Teubner Studienbücher Mathematik. Schwarz Methode der finiten Elemente

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1 Teubner Studienbücher Mathematik Schwarz Methode der finiten Elemente

2 Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik LAMM Herausgegeben von Prof. Dr. G. Hotz, Saarbrücken Prof. Dr. P. Kali, Zürich Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. K. Magnus, München Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt Band 47 Die Lehrbücher dieser Reihe sind einerseits allen mathematischen Theorien und Methoden von grundsätzlicher Bedeutung für die Anwendung der Mathematik gewidmet; andererseits werden auch die Anwendungsgebiete selbst behandelt. Die Bände der Reihe sollen dem Ingenieur und Naturwissenschaftler die Kenntnis der mathematischen Methoden, dem Mathematiker die Kenntnisse der Anwendungsgebiete seiner Wissenschaft zugänglich machen. Die Werke sind für die angehenden Industrieund Wirtschaftsmathematiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler bestimmt, darüber hinaus aber sollen sie den im praktischen Beruf Tätigen zur Fortbildung im Zuge der fortschreitenden Wissenschaft dienen.

3 Methode der finiten Elemente Eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Rechenpraxis Von Dr. sc. math. Hans Rudolf Schwarz ord. Professor an der Universität Zürich 3., neubearbeitete Auflage Mit 170 Figuren, 59 Tabellen und zahlreichen Beispielen 83 Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1991

4 Prof. Dr. sc. math. Hans Rudolf Schwarz Geboren 1930 in Zürich. Von 1949 bis 1953 Studium der Mathematik und Diplom an der ETH Zürich. Von 1953 bis 1957 Mathematiker bei den F1ugund Fahrzeugwerken Altenrhein (Schweiz) Promotion, ab 1957 wiss. Mitarbeiter an der ETH Zürich Visiting Associate Professor an der Brown University in Providence, Rhode Island, USA Habilitation an der ETH Zürich, von 1964 bis 1972 Lehrbeauftragter an der ETH Zürich Assistenzprofessor, 1974 a.o. Professor, seit 1983 ord. Professor für angewandte Mathematik an der Universität Zürich. CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Schwarz, Hans Rudolf: Methode der finiten Elemente: eine Einführung unter besonderer Berücksichtigung der Rechenpraxis von Hans Rudolf Schwarz - 3., neubearb. Auf!. (Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik; Bd. 47) (Teubner Studienbücher: Mathematik) Erg. bildet: Schwarz, Hans Rudolf: FORTRAN-Programme zur Methode der finiten Elemente ISBN ISBN (ebook) DOI / NE: 1. GT Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Springer Fachmedien Wiesbaden 1991 Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner Stuttgart 1991 Satz: Elsner & Behrens GmbH, Oftersheim Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen

5 Vorwort Das vorliegende Buch entstand seinerzeit auf die Anregung meines verehrten Lehrers, Herrn Prof. Dr. E. Stiefel. Es richtet sich an Mathematiker, Physiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler, die an einer einfachen, auf die praktische und effiziente Durchführung ausgerichteten einführenden Darstellung der Methode der finiten Elemente interessiert sind. Im elementar gehaltenen, einführenden Lehrbuch werden die Grundprinzipien der Methode der finiten Elemente für ein- und zweidimensionale Probleme eingehend dargelegt. Die Verallgemeinerung der Ideen und Vorgehensweisen zur Lösung von dreidimensionalen Aufgaben liegt auf der Hand. Die Behandlung von ein- und zweidimensionalen Problemstellungen bietet den Vorteil anschaulich und durchsichtig zu sein. Es wurde versucht, aus dem weiten Anwendungsbereich der Methode der finiten Elemente typische und repräsentative Problemkreise auszuwählen und die zugehörigen Grundlagen darzustellen. So werden zuerst die für die Physik und verschiedene Zweige der Ingenieur- und Naturwissenschaften wichtigen stationären und instationären Feldprobleme behandelt. Darunter fallen elliptische Randwertaufgaben, instationäre Diffusions- und Wärmeleitungsprobleme sowie Schwingungsaufgaben. Aus dem weiten Gebiet der Elastomechanik werden nur Stäbe, Balken, Scheiben und Platten betrachtet, an denen das grundsätzliche Vorgehen im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie aufgezeigt wird. Das Buch gliedert sich in sechs Kapitel. Am Anfang werden einige typische und anwendungsorientierte Problemstellungen vorgestellt, und anschließend werden die zu ihrer Lösung notwendigen mathematischen und elastomechanischen Grundlagen bereitgestellt. Soweit als möglich werden Extremalprinzipien verwendet, andernfalls wird die Methode von Galerkin benützt. Im zweiten Kapitel wird für die zentrale Stufe der Elemente gezeigt, wie für die betrachteten Problemkreise die betreffenden Beiträge effizient und numerisch stabil bereitgestellt werden können. Das dritte Kapitel befaßt sich mit der Aufgabe, die Matrizen und Konstantenvektoren des Gesamtproblems aufzubauen, wozu konkrete Hinweise für die Implementierung als Computerprogramm gegeben werden. Gleichzeitig wird auf die resultierenden Besetzungsstrukturen eingegangen und die für die nachfolgende Behandlung wichtige Frage nach einer optimalen Numerierung der Unbekannten behandelt. Ebenso wird die Elimination von Unbekannten zwecks Reduktion der Ordnung der algebraischen Probleme betrachtet. In den beiden folgenden Kapiteln sind praktische Methoden zur numerischen Behandlung der großen, schwach besetzten linearen Gleichungssysteme und Eigenwertaufgaben so dargestellt, daß die algorithmische Beschreibung eine Realisierung als Computerprogramm leicht ermöglicht oder zumindest einen

