Mittlerer Schulabschluss Mathematik. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben

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1 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben

2 Abschlussprüfung zum mittleren Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung

3 Impressum Herausgeber: Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung Hamburger Straße 31, 083 Hamburg Leitung des Gestaltungsreferats mathematisch-naturwissenschaftlich-technischer Unterricht: Dr. Britta Creutzburg-Ahnfeldt Redaktion: Dr. Andreas Busse (Koordination) Sabine Kramer Mirko von Leitner Christine Töllner Alle Rechte vorbehalten. Internet: Hamburg 013

4 Inhaltsverzeichnis Vorwort... 4 Liste der Arbeitsaufträge... 5 Aufgaben Aufgaben, die ohne den Einsatz des Taschenrechners bearbeitet werden... 9 Aufgaben zur Leitidee Daten und Zufall Aufgaben zur Leitidee funktionaler Zusammenhang Aufgaben zur Leitidee Raum und Form sowie zur Leitidee Messen Aufgaben zur Leitidee Messen und zur Leitidee Zahl

5 Vorwort Liebe Kolleginnen und Kollegen, liebe Schülerinnen und Schüler, in der vorliegenden Handreichung werden Beispiele für Prüfungsaufgaben zum mittleren Schulabschluss im Fach Mathematik vorgestellt. Die hier vorgelegten Aufgabenbeispiele korrespondieren mit den in den Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Schulabschluss der KMK geforderten Kompetenzen, Anforderungen und Aufgabenformaten sowie mit den Anforderungen, wie sie im Rahmenplan der Stadtteilschule festgelegt sind. Bei der vorliegenden Handreichung handelt es sich um eine vollständige Überarbeitung des bisherigen Heftes. Die folgenden Aspekte wurden überarbeitet oder sind neu hinzugenommen: 4 Die Liste der verbindlichen Arbeitsanweisungen (Operatoren) wurde dem aktuellen Stand angepasst, entsprechend wurden die Operatoren in den Aufgaben überarbeitet. Die Lösungen und en zu den Aufgaben befinden sich jetzt unmittelbar hinter der jeweiligen Aufgabe. An vielen Stellen wurden die Lösungen ausführlicher formuliert, sodass sie auch von Schülerinnen und Schülern selbstständig nachvollzogen werden können. Alle Aufgaben wurden einer kritischen Revision unterzogen. Dabei wurden viele Aufgaben durch solche ersetzt, die sich an gelungene aus aktuelleren Prüfungen anlehnen. Insbesondere im hilfsmittelfreien Teil werden Größenvorstellungen zu den gängigen Maßeinheiten abgefragt. Für den mittleren Schulabschluss gilt eine neue Notenskala. Die Bestnote E1 wird für Leistungen vergeben, die etwas über denen stehen, für die in der Vergangenheit die Bestnote B an Gesamtschulen bzw. 1 an Realschulen erteilt wurde. Dementsprechend werden jetzt in allen Aufgaben in geringem Umfang ca. 15 % Anforderungen formuliert, die über die Anforderungen des bisherigen Realschulabschlusses hinausgehen. Diese höheren Anforderungen finden sich einerseits im hilfsmittelfreien Teil, andererseits stellen sie einen Teil des Anforderungsbereichs III der komplexen Aufgaben dar. Sie orientieren sich an den Mindestanforderungen am Ende der Jahrgangsstufe 9 mit Blick auf den Übergang in die Studienstufe, wie sie im Rahmenplan der Stadtteilschule für alle fünf Leitideen formuliert sind. Beispiele für diese Anforderungen zur Erlangung der Note E1 sind im Folgenden aufgeführt: Umgang auch mit unbekannten Formeln, indem Werte eingesetzt werden oder die Formel umgestellt wird, Entwicklung eigener mathematischer Ideen und Argumentationen und angemessene auch verbale Darstellung, Beschreibung eines Lösungsplanes, Umgang mit offeneren Fragestellungen. Alle Aufgaben basieren auf der Entwicklungsarbeit von mittlerweile sehr vielen Autorinnen und Autoren, die an dieser Stelle nicht alle genannt werden können; ihnen gebührt Dank für ihre kreative und wichtige Arbeit. In der Hoffnung, dass die vorliegende Handreichung hilfreich zur Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung ist, wünsche ich Euch, liebe Schülerinnen und Schüler, eine erfolgreiche Vorbereitung auf den mittleren Schulabschluss. Dr. Britta Creutzburg-Ahnfeldt Leitung des Gestaltungsreferats mathematisch-naturwissenschaftlich-technischer Unterricht

6 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben 1 Liste der Arbeitsaufträge Mehr noch als bei dezentralen Aufgaben, die immer im Kontext gemeinsamer Erfahrungen der Lehrenden und Lernenden mit vorherigen Klassenarbeiten stehen, müssen zentrale Prüfungsaufgaben für die Schülerinnen und Schüler eindeutig hinsichtlich des Arbeitsauftrages und der erwarteten Leistung formuliert sein. Die in den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben verwendeten Operatoren (Arbeitsaufträge) werden in der folgenden Tabelle definiert und inhaltlich gefüllt. Entsprechende Formulierungen in den vorausgehenden Klassenarbeiten sind ein wichtiger Teil der Vorbereitung auf den Realschulabschluss. Neben Definitionen und Beispielen enthält die Tabelle auch Zuordnungen zu den Anforderungsbereichen I, II und III wobei die konkrete Zuordnung auch vom Kontext der Aufgabenstellung abhängen kann und eine scharfe Trennung der Anforderungsbereiche nicht immer möglich ist. Anforderungsbereich I: Reproduzieren Dieses Niveau umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang. Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden. Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u.a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen. Arbeitsaufträge Definitionen Beispiele Angeben, nennen I-II Auseinandersetzen II-III Auswählen I-II Begründen II-III Berechnen I-II Formulierung eines Sachverhaltes, aufzählen von Fakten etc. ohne Begründung und ohne Lösungsweg. kreativer Prozess, mindestens auf dem Anforderungsniveau II ohne Begründung aus mehreren Angeboten eines auswählen Für einen angegebenen Sachverhalt einen Begründungszusammenhang herstellen. Ergebnis von einem Ansatz ausgehend durch nachvollziehbare Rechenoperationen gewinnen. Die Wahl der Mittel kann eingeschränkt sein. Gib an, wofür die Variable m in der Geradengleichung y = mx + b steht. Nenne ein Beispiel, in dem lineare Funktionen in der Realität auftreten. Setze dich mit den Äußerungen der Schülerinnen und Schüler auseinander. (z.b.: Aufgabe 11, Bildungsstandards) Wähle ohne Hilfe des Taschenrechners diejenige Zahl aus, die dem Wert von 199 am nächsten kommt. Begründe, warum der abgebildete Graph die Situation nicht richtig beschreibt. Begründe, warum eine quadratische Gleichung höchstens zwei Lösungen hat. Berechne ohne Benutzung des Taschenrechners den Wert des Ausdrucks

7 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Arbeitsaufträge Definitionen Beispiele Beschreiben II-III Bestätigen I-II Bestimmen, ermitteln II-III Beurteilen III Entscheiden II-III Ergänzen, vervollständigen I Erstellen I-II Interpretieren II-III Konstruieren II-III Skizzieren I-II Darstellung eines Sachverhalts oder Verfahrens in Textform unter Verwendung der Fachsprache. Es sollten hierbei vollständige Sätze gebildet werden; hier sind auch Einschränkungen möglich (Beschreibe in Stichworten). Eine Aussage oder einen Sachverhalt durch Anwendung einfacher Mittel (rechnerisch wie argumentativ) sichern. Darstellung des Lösungsweges und Formulierung des Ergebnisses. Die Wahl der Mittel kann frei, unter Umständen auch eingeschränkt sein. Zu einem Sachverhalt ein selbstständiges Urteil unter Verwendung von Fachwissen und Fachmethoden formulieren. Bei Alternativen sich begründet und eindeutig auf eine Möglichkeit festlegen. Tabellen, Ausdrücke oder Aussagen nach bereits vorliegenden Kriterien, Formeln oder Mustern füllen. Einen Sachverhalt in übersichtlicher, meist fachlich üblicher oder vorgegebener Form darstellen. Die Ergebnisse einer mathematischen Überlegung rückübersetzen auf das ursprüngliche Problem. Anfertigung einer genauen Zeichnung, wobei die einzelnen Handlungsschritte einem mathematischen Konzept folgen, was in der Zeichnung erkennbar ist. Hilfsmittel werden benannt, müssen aber gegebenenfalls nicht alle verwendet werden. Grafische Darstellung der wesentlichen Eigenschaften eines Objektes, auch Freihandskizze möglich. Beschreibe, wie sich A ändert, wenn x größer wird. Beschreibe, wie man den Flächeninhalt dieser Figur bestimmen kann. Bestätige, dass in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit unter 10 % liegt. Bestimme die Lösung der Gleichung x + x = 1. Bestimme die Lösung der Gleichung 3x 5 = 5x + 3 durch Äquivalenzumformungen. Bestimme grafisch den Schnittpunkt. Beurteile, welche der beiden vorgeschlagenen Funktionen das ursprüngliche Problem besser darstellt. Beurteile die Diskussion von Yildiz und Sven. Entscheide, mit welchen der vorgeschlagenen Formeln man das Volumen des abgebildeten Körpers berechnen kann. Entscheide, welcher Graph zu welcher Funktionsgleichung gehört. Ergänze die fehlenden Werte. Vervollständige die Tabelle. Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion. Erstelle eine Planfigur. Interpretiere: Was bedeutet deine Lösung für die ursprüngliche Frage? Interpretiere die Bedeutung der Variablen d vor dem Hintergrund des Problems. Konstruiere mit Hilfe von Zirkel und Lineal die Mittelsenkrechte der Strecke AB. Konstruiere mit Hilfe des Geodreiecks ein Dreieck ABC mit α = 5, c = 4 cm, h c = 1,5 cm. Skizziere den Verlauf des Graphen. Skizziere die Figur, die im Text beschrieben wird. 6

8 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Arbeitsaufträge Definitionen Beispiele Vergleichen II-III Zeichnen I-II Zeigen, nachweisen III Zuordnen I Nach vorgegeben oder selbst gewählten Gesichtspunkten Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Unterschiede ermitteln und darstellen. Sorgfältige Anfertigung einer grafischen Darstellung. Eine Aussage, einen Sachverhalt nach gültigen Schlussregeln, Berechnungen, Herleitungen oder logischen Begründungen bestätigen. Ohne tiefer gehende Erläuterung eine Verbindung zwischen zwei Listen herstellen Vergleiche Umfang und Flächeninhalt der drei Figuren. Zeichne den Graphen der Funktion. Zeige, dass das betrachtete Viereck ein Drachenviereck ist. Ordne die Füllgraphen den Gefäßen zu. Aufgaben Die folgenden Aufgabenbeispiele für zentrale schriftliche Prüfungen zum mittleren Schulabschluss im Fach Mathematik werden entsprechend den Regelungen für die zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben in zwei Aufgabenformaten vorgestellt: Aufgaben, die ohne den Einsatz des Taschenrechners bearbeitet werden sollen, und Aufgaben, zu deren Lösung der Einsatz des Taschenrechners vorgesehen ist. Die schriftliche Prüfung dauert 135 Minuten (3 Unterrichtsstunden), es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen. Der Aufgabenteil I (ohne Taschenrechner) ist in 45 Minuten, einem Drittel der zur Verfügung stehenden Arbeitszeit, zu bearbeiten. Dementsprechend wird ihm etwa ein Drittel der Gesamtpunktzahl zugeordnet (34 von 100 Punkten). Für den zweiten Aufgabenteil II, der aus drei Prüfungsaufgaben besteht und bei dem der Einsatz des Taschenrechners vorgesehen ist, stehen danach zwei von drei Unterrichtsstunden, also insgesamt 90 Minuten (30 Minuten pro Aufgabenteil) zur Verfügung. Dementsprechend werden ihm etwa zwei Drittel der Gesamtpunktzahl zugeordnet (dreimal jeweils Punkte). Die Aufgabenbeispiele enthalten neben der Aufgabenstellung auch Angaben zur erwarteten Leistung sowie zur. Im Erwartungshorizont kursiv gedruckte Passagen sind Hinweise für die korrigierende Lehrkraft und keine Bestandteile der erwarteten Lösung. 7

9 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Bei der Festlegung der Prüfungsnote gilt die folgende Tabelle. seinheiten 95 E 1 90 E 1 85 E + 80 E 75 E 70 E E 3 60 E 3 55 E E 4 45 E 4 4 G + 39 G 36 G 34 G 3+ 3 G 3 30 G 3 8 G 4+ 6 G 4 4 G 4 G 5+ 0 G 5 18 G 5 < 18 G 6 Bei erheblichen Mängeln in der sprachlichen Richtigkeit ist die der schriftlichen Prüfungsleistung je nach Schwere und Häufigkeit der Verstöße um bis zu einer Note herabzusetzen. Dazu gehören auch Mängel in der Gliederung, Fehler in der Fachsprache, Ungenauigkeiten in Zeichnungen sowie falsche Bezüge zwischen Zeichnungen und Text. 8

10 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Aufgaben, die ohne Einsatz des Taschenrechners bearbeitet werden Erstes Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil 1. Von den jeweils angebotenen Lösungen ist immer genau eine richtig. Überlege und schreibe den zugehörigen Buchstaben A, B, C oder D in die Spalte Lösung. Eine Begründung wird nicht verlangt. (4P) Aufgabe A B C D Lösung a) 39 3= b) 7, 1000 :10= , c) = d) 0, = 0,9 0, e) m 5 = 40 cm 4 cm 10 cm 60 cm f) 7 = 67,5 % 70 % 87,5 % 90 % 8 g) = h) n Wenn 5 = 65, dann ist n = i) 1 4 = j) ( x 3) ( 3 4x) + = 8x + 6x 9 x x x x x + x k) Ein Fußballfeld hat den Flächeninhalt von ca. l) Addiert man zu einer 1 Zahl, so erhält man Wie heißt die Zahl? 1m² 1 a 1 ha 1 km² m) =

11 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Aufgabe A B C D Lösung n) Denke dir eine Zahl a aus. Addiere 3 und multipliziere das Ergebnis mit 3. Du erhältst: o) Genau drei Wochen nach dem 1. März ist der a 3 a a a März 31. März 1. April. April p) Ein Beutel enthält 4 rote, 3 gelbe und blaue Kugeln. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis eine gelbe oder eine blaue Kugel ziehen q) In einem Dreieck ABC sind die folgenden Winkelgrößen bekannt: α = 46, β = 44, γ = 90 Das Dreieck ABC ist spitzwinklig. Das Dreieck ABC ist rechtwinklig. Das Dreieck ABC existiert nicht. Das Dreieck ABC ist gleichschenklig. r) Ein Würfel hat einen Oberflächeninhalt von 6 cm². Das Volumen dieses Würfels beträgt dann s) Welcher Rauminhalt ist der größte? t) Bei einer Umfrage werden Personen befragt. 5 % gehen mehr als einmal im Monat ins Kino. Wie viele Personen sind das? 1 cm³ 6 cm³ 6 cm³ 16 cm³ 40 l 0,4 m³ 400 cm³ 4 dm³ u) v w u u = v + w v = w u w = u + v u = v + w Welche Gleichung gilt? 10

12 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Aufgabe A B C D Lösung v) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Drehen die Summe 15 zu erhalten? w) Eine Dreiecksfläche mit der Grundseite 10 m und der Höhe 4 m ist kleiner als eine Quadratfläche mit a = 4 m. gleich groß wie eine Rechteckfläche mit a = 8 m und b = 3 m. kleiner als eine Rechteckfläche mit a = 8 m und b = 3 m. größer als eine Rechteckfläche mit a = 8 m und b = 3 m. x) Für eine Funktion g gilt: g( x) = m x+ n ( m, n< 0) Der Graph ist immer eine steigende Gerade. eine fallende Gerade. eine Gerade parallel zur x-achse. eine Parabel.. Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen. (6P) a) ( x 1, 4) = x+ 6, b) x ( x 6) = 16 11

13 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik c) 1 1 = x x 1 3. a) Gib die nachfolgenden Entfernungen in Zehnerpotenzschreibweise (wissenschaftliche Schreibweise) an. Entfernung Erde Mond: Länge der Strecke Zehnerpotenzschreibweise (P) km km Entfernung Erde Sonne: Durchmesser eines Heliumatoms: 144 Millionen km km 0, km km b) Der Durchmesser eines Atomkerns beträgt 10 m. Ermittle, wie viele Atomkerne man 14 1 nebeneinander legen müsste, um den Atomdurchmesser von 10 m 10 zu erhalten. (P) Quellen: Realschulabschlussprüfung Hamburg 01, Zweittermin (überarbeitet) Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet) 1

14 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Erstes Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil Erwartungshorizont Lösungen Zuordnung, Aufgabe Lösung Buchstabe I II III 1a) 39 3 = 717 C 1 b) 7, 1000 :10 = 70 A 1 c) = 190 D 1 d) 0, = 9 D 1 e) m = 5 40 cm A 1 f) 7 8 = 87,5 % C 1 g) = 88 A 1 h) Wenn 5 n = 65, dann gilt für n = 4 C 1 i) 1 4 = 9 C 1 j) ( x 3) ( 3 4x) + = 8x 6x 9 C 1 k) Ein Fußballfeld hat den Flächeninhalt von ca. 1 ha C 1 l) Addiert man zu einer Zahl Wie heißt die Zahl? 1 3, so erhält man D 1 m) = D 1 13

15 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik n) Denke dir eine Zahl a aus. Addiere 3 und multipliziere das Ergebnis mit 3. Du erhältst o) Es ist der 1. März. In genau drei Wochen ist der 3 a+ 9 B 1. April D 1 p) Ein Beutel enthält 4 rote, 3 gelbe und blaue Kugeln. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis eine gelbe oder eine blaue Kugel ziehen. q) In einem Dreieck ABC sind die folgenden Winkelgrößen bekannt: α = 46, β = 44, γ = Das Dreieck ABC ist rechtwinklig. B 1 B 1 r) Ein Würfel hat 6 cm² Oberfläche. Sein Volumen beträgt s) Von vier Gefäßen wird der Rauminhalt bestimmt. In welches passt am meisten hinein? t) Bei einer Umfrage werden Personen befragt. 5 % gehen mehr als einmal ins Kino. Das sind Personen. 1 cm³ A 1 0,4 m³ B C 1 u) v w u u= v + w A 1 Welche Gleichung gilt? 14

