Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung

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1 4 \ 11 Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung Von Prof. Dr. rer. nat. Josef Hoschek Technische Hochschule Darmstadt und Dr. rer. nat. Dieter Lasser Universität Kaiserslautern 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage Mit zahlreichen Figuren B. G. Teubner Stuttgart 1992

2 Vorwort Vorwort zur 2. Auflage Transformation räumlicher Objekte, Projektionen 1.1 Einleitung 1.2 Koordinatentransformationen Koordinatentransformationen in der Ebene Koordinatentransformationen im IR Projektionen Parallelprojektion Vorgabe der Verzerrungen Vorgabe der Projektionsrichtung Zentral Projektion 1.4 Stereobilder, Anaglyphen 1.5 Visibilitätsverfahren 1.6 Schattierungen, Reflexionen Grundlagen aus Geometrie und Numerik 2.1 Parameterdarstellungen von Kurven und Flächen Parameterdarstellung von Kurven Parameterdarstellung von Flächen Flächenkrümmungen und Flächenkurven Spezielle Flächen 2.2 Interpolation von Kurven und Flächen Interpolation von Kurven mit Monomen Interpolation von Kurven mit Lagrange-Polynomen Interpolation von Kurven mit Newton-Polynomen Andere Lösungen des Interpolationsproblems für Kurven Hermite-Interpolation Rationale Interpolation Interpolation von Flächen Fehlerabschätzung für die Approximation von Kurven über Interpolation Beurteilung der verschiedenen Interpolationsmethoden 2.3 Approximation von Kurven und Flächen Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauss für Kurven (Ausgleichsverfahren) Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauss für Funktionen des IR 3 III VI VII

3 VIII Inhalts Verzeichnis Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauss für 70 parametrisierte Flächen 3. Allgemeine Splinekurven Idee der Splinefunktion Kegelschnitte als Subsptines Kubische Splinekurven Splinekurven 5. Grades Hermite-Splines Splines in Tension Exponentialsplines Polynomiale Splines in Tension Nicht lineare Splines Formerhaltende Splines Bezier- und B-Spline-Kurven Bezier-Kurven Geometrische Eigenschaften der Bezier-Kurven Bezier-Splinekurven Kubische Bezier-Splines Rationale Bezier-Kurven Anwendung der Bernstein-Bezier Technik auf finite Etemente B-Spline-Kurven B-Spline-Funktionen Integrale B-Spline-Kurven Offene B-Spline-Kurven Geschlossene B-Spline-Kurven De Boor-Algorithmus Einfügen weiterer De Boor-Punkte Eigenschaften der B-Spline-Kurven Rationale B-Spline-Kurven Interpolation und Approximation mit Splinekurven Parametrisierung von Kurven Interpolation mit B-Spline-Kurven Approximation mit B-Spline-Kurven Schlußbemerkungen 205 Geometrische Splinekurven FC r -stetige Splinekurven GC r -stetige Splinekurven Geometrische Splinekurven mit Minimierungseigenschaft Tangentenstetige Splinekurven Krümmungsstetige Splinekurven Bezier-Darstellung krümmungsstetiger Splinekurven B-Spline-Bezier-Darstellung krümmungsstetiger 218 Splinekurven

4 Inhalts Verzeichnis IX Manning's Splinekurven v-splines ß-Splines Wilson-Fowler Splines Torsionsstetige Splinekurven Bezier-Darstellung torsionsstetiger Splinekurven B-Spline-Bezier-Darstellung torsionsstetiger Splinekurven GC 3 -stetige Splinekurven i-splines Rationale Geometrische Splinekurven Rationale FC r -stetige Splinekurven Rationale GC r -stetige Splinekurven 238 Splinef lachen Einleitung Tensorprodukt-Flächen Bikubische Monomsplines Tensorprodukt-Bezier-F lachen Übergangsbedingungen Bezier-Spline-Flächen Tensorprodukt-B-Spline-Fläche Interpolation und Approximation mit integralen 265 B-Spline-Flächen Parametrisierung von Flächenpunkten Interpolation, Approximation mit 271 B-Spline-Flächen 6.3 Dreiecks-Bezier-Flächen Baryzentrische Koordinaten Verallgemeinerte Bernstein-Polynome und 280 Dreiecks-Bezier-Flächen Anschlußbedingungen für Dreiecks-Bezier-Flächen Splines über Dreiecken Allgemeine Parametergebiete Rationale Tensorprodukt-Flächen Approximation mit rationalen B-Spline-Flächen Rationale Dreiecksflächen 314 Geometrische Splineflächen GC r -stetige Flächen GC^stetige Bezier-Flächen GC 2 -stetige Bezier-F lachen Rationale Geometrische Splineflächen Multi patch Flächen N-Eck Konfiguration N-segmentige Eckenkonfiguration Gregory Patch 345

