Modulare Arithmetik. Manfred Gruber SS 2010, KW 23
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- Chantal Brinkerhoff
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1 Modulare Arithetik Manfred Gruber SS 2, KW 23
2 odulo Für 2 N; 2 und Z := f; : : : ; betrachten wir die Abbildung odulo g r : Z! Z ; a! a od = a ba=c : Beerkung. r (a) = r (a ) genau dann, wenn sich a von a durch ein ganzzahliges Vielfaches von unterscheidet. Beweis ): Aus a ba=c = a ba =c folgt a a = (ba=c ba =c). (: Aus a = a + k folgt a ba=c = (a + k) b(a +k)=c = a +k k ba =c = a ba =c. Beerkung 2. Auf Z gibt es eine Addition und eine Multiplikation: a b := (a + b) od a b := ab od :
3 Beispiel: (Z ; ; ) In Z gilt folgende Additionstabelle: (Z ; ) ist koutativ. (Z ; ) hat ein neutrales Eleent:. Jedes Eleent in (Z ; ) hat ein eindeutig bestites Inverses. Z.B. ist =, denn + =. Mit Hilfe der Additionstabelle ist die Bestiung der inversen ( negativen ) Eleente leicht: Kreuzt sich eine Zeile it einer Spalte in einer Null, so sind die zugehörigen Eleente zueinander invers. 2
4 In Z gilt folgende Multiplikationstabelle: (Z ; ) ist koutativ. (Z ; ) hat ein neutrales Eleent:. und sind invertierbar: = ; =. ; 2; 3; sind nicht invertierbar. In (Z ; ; ) gibt es sog. Nullteiler; 2 3 =. 3
5 Modulares Rechnen Man kann und auf Z ausdehnen, inde an für beliebige a; b 2 Z definiert: a b = (a od ) (b od ) () a b = (a od ) (b od ) : (2) Beerkung 3. Den Foreln () und (2) entnit an auch, wie an odulo rechnet: Z.B. ist für = 239 =((239 od ) + ( od )) od =( + 3) od = und 239 =((239 od ) ( od )) od =( 3) od = 3:
6 Beweis für Forel () (a od ) (b od ) a a A b b A (a a ) + (b b ) = (a + a + b A a + b a + b A = (a + b) a + b = (a + b) od = a b
7 Beweis für Forel (2) (a od ) (b od ) = (a od )(b od ) a (a od )(b od ) a A@ b = (ab + k) = (ab + k) ab = ab = ab od = a b b A (a b a c)(b b b c) ab + k ab k Hier steht k für eine geeignete ganze Zahl.
8 Modulare Inverse Definition. [odulare Inverse] Man nennt x 2 Z invertierbar, wenn es ein y 2 Z gibt, für das x y = ist. y heißt dann odulare Inverse von x. Die Menge der invertierbaren Eleente von Z bezeichnet an it Z. Satz. x 2 Z genau dann, wenn x und teilerfred sind, d.h. wenn ggt(x; ) = gilt. Beweis Wir zeigen: x invertierbar ) x und teilerfred. Wenn x 2 Z invertierbar ist, gibt es ein y 2 Z it x y = in Z, d.h. xy bxy=c = in Z. Aus der letzten Gleichung folgt aber, dass jeder geeinsae Teiler (in Z) von x und auch ein Teiler von ist. Nun zeigen wir: x und teilerfred ) x invertierbar. Sind x und teilerfred, dann gibt es (erweiterter euklidischer Algorithus) a; b 2 Z it ax + b =. Dait gilt auch a x = (a od )(x od ) =.
9 Beerkung. Der Multiplikationstabelle für Z haben wir entnoen, dass Z = f; g ist. Nun wissen wie auch, wieso. Beerkung. Ist p eine Prizahl, so ist jedes Eleent von x 2 Z p n fg teilerfred zu p, also ist in diese Falle Z p n fg = Z p. Beerkung. Wie berechnet an odulare Inverse in Z? Mit de erweiterten euklidischen Algorithus! Für den größten geeinsaen Teiler d (in Z) von x und hat an die Darstellung d = ax + b it a; b 2 Z.. Fall: d od =. Dann sind x und nicht teilerfred und dait x nicht invertierbar. 2. Fall: d od =. Dann ist x invertierbar und a od das odulare Inverse von x: ax =. 8
10 Literatur [CM] Ronald L. Graha, Donald E. Knuth and Oren Patashnik, Concrete Matheatics: A Foundation for Coputer Science. Addison-Wesley, 989; second edition, gkp.htl 9
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