16 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben v) 64 C 1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei zweimaligem Drehen die Summe 15 zu erhalten? w) Eine Dreieckfläche mit der Grundseite 10 m und der Höhe 4 m ist kleiner als eine Rechteckfläche mit a = 8 m und b = 3 m. C 1 x) Für eine Funktion gilt: g( x) = m x+ n ( m, n< 0). Der Graph ist immer eine fallende Gerade. B 1 15

17 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung, I II III. a) ( x 1, 4) = x+ 6, ausmultiplizieren x,8= x+ 6, +,8 x= x+ 9 + x 3x= 9 :9 x= 3 b) x ( x ) x 6 = 16 ausmultiplizieren 6x 16 = 0 p - q-formel : p = 6 und q = 16 x x 1, 1, = ± = 3 ± x = 8 x = ( 16) c) 1 1 = x x 1 Bei gleichen Zählern müssen auch die Nenner gleich sein, also: x= x 1 x x= 1 ( 1) x= a) Länge der Strecke Entfernung Erde Mond: km Zehnerpotenzschreibweise 5 3,84 10 km Entfernung Erde Sonne: Durchmesser eines Heliumatoms: 144 Millionen km 0, km 8 1,44 10 km km b) ( 14) 4 10 :10 = 10 = 10 = Atomkerne müsste man nebeneinander legen, 1 um den Atomdurchmesser von m zu erhalten. Insgesamt 34 BWE

18 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Zweites Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil 1. Von den jeweils angebotenen Lösungen ist immer genau eine richtig. Überlege und schreibe den zugehörigen Buchstaben A, B, C oder D in die Spalte Lösung. Eine Begründung wird nicht verlangt. (3P) Aufgabe A B C D Lösung a) 4,004 t = 40,04 kg kg g 0, kg b) Ein Zug fährt um 15:3 Uhr in Hamburg- Altona ab und erreicht Bremen um 16:41 Uhr. Seine Fahrzeit beträgt 1 h 1 min 1 h 11 min 1 h 10 min 1 h 09 min c) Ein Liter Milch kostet ungefähr zwischen 0,01 und 0,10. zwischen 0,60 und. zwischen 6 und 8. zwischen 10 und 15. d) 9 53 ist teilbar durch e) 0,1 0,1= 1 0,1 0,01 0,001 f) Der Preis eines Pullovers ist um 40 % reduziert worden. Er kostet jetzt 4. Wie teuer war er vor der Preisreduzierung? 5,0 58, g) 1 Liter sind 100 cm³ 100 mm³ 10 ml 1 dm³ 10 h) 9 5 = 5 % 50 0,36 0,95 i) 50 1= 100 x dann ist x = j) Der Flächeninhalt eines Parallelogramms verdoppelt sich, wenn man alle Seiten verdoppelt. den Winkel α verdoppelt. genau eine Höhe verdoppelt. beide Höhen verdoppelt. 17

19 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Aufgabe A B C D Lösung k) In der Abbildung erkennst du, dass die Höhe des Würfels und die Höhe der Pyramide übereinstimmen. Dann gilt: Volumen des Würfels Volumen der Pyramide l) 3 0,3 = 0,09 0,9 0,07 0,7 m) = (60+ 7) (60+7) (70 3) n) Die Summe der Innenwinkel in dieser Figur beträgt o) Eine Schnecke kriecht mit einer Geschwindigkeit von etwa 1 mm pro Sekunde. 0 cm pro Sekunde. 1 cm pro Stunde. 50 m pro Stunde. p) 0,0064= 0,8 0,3 0,08 0,003 q) Das Dreifache des Kehrwertes einer Zahl x ist 3x x x 3 3 x r) Brian wirft eine Münze und einen Spielwürfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Kopf; ungerade Zahl?

20 a Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Aufgabe A B C D Lösung s) Bei einem Glücksspiel soll die Chance auf einen Gewinn 0 % betragen. Für welches Glücksspiel trifft dies zu? Einen Würfel zweimal hintereinander werfen. Zwei gleiche Zahlen gewinnen. Ein Los aus einer Urne mit 100 Gewinnlosen und 300 Nieten ziehen. Einmal das Glücksrad drehen. Grau gewinnt. Einmal ein Glücksrad drehen, wobei das Glücksrad Gewinnfelder und 10 Verlustfelder hat. t) Für das Volumen eines Zylinders gilt: V= π r² h. Dann gilt: r = π h V π V h V π h V π h u) Der Wert des Terms a² b für a= 3 und b= beträgt v) A α b c C γ β a B sinγ b sinβ = c α a β = b sinα a sinβ = b tanα b tanβ = a In diesem Dreieck gilt: w) Welcher Anteil der HSV-Raute ist schwarz? 40 %

21 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik. a) Bestimme die Lösung des folgenden Gleichungssystems rechnerisch. (3P) b) Bestimme die Lösung des folgenden Gleichungssystems zeichnerisch. (3P) I. y x= 3 II. y x= 9 0

22 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben 3. Ordne die Wertetabellen den Graphen richtig zu. (3P) y y y y y x x x x x Graph 1 Graph Graph 3 Graph 4 Graph 5 Wertetabelle A Wertetabelle B Wertetabelle C x y x y x y Die Wertetabelle A gehört zum Graphen. Die Wertetabelle B gehört zum Graphen. Die Wertetabelle C gehört zum Graphen. 4. In einer Urne befinden sich 4 Kugeln beschriftet mit den Ziffern von 1 bis 4. Es wird zweimal nacheinander gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E: Zuerst wird die Kugel mit der Ziffer 1 und dann die Kugel mit der Ziffer gezogen, a) wenn die Kugel nach dem ersten Ziehen wieder zurückgelegt wird. (1P) b) wenn die Kugel nach dem ersten Ziehen nicht wieder zurückgelegt wird. (1P) Quellen: Realschulabschlussprüfung Hamburg 011, Zweittermin (überarbeitet) Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet) 1

23 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Zweites Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil Erwartungshorizont Lösungen Zuordnung, Aufgabe Lösung Buchstabe I II III 1a) 4,004 t = kg B 1 b) Ein Zug fährt um 15:3 Uhr in Hamburg- Altona ab und erreicht Bremen um 16:41 Uhr. Seine Fahrzeit beträgt 1 h 09 min D 1 c) Ein Liter Milch kostet ungefähr zwischen 0,60 und. B 1 d) 9 53 ist teilbar durch 4 B 1 e) 0,1 0,1= 0,01 C 1 f) Der Preis eines Pullovers ist um 40 % reduziert worden. Er kostet jetzt 4. Wie teuer war er vor der Preisreduzierung? 70 C 1 g) 1 10 Liter sind cm A 1 h) 9 5 = 0,36 C 1 i) 50 1 = 100 x ; dann ist x = 61 C 1 j) Der Flächeninhalt eines Parallelogramms verdoppelt sich, wenn man genau eine Höhe verdoppelt. C 1

24 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungen Zuordnung, Aufgabe Lösung Buchstabe I II III k) In der Abbildung erkennst du, dass die Höhe des Würfels und die Höhe der Pyramide übereinstimmen. Dann gilt: Volumen des Würfels = Volumen der Pyramide 3 1 D 1 l) 3 0,3 = 0,07 C 1 m) = C 1 n) 540 B 1 Die Summe der Innenwinkel in dieser Figur beträgt o) Eine Schnecke kriecht mit einer Geschwindigkeit von etwa 1 mm pro Sekunde. A 1 p) 0,0064= 0,08 C 1 q) Das Dreifache des Kehrwertes einer Zahl x ist r) Brian wirft eine Münze und einen Spielwürfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Kopf; ungerade Zahl? 3 x 1 4 D 1 A 1 3

25 a Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungen Zuordnung, Aufgabe Lösung Buchstabe I II III s) Bei einem Glücksspiel soll die Chance auf einen Gewinn 0 % betragen. Für welches Glücksspiel trifft dies zu? Einmal das Glücksrad drehen. Grau gewinnt. C 1 t) Für das Volumen eines Zylinders gilt: V= π r² h. Dann gilt: r = V π h D 1 u) Der Wert des Terms a² b für a= 3 und b= beträgt 11 A 1 v) A α b c C γ β a B sinα a sinβ = C 1 b In diesem Dreieck gilt w) 8 5 C 1 Welcher Anteil der HSV-Raute ist schwarz? 4

26 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze Zuordnung, I II III. a) Es wird nur eine rechnerische Lösungsmethode erwartet. Lösen über Gleichsetzungsverfahren: Auflösen der Gleichungen nach y: I. y x= 3 + x II.y x= 9 + x : I. y= 3+ x II. y= 4,5+ x Gleichsetzen und auflösen nach x: 3+ x= 4,5 + x x 3+ x= 4,5 3 x= 1,5 x-wert einsetzen in II zur Bestimmung von y: y= 4,5+ 1,5= 6 Lösen über Additionsverfahren: I. y x= 9 ( 1) II. y x= 3 I. y+ x= 9 II. y x= 3 Addieren und auflösen nach y: y= 6 1 ( ) y= 6 y-wert einsetzen in II zur Bestimmung von x: 6 x= 3 6 ( ) x= 3 : x= 1,5 Lösen über Einsetzungsverfahren: I. y x= 3 + x II. y x= 9 I. y= 3+ x II. y x= 9 Einsetzen in II und auflösen nach x: 3+ x x= 9 ausmultiplizieren ( ) 6+ 4x x= 9 6 x= 3 : x= 1,5 x-wert einsetzen in I zur Bestimmung von y: y= 3+ 1,5= 6 3 5

27 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung, I II III. b) Zeichnerische Lösung I. y x= 3 + x II.y x= 9 + x : I. y= x+ 3 II. y= x+ 4,5 y x 1,5 y 6 x 3 3. Die Wertetabelle A gehört zum Graphen 3. Die Wertetabelle B gehört zum Graphen 5. Die Wertetabelle C gehört zum Graphen P E = = a) ( ) P E = = b) ( ) Insgesamt 34 BWE

28 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Drittes Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil 1. Von den jeweils angebotenen Lösungen ist immer genau eine richtig. Überlege und schreibe den zugehörigen Buchstaben A, B, C oder D in die Spalte Lösung. Eine Begründung wird nicht verlangt. (P) Aufgabe A B C D Lösung a) 0,1 0,1= 0, 0,1 0,001 0,01 b) 1,3 cm = 0,0013 m 0,13 m 13 mm 130 mm c) 91 ist teilbar durch d) Die Hauptsaison eines Hotels beginnt am 15. Juni und endet am 31. August desselben Jahres. Das sind 66 Tage 78 Tage 90 Tage 10 Tage e) 1 kg = 80 g 15 g 0,8 kg 1,5 g 8 f) 13 :1 = x : 4 Dann ist x = g) ( x+ ) = 16 Dann gilt: x= 8 oder x= 8 x= oder x= 6 x= oder x= 6 x= 4 oder x= 4 h) Welcher Flächenanteil ist grau? i) Mit 0 % Nachlass kostet eine Ledertasche 40. Der Originalpreis war j) u w ε v In diesem Dreieck gilt: v v w w cosε= tanε= sinε= cosε= w w u u k) Ein Kreissektor hat einen Mittelpunktswinkel von 45. Sein Flächenanteil am Vollkreis beträgt dann 50 % 45 % 5 % 1,5 % 7

29 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Aufgabe A B C D Lösung l) Der Wert von 9 ist nicht definiert. ist 3. ist 1. ist 3. 3 m) Man wirft einen Würfel zweimal hintereinander. Die Wahrscheinlichkeit für Pasch (d. h. zweimal hintereinander dieselbe Zahl zu würfeln) beträgt n) Ein HVV-Bus hat eine Länge von ca. o) Es ist 16:57 Uhr. 1 Stunden später ist es 1 4 m 80 m 18 m 780 m 18:07 Uhr 17:5 Uhr 18:1 Uhr 18:17 Uhr p) Genau vier Symmetrieachsen hat jeder Kreis. jedes Quadrat. jedes Rechteck. jedes Parallelogramm. q) Es sei g h. Wie groß ist die Länge x in der folgenden Figur? x= 3 x= 4 x= 5 x= 6 r) Welches ist die kleinste Zahl? 1, , , ,4 10 s) Ein Kreis hat einen Radius von 3 cm. Sein Flächeninhalt beträgt dann ungefähr 100 cm² 50 cm² 30 cm² 0 cm² t) Das Volumen eines Kegels berechnet man mit Hilfe der Formel V r h. = 1 π 3 Dann gilt: h = 3π V π r² r² 3 V 3 V V π r² 3 π r² u) Ein Kühlschrank hat ein Volumen von ca. 180 dm³ 1,5 dm³ 5 m³ 300 cm³ v) 4 x² 1x+ 9= 4 ( x 3)² (x 3)² ( x 3)² 4 ( x+ 1,5)² 8

30 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben. Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen. (6P) a) x ( x ) = x² + 4x 1 b) x 1= 3 c) ( ) x 4 x= x+ 16 9

31 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik 3. Bestimme den Flächeninhalt der grauen Fläche in Abhängigkeit von der Länge a. (P) a 4. Jeder der abgebildeten Behälter wird gleichmäßig mit der gleichen Wassermenge pro Zeiteinheit gefüllt. (4P) Die folgenden Füllgraphen geben die Höhe h des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Öffnungszeit t der Wasserleitungen an. Höhe in dm I II III IV Höhe in dm Höhe in dm Höhe in dm Zeit in min Zeit in min Zeit in min Höhe in dm V Höhe in dm VI Gib an, welches Diagramm zu welchem der Behälter B1, B, B3 und B4 gehört. Zeit in min Zeit in min Quellen: Realschulabschlussprüfung Hamburg 011, Dritttermin (überarbeitet) Realschulabschlussprüfung Hamburg 007, Zweittermin (überarbeitet) Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet) 30

32 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Drittes Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil Erwartungshorizont Lösungen Zuordnung, Aufgabe Lösung Buchstabe I II III 1a) 0,1 0,1= 0,01 D 1 b) 1,3 cm = 13 mm C 1 c) 91 ist teilbar durch 3 A 1 d) Die Hauptsaison eines Hotels beginnt am 15. Juni und endet am 31. August desselben Jahres. Das sind 78 Tage B 1 e) 1 kg 8 = 15 g B 1 f) 13 : 1 = x : 4 Dann ist x = 64 C 1 g) ( x+ ) = 16 h) Dann gilt: Welcher Flächenanteil ist grau? x= oder x= B 1 A 1 i) Mit 0 % Nachlass kostet eine Ledertasche 40. Der Originalpreis war 50 B 1 j) u w ε v In diesem Dreieck gilt w sinε = C 1 u k) Ein Kreissektor hat einen Mittelpunktswinkel von 45. Sein Flächenanteil am Vollkreis beträgt dann 1,5 % D 1 31

33 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungen Zuordnung, Aufgabe Lösung Buchstabe I II III l) Der Wert von 9 ist nicht definiert. A 1 m) Man wirft einen Würfel zweimal hintereinander. Die Wahrscheinlichkeit für Pasch (d.h. zweimal hintereinander dieselbe Zahl zu würfeln) beträgt 1 6 D 1 n) Ein HVV-Bus hat eine Länge von ca. 18 m C 1 o) Es ist 16:57 Uhr. 1 Stunden später ist es :1 Uhr C 1 p) Genau vier Symmetrieachsen hat jedes Quadrat. B 1 q) Es sei g h. Wie groß ist die Länge x in der folgenden Figur? x= 6 D 1 r) Welches ist die kleinste Zahl? 1,4 10 D 1 s) Ein Kreis hat einen Radius von 3 cm. Sein Flächeninhalt beträgt dann ungefähr 30 cm² C 1 t) Das Volumen eines Kegels berechnet man mit Hilfe der Formel V r h. = 1 π 3 Dann gilt: h = 3 V π r² C 1 u) Ein Kühlschrank hat ein Volumen von ca. 180 dm³ A 1 v) 4 x² 1x+ 9= (x 3)² B 1 3

34 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze Zuordnung I II III. a) x ( x ) = x² + 4x 1 ausmultiplizieren x x= x² + 4x 1 x 4x ( ) 6x= 1 : 6 x= b) x 1= 3 Wenn die Wurzel den Wert 3 hat, hat das, was unter der Wurzel steht (der sogenannte Radikand), den Wert 9. x 1= 9 +1 x= 10 : x= c) ( ) x 4 x= x+ 16 ausmultiplizieren x x x x 4 = x 6x 16= 0 p-q-formel nutzen : p= 6 und q= 16 x x 1, 1, = ± ( 16) = 3± x= 8 x= Durch Unterteilung der Gesamtfläche in vier gleichschenklige Dreiecke, von denen sich jeweils zwei zu einem Quadrat mit der Seitenlänge a ergänzen, und ein weiteres Quadrat in der Mitte der Figur mit der Seitenlänge a ergibt sich der Flächeninhalt von 3 ( a)² = 3 4a = 1 a². In der Lösung des Prüflings muss deutlich werden, wie vorgegangen wurde, z. B. textlich oder durch Hilfslinien. Wird eine genaue Anzahl Kästchen durch Auszählen bestimmt, wird ein Punkt vergeben. 4. B1 III B B3 V IV B4 VI 4 Insgesamt 34 BWE

35 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Viertes Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil 1. Von den jeweils angebotenen Lösungen ist immer genau eine richtig. Überlege und schreibe den zugehörigen Buchstaben A, B, C oder D in die Spalte Lösung. Eine Begründung wird nicht verlangt. (3P) Aufgabe A B C D Lösung a) Welche Zahl ist die größte? 0,111 0,11 0,11 0,111 b) = ,6,6 c) 3 = 3,4 0,75 0,34 0,3 4 d) 0,0 = 0, % 0 %, %,0 % e) 1 ml = 0,001 l 0,1 l 0,01 l 0,0001 l f) 3 ( x + 1) = 6 Dann gilt für x: x = 0,5 x = 1 x = x = 3 g) 40 % von 40 sind h) ( x + 1) ( x 1) = x x + 1 x 1 x i) Schreibe in Kurzform als Gleichung: Das Produkt aus einer Zahl mit der um vergrößerten Zahl ist 15. x ( x+ ) = 15 x x + = 15 x x = 15 + x + = 15 j) 3 8 von 80 sind k) Richtig ist, dass jedes Quadrat auch ein Rechteck ist. jedes Rechteck auch ein Quadrat ist. jedes Rechteck zwei unterschiedlich lange Diagonalen hat. in jedem Rechteck die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. l) Ein Hühnerei wiegt ungefähr kg 1 kg 0,5 g 45 g m) 4 Freunde treffen sich. Jeder gibt jedem die Hand, dann werden 4-mal die Hände geschüttelt. 6-mal die Hände geschüttelt. 1-mal die Hände geschüttelt. 3-mal die Hände geschüttelt. 34

