgegengesetztes Magnetfeld aufgehoben werden (Koerzitivfeldstärke H c ). B R H C Neukurve H Schaltzeichen einer Induktivität: L Reihenschaltung: Parallelschaltung: L 1 L 2 L ges = L 1 + L 2 L 1 L ges = 1 1 L L 2 L 2 Energie einer Induktivität: W = 1 2 L I2 IEEE, Version

66 Magnetfeld Theorie Magnetischer Kreis: V = R M Φ ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises mit: V magnetische Spannung Φ magnetischer Fluss R M = l µ 0 µ r A magnetischer Widerstand Für den magnetischen Kreis gelten ebenfalls die Maschen- und die Knotenregeln für die magnetische Spannung beziehungsweise den magnetischen Fluss. Ebenso gelten die Formeln für Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen. Analogien im elektrischen und magnetischen Kreis: elektrischer Kreis magnetischer Kreis Spannung U in V V in A Feldstärke E in V/m H in A/m Stromstärke I in A Φ in Vs Stromdichte J in A/m 2 B in Vs/m 2 Quellspannung U q in V Θ in A Widerstand R in Ω R m in A/Vs Umladevorgänge von Induktivitäten an einer Gleichspannung: Aufladen: S R u(t), i(t) U ur(t) u R (t) i L (t) U u L (t) L U R i(t) ul(t) 0 t = τ t 62 IEEE, Version 1.02

67 Magnetfeld Theorie Maschenregel: U = u L (t) + u R (t) = R i L (t) + u L (t) Differentialgleichung: U = L di L(t) + R i L (t) dt Anfangsbedingung: i L (0) = 0 Lösung: i L (t) = U R (1 e t τ ) mit: τ = L R (Zeitkonstante) u L (t) = L di L(t) dt = L U R e t τ 1 τ = U e t R L Allgemein: Nach t = 5 τ ist der Endwert quasi erreicht. Für t : i L (t ) = U R = max, u L(t ) = 0. Entladen: S R u(t), i(t) U u R (t) i L (t) U R i(t) ur(t) U u L (t) L 0 t = τ t ul(t) U IEEE, Version

68 Magnetfeld Theorie Maschenregel: u R (t) = R i L (t) = u L (t) = L di L(t) dt Differentialgleichung: Anfangsbedingung: Lösung: i L (t) = L R di L(t) dt i L (0) = U R = max i L (t) = U R e t τ mit: τ = R C (Zeitkonstante) u L (t) = L di L(t) dt = L U R e t τ 1 τ = U e t R L 64 IEEE, Version 1.02

69 Aufgabe T1 Elektrotechnik I und II Aufgabensammlung Magnetfeld Tutorium Gegeben ist der dargestellte magnetische Kreis. Gegebene Größen: I, N, A, l, µ 0, µ r l l 1. Zeichnen Sie das elektrische Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises! l Φ 1 Φ 2 Φ A I N 2. Bestimmen Sie den gesamten Widerstand des magnetischen Kreises! 3. Wie groß ist der magnetische Fluss Φ? Aufgabe T2 In welchen der folgenden Darstellungen ist die Richtung der ablenkenden Kraft bezogen auf den Strom I richtig eingetragen? a) I b) I c) I d) I U F U F U F U F B B B B IEEE, Version

70 Magnetfeld Tutorium Aufgabe T3 Ein stromdurchflossener Leiter befindet sich in einem homogenen magnetischen Feld. Zeichnen Sie die Feldlinien des magnetischen Feldes und die Richtung der Kraft, die auf den Leiter ausgeübt wird! S N Aufgabe T4 1. Wie lautet das Induktionsgesetz in allgemeiner Form? 2. Auf welche verschiedenen Arten kann die Spannungserzeugung nach dem Induktionsgesetz erfolgen? Aufgabe T5 V Eine Kupferscheibe vom Radius 12 cm rotiert mit der Drehzahl n = 25 1 s in einem Magnetfeld der Induktion B = 0,3 V s, das m 2 die Scheibe rechtwinklig durchsetzt. Welche Spannung wird zwischen den Schleifkontakten gemessen? n A B 66 IEEE, Version 1.02

71 Magnetfeld Tutorium Aufgabe T6 In einem hohlen Rohr (Innenradius r 1, Außenradius r 2 ) fließt der Gleichstrom I. Es wird angenommen, dass die Stromdichte S im Rohrmantel konstant ist. I 1. Bestimmen Sie die Stromdichte S im Rohrmantel. r 1 r 2 2. Ermitteln Sie die magnetische Erregung H innerhalb des Rohres (r r 1 ) 3. Ermitteln Sie H im Rohrmantel (r 1 r r 2 ) r 4. Ermitteln Sie H außerhalb des Rohres (r r 2 ) IEEE, Version