6 6 Vorwort Einblick in bestehende Software bietet. In der vorliegenden Auflage wurde den Entwicklungen der letzten Jahre im Zusammenhang mit Vektorrechnern Rechnung getragen und verschiedene Algorithmen zur Lösung von linearen Gleichungssystemen zusammen mit den zugehörigen angepaßten Datenstrukturen den neuen Rechnerarchitekturen angepaßt. Ebenso hat der Abschnitt über iterative Methoden und insbesondere die Vorkonditionierungen eine diesbezügliche Erweiterung erfahren. Neben den beiden klassischen Verfahren der Vektoriteration und der Bisektion wurde neu der Lanczos-Algorithmus aufgenommen und eine sehr effiziente Variante beschrieben. Die Methode der Koordinatenüberrelaxation wurde ersetzt durch das in verschiedener Hinsicht bessere Verfahren der Rayleigh-Quotient-Minimierung mit Vorkonditionierung. Das letzte Kapitel bringt einige praxisbezogene Anwendungen mit numerischen und grafischen Ergebnissen. Es wurde versucht, möglichst anwendungsorientierte Beispiele zu wählen, die aber durchsichtig genug sein sollten, daß sie mit den bereitgestellten Hilfsmitteln nachvollzogen werden können. Die Programmsammlung [Scw91] kann dazu sehr nützlich sein. Die aufgeführten Beispiele mögen anregend genug sein, interessierte Leser zur Lösung analoger Probleme seines Gebietes zu stimulieren! Die Literatur über die Methode der finiten Elemente ist immens und wächst jeden Monat um unzählige Beiträge über neue Anwendungen, Verfeinerungen, Rechentechniken und Theorien. Im vorliegenden Buch ist nur ein verschwindend klei ler Teil zitiert. Für Literaturübersichten der Anfänge der Methode der finiten Elemente bis etwa 1975 sei auf [No V76, Whi75] verwiesen. Ferner erscheinen laufend Tagungsbände wie etwa [Azi72, BOW77, BSS73, GaM77, Rao82, Whi73, Whi77, Whi79, Whi82, Whi85, Whi88]. Für das weitere Studium der Materie sei auch auf folgende Bücher verwiesen, welche verschiedene Zielsetzungen haben und Schwerpunkte setzen [ArM86-88, Aki82, Bat90, BC081-86, Cia78, CiL90, Coo74, Cri86, DeA72, Ga176, Gaw85, Hah75, Hi077, Hi079, HoB72, Hug87, KäF88, Lin84, Mar86, MaC73, MiW77, NoV73, NoV78, OdC83, OdR76, Pre75, Red84, Seg76, StF73, WeJ84, Zie84]. Als weitere Quellen seien noch die Zeitschriften Computers and Structures, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering und International Journal for Numerical Methods in Engineering genannt. Ich danke Frau U. Henauer für ihre große Mithilfe bei der Reinschrift des Manuskriptes. Dem Verlag B. G. Teubner danke ich für die Aufnahme des Buches in seiner Reihe und für die stets freundliche Zusammenarbeit. Zürich, im Frühjahr 1990 H. R. Schwarz