36 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Aufgabe A B C D Lösung n) Eine Gerade hat eine Steigung von 100 %. Der Steigungswinkel beträgt dann o) Die beiden Geraden zu f ( x) = x g( x) = x+ haben einen Schnittpunkt in ( 1 0 ). haben einen Schnittpunkt in ( 0 ). haben die gleichen y-achsenabschnitte. sind parallel. p) Die Gleichung x + x 1 = x + 1 hat die Lösung x = 1. ist unlösbar. hat die Lösung x =. hat die Lösung x = 0. q) d= e d = b + e d = a + c d = a + b Welche Gleichung gilt für die Raumdiagonale d des Quaders? r) Ein Auto wiegt ungefähr 1 g 1 kg 1 t 1 cm s) Die Summe aller Primzahlen, die kleiner als 1 sind, beträgt t) Wie viele dieser Gleichungen sind immer richtig? y + y + y = 3y 3 + x = 3x c + c + c + c = c + c a + b a + b = a + 3b eine zwei drei keine u) Es sei g h. Wie groß ist die Länge y in der folgenden Figur? y= 3 y= 4 y= 5 y= 6 35

37 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Aufgabe A B C D Lösung v) In einer Urne sind 5 Kugeln, darunter genau 3 rote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, alle roten Kugeln bei dreimaligem Ziehen nacheinander ohne Zurücklegen zufällig zu ziehen? w) b γ c Im obigen Dreieck gilt nicht: a β b b c b sin β = cosγ = tanγ = tan β = a a a c. Kartenhäuser Höhe 1 Höhe Höhe 3 Gib die fehlenden Werte in der Tabelle an. (P) Höhe des Kartenhauses Anzahl der benutzten Karten Bereits Archimedes erkannte, dass die Volumina von Kegel, Kugel und Zylinder bei gleichem Radius und gleicher Höhe in einem ganzzahligen Verhältnis stehen. Er fand das Ergebnis so schön, dass er sich die Figur auf seinem Grabstein wünschte. Bestimme das Verhältnis der Volumina von Kugel und Kegel als Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Hinweis: Die folgenden Volumenformeln könnten hilfreich sein. (P) VKugel 4 = π r VKegel= π r h VZylinder= π r h 36

38 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben 4. Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen. (5P) a) 3x = 4 b) x ( x 3) = 0 c) x( x+ 1) = 6 37

39 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik 5. Eine quadratische Funktion hat die Gleichung f ( x) = ( x+ d)² mit d > 0. Entscheide, welcher der abgebildeten Graphen zu der Funktionsgleichung gehört. (P) y y x x Graph 1 Graph y y x x Graph 3 Graph 4 Quellen: Realschulabschlussprüfung Hamburg 010, Ersttermin (überarbeitet) Realschulabschlussprüfung Hamburg 008, Dritttermin (überarbeitet) schriftliche Überprüfung an Gymnasien 009, Zweittermin (überarbeitet) Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet) 38

40 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Viertes Beispiel zum hilfsmittelfreien Prüfungsteil Erwartungshorizont Lösungen Zuordnung, Aufgabe Lösung Buchstabe I II III a) Welche Zahl ist die größte? 0,11 C 1 b) = B 1 c) 3 4 = 0,75 B 1 d) 0,0 = 0, % A 1 e) 1 ml = 0,001 l A 1 f) 3 ( x + 1) = 6 x = 1 B 1 g) 40 % von 40 sind 16 D 1 h) ( x + 1) ( x 1) = x 1 C 1 i) Schreibe in Kurzform als Gleichung: Das Produkt aus einer Zahl mit der um vergrößerten Zahl ist 15. x ( x+ ) = 15 A 1 j) 3 8 von 80 sind 30 D 1 k) Richtig ist, dass jedes Quadrat auch ein Rechteck ist. A 1 l) Ein Hühnerei wiegt ungefähr 45 g D 1 m) 4 Freunde treffen sich. Jeder gibt jedem die Hand, dann werden 6-mal die Hände geschüttelt. B 1 39

41 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungen Zuordnung, Aufgabe Lösung Buchstabe I II III n) Eine Gerade hat eine Steigung von 100 %. Der Steigungswinkel beträgt dann 45 B 1 o) Die beiden Geraden zu g : y = x 1 g : y = x + sind parallel. D 1 p) Die Gleichung q) x + x 1 = x + 1 hat die Lösung x =. C 1 d = b + e B 1 Es gilt: r) Ein Auto wiegt ungefähr 1 t C 1 s) Die Summe aller Primzahlen, die kleiner als 1 sind, beträgt: t) Wie viele dieser Gleichungen sind richtig? y + y + y = 3y 3 + x = 3x c + c + c + c = c + c a + b a + b = a + 3b 8 A 1 eine A 1 u) Es sei g h. Wie groß ist die Länge y in der folgenden Figur? y = 5 C 1 40

42 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungen Zuordnung, Aufgabe Lösung Buchstabe I II III v) In einer Urne sind 5 Kugeln, darunter genau 3 rote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit alle roten Kugeln bei dreimaligem Ziehen nacheinander ohne Zurücklegen zufällig zu ziehen? 1 10 A 1 w) b γ c a β c tanγ = C 1 a Im obigen Dreieck gilt nicht: 41

43 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung I II III. Höhe des Kartenhauses Anzahl der benutzten Karten Es gilt: h= r Damit gilt auch: V V Kugel Kegel π r π r π/ / r = = = = = = π r h π r r π r r 1 / / / Für das gesuchte Verhältnis gilt somit: V : V = :1 Kugel Kegel Bearbeitet der Prüfling diese Aufgabe anhand eines Zahlenbeispiels, wird ein Punkt vergeben. 4

44 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze Zuordnung I II III 4. a) 3x = 4 + 3x= 6 : 3 x= 1 4. b) x ( x 3) = 0 Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 ist. Es muss also gelten: x = 0 oder x 3 = 0. Die Gleichung hat somit die Lösungen x = 0 oder x = 3. Alternative Lösung mithilfe der p-q-formel: ( ) x x 3= 0 ausmultiplizieren x 6x= 0 : x 3x+ 0= 0 p-q-formel : p= 3 und q= 0 x 1, c) x( x ) x x 3 3 = ± x1,= ± x1,= ± 6 x1= = 3 x= 0 + 1= 6 ausmultiplizieren + x= x 6= 0 p-q-formel : p= 1 und q= 6 x x 1, 1, 1 1 = ± = ± ( 6) x1,= ± x1,= ± 6 4 x1= = 3 x= = 43

45 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung I II III 5. Es gilt f ( d) = ( d+ d) = 0 = 0 Der Punkt ( d 0), der auf der x-achse liegt, ist also ein Punkt der Parabel. Damit kommen Graph und Graph 4 nicht mehr infrage, weil hier kein Punkt auf der x-achse liegt. Wegen d> 0 gilt d< 0. Der Punkt ( d 0) liegt also im negativen Bereich der x-achse. Damit kommt nur noch Graph 1 infrage. Insgesamt 34 BWE

46 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Leitidee Daten und Zufall Chuck your luck Fritz, George und Özgür treffen sich zum Würfelspiel Chuck your luck. Es gibt einen Spielplan, der die Felder 1 bis 6 aufweist. Es wird ein Einsatz von jeweils einem Euro verabredet. Dann wird mit drei Würfeln gewürfelt. Zeigt ein Würfel die gesetzte Augenzahl, so bekommt man den Einsatz von 1 Euro zurück und erhält zusätzlich einen weiteren Euro als Gewinn ausgezahlt. Zeigen zwei Würfel die gesetzte Augenzahl, so bekommt man neben dem Einsatz von 1 Euro weitere Euro Gewinn ausgezahlt. Zeigen alle drei Würfel die gesetzte Augenzahl, so bekommt man neben dem Einsatz weitere 3 Euro ausgezahlt. Zeigt kein Würfel die gesetzte Augenzahl, so ist der Einsatz verloren. Fritz, George und Özgür setzen auf dem Spielplan jeweils 1 Euro auf das Feld 6 (siehe Abbildung) und würfeln dann jeweils mit drei Würfeln gleichzeitig. Fritz würfelt die Augenzahlen 1, 3 und 4. George würfelt wie in der Abbildung dargestellt die Augenzahlen 4, 6 und 6. Özgür würfelt drei Sechsen. a) Gib jeweils den Gewinn bzw. den Verlust von Fritz, George und Özgür an. (3P) Bei einem weiteren Versuch setzt Fritz auf die 5. Er wirft die Würfel nacheinander. Der erste Würfel zeigt eine 5, der zweite Würfel zeigt auch eine 5. b) Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass der dritte Würfel ebenfalls eine 5 zeigt. Gib auch die Wahrscheinlichkeit an, dass der dritte Würfel keine 5 zeigt. (3P) c) Nimm an, dass die Würfel jetzt nicht gleichzeitig, sondern nacheinander geworfen werden. (3P) Begründe z. B. mithilfe eines Baumdiagramms dass es bei zwei Würfeln insgesamt 36 verschiedene Ergebnisse gibt. Begründe auch, dass es bei drei Würfeln insgesamt 16 verschiedene Ergebnisse gibt. 45

47 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik George, der auf 6 gesetzt hatte, überlegt, mit welchen der 16 in c) betrachteten Würfelergebnisse er Euro gewinnen, also mit seinem Einsatz insgesamt 3 Euro zurückbekommen würde. Zwei mögliche Gewinnergebnisse sind: 1. Würfel. Würfel 3. Würfel 1. Beispiel Beispiel d) Begründe, dass es beim Werfen mit drei Würfeln exakt 15 Möglichkeiten gibt, genau zwei Sechsen zu bekommen. e) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass George gewinnt, wenn er auf die Sechs gesetzt hat. (4P) (P) Es gibt genau eine Möglichkeit, drei Sechsen zu erzielen; es gibt exakt 15 Möglichkeiten, zwei Sechsen zu bekommen und es gibt genau 75 Möglichkeiten, eine Sechs zu bekommen. Özgür sagt: "Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten zu gewinnen, nämlich 1, oder 3, aber nur eine Möglichkeit zu verlieren, nämlich den Verlust des Einsatzes. Dann müsste man bei 'Chuck your luck' auf Dauer häufiger gewinnen als verlieren." f) Beurteile Özgürs Aussage "Dann müsste man bei 'Chuck your luck' auf Dauer häufiger gewinnen als verlieren." (4P) g) Ermittle, auf welchen Betrag man den Gewinn bei drei Sechsen ändern müsste, damit man langfristig im Mittel genauso viel verliert wie gewinnt. (3P) Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 010, Haupttermin (überarbeitet) 46

48 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Chuck your Luck Lösungsskizze Zuordnung I II III a) Fritz hat nicht gewonnen. Dementsprechend hat er auch seinen Einsatz von 1 verloren. George bekommt zusammen mit seinem Einsatz 3 Euro ausgezahlt. Alternative Formulierung: Georg hat gewonnen. Özgür bekommt zusammen mit seinem Einsatz insgesamt 4 Euro ausgezahlt. Alternative Formulierung: Özgür hat 3 gewonnen. 3 b) Bei sechs möglichen Ergebnissen ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 5 fällt: 1 P ("5") = 6 Die Wahrscheinlichkeit, keine 5 zu würfeln, beträgt: 5 P ("keine 5") =

49 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung I II III c) Im ersten Wurf gibt es sechs Möglichkeiten. Zu jeder der sechs Möglichkeiten gibt es im zweiten Wurf wieder sechs Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also bei zwei Würfeln 6 6= 36 Möglichkeiten. Bei drei Würfeln gibt es zu jeder der bisherigen 36 Möglichkeiten wiederum sechs Möglichkeiten, sodass sich hier insgesamt 36 6= 16 egeben. Das Baumdiagramm ist nicht unbedingt erforderlich. 3 48

50 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze Zuordnung I II III d) Die Möglichkeiten, genau zwei Sechsen beim Werfen von 3 Würfeln zu würfeln, sind: Der erste Würfel zeigt eine 6 und der zweite ebenso: (6, 6, 1),..., (6, 6, 5), also 5 Möglichkeiten, der erste Würfel zeigt eine 6 und der dritte auch: (6, 1, 6), (6, 5, 6), also wieder 5 Möglichkeiten, der zweite Würfel zeigt eine 6 und der dritte ebenso: (1, 6, 6),, (5, 6, 6), also ebenso 5 Möglichkeiten. Es gibt also 15 Möglichkeiten, mit drei Würfeln genau zwei Sechsen zu würfeln. 3 Schneller geht es über den Ansatz 5 = 15. Dies wird jedoch von den Schülerinnen und Schülern nicht erwartet. 4 e) Anzahl der günstigen Fälle 15 P ( ) = = = 0,0694 6,94 % Anzahl der möglichen Fälle 16 Die Wahrscheinlichkeit zwei Euro zu gewinnen, wenn George auf die Sechs setzt, ist Die Angabe des Prozentsatzes oder der Dezimalzahl ist nicht erforderlich. f) Es gibt ein Ergebnis, das zum Hauptgewinn führt (drei Sechsen). Es gibt 15 Ergebnisse, bei denen man gewinnt (siehe Aufgabe d)). Es gibt 75 Ergebnisse, bei denen man 1 gewinnt (genau eine Sechs). Das sind insgesamt 91 Würfelergebnisse, die zum Gewinn führen. Die Wahrscheinlichkeit etwas zu gewinnen, beträgt: 91 0, ,13 % 16 =. Da die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen kleiner ist als die Wahrscheinlichkeit zu verlieren, hat Özgür nicht Recht. Alternative: Die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen von 3 Würfeln keine Sechs zu erzielen, beträgt = 15 = 0, Dann ist die Wahrscheinlichkeit, etwas zu gewinnen: 15 1 = 0, ,13 %. 16 Da die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen kleiner ist als die Wahrscheinlichkeit zu verlieren, hat Özgür nicht Recht. 4 49

51 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung I II III g) Der Erwartungswert für den Gewinn soll den Wert 0 haben. Sei x der Gewinn bei dem Ergebnis "drei Sechsen". Dann gilt: x ( 1) = 0 zusammenfassen x = x= x= 0 Man müsste also bei drei Sechsen einen Gewinn von 0 bekommen, damit man langfristig im Mittel genauso viel gewinnt wie verliert. 3 Insgesamt BWE

52 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Leitidee Daten und Zufall Schwarzfahrer beim HVV Der Hamburger Verkehrsverbund (HVV) führt stichprobenartig Kontrollen seiner Fahrgäste durch. Ist jemand ohne gültigen Fahrausweis unterwegs, so bezeichnet man ihn als Schwarzfahrer. Alle anderen Fahrgäste nennen wir hier ehrlich. Innerhalb des Hamburger Verkehrsverbundes werden oft Fahrkartenkontrollen durchgeführt. Die jeweiligen Anzahlen der kontrollierten Fahrgäste und der Schwarzfahrer in den unterschiedlichen öffentlichen Verkehrsmitteln an einem bestimmten Tag sind dem folgenden Diagramm zu entnehmen. [fiktive Daten, Grafik erstellt durch die Redaktionsgruppe] a) Berechne die Anzahl der an diesem Tag insgesamt kontrollierten Fahrgäste. Berechne die Gesamtzahl der erwischten Schwarzfahrer. Bestätige durch Rechnung, dass der Anteil der erwischten Schwarzfahrer an der Gesamtzahl der kontrollierten Fahrgäste ca. 3 % beträgt. (4P) b) Bestätige mithilfe einer Rechnung, dass die folgende Aussage über die Ergebnisse der dargestellten Fahrkartenkontrolle richtig ist: Der Anteil der Schwarzfahrer in der U-Bahn ist größer als der Anteil der Schwarzfahrer in der S-Bahn. (3P) 51

53 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik c) Von den kontrollierten Fahrgästen werden zwei Personen zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide Schwarzfahrer sind. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer der beiden Schwarzfahrer ist. (7P) In der Zeitung steht: Insgesamt mal wurden im Jahr 005 Fahrgäste ohne gültigen Fahrausweis angetroffen. Bei etwa 3,6 Millionen kontrollierten Fahrgästen bedeutet dies eine Schwarzfahrerquote von,8 Prozent. d) Bestimme auf der Grundlage dieser Meldung, wie viele ehrliche Fahrer ein Kontrolleur bei der Kontrolle von 350 Fahrgästen erwarten darf. (3P) Die Schwarzfahrerquote aus der Zeitungsmeldung weicht offenbar von der in Aufgabenteil a) angegebenen ab. e) Interpretiere: Welchen Grund könnte die Abweichung haben? (P) Im Internet findet sich: Von rund 630 Millionen Fahrgästen in Bahnen und Bussen des HVV im Jahr 006 wurden nur 1 Prozent kontrolliert, auf diese Weise wurden lediglich knapp Schwarzfahrer ertappt. f) Beurteile diese Aussage im Zusammenhang mit der obigen Zeitungsmeldung. (3P) Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 010, Zweittermin (überarbeitet) 5

54 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Schwarzfahrer beim HVV Lösungsskizze Zuordnung I II III a) = An diesem Tag wurden insgesamt Fahrgäste kontrolliert = 314 An diesem Tag wurden unter den kontrollierten Fahrgästen insgesamt 314 Schwarzfahrer erwischt , % 9990 =. Der Anteil der Schwarzfahrer betrug an diesem Tag etwa 3 %. 4 b) Anteil der Schwarzfahrer in der U-Bahn: 146 0, ,79 % 3851 =. 81 Anteil der Schwarzfahrer in der S-Bahn: 0, ,43 % 363 =. Die Aussage ist bezogen auf die vorliegende Kontrolle richtig. 3 53

55 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung I II III c) Da es ca. 3 % Schwarzfahrer gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen aus den kontrollierten Personen auszuwählen, ebenfalls 3 % oder 0,03. Es gilt: P(Person ist kein Schwarzfahrer.) = 1 P(Person ist Schwarzfahrer.) = 1 0,03 = 0,97 P (Beide Personen sind Schwarzfahrer.) = 0, 03 0, 03= 0, 0009 P(Genau eine der beiden Personen ist Schwarzfahrer.) = 0, 03 0,97+ 0,97 0, 03 = 0,