72 Magnetfeld Tutorium Aufgabe T7 Gegeben sind die folgenden magnetischen Kreise und Daten: Kreis I: Kreis II: l L l Fe l Fe U 1,I N 1 U 2,I U 1,II N 1 N 2 N 2 N 3 U 2,II I 1 A A I 3 Magnetisierungskurve des verwendeten Eisens: B Fe in T 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0, H Fe in A/m Daten: Kern: µ 0 = V s A m, l Fe = 30 cm (Luftspalt vernachlässigbar), l L = 0,3 mm, A = 4 cm 2 Windungszahlen: N 1 = 1000, N 2 = 40, N 3 = 2000 Strom auf der Primärseite: i 1 = 50 ma + 40 ma cos(ωt), f = 50 Hz 68 IEEE, Version 1.02

73 Magnetfeld Tutorium 1. Berechnen Sie getrennt die Gleichstrom- und Wechselstromdurchflutung der Kreise durch den Strom i Kreis II: Wie groß muss der Strom i 3 sein, wenn dieser den durch i 1 erzeugten Gleichanteil der Durchflutung im Kreis II vollständig kompensieren soll? Geben Sie an, ob die Richtung dieses Stromes i 3 der im Bild eingezeichneten entspricht. 3. Kreis I: Berechnen Sie die magnetische Induktion, die sich im Kern einstellt unter der Bedingung, dass nur der lineare Bereich der Magnetisierungskennlinie benutzt wird. Betrachten Sie dabei wiederum Gleich- und Wechselanteil getrennt. 4. Kreis I: Zeichnen Sie den Arbeitspunkt (entspricht dem Gleichanteil der Magnetisierung) in die Magnetisierungskennlinie ein. Bestimmen Sie die maximal auftretende Feldstärke im Eisenkern. In welche Richtung verschiebt sich der Arbeitspunkt bei Verkleinerung des Luftspaltes? Was ist Ihrer Ansicht nach Zweck des Luftspaltes? 5. Kreis II: Wie viel Strom i 3 muss durch die Wicklung mit der Windungszahl N 3 fließen, damit der Arbeitspunkt des Kreises II gleich dem des Kreises I wird? Geben Sie an, ob die Richtung des Stromes i 3 der im Bild eingezeichneten entspricht. 6. Berechnen Sie die Spannungen U 1,I und U 1,II, die sich an den beiden Kreisen bei Vorgaben von i 1 einstellen. 7. Berechnen Sie die Induktivitäten L 1,I und L 1,II. IEEE, Version

74 Magnetfeld Tutorium Aufgabe T8 Bei dem dargestellten Eisenkern beträgt der Querschnitt jedes Schenkels und jedes Joches A = 400 mm 2. Seine Länge beträgt l = 120 mm und seine Höhe h = 80 mm. Jeder Schenkel und jedes Joch sind jeweils b = 20 mm breit. Die Permeabilität kann mit µ r = 2000 als konstant angenommen werden. Auf dem Mittelschenkel ist eine Spule N = 200 Windungen aufgebracht (Bild a)). Bild a) Bild b) l l b b h h 1. Bei welchem Spulenstrom wird im Mittelschenkel in der Spule die Flussdichte B = 1 T erzeugt? 2. Die Spule wird nun auf einen Außenschenkel gesetzt. Welche Stromstärke ist erforderlich, wenn die Flussdichte in der Spule wieder B = 1 T betragen soll? 70 IEEE, Version 1.02

75 Magnetfeld Große Übung Aufgabe Ü1 Die drei Leiter einer Freileitung werden von den Strömen I 1 = 20 A, I 2 = 55 A und I 3 = 35 A durchflossen. Die Abstände der Leiter voneinan- b I 1 c der sind: a = 830 mm, b = 400 mm, c = 650 mm. Wie groß ist die magnetische Feldstärke im Punkt P? I 2 P a/2 a/2 I 3 Aufgabe Ü2 Eine einlagige Spule, die n Windungen, die Länge l und den Windungsdurchmesser d aufweist, wird vom Strom I durchflossen. Das Feld im Spuleninneren ist praktisch homogen. Es wird dort eine Induktion B0 gemessen. (Spule in Luft, d. h. µ r = 1). Daten: d = 6 cm; l = 0,4 m; n = 200; I = 4 A; B0 = 2,2 mt 1. Wie groß sind die magnetischen Spannungen über dem Spuleninnen- und -außenraum? 2. Wie groß ist der magnetische Fluss in der Spule? Aufgabe Ü3 Wie groß ist die magnetische Feldstärke in den Luftspalten des dargestellten magnetischen Kreises? d I w d Daten: d = 0,5 mm; µ r ; I = 10 A; w = 1000 IEEE, Version