5 X Multi patch Schemata - Übersicht und Vergleich Ein-patch Interpolationsschemata Blending patch Interpolationsschemata Unterteil ungs-interpolationsschemata 7.7 B-Spline-Darstellungen Gordon-Coons-Flachen 8.1 Gordon-Coons-Flächen über Vierecken C -stetige Pflaster ^-stetige Pflaster Bikubische Pflaster Gordon-Flächen 8.2 Gordon-Coons-Flächen über Dreiecken Scattered Data Interpolation 9.1 Shepard-Methoden 9.2 Radiale Basisfunktionsmethoden Hardy's Multiquadrik Duchon's Thin Plate Splines Franke's Thin Plate Splines in Tension 9.3 FEM-Methoden Triangulierung von Punktmengen Triangulierungsmethoden Optimale Triangulierungen Dreiecks-Interpolanten Parameter-Interpolant C r -stetiger Hermite-Interpolant Clough-Tocher-Interpolant Powell-Sabin-Interpolant Rationale Interpolanten Transfinite Interpolanten Konstruktion von Ableitungsdaten Gewichtete Mittelwertbildung Lokale Interpolation bzw. Approximation Nielson's Minimum Norm Network Alfeld's Funktional-Minimierung Konstruktion von Krümmungsdaten 9.4 Multistage Methoden 9.5 Ein Beispiel 9.6 Affine Invarianz 9.7 Scattered Data Methoden über IR 3 -Flächen Der trivariate Lösungsansatz Hybrid-Methoden Der bivariate Lösungsansatz Shepard-Methoden

6 XI Multiquadrik-Methoden FEM-Methoden Visualisierungstechniken 10. Basistransformationen fur Kurven- und Fiächendarsteilungen 10.1 Exakte Basistransformation Exakte Basistransformationen von Monomen und Bernstein-Polynomen Exakte Basistransformation von Monomen und B-Spline-Segmenten Exakte Basistransformation von B-Spline- und Bezier-Segmenten 10.2 Approximative Basistransformation Approximative Basistransformation für Kurven Approximative Basistransformation für Flächen 10.3 Verschmelzen von Bezier-Flächen 10.4 Basistransformation für Dreieckspatches 11. Multivariate Darstellungen 11.1 Bezier-Darstellungen Tensorprodukt-Bezier-Volumina Tetraeder-Bezier-Volumina Pentaeder-Bezier- Volumina Anschlußkonstruktionen 11.2 B-Spline-Darstellungen 11.3 Transfinite Methoden Transfinite Würfel Segmente Transfinite Tetraedersegmente 11.4 Scattered data Methoden Shepard-Methoden Radiale Basisfunktionsmethoden FEM-Methode d-dimensionale Triangulierungen Interpolanten Konstruktion von Ableitungsdaten Multistage Methoden 11.5 Kurven- und Flächen-Modellierung - FFDs 11.6 Definition und Design algebraischer Kurven und Flächen 11.7 Visualisierung multivariater Darstellungen IR 3 -Solids IR 4 -Hyperflächen 12. Schneiden von Kurven und Flächen 12.1 Algebraische Methoden 12.2 Unterteilungsmethoden 12.3 Einbettungsmethoden S

7 XII 12.4 Diskretisierungsmethoden Die Gittermethode - Contouring Parameterwertdiskretisierung 12.5 Verfolgungsmethoden 12.6 Schlußbemerkung 13. Glätten von Kurven und Flächen 13.1 Vorglätten von Daten 13.2 Erzeugung glatter Kurven und Flächen über Nebenbedingungen 13.3 Gütetest - Erkennen unerwünschter Kurven- und Flächenbereiche 13.4 Glätten - Beseitigung unerwünschter Kurven- und Flächenbereiche Beseitigung unerwünschter Kurvenbereiche Beseitigung unerwünschter Flächenbereiche 13.5 Aufdecken fehlerhafter Übergänge bei Splineflächen В lending- Methoden 14.1 Blends in impliziter Darstellung Globale Blends Volume-bounded Blends Range-controlled Blends Rolling-ball Blends 14.2 Blends in Parameterdarstellung Bestimmung von Trimmlinien Definition der Blendfläche Rolling-ball Blends 14.3 Rekursiv definierte Blends 14.4Numerisch definierte Blends Parallelkurven und Parallelflächen 15.1 Analytische Eigenschaften von ebenen Parallelkurven 15.2 Räumliche Parallel kurven 15.3 Parallel flächen 15.4 Approximation von Parallelkurven und Parallelflächen Mathematische Modellierung von Fräsbahnen 16.1 Mathematische Beschreibung der Fräseroberflächen 16.2 Fräsbahnen 16.3 Erzeugung der Sollfläche 16.4 Kollisionskontrolle Literaturverzeichnis Bücher Abhandlungen Stichwortverzeichnis '