56 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze Zuordnung I II III d) Anzahl aller Fahrgäste Anzahl der Schwarzfahrer , = 340 Alternative: Der Anteil der ehrlichen Fahrgäste betrug im Jahr %,8 % = 97, %. 97, % von 350: 0, = 340, 340. Unter 350 Fahrgästen sind nach dieser Statistik etwa 340 ehrliche Fahrgäste zu erwarten. 3 e) Die Stichprobe aus Aufgabenteil a) könnte an einem Tag erhoben worden sein, der aus irgendeinem Grund eine besondere Eigenschaft aufweist (z. B. Hafengeburtstag). Die Stichprobe aus Aufgabenteil a) könnte in Stadtteilen durchgeführt worden sein, in denen die Schwarzfahrerquote vom Hamburger Durchschnitt abweicht. Es könnten Zähl- oder Rechenfehler vorliegen. Eine dieser Interpretationen oder eine andere plausible Deutung wird erwartet. f) 0, = Es wurden also ca Personen kontrolliert Für die Schwarzfahrerquote ergibt sich: 0, % = Das entspricht ungefähr der Angabe aus der Zeitungsmeldung (,8 %). Andere Argumentations- und Berechnungswege können auch korrekt sein. 3 Insgesamt BWE

57 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Leitidee Daten und Zufall Miniatur Wunderland Die Besucherattraktion Miniatur Wunderland in Hamburg bietet den Besuchern einen besonderen Service. Auf der Internetseite des Unternehmens kann man sich über die zu erwartenden Wartezeiten am gewünschten Besuchstag informieren. Eine Grafik zeigt dabei für jeden Tag des Jahres Erfahrungswerte für die ungefähre Wartezeit eines Besuchers von der Ankunft an der Warteschlange bis zum Ticketkauf und dem dann stattfindenden Einlass. Familie Mustermann möchte das "Wunderland" besuchen. Die nebenstehende Grafik gibt die geschätzten Wartezeiten am Besuchstag in Abhängigkeit von der Uhrzeit der Ankunft an. Wartezeit in Minuten Zum Beispiel muss man bei Ankunft um 10:30 Uhr 60 Minuten in der Schlange stehen. Das "Wunderland" hat zum Beispiel dienstags von 9:30 Uhr bis 19:00 Uhr geöffnet, dann spätestens muss man die Ausstellungsräume verlassen. Der letzte Einlass ist eine Stunde früher, also um 18 Uhr. Uhrzeit der Ankunft [fiktive Daten, Grafik erstellt durch die Redaktionsgruppe] Die Familie möchte nicht länger als 15 Minuten in der Schlange warten. a) Gib an, wann die Familie dann ankommen sollte. (3P) b) Berechne die maximale Aufenthaltsdauer in den Ausstellungsräumen, wenn sich die Familie um 15:00 Uhr am Ende der Schlange anstellt. Am Einlass bei der Kasse können pro Stunde etwa 10 Personen bedient werden, d. h. die Besucher bezahlen und passieren die Sperre. c) Es gibt Zeiten, in denen genauso viele Personen an der Kasse bedient werden wie sich neu anstellen. Gib mithilfe der Grafik begründet an, wann dies der Fall ist. d) Bestimme die Anzahl der Personen, die um 15 Uhr in der Schlange stehen. (P) (3P) (P) 56

58 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Familie Mustermann hat es geschafft und die Wartezeit hinter sich gebracht. Nun folgt die Auswahl der Attraktionen. Diese sind über 7 Räume A, B, C, D, E, F und G verteilt. Leider gelingt es ihnen nicht, sich auf eine Besuchsreihenfolge zu einigen. Sie einigen sich aber darauf, die Reihenfolge mithilfe eines Zufallsversuchs zu ermitteln. Dabei sollen alle Räume die gleiche Chance haben und kein Raum doppelt besucht werden. e) Beschreibe einen geeigneten Zufallsversuch, mit dem man die Reihenfolge festlegen kann. Bestimme bei deinem Zufallsversuch die Wahrscheinlichkeit für die Reihenfolge B-A-D bei Eintritt in die Ausstellungsräume. (8P) Die Familie besteht aus vier Personen. Wer darf zuerst einen bestimmten Raum betreten? Die Tochter Lea schlägt vor, vier Strohhalme zu nehmen, davon einen zu kürzen und die Halme so in der Hand zu halten, dass man nur die äußersten Enden sieht; alle Strohhalme sehen dann also gleich lang aus. Dann darf jedes Familienmitglied nacheinander einmal ziehen. Derjenige, der den gekürzten Strohhalm zieht, darf zuerst den Raum betreten. Der Sohn Max sagt nach kurzem Nachdenken: "Dann ziehe ich als Letzter. So ist meine Chance am größten, den Raum als Erster betreten zu können." f) Beurteile diese Aussage. (4P) Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 011, Ersttermin (überarbeitet) 57

59 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Miniatur Wunderland Lösungsskizze Zuordnung I II III a) Wenn die Familie nicht länger als 15 Minuten warten möchte, muss sie sich um 9:30 Uhr oder in der Zeit von 17:00 Uhr bis 18 Uhr zum Ticketkauf anstellen. Wenn lediglich die Zeiten 9:30 Uhr, 17:00 Uhr, 17:30 Uhr und 18:00 Uhr genannt werden, so soll dies auch als richtig gewertet werden. 3 b) Um 15 Uhr wird eine Wartezeit von 40 Minuten angegeben. Familie Mustermann kann also erst gegen 15:40 Uhr mit dem Eintritt in die Ausstellungsräume rechnen. Da bis 19 Uhr geöffnet ist, verbleiben der Familie maximal 3 Stunden und 0 Minuten für die Besichtigung der Ausstellung. 3 c) Um 11:30 Uhr und um 1:00 Uhr bzw. um 14:30 Uhr und um 15:00 Uhr sind die Wartezeiten jeweils gleich lang. Da die Bediengeschwindigkeit konstant ist, werden in diesen beiden Zeiträumen also im Schnitt genauso viele Personen bedient wie sich neu anstellen. d) Um 15 Uhr beträgt die Wartezeit laut Grafik 40 Minuten. In einer Stunde werden etwa 10 Personen abgefertigt, das sind in 40 Minuten = 80 Personen. 60 Um 15 Uhr stehen also 80 Personen in der Schlange. e) Es werden 7 Lose angefertigt, die jeweils mit einem der Buchstaben A bis G beschriftet werden. Anschließend werden die Lose ohne Zurücklegen gezogen. In der Reihenfolge der gezogenen Buchstaben werden die Räume besucht. Es gibt natürlich noch andere Verfahren. Wichtig ist hier, dass ein Verfahren zweifelsfrei mit einer eindeutigen Zuordnung der Reihenfolge, in der die Räume besucht werden, beschrieben wird. Hier sollte es auch deutlich werden, dass bei dem gewählten Verfahren in jeder Runde alle noch zur Verfügung stehenden Räume mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ermittelt werden.ebenso ist im Verfahren sicherzustellen, dass keine Räume doppelt besucht werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes der Raum B gezogen wird, ist 1 7. In der zweiten Losrunde beträgt die Wahrscheinlichkeit, den Raum A zu ziehen 1, da nur noch sechs Räume zur Auswahl stehen. Also besteht in 6 der dritten Runde, nachdem zuerst Raum B und dann Raum A gezogen wurden, für den Raum D als dritten Raum die Wahrscheinlichkeit von 1. 5 Die Wahrscheinlichkeit, die Räume in der Reihenfolge B-A-D zu besuchen, beträgt demnach = Eine Lösung über ein Baumdiagramm ist auch zulässig. Die Antwort hängt auch von der gewählten Beschreibung des Losverfahrens ab. 8 58

60 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze Zuordnung I II III f) Die Strohhalme werden ohne Zurücklegen gezogen. Aus dem Baumdiagramm ergibt sich unmittelbar: 1 P (Der kurze Halm wird im ersten Zug gezogen.) = = 5 % P (Der kurze Halm wird im zweiten Zug gezogen.) = = = 5 % P (Der kurze Halm wird im dritten Zug gezogen.) = = = 5 % P (Der kurze Halm wird im vierten Zug gezogen.) = = = 5 % Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist also unabhängig von der Reihenfolge, in der gezogen wird. Max hat also nicht Recht. 4 Insgesamt BWE

61 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Leitidee Daten und Zufall Schweinerei Bei dem Spiel Schweinerei würfelt man mit kleinen Gummischweinen anstatt mit Würfeln. Die Schweine können in unterschiedlicher Lage landen. Zu jeder dieser Lagen gibt der Hersteller eine Wahrscheinlichkeit an, mit der diese Lage auftritt. Beschreibung der Lage Kurzwort der Lage Wahrscheinlichkeit der Lage Das Schwein landet auf der Seite. Sau p Sau = 0,65 Das Schwein landet auf allen vier Beinen. Haxe p Haxe = 0,06 Das Schwein landet auf dem Rücken. Suhle p Suhle = 0,6 Das Schwein landet auf der Schnauze. Schnauze p Schnauze = 0,03 Ein Schwein wurde mehrfach getestet. Die Ergebnisse einer Testreihe findest du in der Tabelle in der Anlage zu Aufgabenteil a) (hier wurde ein Schwein 000-mal geworfen). a) Gib die fehlenden relativen Häufigkeiten in der Tabelle in der Anlage an. (3P) Die Daten einer zweiten Testreihe sind in vielen Feldern nicht mehr erkennbar (siehe Anlage zu Aufgabenteil b)). b) Berechne schrittweise in geeigneter Reihenfolge die fehlenden Daten in der Tabelle in der Anlage. Beachte, dass hier das Schwein insgesamt 400 mal geworfen worden ist. c) Entscheide, ob die Daten in den beiden Tabellen die Herstellerangaben einigermaßen bestätigen. Interpretiere eventuelle Abweichungen. Hinweis: Wenn du die zweite Tabelle nicht vervollständigen konntest, dann beziehe dich nur auf die erste Tabelle. (4P) (P) Für die weiteren Aufgabenteile sollen die Herstellerangaben zugrunde gelegt werden. Ein Schwein wird nacheinander zweimal geworfen. d) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass das Schwein beim ersten Mal auf Schnauze liegt und beim zweiten Mal nicht. (P) 60

62 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Es wird nun mit drei Schweinen geworfen. e) Bestätige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein Schwein auf Schnauze liegt, ungefähr 8,7 % beträgt, dass alle drei in der Position Sau landen, ungefähr 7,5 % ist, dass alle drei in der Position Suhle landen, ungefähr 1,8 % beträgt. (5P) Auf einem Schulfest bietet die Klasse 10a für einen wohltätigen Zweck ein Gewinnspiel an: Der Einsatz beträgt 1. Dann wird mit 3 Schweinen geworfen. Der Gewinnplan lautet folgendermaßen: Ereignis alle drei Sau mindestens einmal Schnauze alle drei Suhle Auszahlung 3 5 f) Zeige, dass die Klasse langfristig im Mittel Einnahmen erwarten kann. (3P) Um das Spiel attraktiver zu machen, soll die Auszahlung für alle drei Sau erhöht werden. g) Ermittle die höchste Auszahlung für alle drei Sau, sodass die Klasse langfristig im Mittel keinen Verlust macht. (3P) Quelle: Abschlussprüfung zum Realschulabschluss und diesem gleichwertige Abschlüsse. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben und Handreichungen zum Rahmenplan Mathematik (überarbeitet) 61

63 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Anlage zur Aufgabe Schweinerei Tabelle zu Aufgabenteil a) Lage Sau Suhle Haxe Schnauze Summe absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 1,0 Tabelle zu Aufgabenteil b) Lage Sau Suhle Haxe Schnauze Summe absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 0,055 0,

64 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Schweinerei a) Lösungsskizze Zuordnung, I II III Lage Sau Suhle Haxe Schnauze Summe absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 0,644 0,56 0,0645 0, b) 1. 0, = = , = , = Lage Sau Suhle Haxe Schnauze Summe absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 0, ,7875 0,055 0,075 1 Andere sinnvolle Berechnungsreihenfolgen sind möglich. 3 1 c) Die Ergebnisse in den Tabellen zeigen, dass die relativen Häufigkeiten den vom Hersteller genannten Wahrscheinlichkeiten sehr gut entsprechen. Eventuelle Abweichungen sind vermutlich darin begründet, dass die Anzahl der Versuche nicht groß genug ist. Es ist nicht korrekt, die Abweichungen als fehlerhafte Herstellerangaben zu deuten. d) P(erstes Schwein auf Schnauze und zweites Schwein nicht auf Schnauze) = 0, , 03 = 0, 03 0, 97 = 0, 091, 9%. ( ) Das Anfertigen eines Baumdiagramms ist hilfreich, aber nicht notwendig. Alternativ kann man die Aufgabe unter Verwendung der Lagen "Sau", "Suhle" und "Schnauze" sowie der Pfadregeln in einem Baumdiagramm lösen. 63

65 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik e) Es gilt: Lösungsskizze P(Schwein liegt nicht auf "Schnauze".) = 1 P(Schwein liegt auf "Schnauze".) = 1 0,03 = 0,97 Also: P(Mindestens ein Schwein liegt auf "Schnauze".) = 1 P(Drei Schweine liegen nicht auf "Schnauze".) = 1 0,97 0,087 = 8,7 % 3 3 P(Alle drei Schweine liegen auf "Sau".) = 0,65 0,75 = 7,5 % P(Alle drei Schweine liegen auf "Suhle".) = 0,6 3 0,018 = 1,8 % Zuordnung, I II III Ein Baumdiagramm ist hilfreich, aber nicht erforderlich. 5 64

66 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze Zuordnung, I II III f) Der Spielplan lässt sich unter der Verwendung der Hilfestellung und des Ergebnisses aus e) um die Zeile der Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Gewinnereignisse ergänzen: Ereignis 3-mal Sau mindestens einmal Schnauze 3-mal Suhle Gewinn 3 5 Wahrscheinlichkeit 0,75 0,087 0,018 Mit diesen Daten kann man den Erwartungswert der Auszahlung des Glücksspiels ausrechnen: E = 0, , , ,90. Da die Schülerinnen und Schüler pro Spiel 1 einnehmen, aber im langfristigen Mittel nur 90 Cent pro Spiel auszahlen müssen, können sie langfristig mit Einnahmen rechnen. 1 g) Der Erwartungswert der Auszahlungen darf höchstens so groß sein wie der Einsatz also 1. Sei x der unbekannte Wert für die Auszahlung für alle drei Sau. Dann gilt: 1 = 0, 75 x + 0, , zusammenfassen 1 = 0, 75 x + 0,351 0,351 0,649 = 0, 75 x :0,75 x =,36 Maximal,36 kann für alle drei Sau ausgezahlt werden. 3 Insgesamt BWE

67 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Leitidee Daten und Zufall Fußballbundesliga Im deutschen Männerfußball ist die Bundesliga die höchste Spielklasse. Ziel ist, aus 18 Vereinen den deutschen Fußballmeister auszuspielen. Dazu tritt jeder Verein in Hin- und Rückspielen gegen jeden anderen Verein an. An jedem Spieltag finden 9 Spiele statt. Sowohl in der Hin- als auch in der Rückrunde spielt jeder Verein jeweils 17 Spiele. a) Bestätige, dass für die deutsche Meisterschaft 306 Spiele stattfinden. (P) Die folgenden Tabellen zeigen, in wie vielen Spielen in einer Saison wie viele Tore geschossen wurden. Hinrunde: Toranzahl k Anzahl der Spiele mit k Toren Rückrunde: Toranzahl k Anzahl der Spiele mit k Toren Die Ergebnisse der beiden Runden sollen in einem einzigen Säulendiagramm dargestellt werden. b) Vervollständige dazu das Diagramm in der Anlage. (3P) c) Berechne, in wie viel Prozent der Spiele (Hin- und Rückrunde zusammen) 8 Tore geschossen wurden. (P) Aus den Spielen der Hinrunde wird eines zufällig ausgewählt. Ebenso wird aus den Spielen der Rückrunde eines zufällig ausgewählt. d) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass in beiden ausgewählten Spielen acht Tore geschossen wurden. (3P) Pedro behauptet, dass bei Betrachtung der Hin- und Rückrunde gilt: "Es wurden meistens genau zwei Tore geschossen." "Es wurden häufiger genau 4 als genau 3 Tore geschossen." e) Bestätige Pedros Behauptungen. (4P) 66

68 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Camilla wundert sich über Pedros erste Behauptung. Sie entgegnet: Aber nach meiner Rechnung fallen im Durchschnitt pro Spiel eher drei Tore. f) Bestätige, dass auch Camilla Recht hat. (P) Lisa erinnert sich an eine Kennzahl mit dem Namen "Zentralwert". g) Ermittle den Zentralwert für die Anzahl der Tore pro Spiel in der Hin- und Rückrunde zusammen. Man nennt die Kennzahl aus Aufgabenteil g) auch Median. Der Wert, den Camilla ermittelt hat, wird auch als arithmetisches Mittel bezeichnet. Der häufigste Wert aus Pedros erster Behauptung heißt auch Modalwert. Alle drei Werte werden zusammenfassend als Mittelwerte bezeichnet. Sie können übereinstimmen, müssen es aber nicht. h) Gib 15 Zahlen an, bei denen arithmetisches Mittel, Modalwert und Median unterschiedliche Werte annehmen und ermittle für diese 15 Zahlen die drei verschiedenen Mittelwerte. (3P) (3P) 67

69 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Anlage zur Aufgabe Fußballbundesliga Quelle: Abschlussprüfung zum Realschulabschluss und diesem gleichwertige Abschlüsse. Mathematik. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben (überarbeitet) 68

70 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Fußballbundesliga Lösungsskizze a) Jeder Verein spielt zwei Runden (Hin- und Rückrunde). b) In jeder Runde werden 17 Spiele gespielt. Pro Tag finden 9 Spiele statt = 306 Für die deutsche Meisterschaft finden 306 Spiele statt. Zuordnung, I II III Fehlende Sorgfalt bei der Erstellung der Grafik führt zu Punktabzug. 3 c) % 0,98 % 306 In knapp 1 % der Spiele wurden 8 Tore geschossen. d) P (Im Spiel der Hinrunde wurden acht Tore geschossen.) = P (Im Spiel der Rückrunde wurden acht Tore geschossen.) = P (In beiden Spielen wurden acht Tore geschossen.) = = Die Verwendung eines Baumdiagramms ist möglich, aber nicht erforderlich. 3 69