76 Magnetfeld Große Übung Aufgabe Ü4 Gegeben ist der abgebildete Eisenkreis mit zwei Erregerwicklungen N 1 und N 2. Die Streuung am Luftspalt sei vernachlässigbar. Der Eisenquerschnitt A ist an allen Stellen gleich. l 2 N 1 Daten: I1 N 1 = 100 N 2 = 500 l 3 l L I 1 = 5 A l 1 = 40 mm l 3 = 80 mm l 5 = 40 mm I 2 = 1 A l 2 = 48,3 mm l 4 = 48,3 mm l L = 1 mm N 2 I 2 µ r = 1000 µ 0 = 4π 10 7 Vs/Am l 4 A = 1 cm 2 Gesucht wird: 1. Das elektrische Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises. 2. Der magnetischer Fluss φ im Luftspalt. 3. Die magnetische Feldstärke H im Luftspalt. 4. Die magnetische Spannung im Eisen. 5. Die Induktivität der Spule N 1 für den Fall, dass der Stromkreis der Spule 2 geöffnet ist. 72 IEEE, Version 1.02

77 Magnetfeld Große Übung Aufgabe Ü5 Gegeben ist ein ringförmiger Eisenkern, der zwei gleiche Erregerwicklungen trägt (n 1 =n 2 ). 1b 2a 1. Der magnetische Fluss B ist über den Querschnitt A homogen verteilt. n 1 D m n 2 2. Die Streuung ist zu vernachlässigen. 3. Die magnetische Permeabilität des Eisens µ r,fe ist konstant. 1a A 2b Die beiden Wicklungen werden auf zwei verschiedene Arten in Reihe geschaltet: 1. gleichsinnig (Verbindung 1b - 2a) 2. gegensinnig (Verbindung 1b - 2b). Wie groß ist jeweils die Gesamtinduktivität der beiden Reihenschaltungen zwischen den Anschlußklemmen 1a - 2b bzw. 1a - 2a? Hinweis: Berechnung nach der Definitionsgleichung: L = n φ I Aufgabe Ü6 Gegeben ist ein magnetischer Kreis. Die Windungszahlen beider Spulen seien gleich. Wie groß ist die Gegeninduktivität beider Spulen, ausgedrückt durch die Selbstinduktivität L 1 der Spule 1, wenn der magnetische Widerstand aller Zweige gleich groß ist? (w 1 =w 3, Φ 2 =Φ 3 ) I1 Φ 1 Φ 3 w 1 w 3 Φ 2 I3 IEEE, Version

78 Magnetfeld Große Übung Aufgabe Ü7 Der skizzierte magnetische Kreis wird auf dem Mittelschenkel mit Φ = 1308 A erregt. Wie groß muss die Länge x des Luftspaltes 2 sein, damit im Luftspalt 1 eine Flussdichte von B = 1,256 T entsteht? (Der mittlere Feldlinienweg ist gestrichelt eingezeichnet. Die Streuung soll vernachlässigt werden.) 1. Die Luftspaltlängen wurden bei der Ermittlung der mittleren Eisenweglängen vernachlässigt. 2. Maßangaben in Millimeter 3. Dicke des Eisenpaketes: 20 mm x I n Magnetisierungskurve: B in T 0,628 0,942 1,256 1,50 H in A/cm 1,7 3,8 9,0 24,0 74 IEEE, Version 1.02

79 Magnetfeld Klausuraufgaben Aufgabe K1 Eine rechteckige Leiterschleife mit Widerstand R wird mit konstanter Geschwindigkeit v = v 0 e x in ein homogenes magnetisches Feld mit konstanter Flussdichte B = B 0 e z bewegt. Zum Zeitpunkt t 0 = 0 beginnt die Drahtschleife in das Magnetfeld einzutreten. a B Magnetfeld y b i(t) v z x Leiterschleife 1. Geben Sie den von der Leiterschleife umfassten magnetischen Fluss φ(t) für den Eintrittsvorgang an! 2. Bestimmen Sie den Strom i(t), der während des Eintritts in der Leiterschleife fließt! 3. Welche Verlustleistung p(t) fällt in der Leiterschleife an? 4. Bestimmen Sie den Zeitpunkt t 1, zu dem die Leiterschleife vollständig in das Magnetfeld eingetreten ist! Es sind nun folgende Werte gegeben: a = 4 cm, b = 5 cm, R = 1 mω, v = 0,5 m/s, B = 1 T 5. Wie groß ist die Arbeit W, die aufgewendet werden muss, um die Leiterschleife vollständig in das Magnetfeld zu bewegen? IEEE, Version