7 Inhalt 1 Mathematische Grundlagen Typische Problemstellungen Stationäre Feldprobleme Zeitabhängige, instationäre Feldprobleme Probleme der Elastomechanik Extremalprinzipien Stationäre Feldprobleme Statische elastomechanische Probleme Dynamische elastomechanische Probleme Der klassische Ritz-Ansatz Die Methode von Galerkin Generelle Beschreibung der Methode der finiten Elemente Elemente und Elementmatrizen..., Eindimensionale Elemente Linearer Ansatz Quadratischer Ansatz..., Kubischer Ansatz Ergänzungen und Anwendungen Zweidimensionale Elemente Vorbereitung.... Linearer Ansatz im Dreieck.... Quadratischer Ansatz im Dreieck.... Bilinearer Ansatz im Parallelogramm.... Quadratischer Ansatz der Serendipity-Klasse im Parallelogramm.... Quadratischer Ansatz der Langrange-Klasse im Parallelogramm Übersicht über weitere Elementtypen Kubische Ansätze mit partiellen Ableitungen als Knotenvariablen.... Formfunktionen für zweidimensionale Elemente Natürliche Koordinaten im Dreieck Zusammenstellung von Formfunktionen Direkte Berechnung von Elementmatrizen Direkte Bestimmung von Formfunktionen.... Krummlinige Elemente Krummlinige Dreieckelemente Krummlinige Viereckelemente

8 8 Inhalt Berechnung der Elementmatrizen Randintegrale für krumme Randstücke Einige spezielle Elemente Ebene e1astomechanische Elemente Geradlinige Scheibenelemente Krummlinige Scheibenelemente Berechnung der Spannungen in Scheibene1ementen Ebener Verzerrungszustand Plattenelemente... : Konforme Elemente Nichtkonforme Elemente Zur Berechnung der Elementbeiträge Ausblick auf dreidimensionale Elemente Tetraederelemente..., Parallelepipede1emente Prismenelemente Isoparametrische Elemente Das Gesamtproblem Aufbau der algebraischen Gleichungen Allgemeine Vorbereitungen Kompilation der Gesamtmatrizen Die Berücksichtigung der Randbedingungen Grundsätzlicher Aufbau eines Computerprogramms Zur Struktur der Matrizen Optimale Numerierung der Knotenvariablen Der Algorithmus von Cuthill-McKee Varianten des Algorithmus von Cuthill-McKee Elimination von inneren Freiheitsgraden, Kondensation Statische Kondensation Konstruktion von zusammengesetzten Elementen Kondensation bei Eigenwertaufgaben Behandlung der linearen Gleichungssysteme Klassische Eliminationsmethoden Rechentechniken für Bandmatrizen Hüllenorientierte Rechentechniken Band- und Frontlösungsmethode Blockeliminationsmethoden

9 Inhalt Iterative Methoden Die Methode der konjugierten Gradienten Gesamtschrittverfahren und Methode der Überrelaxation Vorkonditionierung Datenstrukturen und Rechentechniken Behandlung der Eigenwertaufgaben Die Eigenwertaufgabe mit vollbesetzten Matrizen Reduktion auf ein spezielles symmetrisches Eigenwertproblem Das zyklische Jacobi-Verfahren Die Methode von Householder Die Eigenwertberechnung für tridiagonale Matrizen Berechnung der Eigenvektoren von tridiagonalen Matrizen Vergleich des Rechenaufwandes Vektoriteration Die einfache Vektoriteration Die simultane Vektoriteration Praktische Durchführung der Vektoriteration Indefinite Matrix A Bisektionsmethode Die Reduktion einer quadratischen Form Lokalisierung der Eigenwerte Der Reduktionsalgorithmus für Bandmatrizen Der Reduktionsalgorithmus für Matrizen mit Hüllenstruktur Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren Das Verfahren von Lanczos Grundlagen des Verfahrens Eigenschaften des Lanczos-Algorithmus Praktische Variante des Lanczos-Verfahrens Rayleigh-Quotient-Minimierung Der Grundalgorithmus Vorkonditionierung des Minimierungsalgorithmus Neuformulierung des Algorithmus Höhere Eigenwerte und Vorkonditionierung Simultane Rayleigh-Quotient-Minimierung Anwendungen mit Resultaten Stationäre Probleme Stationäre Temperaturverteilung

10 10 Inhalt Räumliche Fachwerke Einfache Rundkuppel Radarkuppel Räumliche Rahmenkonstruktionen Radarkuppel aus Balkenelementen Belasteter Hochspannungsmast Scheibenprobleme Testscheibe Gabelschlüssel Platten beispiele Testplatte Brückenplatte Schwingungsaufgaben Akustische Eigenfrequenzen eines Autoinnenraumes Maschinentisch mit Maschinengruppe Schwingende Stimmgabel Eigenschwingungen einer Dreieckplatte Eigenschwingungen eines Hochspannungsmastes Instationäre Temperaturverteilung Literatur Sachverzeichnis