71 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze e) Addiert man die Toranzahlen aus der Hin- und Rückrunde, erhält man die folgende Tabelle: Zuordnung, I II III Toranzahl k Anzahl der Spiele mit k Toren in der Hin- und Rückrunde die Anzahl der Spiele mit zwei Toren ist die größte Zahl in der zweiten Zeile. Deshalb hat Pedro mit seiner ersten Behauptung Recht. Es wurden 61-mal vier Tore und 54-mal drei Tore geschossen. Wegen 61 > 54 hat Pedro auch mit seiner zweiten Behauptung Recht. 4 f) Gesamtanzahl der Tore: (10+ 10) 0 + (5+ 3) 1 + (34+ 3) + (3+ 31) 3 + (35+ 6) 4 + (1+ 18) 5 + (10+ 7) 6 + (+ 5) 7 + (+ 1) 8= 911 Hat man Aufgabe e) mithilfe der in der Lösung angegebenen Tabelle bearbeitet, kann man auch diese Tabelle verwenden. Durchschnittliche Toranzahl pro Spiel: 911, = Camilla hat also Recht. g) In Hin- und Rückrunde zusammen gibt es 306 Spiele. Die jeweiligen Toranzahlen werden in einer Rangliste geordnet. Aus den Toranzahlen an den beiden mittleren Positionen lässt sich der Zentralwert ermitteln. Zu untersuchen sind also die Toranzahlen an den beiden mittleren Position 153 und 154. Die ersten 134 ( = (10+10) + (5+3) + (34+3) ) Positionen bestehen aus den Toranzahlen 0, 1 und. Die nächsten 54 (= 3+31) Positionen bestehen aus der Toranzahl 3. Sowohl Position 153 als auch Position 154 bestehen also aus der Toranzahl 3. Diese stellt somit den Zentralwert dar. 3 h) Es sind beliebig viele verschiedene Antworten denkbar, z. B. 1, 1, 1, 1, 1, 1,,, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100 Modalwert: 100 (Die Zahl 100 tritt am häufigsten, nämlich siebenmal, auf.) arithmetisches Mittel: = 47, Median: (Die Zahl steht in der Rangreihe an mittlerer Position.) 1 Insgesamt BWE

72 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Leitidee Daten und Zufall Verkehrszählung Untersuchungen haben ergeben, dass jeder Fünfte der tödlich verunglückten Autoinsassen nicht angeschnallt war. Dieses Ergebnis war Anlass, genauere Zahlen zu ermitteln. Diese sollen Informationen zur Ordnungswidrigkeit keinen Gurt angelegt liefern. Die Klasse 10e hat entschieden, sich im Rahmen einer Projektwoche an den Erhebungen zu beteiligen. An einer Hauptstraße wurde eine Verkehrszählung durchgeführt. Es wurden PKWs gezählt, gleichzeitig wurde notiert, wenn der Fahrer oder die Fahrerin nicht angeschnallt war. Anschließend wurden die Ergebnisse ausgewertet. Es wurde eine Woche lang werktags gezählt. Die Ergebnisse eines typischen Werktages dieser Zählung haben die Schülerinnen und Schüler in der folgenden Tabelle und im Diagramm zusammengefasst: Uhrzeit Anzahl PKWs Anzahl Fahrer oder Fahrerin nicht angeschnallt Uhrzeit Anzahl PKWs Anzahl Fahrer oder Fahrerin nicht angeschnallt Verkehrszählung Anzahl PKW Anzahl nicht angeschnallt Anzahlen Tageszeit 0 Uhr - 1 Uhr 1 Uhr - Uhr Uhr - 3 Uhr 3 Uhr - 4 Uhr 4 Uhr - 5 Uhr 5 Uhr - 6 Uhr 6 Uhr - 7 Uhr 7 Uhr - 8 Uhr 8 Uhr - 9 Uhr 9 Uhr - 10 Uhr 10 Uhr - 11 Uhr 11 Uhr - 1 Uhr 1 Uhr - 13 Uhr 13 Uhr - 14 Uhr 14 Uhr - 15 Uhr 15 Uhr - 16 Uhr 16 Uhr - 17 Uhr 17 Uhr - 18 Uhr 18 Uhr - 19 Uhr 19 Uhr - 0 Uhr 0 Uhr - 1 Uhr 1 Uhr - Uhr Uhr - 3 Uhr 3 Uhr - 4 Uhr 71

73 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Die Ergebnisse der Verkehrszählung lassen sich unter unterschiedlichen Gesichtspunkten beschreiben. Zunächst interessierte die Schülerinnen und Schüler die Verkehrsdichte auf der Hauptstraße. a) Gib den Zeitraum an, in dem der Verkehr am dichtesten war. (P) b) Bestätige, dass zu Spitzenzeiten mehr als ein PKW pro Sekunde vorbeifährt. (3P) c) Begründe, dass in jeder Stunde durchschnittlich mehr als Autos an den Verkehrszählern und -zählerinnen vorbeifuhren. (3P) Joshua schlägt vor, die relativen Häufigkeiten der nicht-angeschnallten Fahrerinnen und Fahrer zu betrachten. Er stellt eine Tabelle zusammen (siehe Anlage). d) Berechne die beiden fehlenden relativen Häufigkeiten (Prozentsatz mit einer Nachkommastelle). e) Vergleiche die beiden Darstellungen (Diagramm auf der vorherigen Seite und Tabelle in der Anlage) daraufhin, welche der beiden zweckmäßigere Informationen zur Frage des Gurtanlegens liefert. (4P) (P) In den folgenden Fragen geht es um die Untersuchung zur Anschnallpflicht, die offenbar nicht von allen Autofahrerinnen und Autofahrern ernst genommen wird. f) Wähle einen Zeitabschnitt aus, in dem der Anteil der nicht angeschnallten Fahrer und Fahrerinnen besonders hoch war. g) Bestätige, dass über den Tag gerechnet weniger als 10 % der Autofahrerinnen und Autofahrer nicht angeschnallt waren. (P) (3P) In der Presse wird unterschiedlich über die Verkehrszählung berichtet. Die Hamburger Abendpost schreibt: "Nachts fahren die meisten Autofahrerinnen und Autofahrer nicht angeschnallt." Beim Hamburger Morgenblatt hingegen findet man: "Nachts gibt es nur wenige Gurtmuffel." Diese beiden Schlagzeilen scheinen sich zu widersprechen. h) Begründe vor dem Hintergrund des Datenmaterials, dass beide Schlagzeilen ihre Berechtigung haben. (3P) 7

74 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Anlage zur Aufgabe Verkehrszählung Zeitraum relative Häufigkeit Zeitraum relative Häufigkeit 0 Uhr - 1 Uhr 1 Uhr - 13 Uhr 9,8 % 1 Uhr - Uhr 31,0 % 13 Uhr - 14 Uhr 8,9 % Uhr - 3 Uhr 36, % 14 Uhr - 15 Uhr 9,9 % 3 Uhr - 4 Uhr 33,6 % 15 Uhr - 16 Uhr 9,9 % 4 Uhr - 5 Uhr 13,6 % 16 Uhr - 17 Uhr 8,0 % 5 Uhr - 6 Uhr 7, % 17 Uhr - 18 Uhr 7,8 % 6 Uhr - 7 Uhr 7,4 % 18 Uhr - 19 Uhr 10,1 % 7 Uhr - 8 Uhr 6,1 % 19 Uhr - 0 Uhr 1,5 % 8 Uhr - 9 Uhr 7,1 % 0 Uhr - 1 Uhr 14,1 % 9 Uhr - 10 Uhr 9,7 % 1 Uhr - Uhr 15,3 % 10 Uhr - 11 Uhr 8,3 % Uhr - 3 Uhr 11 Uhr - 1 Uhr 9,4 % 3 Uhr - 4 Uhr 0,7 % Quellen: Abschlussprüfung zum Realschulabschluss und diesem gleichwertige Abschlüsse. Mathematik. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben (überarbeitet) Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet) 73

75 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Verkehrszählung Lösungsskizze a) Von 17 bis 18 Uhr. Zuordnung, I II III b) Da eine Stunde Sekunden hat, bedeutet mehr als ein PKW pro Sekunde mehr als 3600 PKWs pro Stunde. Dieser Wert wird sowohl im morgendlichen (7 Uhr bis 9 Uhr) wie im frühabendlichen Verkehr (15 Uhr bis 19 Uhr) deutlich überschritten. 3 c) Es wird die durchschnittliche PKW-Anzahl pro Stunde ermittelt: ( ) : 4 = : 4= 083, Durchschnittlich fuhren ungefähr 083 Autos an den Verkehrszählern vorbei. Wegen 083 > ist gezeigt, dass in jeder Stunde mehr als Autos an den Verkehrszählern und -zählerinnen vorbeifuhren. Es ist auch möglich, anhand der graphischen Darstellung zu argumentieren. 3 d) 0 Uhr bis 1 Uhr: Uhr bis 3 Uhr: 67 0,76 7,6 % 43 = 17 0,180 18,0 % 956 = Rundungsfehler führen zu Punktabzug. Ebenso zu Punktabzug führt die Angabe "18 %" statt "18,0 %". e) Die Werte in der Tabelle sind Anteile und berücksichtigen so, wie viele Fahrzeuge in dem jeweiligen Zeitraum vorbeigefahren sind. Dies ist für eine angemessene Beurteilung der Situation zweckmäßiger. Insofern ist diese Darstellung besser als das Diagramm, welches nur absolute Häufigkeiten darstellt. Der Aspekt "Zweckmäßigkeit" ist in der Fragestellung nicht klar definiert. Deshalb ist hier darauf zu achten, dass der Prüfling schlüssig argumentiert und der Zweck in der Antwort deutlich wird. Argumentiert ein Prüfling etwa mit der Zweckmäßigkeit einer graphischen Darstellung z. B., dass man Informationen auf einen Blick entnehmen kann ist dies als korrekt zu werten. Dasselbe gilt für andere mögliche und schlüssige Argumentationen. f) Zwischen Uhr bis 3 Uhr sind anteilig die meisten Fahrerinnen und Fahrer nicht angeschnallt. Wurde in Aufgabenteil d) ein falscher Prozentsatz ermittelt, kann dies zu einem Folgefehler in dieser Teilaufgabe führen. Wenn die Argumentation in dieser Teilaufgabe folgerichtig ist, soll hier die volle Punktzahl gegeben werden. 74

76 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze g) Division der Anzahl der Nichtangeschnallten durch die Anzahl aller PKWs: ,097 9,7 % 10 % = < Zuordnung, I II III Es sind also weniger als 10 % der Autofahrerinnen und Autofahrer nicht angeschnallt. 3 h) Ab Mitternacht bis 5 Uhr morgens sind die absoluten Häufigkeiten der Nichtangeschnallten kleiner als 100. Insofern kann man davon sprechen, dass es nachts nur wenige Gurtmuffel gibt. Das Hamburger Morgenblatt hat also nicht unrecht. Von 18 Uhr bis 5 Uhr sind die relativen Häufigkeiten der Nichtangeschnallten höher als 10 % und damit größer als zu den sonstigen Uhrzeiten. Insofern ist es auch berechtigt zu sagen, dass nachts viele Personen nicht angeschnallt sind. Auch die Hamburger Abendpost hat also nicht unrecht. Falls ein Prüfling in Aufgabenteil d) fehlerhafte Berechnungen durchgeführt hat, darf dies nicht zu Punktabzügen in der Argumentation in diesem Aufgabenteil führen. 3 Insgesamt BWE

77 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Leitidee Daten und Zufall Gezinkte Münze Bei einem Spiel mit einer Münze wird ohne Wissen der Spieler Karl und Peter eine "gezinkte" (manipulierte) Münze benutzt, die in 55 % der Fälle "Kopf" (K) zeigt, ohne dass man dies der Münze ansieht. Die andere Seite der Münze zeigt die "Zahl" (Z). Karl und Peter gehen dagegen von einem fairen Glücksspiel aus. Die Münze wird dreimal hintereinander geworfen. Karl und Peter vereinbaren die folgende Gewinnregel: Gewinnregel: Peter gewinnt, wenn mindestens zweimal "Kopf" fällt. Karl gewinnt in den anderen Fällen. a) Gib alle möglichen Ausgänge des Spiels an, bei denen Karl gewinnen würde. (P) b) Begründe, warum die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" bei einmaligem Wurf mit der gezinkten Münze 9 0 ist. c) Berechne, wie oft man "Kopf" erwarten kann, wenn man die gezinkte Münze mal wirft. (P) (P) d) Berechne im Baumdiagramm in der Anlage die fehlenden Wahrscheinlichkeiten. Gib jeweils an, wer gewinnt. (6P) Aufgrund theoretischer Überlegungen ist die Wahrscheinlichkeit, dass Peter gewinnt, größer als 50%. e) Ermittle den genauen Wert der Wahrscheinlichkeit, dass Peter bei Verwendung der gezinkten Münze und der oben genannten Gewinnregel gewinnt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Peter zweimal hintereinander gewinnt. (5P) Karl behauptet, dass es für ihn möglich sei, sieben von zehn Spielen zu gewinnen. Peter entgegnet, dass das nicht sein könne, weil seine eigene Gewinnwahrscheinlichkeit größer als 50 % ist. f) Beurteile die beiden Aussagen. (P) g) Beschreibe eine andere Gewinnregel, damit bei dem Spiel (drei Würfe mit der gezinkten Münze) beide Spieler dieselbe Gewinnwahrscheinlichkeit haben. (3P) 76

78 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Anlage zur Aufgabe "Gezinkte Münze" Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 011, Dritttermin (überarbeitet) 77

79 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Gezinkte Münze Lösungsskizze Zuordnung I II III a) (K, Z, Z); (Z, K, Z), (Z, Z, K); (Z, Z, Z) b) Es gilt P("Kopf") = 55 % = 0,55. Weil "Zahl" das Gegenereignis zu "Kopf" ist, muss gelten: P("Zahl") 1 ("Kopf ") 1 0, = P = = = c) 55 E= = d) Man erwartet 8 80-mal "Kopf". 4 e) P("Peter gewinnt.") = 3 0, , 0,166375= 0,57475 Peter gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 57,5 %. P ("Peter gewinnt zweimal hintereinander.") = 0,57475 = 0, Peter gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 33,0 % zweimal hintereinander. 5 78

80 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze Zuordnung I II III f) Karl hat Recht: Es ist möglich, dass er sieben von zehn Spielen gewinnt. Es ist sogar möglich, dass er alle zehn Spiele gewinnt. Zwar hat Peter eine größere Gewinnwahrscheinlichkeit als Karl, das macht sich aber erst bei einer sehr großen Spielanzahl in Form von häufigeren Siegen bemerkbar. In der Antwort des Prüflings muss auf zwei Aspekte korrekt eingegangen werden: von Karls Äußerung und Bedeutung von Peters höhere Gewinnwahrscheinlichkeit auf lange Sicht. g) Die Beschreibung muss zwei Bedingungen genügen: Die Grundstruktur des Spiels (drei Würfe mit der gezinkten Münze) bleibt unverändert. Beide Spieler haben dieselbe Gewinnwahrscheinlichkeit. Eine Begründung wird hier gemäß dem Operator "Beschreiben" nicht verlangt. Im Rahmen dieser Bedingungen gibt es viele Möglichkeiten, zum Beispiel: Peter gewinnt, wenn K, K, Z geworfen wird. Karl gewinnt, wenn K, Z, K geworfen wird. In allen anderen Fällen endet das Spiel unentschieden. 3 Insgesamt BWE

81 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Leitidee Daten und Zufall Fußballweltmeisterschaften Fußballweltmeisterschaften finden alle vier Jahre statt. Es ist das Fußballturnier für Nationalmannschaften: Der Fußballweltmeister wird ermittelt. In der ersten Spielrunde (Vorrunde) spielen jeweils vier Mannschaften in einer Gruppe. Innerhalb dieser Gruppe spielt jede Mannschaft einmal gegen jede andere. Insgesamt nehmen 3 Mannschaften an der Weltmeisterschaft teil. Foto Lupo/ a) Bestätige, dass es in der Vorrunde acht Gruppen geben muss. (P) b) Bestätige, dass es insgesamt 48 Vorrundenspiele gibt. (3P) In den nachfolgenden Tabellen kannst du sehen, wie viele Mannschaften während der Fußballweltmeisterschaft 006 in der Vorrunde wie viele Tore geschossen bzw. wie viele Gegentore sie erhalten haben. Anzahl der Tore Anzahl der Mannschaften Anzahl der Gegentore Anzahl der Mannschaften c) Vervollständige das Säulendiagramm in der Anlage. (5P) d) Berechne, wie viele Tore in der Vorrunde pro Spiel im Durchschnitt geschossen wurden. Berechne, wie viele Tore in der Vorrunde jede Mannschaft im Durchschnitt geschossen hat. Insgesamt werden bei Fußballweltmeisterschaften 64 Spiele durchgeführt. 006 wurden insgesamt 147 Tore erzielt, also durchschnittlich ungefähr,3 Tore pro Spiel. Bei der Fußballweltmeisterschaft 1998 betrug dieser Durchschnittswert,67. (4P) e) Bestimme die Anzahl der Tore, die bei der WM 1998 mehr erzielt wurden als bei der WM 006. (P) 80

82 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Bei allen sportlichen Ereignissen wird getippt, wer der Sieger sein wird. Bei der Fußballweltmeisterschaft 010 tippte der Krake Paul. Er lebte im Sealife-Aquarium in Oberhausen. Man gab ihm vor jedem Spiel zwei Futterschalen, die jeweils mit den Flaggen der beteiligten Mannschaften dekoriert waren. Paul entschied sich bei allen Spielen mit deutscher Beteiligung immer für die richtige Futterschale! Diese Situation soll mathematisch analysiert werden. Dazu nehmen wir an, dass Pauls Tipp ein Zufallsexperiment ist. Außerdem soll angenommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit, sich für eine der beiden Futterschalen zu entscheiden, den Wert 0,5 hat. Betrachtet werden drei nacheinander abgegebene Tipps zu Spielen, bei denen die deutsche Mannschaft nicht beteiligt war. f) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass Paul dreimal richtig tippt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Paul sich genau einmal irrt. (4P) g) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Paul bei 10 abgegebenen Tipps zu Spielen ohne deutsche Beteiligung mindestens einmal Recht hat. (P) 81

83 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Anlage zur Aufgabe "Fußballweltmeisterschaften" 10 9 n fte a h c s n a M r e d l h z a n A Anzahl der Tore Tore Gegentore Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 006, Dritttermin (überarbeitet) 8

84 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Fußballweltmeisterschaft Lösungsskizze a) Es sind 3 Mannschaften, die in Vierergruppen aufgeteilt werden. Damit ergibt sich: 3 : 4 = 8 Es müssen also acht Gruppen gebildet werden. Zuordnung, I II III b) Bei vier Mannschaften (A, B, C und D) in einer Gruppe gibt es sechs Spiele: A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D Bei acht Gruppen sind dies (wegen 8 6 = 48) 48 Vorrundenspiele. 3 c) Anzahl der Mannschaften Anzahl der Tore Bei unsorgfältiger Zeichnung der Säulen sollen Punkte abgezogen werden. 5 d) Anzahl der geschossenen Tore: = 117 Dieselbe Rechnung lässt sich jeweils auch mit der Anzahl der Gegentore durchführen, weil ja jedes Tor auch ein Gegentor ist. Falsch hingegen ist es in diesem Zusammenhang, die Anzahl der Tore und der Gegentore zu addieren. Durchschnittliche Anzahl der Tore pro Spiel: 117,4375,4 48 = Durchschnittliche Anzahl der geschossenentore pro Mannschaft: 117 3,6565 3,7 3 = 4 83

85 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze e) Anzahl der Tore bei der Fußballweltmeisterschaft 1998:,67 64=170, wurden bei der Fußballweltmeisterschaft 171 Tore geschossen = wurden bei der Fußballweltmeisterschaft 4 Tore mehr geschossen als bei Zuordnung, I II III der Fußballweltmeisterschaft 006. f) Die folgenden Abkürzungen werden verwendet: R: Paul tippt richtig. I: Paul irrt sich. Nach der Annahme gilt: P(R) = P(I) = 0,5 In einem Baumdiagramm gibt es genau einen Pfad mit drei richtigen Tipps. 3 Damit gilt nach den Pfadregeln: P (RRR) = 0,5 = 0,15 In einem Baumdiagramm gibt es drei Pfade, bei denen Paul sich genau einmal irrt: IRR, RIR und RRI. Damit gilt nach den Pfadregeln: 3 P (IRR oder RIR oder RRI) = 3 0,5 = 0,375 4 g) Das Gegenereignis zu "Paul hat mindestens einmal Recht." ist "Paul tippt zehnmal falsch." Es gilt: P ("Paul tippt zehnmal falsch.") = 0,5 = Damit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit: P ("Paul hat mindestens einmal Recht.") = 1 = Insgesamt BWE

86 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Leitidee Daten und Zufall Quader Nusret, Aysenur und Bonnie wollen auf dem Schulfest eine Würfelbude aufmachen. Allerdings soll nicht mit einem normalen Würfel, sondern mit einem Quader, der die Zahlen 1 bis 6 trägt, (siehe Abbildung) geworfen werden. Die Zahlen 1 und 6, und 5 sowie 3 und 4 liegen sich jeweils gegenüber. Mit dem Erlös aus dem Würfelspiel soll ein Zuschuss für die nächste Klassenreise erwirtschaftet werden. Bevor sie sich ein schönes Spiel überlegen können, müssen sie erst einmal wissen, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die einzelnen Zahlen geworfen werden. Deshalb haben sie das Quaderwerfen ausprobiert. Die Ergebnisse sind in einer Tabelle (siehe Anlage) zusammengefasst. a) Bestätige, dass der Quader insgesamt 1 00-mal geworfen wurde. (P) b) Ergänze in der Tabelle (siehe Anlage) die fehlenden Werte. Achte darauf, dass die relativen Häufigkeiten als Dezimalzahlen auf zwei Stellen nach dem Komma sowie die relative Häufigkeit als Prozentsatz auf Ganze gerundet werden. (4P) Nusret hat im Internet recherchiert und für den Quader die folgende Tabelle gefunden, die die relativen Häufigkeiten bei einer sehr großen Anzahl von Würfen zeigt. Diese relativen Häufigkeiten sollen im Folgenden als Schätzwerte für die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten gelten. c) Begründe, dass die in der unten stehenden Tabelle dargelegten relativen Häufigkeiten gut zur Anordnung der Zahlen auf dem Quader passen. (P) Würfelergebnis relative Häufigkeit in % d) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Würfen die Augensumme 11 zu erzielen. (3P) Aysenur meint, dass sie sich zu viel Arbeit mit dem Werfen gemacht haben. Es sei doch viel einfacher, die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Sie überlegt: Je größer die Fläche, desto häufiger fallen die entsprechenden Zahlen auf der gegenüberliegenden Seite. Man müsste also die Flächeninhalte der einzelnen Seiten bestimmen. Der jeweilige Anteil an der gesamten Oberfläche müsste dann der Wahrscheinlichkeit entsprechen, mit der die Zahl gewürfelt wird. e) Entscheide, ob Aysenur Recht hat. (5P) 85

87 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Für das Schulfest haben sich die drei Jugendlichen folgende Spielregeln überlegt: Jeder Spieler oder jede Spielerin zahlt einen Einsatz von 1 pro Spiel. Dann wird einmal mit dem Quader gewürfelt. Der folgende Gewinnplan soll angewendet werden: geworfene Zahl Auszahlung oder oder 4 oder 6 0 Wird also beispielsweise eine oder eine 5 geworfen, erhält man als Spieler oder Spielerin den Einsatz von 1 zurück und zusätzlich 5. f) Zeige, dass die drei Jugendlichen langfristig Verlust machen. Ermittle einen neuen Wert für eine der drei Auszahlungen, sodass die drei Jugendlichen bei 00 Spielen einen Gesamtgewinn von 50 erwarten können. (6P) 86

88 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Anlage zur Aufgabe "Quader" absolute Häufigkeiten bei Nusrets Würfen absolute Häufigkeiten bei Bonnies Würfen absolute Häufigkeiten bei Aysenurs Würfen absolute Häufigkeiten insgesamt relative Häufigkeiten insgesamt relative Häufigkeit insgesamt in Prozent ,11 0,09 0,09 0, Quellen: Abschlussprüfung zum Realschulabschluss und diesem gleichwertige Abschlüsse. Mathematik. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben (überarbeitet) Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet) 87

89 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Quader Lösungsskizze Zuordnung, I II III a) = 400 b) = = = 1 00 Nusret, Bonnie und Aysenur haben zusammen 1 00-mal den Quader geworfen. Andere Arten der Berechnung mithilfe der Tabelle sind möglich absolute Häufigkeiten bei Nusrets Würfen absolute Häufigkeiten bei Bonnies Würfen absolute Häufigkeiten bei Aysenurs Würfen absolute Häufigkeiten insgesamt relative Häufigkeiten insgesamt relative Häufigkeit insgesamt in Prozent ,11 0,09 0,30 0,30 0,09 0, c) Die sich jeweils gegenüberliegenden Zahlen 1 und 6, und 5 sowie 3 und 4 weisen erwartungsgemäß dieselben relativen Häufigkeiten auf. d) Die Augensumme 11 lässt sich erreichen, indem man zuerst eine 5 und dann eine 6 oder umgekehrt würfelt. Damit ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeit: 4 P(zuerst 5 und dann 6 oder zuerst 6 und dann 5) = 0,09 0,11+ 0,11 0,09= 0,

90 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze e) Der Flächeninhalt für die Seiten 3 und 4 ist jeweils: A Seiten 3 u. 4 =,3 = 4,6 Zuordnung, I II III Der Flächeninhalt für die Seiten 1 und 6 ist jeweils: A Seiten 1 u. 6 =,3 1,3 =,99 Der Flächeninhalt für die Seiten und 5 ist jeweils: A Seiten u. 5 = 1,3 =,6 Der gesamte Flächeninhalt beträgt somit: A = A + A + A = (4,6 +,6 +,99) = 0,38 ( ) gesamt Seiten 1 u. 6 Seiten 3 u. 4 Seiten u. 5 Der Oberflächeninhalt beträgt 0,38 cm². Die Anteile werden mithilfe des Dreisatzes berechnet: Zahlen cm % Zahlen cm % 0, , , ,38 1,99 14,67 4 4,6,57,6 1,76 5,6 1,76 3 4,6,57 6,99 14,67 Der Flächenanteil der Seite 3 zum Beispiel beträgt,57 %, die relative Häufigkeit beim Werfen beträgt jedoch 30 %. Diese Abweichung ist eher groß. Auch bei den anderen Zahlen ergeben sich deutliche Abweichungen. Aysenur hat also nicht Recht. Vergleiche zu anderen Würfelzahlen sind auch als korrekt zu bewerten. Es reicht die Berechnung eines einzigen Flächenanteils, um Aysenurs Vermutung zu widerlegen. 5 89

91 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze f) Angenommen, es gibt 100 Spiele. Dann führt der Einsatz zu 100 Einnahmen. Bei den100 Spielen sind je 9-mal eine oder eine 5 zu erwarten, das ergibt 18 6 = 108 als Auszahlung. Außerdem ist 30-mal die 3 zu erwarten, was zu weiteren 30 Auszahlung führt. Damit stehen 100 Einnahmen 138 Auszahlungen gegenüber. Langfristig ist also mit Verlust zu rechnen. Zuordnung, I II III Alternative Die erwartete Auszahlung pro Spiel beträgt aus Sicht der drei Jugendlichen: (0,09+ 0,09) 6 + 0,3 1 + (0,11+ 0,3+ 0,11) ( 1 ) = 0,38 Es ist also mit einem Verlust von 38 Cent pro Spiel zu rechnen. 50 Gewinn bei 00 Spielen bedeutet einen Gewinn von 0,5 pro Spiel. Dies kann man erreichen durch eine Änderung der Auszahlung bei einer oder einer 5; diese neue Auszahlung wird mit x bezeichnet. Dann gilt: (0,09+ 0,09) x+ 0,3 1 + (0,11+ 0,3+ 0,11) ( 1 ) = 0,5 0,18x+ 0,3 1 = 0,5 0,18x= 0,45 x=,50 Ändert man also die Auszahlung bei einer oder 5 von 6 auf,50, kann man bei 00 Spielen mit 50 Gewinn rechnen. Die Absenkung der Auszahlung bei einer gewürfelten 3 sogar auf 0 führt nicht zu dem gewünschten Gewinn. 1 5 Insgesamt BWE

92 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Leitidee funktionaler Zusammenhang Alsterschifffahrt Foto Bernd Sterzl/ Auszug aus dem Fahrplan Auszug aus der Fahrpreistabelle Tabellen mit freundlicher Genehmigung der Alster Touristik GmbH Herr Schmidt, der 40 Jahre alt ist, will vom Jungfernstieg bis zum Winterhuder Fährhaus fahren. a) Gib Folgendes an: die Fahrzeit des Schiffes und den Fahrpreis von Herrn Schmidt. (3P) Das Ehepaar Calisgüven steht mit seinen beiden Kindern Fadime und Aytuk am Jungfernstieg. Sie wollen zunächst zum Uhlenhorster Fährhaus, später zur Krugkoppelbrücke fahren. b) Berechne den günstigsten Fahrpreis für die Familie Calisgüven. (3P) Die gesamte Fahrstrecke des Schiffes vom Anleger Jungfernstieg bis zum Anleger Uhlenhorster Fährhaus beträgt etwa 3,6 km. Dafür benötigt das Schiff 18 Minuten. c) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit des Schiffes in km h. (P) 91

93 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Es soll eine neue Fahrtroute eingerichtet werden. Dabei müssen die Schiffe unter Brücken hindurchfahren. Die Brückenbögen haben die Form von Parabeln. Wasserlinie Bei einem gedachten Koordinatensystem liegt die x-achse auf der Wasserlinie, die y-achse verläuft senkrecht nach oben durch den Scheitelpunkt der Parabel. d) Entscheide, welche Funktionsgleichung zum Verlauf eines solchen Brückenbogens gehören könnte. (3P) (1) 1 f ( x) = x () f ( x) = x + 5 (3) 40 1 f ( x) = x 5 40 Ein anderer Brückenbogen, den die Schiffe durchfahren müssen, überspannt auf Höhe der Wasserlinie eine Strecke von 1 m. Der höchste Punkt des Brückenbogens liegt 4,05 m über der Wasserlinie. e) Bestimme die Funktionsgleichung, deren Graph den Verlauf des Brückenbogens beschreibt. (4P) f) Zeichne die zugehörige Parabel ins Koordinatensystem (siehe Anlage). (P) Hinweis: Solltest du in Aufgabenteil e) zu keinem Ergebnis gekommen sein, verwende für die Zeichnung die folgende Gleichung: f ( x) = 0,x + 4,5 Das Schiff Goldbek ist 4,96 m breit und über der Wasserlinie,50 m hoch. g) Weise durch Rechnung nach, dass das Schiff unter der Brücke hindurchfahren kann. (3P) Hinweis: Solltest du in Aufgabenteil e) zu keinem Ergebnis gekommen sein, verwende für die Rechnung die folgende Gleichung: f ( x) = 0,x + 4,5 Foto mit freundlicher Genehmigung der Alster Touristik GmbH Ein besonderes Erlebnis bietet eine Fahrt auf dem Solarkatamaran Alstersonne. Die Alstersonne ist mit 78 Solarmodulen ausgestattet und kann eine Geschwindigkeit von 7,6 Knoten km (1 kn = 1,85 ) erreichen. Auch bei Dunkelheit ist die Alstersonne mithilfe von Batterien h einsatzbereit. Dann beträgt ihre Reichweite wegen der Beschränktheit der Batterieladung 10 km. h) Zeige, dass von 1 Uhr bis 4 Uhr morgens selbst bei Höchstgeschwindigkeit problemlos auf der Alstersonne gefeiert werden kann, ohne dass leere Batterien zum Problem werden. (P) 9

94 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Anlage zur Aufgabe "Alsterschifffahrt" y x Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 006, Zweittermin (überarbeitet) 93

95 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Alsterschifffahrt Lösungsskizze a) Die Fahrzeit des Schiffes beträgt 5 Minuten. Zuordnung, I II III Es gilt der Fahrpreis von 8,50. 1 b) Die erste Fahrt geht über drei Anleger: Fahrpreis: 3 ( 1, ,80) = 15 Die zweite Fahrt geht ebenfalls über drei Anleger, beträgt also auch 15. Wenn Familie Calisgüven für jede Fahrt die Fahrkarte kauft, bezahlt sie insgesamt 30. Eine Tageskarte hingegen kostet nur 6. Letzteres stellt also den günstigsten Fahrpreis dar. 1 c) Zeit Strecke 18 min 3,6 km 1 min 3,6 km = 0, km min = 1 h 3,6 60 km 1 km 18 = Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Schiffes beträgt 1 km h. d) Nur die Gleichung () kommt infrage, denn sie beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel mit positivem y-achsenabschnitt. Das ist bei den anderen beiden Gleichungen nicht der Fall. 3 e) Da die Parabel achsensymmetrisch zur y-achse ist, gilt für die allgemeine Funktionsgleichung: f ( x) = a x + c c gibt den Abstand des Scheitels von der x-achse an. Es gilt also hier c= 4,05. Wegen der Achsensymmtrie gilt für die Nullstellen: x= = 6 und x = = Setzt man eine Nullstelle in die Parabelgleichung ein, ergibt sich: 0 = a 6 + 4,05 4,05 4,05 = a 6 : 6 a = 0,115 Die Gleichung, die den Brückenbogen beschreibt, lautet also: = x f ( x) 0,115 4, 05 94

96 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze Zuordnung, I II III f) y x Graph zur Ersatzlösung: y x In beiden Fällen darf der Graph gemäß dem Sachkontext nicht in den Bereich negativer y-werte reichen

97 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze g) Man nimmt an, dass das Schiff mittig unter der Brücke hindurchfährt. Das Schiff ist 4,96 m breit und,50 m hoch. 4,96 Gesucht ist dann der y-wert des Parabelpunktes an der Stelle x = =,48 : Zuordnung, I II III f (, 48) = 0,115, , 05 = 3,35808 Wegen,5 m < 3,35808 m reicht die Brückenhöhe für die Durchfahrt des Schiffes aus. Alternativlösung: Berechnung der Breite der Brücke in,50 m Höhe:,5 = 0,115 x + 4, 05 4, 05 = 1,55 0,115 x : ( 0,115) x = 14 9 x = ± 14 9 x ± 3,71 Berechnung der Breite: 3,71 = 7, 4 In,50 m Höhe hat die Brücke eine Breite von ca. 7,4 m. Bei einer Breite des Schiffes von knapp 5 m reicht dies für die Durchfahrt. Bei Verwendung der Ersatzgleichung erhält man im ersten Fall einen Wert von 3,699 und bei der Alternativlösung einen Wert von ca. 6,3. Die Argumentation verläuft analog. 3 h) Die Fahrt dauert 7 Stunden. Umrechnung der Geschwindigkeit von Knoten in km h : 1 kn = 1,85 km h 7,6 kn = 1,85 7,6 = 14,06 km h Umrechnung der Reichweite von 10 km in eine Reichdauer in Stunden: 10 km 8,53 h 14,06 km h Wegen 8,53 h > 7 h kann ohne Batterieprobleme auf der Alstersonne zwischen 1 Uhr und 4 Uhr gefeiert werden. km h Alternativ lässt sich berechnen, welche Strecke das Schiff in 7 Stunden zurücklegt. Man erhält 98,4 km, was weniger als der mögliche Wert von 10 km ist. Insgesamt BWE

98 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Leitidee funktionaler Zusammenhang Europapassage Am 5. Oktober 006 wurde in der Hamburger Innenstadt die Europapassage eröffnet. Die Passage erstreckt sich über mehrere Stockwerke. Insgesamt gibt es m² öffentlich genutzte Fläche auf fünf Etagen. Davon werden 14 % von Gaststätten belegt. a) Berechne, wie groß die Fläche ist, die den Gaststätten zur Verfügung steht. (P) Die Passage ist 160 m lang. Die fünf Etagen sind durch Bögen miteinander verbunden. Am Anfang und am Ende der Passage befindet sich je ein Bogen. Dazwischen sind weitere 19 Bögen, die in gleichmäßigen Abständen stehen. Foto Seltzrecht / b) Berechne den Abstand zwischen zwei Bögen. (P) Die Bögen wiegen insgesamt 440 Tonnen. Musa versucht sich dieses Gewicht vorzustellen: Wenn ich von einem Körpergewicht von 63 kg ausgehe, müsste man fast Jungen auf die Waage stellen. c) Bestätige, dass Musa sich nicht verrechnet hat. (P) Das Parkhaus der Europapassage hat 700 Stellplätze. Laut einer Prognose der Betreibergesellschaft soll der Anteil der dauerhaft vermieteten Stellplätze 4 % betragen und pro Stellplatz 65 im Monat kosten. Der verbleibende Rest wird durch die sogenannte Laufkundschaft genutzt, von der man annimmt, dass sie durchschnittlich 4,50 pro Tag und Stellplatz an Parkgebühren bezahlt. d) Berechne die durchschnittlichen monatlichen (30 Tage) Einnahmen für die Stellplätze. (6P) Die Bögen haben ungefähr die Form einer Parabel (siehe Anlage). Eine der folgenden Funktionsgleichungen beschreibt den Verlauf der Parabel. e) Begründe, warum nur die dritte Funktionsgleichung infrage kommt. ( ) ( ) ( ) f x = 1, x² 18,5 f x = 1, x² + 18,5 f x = 1, x² + 18,5 (4P) 1 3 f) Verwende ( ) f3 x = 1, x² + 18,5 und bestimme damit den Abstand der Punkte A und B voneinander (siehe Anlage). (4P) g) Beschreibe, wie sich die Funktionsgleichung ( ) f3 x = 1, x² + 18,5 ändert, wenn man den dazugehörigen Graphen zuerst an der x-achse spiegelt und ihn dann um Einheiten auf der x-achse nach rechts verschiebt. (P) 97

99 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Anlage zur Aufgabe "Europapassage" y A B x Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 007, Zweittermin (überarbeitet) 98

100 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Europapassage Lösungsskizze Zuordnung, I II III a) % m² Die Gaststätten belegen 4 00 m². b) 19 Bögen + Bögen = 1 Bögen Bei 1 Bögen ergeben sich 0 Zwischenräume. Also gilt: 160 : 0= 8 Der Abstand zwischen den Säulen beträgt 8 m. 1 1 c) Es gilt: Also ergibt sich: 1 t = kg 440 t = kg : 63= 6 984, Musa hat Recht: Fast Jungen müssten in dem Fall auf der Waage stehen. 99

101 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung, I II III d) Monatliche Einnahmen bei den vermieteten Stellplätzen: % Anzahl vermieteter Stellplätze = nimmt die Betreibergesellschaft durch die Dauermieter ein. Monatliche Einnahmen durch Laufkundschaft : = 53 Für die Laufkundschaft stehen 53 Stellplätze zur Verfügung. 53 4,50 30= 7180 Durchschnittlich werden monatlich zusätzlich durch die Nutzung der Stellplätze von "Laufkundschaft" eingenommen = Die Gesamteinnahmen für das Parkhaus betragen im Monat durchschnittlich e) Nur die dritte Funktionsgleichung kommt infrage, da der Koeffizient von x² (also 1,) negativ und das konstante Glied (also +18,5) positiv ist. Ein negativer Koeffizient von x² bedeutet, dass die Parabel nach unten geöffnet ist. Das passt zur Abbildung. Ein positiver Wert des konstanten Gliedes bedeutet, dass der Scheitel der Parabel oberhalb der x-achse liegt. Auch das passt zur Abbildung. 4 f) Zur Bestimmung des Abstands der Punkte A und B sind die Nullstellen der Parabel zu berechnen. 1, x² + 18,5= 0 18,5 1, x² = 18,5 : ( 1,) x² = x=± Der Abstand beträgt dann m 7,85 m

102 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze g) Wenn der Graph zur Funktionsgleichung f ( x) = 1, x + 18,5 an der x-achse gespiegelt wird, ändern sich die Vorzeichen des Koeffizienten von x und vom f x = 1, x 18,5 konstanten Glied. Man erhält folgende Gleichung: ( ) Wird der Graph zur Funktionsgleichung ( ) = 1, 18,5 dann auch noch in Zuordnung, I II III f x x Richtung der positiven x-achse um Einheiten verschoben, so steht anstelle von x dementsprechend (x ) in der Gleichung. f x = 1, ( x ) 18,5. Die Parabel hat nun die Gleichung ( ) Insgesamt BWE

103 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Leitidee funktionaler Zusammenhang Brücken A Spannweite B Höhe In der obigen Abbildung siehst du eine Hängebrücke. Ihre Spannweite beträgt 40 m, die Höhe der oberen Befestigungspunkte über der Fahrbahn beträgt 1,5 m. Die Fahrbahn ist an zwei Haupttrageseilen aufgehängt. Wenn auf der Brücke Stau herrscht, befinden sich ca. 40 Fahrzeuge auf der Brücke. a) Berechne, wie viel Tonnen die 40 Fahrzeuge insgesamt wiegen, wenn man annimmt, dass ein Fahrzeug durchschnittlich 950 kg wiegt. (P) Die Hauptseile im mittleren Abschnitt haben annähernd die Form einer Parabel. Diese ist in dem nebenstehenden Koordinatensystem noch einmal dargestellt. A y B b) Gib die Koordinaten der Punkte A und B an. (3P) x Im Folgenden werden vier Vorschläge für eine Funktionsgleichung gemacht, die zu der abgebildeten Parabel gehört. c) Wähle den korrekten Vorschlag aus. 1 ( ) f x x = ( ) f x 40x 1,5 = + ( ) f3 x 0, 0315x = ( ) f4 x = 1,5x+ 40 (P) In der Abbildung ganz oben auf dieser Seite kann man erkennen, dass die Fahrbahn in regelmäßigen Abständen mit senkrechten Stahltrageseilen am Hauptseil befestigt ist. Im mittleren Bereich der Brücke befinden sich auf jeder Fahrbahnseite 6 Trageseile. d) Bestimme rechnerisch die Gesamtlänge der Stahltrageseile, die für den mittleren Brückenabschnitt für beide Fahrbahnseiten benötigt werden. (5P) 10

104 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben In der unten stehenden Abbildung ist eine Eisenbahnbrücke dargestellt, die über eine Straße führt. Der Bogen der Brücke bildet eine Parabel mit der Gleichung f ( x) = 0,16x. y x Umzügenah und fern Höhe HH-AB m e) Begründe mithilfe einer Rechnung, dass die maximale Höhe der Durchfahrt 4 m beträgt. Bestimme rechnerisch, wie breit ein 3,19 m hoher LKW sein darf, damit er gerade noch unter der Brücke hindurch fahren kann. Dabei darf er entsprechend den Verkehrsregeln nur auf der rechten Fahrbahnseite fahren. (8P) f) Beurteile die folgende Aussage: Eine Verkleinerung des Faktors vor x² in der Funktionsgleichung f ( x) = 0,16 x² führt zu einer Verkleinerung der möglichen Fahrzeugbreite. (P) Quellen: Beispielaufgaben für die schriftliche Überprüfung an Gymnasien. Klasse 10. Mathematik (überarbeitet) Abschlussprüfung zum Realschulabschluss und diesem gleichwertige Abschlüsse. Mathematik. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben (überarbeitet) 103

105 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Brücken Lösungsskizze Zuordnung, I II III a) Gesamtgewicht der Fahrzeuge: = Fahrzeuge wiegen ungefähr kg kg = 38 t Die 40 Fahrzeuge auf der Brücke wiegen 38 t. b) A ( 0 1,5) und B (0 1,5) y Die Erstellung einer Zeichnung wird nicht erwartet. 1,5 m A 40 m B 1,5 m x 3 c) Die dritte Gleichung ist korrekt. 104

106 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze d) Aus Symmetriegründen müssen lediglich 3 Einzellängen berechnet werden, da jede Seillänge viermal auftritt. Durch die regelmäßigen Abstände können die 40 m Spannweite auf 8 Abstände aufgeteilt werden: 40 : 8 = 5 m pro Abstand Nun können die einzelnen Höhen der Seile mithilfe der Gleichung: f ( x) 0,0315x 3 = berechnet werden. Für 5 m Abstand: f (5) = 0, = 0,7815 Zuordnung, I II III Für 10 m Abstand: f (10) = 0, = 3,15 Für 15 m Abstand: f (15) = 0, = 7,0315 Berechnung der Gesamtlänge: 4 (0, ,15+ 7, 0315) = 4 10,9375= 43, 75. Bei korrekter Auswahl der Funktionsgleichung in Aufgabenteil c) ergeben sich für die Geamtlänge der Stahltrageseile 43,75 m. Falls in Aufgabenteil c) die falsche Auswahl f 1 getroffen und damit folgerichtig weitergerechnet wurde, ist dies zwar einerseits als korrekt zu beurteilen, wegen des dann geringeren Rechenaufwands in Aufgabenteil d) aber mit zwei Punkten Abzug zu werten. Im Falle der falschen Auswahlen f oder f 4 in Aufgabenteil c) und folgerichtigem Weiterarbeiten in Aufgabenteil d) ist wegen des dann vergleichbaren Rechenaufwands in diesem Aufgabenteil die volle Punktzahl zu geben. 5 e) Der Scheitel der Parabel befindet sich im Ursprung des Koordinatensystems. Nach den Angaben aus der Abbildung ergibt sich, dass eine Straßenseite 5 m breit ist (wegen10 : = 5 ). Die maximale Durchfahrtshöhe berechnet sich mithilfe des folgenden Ansatzes: f (5) = 0,16 5 = 4 Die Fahrbahn befindet sich also 4 m unter der x-achse. Mit anderen Worten: Die maximale Höhe des Tunnels beträgt 4 m. Eine Fahrzeughöhe von 3,19 m bedeutet, dass bis zur maximalen Tunnelhöhe noch 0,81 m fehlen (wegen 3,19 4= 0,81). Es ist also folgende Gleichung zu lösen: = 0,81 0,16 x :( 0,16) 5,065 = x x=±,5 Die negative Lösung ist irrelevant, da das Fahrzeug auf der rechten Fahrbahnhälfte fahren muss. Das Fahrzeug darf also maximal,5 m breit sein. Argumentiert ein Prüfling, dass das Fahrzeug einige Zentimeter schmaler sein sollte, um Kontakte mit dem Tunnel zu vermeiden, ist dies ebenfalls als korrekt zu werten und lobend hervorzuheben

107 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung, I II III f) Verkleinert man den Faktor vor x² (z. B. auf ), führt dies zu einer Verengung der Parabel. Die zulässige Fahrzeugbreite nimmt damit ab. Die Aussage ist also richtig. Andere mathematisch korrekte auch rechnerisch gestützte Lösungswege sind ebenfalls zu akzeptieren. Insgesamt BWE

108 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Leitidee funktionaler Zusammenhang Schimmelpilzkultur In einem Pharmaziekonzern wird ein Mittel entwickelt, das das Wachstum einer Schimmelpilzkultur eindämmen soll. Der bisherige Stand der Entwicklung führte zu einem Wirkstoff, der die Schimmelpilzkultur täglich auf 4 5 des Bestandes vom Vortag vermindert. In einer großen Petrischale bedeckt zu Beginn der Beobachtung eine Schimmelpilzkultur eine Fläche von mm². a) Gib die Größe der Fläche in Quadratzentimeter an. (P) b) Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle in der Anlage. Zeichne den dazugehörigen Graphen in das Koordinatensystem in der Anlage. Gib an, nach welcher Zeit die von den Pilzen ursprünglich bedeckte Fläche auf ein Drittel abgenommen hat. (7P) Die Größe der bedeckten Fläche kann auch mithilfe der Funktionsgleichung f ( x ) = ,8 x berechnet werden. Dabei gibt x die Zeit in Tagen seit Beginn der Beobachtung an und f ( x) die Größe der bedeckten Fläche in Quadratmillimetern. c) Ermittle rechnerisch zum Beispiel durch Ausprobieren auf zwei Nachkommastellen genau, wann die bedeckte Fläche nur noch halb so groß ist wie zu Beginn der Beobachtung. (6P) Nach 10 Tagen wird der behandelten Pilzkultur ein Gegenmittel zugeführt, das das Absterben der Pilzkultur stoppt und zum täglichen Wachstum der Kultur um 4 % führt. Dieses Wachstum wird durch die Funktion w mit der Funktionsgleichung w( x ) = 435,3 1,04 x beschrieben. Dabei steht x wieder für die Zeit in Tagen seit Beginn der Beobachtung und w( x) für die Größe der bedeckten Fläche in Quadratmillimetern. d) Zeige, dass bei x= 10 der Graph von w an den Graphen von f fast lückenlos anschließt. (3P) e) Wähle aus, nach wie viel Tagen seit Beginn der Beobachtung der ursprüngliche Flächeninhalt von mm² zum ersten Mal überschritten wird. (1) 10 Tage () 39 Tage () 43 Tage (3) 67 Tage (4) 75 Tag (5) 86 Tage (P) Stelle dir im Koordinatensystem eine senkrechte Gerade an der Verbindungsstelle x= 10 der beiden Graphen von f und w vor. f) Begründe, warum die beiden Graphen nicht achsensymmetrisch zu dieser Geraden sind. (P) 107

109 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Anlage zur Aufgabe "Schimmelpilzkultur" Zeit x in Tagen Bedeckte Fläche y in mm² (gerundet auf ganze mm²) y x Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 011, Dritttermin (überarbeitet) 108

110 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Schimmelpilzkultur Lösungsskizze Zuordnung I II III a) Die Fläche ist 60 cm² groß. b) x= 1: x= : x= 4 : = = , = Zeit x in Tagen Bedeckte Fläche y in mm² (gerundet auf ganze mm²) y x Nach knapp 5 Tagen ist nur noch ein Drittel der ursprünglichen Fläche bedeckt

111 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung I II III c) Es gilt: ( ) ,8 x f x =. Die Hälfte des Anfangsflächeninhalts von mm² wird eingesetzt: x 3 000= ,8 : x 0,8 = 0,5 Durch Probieren erhält man: 3,1 0,8 = 0, ,11 0,8 = 0, Der gesuchte Zeitraum liegt zwischen 3,10 und 3,11 Tagen. 3,105 0,8 = 0, ,106 0,8 = 0, ,107 0,8 = 0, Der gesuchte Wert liegt also zwischen 3,106 und 3,107. Nach ca. 3,11 Tagen ist nur noch die Hälfte der Fläche bedeckt. Alternative: f f f f f ( ) ( ) ( ) ( ) 3 (3) = ,8 = 307 3,1 3,1= ,8 = 3004, = = 3,105 3, ,8 3000, = = 3,106 3, ,8 3000, = = 3,107 3, ,8 999, Der gesuchte Wert liegt also zwischen 3,106 und 3,107. Nach ca. 3,11 Tagen ist nur noch die Hälfte der Fläche bedeckt. Der Prozess der Annäherung an die Lösung muss vom Prüfling dokumentiert werden. Dabei müssen zur Erreichung der Genauigkeit von zwei Nachkommastellen die Intervallgrenzen auf drei Nachkommastellen ermittelt werden (sonst wäre es unklar, wie man runden muss). Hier ist sehr streng zu bewerten. Die Benutzung von Logarithmen wird nicht erwartet, ist aber zulässig. 5 1 d) Es gilt: 10 f (10) = ,8 = 644, , 5 10 w (10) = 435, 3 1,04 = 644, , 5 Mit einer Genauigkeit von zwei Nachkommastellen schließen die beiden Graphen ohne Lücke aneinander an

112 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze Zuordnung I II III e) Nach 67 Tagen wird wieder die ursprüngliche Fläche bedeckt. Gemäß dem Operator "Auswählen" wird keine Begründung wie die folgende erwartet: 435,3 1, > aber 435,3 1, < f) Die beiden Graphen sind nicht achsensymmetrisch, weil der Graph von f schneller fällt (pro Tag um 0 %) als der Graph von w steigt (pro Tag um 4 %). Die beiden Graphen sind nicht achsensymmetrisch, weil es nur 10 Tage dauert, um von mm² auf einen Wert von 644,5 mm² zu fallen, aber von da an 57 Tage, um wieder auf mm² zu gelangen. Die zweite Argumentation ist nur möglich, wenn der Prüfling die Aufgaben d) und e) korrekt beantwortet hat. Eine der beiden Argumentationen oder eine andere mathematisch schlüssige etwa anhand einer genauen Zeichnung wird erwartet. Insgesamt BWE

113 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Leitidee funktionaler Zusammenhang Bürohaus "Berliner Bogen" In Hamburg steht in der Nähe der S-Bahn-Station Berliner Tor ein Bürohaus. Es hat wegen seiner Form und Lage den Namen Berliner Bogen. Das Bürohaus besteht hauptsächlich aus Glas und Stahl. Daten des Bürohauses: Länge:140 m Breite: 7 m Fotos Bernd Sterzl/ a) Berechne die Größe der Gebäudegrundfläche. Gib dein Ergebnis in Quadratmetern und in Hektar an. (3P) Der Inhalt der Gesamtfläche aller Stockwerke des Hauses ist m². Davon werden 75 % vermietet. Die Mietpreise liegen bei durchschnittlich 15 pro Quadratmeter und Monat. b) Berechne die monatlichen Mieteinnahmen für das Gebäude. (P) In dem Bürohaus sind sechs große Grünflächen mit Pflanzen angelegt. Deren Gesamtflächeninhalt beträgt m². c) Berechne, wie viel Prozent des Gesamtflächenhalts des Hauses begrünt sind. (P) Im Keller des Hauses befindet sich ein quaderförmiges Wasserbecken. Es speichert Regenwasser, wenn es in Hamburg viel regnet. Das Becken ist 10 m lang, 39 m breit und kann bis zu 5,5 m hoch mit Wasser gefüllt werden. d) Berechne, wie viele Liter Wasser das Becken aufnehmen kann. (P) Die Vorderseite des Hauses hat die Form einer Parabel. Denk dir ein Koordinatensystem, bei dem die x-achse in Höhe der Straße verläuft und die y-achse durch den Scheitelpunkt der Parabel geht. e) Wähle aus, welche Funktionsgleichung den Verlauf des Parabelbogens ungefähr beschreibt: (P) (1) f ( x) = 0,03x + 40 () f ( x) = 0,03x + 40 (3) f ( x) = 0,03x 40 Bei genauerer Messung ergibt sich, dass das Gebäude eine Höhe von 36 m hat. f) Bestimme die Funktionsgleichung, deren Graph den Gebäudebogen beschreibt. (4P) 11

114 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Die Zwischendecke des dritten Stockwerks befindet sich in einer Höhe von 1,7 m. g) Bestimme die Breite dieser Zwischendecke. (4P) Hinweis: Wenn du in Aufgabenteil f) keine Gleichung ermitteln konntest, verwende für diesen Aufgabenteil eine der Gleichungen aus Aufgabenteil e). Über das Gebäude soll entlang des Bogens ein Seil geworfen werden. h) Beschreibe ein rechnerisches Verfahren, mit dem man anhand der Funktionsgleichung die Länge des Seils näherungsweise bestimmen kann. (3P) Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 006, Haupttermin (überarbeitet) 113

115 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Berliner Bogen Lösungsskizze a) Die Grundfläche des Gebäudes ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 140 m und 7 m. Für den Flächeninhalt gilt also: A = a b A = A = Zuordnung, I II III Das Gebäude hat einen Grundflächeninhalt von m² oder 1,008 ha. 3 b) 75 % von m² werden mit dem Dreisatz berechnet: % m² Berechnung der Mieteinnahmen: = Die monatlichen Mieteinnahmen betragen c) Der Anteil der Grünfläche an der Gesamtfläche wird mit dem Dreisatz berechnet: m² % = 7, Ungefähr 7,7 % des Gesamtflächeninhalts des Hauses sind Grünflächen. d) Das Wasserbecken hat die Form eines Quaders, dementsprechend gilt: V = a b c V = ,5. V = m³ = dm³ = l Das Wasserbecken kann bis zu Liter Wasser aufnehmen

116 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze Zuordnung, I II III e) f ( x) = 0,03x + 40 Eine mögliche Begründung wäre, dass die so beschriebene Parabel nach unten geöffnet ist und der Scheitelpunkt oberhalb der x-achse liegt. Beides passt zur Abbildung. Gemäß dem Operator "Auswählen" ist jedoch keine Begründung erforderlich. f) Wegen der Achsensymmetrie zur y-achse hat die Parabelgleichung die folgende allgemeine Form: f ( x) = a x + c Es gilt unmittelbar: 36 = f (0) = a 0 + c Damit ist c= 36. Aus der Breite der Bürohauses (7 m) ergeben sich die beiden Nullstellen: 7 x=± =± 36 Eingesetzt in die Parabelgleichung: 0 = a a 36 = 36 :36 1 a = 36 Die Parabel hat also die Gleichung 1 f ( x) = x g) Man muss berechnen, wo die Parabel die horizontale Gerade, die von der x-achse den Abstand 1,7 hat, schneidet: 1 x + 36 = 1, x = 3,3 : x = 838,8 x = ± 838,8 Die Breite z der Zwischendecke ergibt sich dann wie folgt: z = 838,8 57,9 Die Zwischendecke ist ca. 57,9 m breit. Entsprechend andere Ergebnisse erhält man, wenn eine der alternativen Gleichungen aus Aufgabenteil e) verwendet wurde

117 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung, I II III h) Foto Bernd Sterzl/ In mehreren Abschnitten wird der Satz des Pythagoras angewendet, sodass man die Bogenlänge als Summe von mehreren Hypotenusenlängen ermitteln kann. Je kleiner man die rechtwinkligen Dreiecke wählt, desto genauer wird das Ergebnis Die Länge der waagerechten Katheten berechnet sich als Differenz der x-werte, die der senkrechten Katheten analog als Differenz der y-werte, die mithilfe der Funktionsgleichung ermittelt werden. Wegen der Symmetrie der Parabel reicht die Berechnung der Länge eines Teilbogens, diese wird dann verdoppelt. Es sind auch andere Antworten möglich, bei der ist großzügig vorzugehen. Wichtig für die Erteilung der vollen Punktzahl ist, dass der Prüfling gemäß der Aufgabenstellung die Funktionsgleichung ins Spiel bringt und somit eine rechnerische Lösung darstellt. Gemäß dem Operator "Beschreiben" ist keine Rechnung erforderlich. 3 Insgesamt BWE

118 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Leitidee funktionaler Zusammenhang Soziale Netzwerke Die Internet-Plattform facebook ist bei Hamburger Jugendlichen beliebt. An einem Tag melden sich die ersten drei Jugendlichen einer bestimmten Stadtteilschule bei facebook an. Im Folgenden wird untersucht, wie sich diese Zahl innerhalb von 14 Tagen verändert. Am Ende des Beobachtungszeitraumes sind immerhin bereits 1 9 Jugendliche der Schule Mitglieder bei facebook. Jedes facebook-mitglied der Schule lädt jeden Tag einen weiteren Schüler oder eine weitere Schülerin ins Netzwerk ein, der oder die die Einladung noch im Laufe des Tages bestätigt. a) Vervollständige die erste Wertetabelle in der Anlage. (3P) Nach sieben Tagen sind bereits sehr viele Jugendliche der Schule facebook-mitglieder. Es kommen jetzt nur noch 0 Personen pro Tag neu hinzu. b) Vervollständige die zweite Wertetabelle in der Anlage. (P) Vom zehnten bis zum Ende des 14. Tages erfolgt der Mitgliederzuwachs immer langsamer, da immer mehr Jugendliche der Schule bereits bei facebook angemeldet sind. In der Anlage sind vier mögliche graphische Darstellungen für die Entwicklung der Mitgliederanzahl innerhalb des gesamten Beobachtungszeitraums gegeben. Dabei markiert jeweils die x-achse die Zeit und die y-achse die Mitgliederanzahl. c) Entscheide dich für denjenigen Funktionsgraphen, der die Entwicklung am besten beschreibt. Begründe für einen der nicht ausgewählten Funktionsgraphen, warum er nicht infrage kommt. (6P) Die Entwicklung der Mitgliederzahl kann in Abhängigkeit von der Zeit x (in Tagen) in den einzelnen Zeitabschnitten durch unterschiedliche Funktionsterme beschrieben werden: x 3 für 0 x< 7 f ( x) =? für 7 x 10, also alle x-werte von 7 bis 10 (Grenzen eingeschlossen) 16x + 460x 01 für 10< x 14 d) Bestätige anhand der dir bekannten Daten durch jeweils eine Beispielrechnung, dass die beiden gegebenen Funktionsterme die Mitgliederzahl tatsächlich beschreiben. (4P) e) Bestimme den fehlenden Funktionsterm für den zweiten Zeitabschnitt. (4P) f) Gib eine sinnvolle Fragestellung an, die mithilfe des Funktionsterms für das Intervall 7 x 10 beantwortet werden kann, und beschreibe kurz, wie du die entsprechende Antwort erhältst. (3P) 117

119 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Anlage zur Aufgabe "Soziale Netzwerke" Zum Aufgabenteil a) Erster Zeitabschnitt: Tag Anzahl der Mitglieder 3 Zum Aufgabenteil b) Zweiter Zeitabschnitt: Tag Anzahl der Mitglieder 384 Zum Aufgabenteil c) A B C D Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 01, Haupttermin (überarbeitet) 118

120 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Soziale Netzwerke Lösungsskizze Zuordnung I II III a) Tag Anzahl der Mitglieder b) Tag Anzahl der Mitglieder c) Graphik D modelliert den vorgestellten Sachverhalt in geeigneter Weise. Zunächst wächst die Mitgliederzahl immer schneller an, wächst dann linear, um schließlich, wenn immer mehr Jugendliche bereits angemeldet sind, immer langsamer zuzunehmen. Diese Sachverhalte werden nur bei Graphik D gezeigt. Gemäß dem Operator "Entscheiden" muss die Antwort begründet werden. Graphik A kommt nicht infrage, weil hier durchgängig das lineare Wachstum des zweiten Beobachtungsabschnitts zugrunde gelegt wird, was aber auf den ersten (exponentiell verlaufenden) Abschnitt und den dritten (abflachend verlaufenden) Abschnitt nicht zutrifft. Ferner sind nach 7 Tagen hier bereits ca. 700 Jugendliche angemeldet, was dem Eintrag in der Wertetabelle in der Anlage zum Aufgabenteil b) widerspricht. Graphik B kommt nicht infrage, weil hier nirgends eine lineare Zunahme erfolgt, wie sie jedoch der mittlere Beobachtungsabschnitt vorgibt. Nach 7 Tagen wären zudem deutlich mehr Jugendliche (mehr als 900) angemeldet, als dem Wertetabelleneintrag in der Anlage zum Aufgabenteil b) entspricht. Graphik C kommt nicht infrage, weil hier ausschließlich mit einer Exponentialfunktion modelliert wird. Darüber hinaus sind hier nach 7 Tagen deutlich weniger Jugendliche (weniger als 100) angemeldet als im Wertetabelleneintrag in der Anlage zum Aufgabenteil b) angegeben. Nur zu einer Graphik ist eine Argumentation erforderlich. Dabei wird entweder die Argumentation über die Wertetabelle oder die Argumentation über den Verlauf des Graphen erwartet. Es sind aber auch andere schlüssige Argumentationen möglich. 4 d) Der Funktionsterm für den ersten Zeitabschnitt stimmt z. B. für x = 0, weil zu 0 Beginn f (0) = 3 = 3 1= 3 Jugendliche bei facebook angemeldet sind. Das Einsetzen anderer x-werte aus dem ersten Intervall ist ebenfalls zulässig. Der Funktionsterm für den dritten Zeitabschnitt stimmt für x = 14, weil am 14. Tag f (14) = = 1 9 Schüler bei facebook angemeldet sind

121 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung I II III e) Im zweiten Zeitabschnitt entwickeln sich die Anmeldezahlen linear, weil jeden Tag die gleiche Anzahl von 0 Personen hinzukommen. Dies entspricht der Steigung des Geradenstücks. Es gilt also die Geradengleichung y= 0x+ n. Der Wert n bestimmt sich wie folgt: 384= 0 7+ n 384= n n= 1156 Der gesuchte Funktionsterm lautet also 0x f) Eine sinnvolle Fragestellung, die mithilfe des hier ermittelten Funktionsterms beantwortet werden kann, lautet z. B.: Wie viele Jugendliche der Stadtteilschule sind nach 8 Tagen bei facebook angemeldet? Die Antwort erhält man durch Einsetzen der Zahl 8 für x. Andere sinnvolle Fragestellungen sind möglich, z. B. die Frage nach der Zeit, wenn die Anzahl der Mitglieder vorgegeben wird. In diesem Fall wäre eine Gleichung zu lösen. Um die volle Punktzahl zu erhalten, ist es erforderlich, dass sich die vorgegebene oder zu berechnende Zeit x im Intervall 7 x 10 befindet. 1 Insgesamt BWE

122 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Leitidee funktionaler Zusammenhang Kerzen Es werden drei unterschiedliche Kerzen betrachtet: Die Kerzen 1 und sind zylinderförmig, Kerze 3 hat die Form eines Kegels mit der Spitze nach oben. Alle drei Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Dabei lässt sich die jeweils verbleibende Kerzenhöhe y (in cm) in Abhängigkeit von der Brenndauer x (in Stunden) als Abbrennfunktion beschreiben. Das Schaubild in der Anlage zeigt, wie Kerze 1 gleichmäßig abbrennt. a) Gib mithilfe dieser Grafik an Kerze 1 Kerze Kerze 3 die Höhe der Kerze 1 vor Beginn des Abbrennvorgangs sowie die Dauer des Abbrennvorgangs bis zum vollständigen Abbrennen der Kerze. (P) Kerze ist zum Zeitpunkt des Anzündens 18 cm hoch. Nach zwei Stunden ist sie 3 cm kürzer. b) Zeichne den Graphen der Abbrennfunktion für die Kerze in das Koordinatensystem in der Anlage. Gib an, zu welchem Zeitpunkt Kerze vollständig abgebrannt ist. Gib mithilfe der graphischen Darstellungen den Zeitpunkt an, zu dem Kerze 1 und Kerze gleich hoch sind. c) Zeige, dass die Gleichung f ( x) = 0,8 x+ 16 die Funktionsgleichung der Abbrennfunktion von Kerze 1 darstellt. Berechne mithilfe dieser Funktionsgleichung, wie lange es dauert, bis Kerze 1 nur noch 10 cm hoch ist. (5P) (6P) d) Begründe, warum die Abbrennfunktion zu Kerze 3 nicht linear ist. (3P) Kerze 1 und Kerze 3 haben zu zwei Zeitpunkten die gleiche Höhe, und zwar nach etwa 1 Minuten und nach etwa 17,5 Stunden. Kerze 3 hat eine Anfangshöhe von 0 cm, ihre Brenndauer beträgt 4 Stunden. e) Skizziere unter Verwendung der bekannten Daten den Graphen der Abbrennfunktion von Kerze 3 in der Anlage. f) Beschreibe, wie sich die Brenndauer von Kerze 1 ändert, wenn in der Funktionsgleichung statt 16 eine größere Zahl stehen würde, statt 0,8 eine kleinere Zahl stehen würde. Begründe jeweils deine Antwort. (3P) (3P) 11

123 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Anlage zur Aufgabe Kerzen Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 010, Haupttermin (überarbeitet) 1

124 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Kerzen Lösungsskizze Zuordnung I II III a) Beim Anzünden hat die Kerze eine Höhe von 16 cm. Nach 0 Stunden ist die Kerze vollständig abgebrannt. b) Aus dem Text ergeben sich die Punkte (0 18) und ( 15), mit deren Hilfe man die Gerade zu Kerze zeichnen kann. 1 Resthöhe der Kerzen in cm Kerze Kerze Abbrenndauer in Stunden Die Kerze ist nach 1 Stunden vollständig abgebrannt. Die korrekte Angabe der Dauer bis zum vollständigen Abbrennen ist auch ohne gezeichneten Graphen zu akzeptieren. Die Kerzen sind nach etwas weniger als 3 Stunden gleich lang. Die Schnittstelle befindet sich bei 0,86 t. Diese Genauigkeit wird hier nicht erwartet, jedoch eine Angabe knapp unter 3 Stunden. 5 13

125 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze Zuordnung I II III c) Bekannt sind die beiden Geradenpunkte ( 0 16 ) und ( ) 0 0 aus der Darstellung in der Anlage. Ausgehend von der allgemeinen Form der Gleichung einer linearen Funktion f ( x) = a x+ b erhält man durch Einsetzen der Punkte: ( ) 0 16 : 16= a 0+ b und damit b = 16. ( ) 0 0 : 0= a 0+ b und weiter 0= a woraus folgt: a= 0,8 Die Gleichung der Abbrennfunktion von Kerze 1 lautet: f ( x) = 0,8 x+ 16 Alternative: Allgemeine Form der linearen Funktion: f ( x) = a x+ b, wobei a die Steigung und b den y-achsenabschnitt angibt. Steigungsdreieck: a = = = 0, y-achsenabschnitt: b = 16 Die Gleichung der Abbrennfunktion von Kerze 1 lautet: f ( x) = 0,8 x+ 16 Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem Kerze 1 noch 10 cm hoch ist: 10= 0,8x ,8x= 6 : ( 0,8) x= 7,5 1 Kerze 1 ist somit nach 7 Stunden nur noch 10 cm lang. 3 3 d) Im Gegensatz zu den Kerzen 1 und hat die Kerze 3 einen von oben nach unten zunehmenden Querschnitt, sodass die Kerze pro Zeiteinheit nicht immer um denselben Betrag kürzer wird. Der Bezug zur Linearität (pro Zeiteinheit dieselbe Änderung) muss in der Antwort deutlich werden. 3 14

126 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze Zuordnung I II III e) Resthöhe der Kerzen in cm Kerze Kerze 3 Kerze 1 1 Abbrenndauer in Stunden Um die volle Punktzahl zu erhalten, muss der Graph die folgenden Eigenschaften haben: Die Kurve muss (an jeder Stelle) linksgekrümmt sein und darf keinen Knick enthalten. Die Kurve beginnt bei (0 0) und fällt zunächst stärker als der Graph von Kerze 1, flacht aber (von Anfang an) ab. Die Kurve schneidet den Graphen von Kerze 1 bei (etwa) x = 0, und bei x = 17,5. Die Kurve endet bei (4 0) auf der x-achse. 3 f) Die Brenndauer erhöht sich, weil die Gerade parallel nach oben verschoben wird und damit die Nullstelle nach rechts rückt. Die Brenndauer verringert sich, weil die Gerade steiler fällt und damit die Nullstelle nach links rückt. Auch Begründungen, die sich aus dem Sachtext ergeben, sind zu akzeptieren, z. B. im ersten Fall " weil die Kerze zu Beginn größer ist." oder im zweiten Fall " weil die Kerze dann schneller abbrennt.". Wichtig ist, dass beim zweiten Spiegelpunkt erkannt wird, dass "kleiner als 0,8" auf der Zahlengeraden ein Wert "links von 0,8" bedeutet. 3 Insgesamt BWE

127 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mittlerer Schulabschluss Mathematik Leitidee funktionaler Zusammenhang Autofähre auf dem Bodensee Auf dem Bodensee werden die Städte Meersburg und Konstanz durch eine Autofähre miteinander verbunden. Die Länge der Fahrstrecke beträgt 5 km. a) Berechne, wie lang die Strecke in Seemeilen ist (1 sm = 1,85 km). (P) Die reine Fahrzeit der Fähre wird mit 18 Minuten angegeben. b) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit (in km h ) für eine Überfahrt. (P) Eine der Fähren, die auf dieser Strecke verkehren, wird "schwimmende Brücke" genannt. Die folgende Grafik zeigt eine Skizze dieser Fähre. Abbildung mit freundlicher Genehmigung der Stadtwerke Konstanz Die Fähre ist 8,37 m lang und 13,40 m breit. Ihr höchster Punkt A liegt 8, m über dem Parkdeck (siehe Anlage). Die Fußpunkte B und C des äußeren Bogens sind 46,50 m voneinander entfernt (siehe Anlage). Denke dir wie in der Anlage dargestellt ein Koordinatensystem, bei dem die x-achse auf dem Parkdeck der Fähre liegt. Die y-achse verläuft durch den Scheitelpunkt des äußeren Bogens und bildet zu ihm eine Symmetrieachse. c) Gib die Koordinaten der Punkte A, B und C an. (3P) Der äußere Bogen lässt sich durch eine Funktionsgleichung der Form f ( x) ax c = + beschreiben. d) Gib von den folgenden Funktionsgleichungen diejenige an, die den Verlauf des äußeren Parabelbogens am ehesten beschreibt. Begründe für die beiden anderen, warum sie nicht geeignet sind. (4P) (I) f x ( ) 0,0x 8, = + (II) f x ( ) 0,0x 8, = (III) f x ( ) = 0,0x + 8, e) Bestimme mithilfe der im obigen Text genannten Längenangaben die genaue Funktionsgleichung für den äußeren Parabelbogen. (5P) Die Form des inneren Parabelbogens (siehe Anlage) lässt sich durch die Funktionsgleichung g( x) = 0,01x + 7,7 beschreiben. Die Zwischendecke befindet sich in einer Höhe von 4,8 m über dem Parkdeck. f) Bestimme mithilfe der Funktion g die Länge der Zwischendecke. (4P) Alle Fenster unterhalb des inneren Parabelbogens sollen geputzt werden. g) Beschreibe, wie man mithilfe der Funktionsgleichung zu g eine Abschätzung der zu putzenden Fläche ermitteln kann. (P) 16

128 Mittlerer Schulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Anlage zur Aufgabe "Autofähre auf dem Bodensee" Abbildung mit freundlicher Genehmigung der Stadtwerke Konstanz C y Länge der Zwischendecke A B x Quelle: Realschulabschlussprüfung Hamburg 013, Zweittermin (überarbeitet) 17