Meißnersche Körper: Konstruktion und 3D-Druck

Transkript

1 Meißnersche Körper: Konstruktion und 3D-Druck Dr. Alexander Zimmermann FORWISS Universität Passau Institut für Softwaresysteme in technischen Anwendungen der Informatik 18. September 2008

2 Über den Vortragenden Dr. Alexander Zimmermann Informatikstudium an der Universität Passau Seit 1990 Mitarbeiter am Lehrstuhl Numerische Mathematik und Analysis Promotion 1997 über Parametrisierungs und Lokalisierungstechniken in der Spline Oberflächenapproximation Seit 2001 Mitarbeiter am Institut FORWISS Schwerpunkt: Spline-Approximation und Bildverarbeitung

3 Teil I Gleichdick

4 Gleichdick Objekt K: zusammenhängende, kompakte Teilmenge des R n Weite (Durchmesser) von K in Richtung v S n 1 : W(K, v) = max { v p p K} min { v p p K} Gleichdick (Objekt/Körper konstanter Weite): W(K, v) = c R für alle v S n 1

5 Teil II Reuleaux Dreieck und Tetraeder

6 Reuleaux Dreieck Gleichseitiges Dreieck Schnitt von 3 Kreisen durch die Ecken Gleichdick minimaler Fläche

7 Reuleaux Dreieck Bewegung

8 Reuleaux Tetraeder Gleichseitiges Tetraeder Schnitt von 4 Kugeln durch die Ecken Kein Gleichdick, maximale Weite ( 3 2/2) s s Quelle:

9 Reuleaux Tetraeder: kein Gleichdick

10 Teil III Meißnersche Körper

11 Meißnersche Körper Konstruktion nach Ernst Meißner und Friedrich Schilling (1912) wähle jeweils eine von 2 gegenüberliegenden Kanten des Reuleaux Tetraeders. ersetze diese Kante durch ein spindelförmiges Zwischenstück (Teil eines Rotationskörpers). Randkurven (Rotationskurven) ergeben sich aus Schnitt des Reuleaux Tetraeders mit den fortgesetzten Seiten des erzeugenden Tetraeders. Vermutlich Gleichdick mit minimalem Volumen.

12 Meißnersche Körper Konstruktion nach Ernst Meißner und Friedrich Schilling (1912)

13 Meißnersche Körper Konstruktion nach Ernst Meißner und Friedrich Schilling (1912)

14 Meißnersche Körper Konstruktion nach Ernst Meißner und Friedrich Schilling (1912)

15 Meißnersche Körper Konstruktion nach Ernst Meißner und Friedrich Schilling (1912) Drei Spindeln mit gemeinsamer Ecke

16 Meißnersche Körper Konstruktion nach Ernst Meißner und Friedrich Schilling (1912) Drei Spindeln mit gemeinsamer Fläche

17 Teil IV Algebraische Darstellung

18 Algebraische Darstellung Reuleaux Tetraeder Seinen q 1,..., q 4 die Ecken des Tetraeders Die Kugelfunktionen f i (p) = p q i 2 r 2 sind innerhalb der Schnittmenge alle negativ. Die Funktion f = max{f 1, f 2, f 3, f 4 } hat als Nullstellenmenge genau den Rand des Reuleaux Tetraeders. Die Nullstellenmenge von f kann mit dem Marching-Cube-Algorithmus trianguliert werden.

19 Algebraische Darstellung Meißnersche Körper Die Bereiche in denen eine Spindel einzusetzen ist ergeben sich jeweils als Schnitt S i zweier Halbräume. Die Spindel ist ein Teil eines (entarteten) Torus T i. Eine stückweise algebraische Beschreibung eines Meißnerschen Körpers lässt sich schreiben als { Ti (p) falls p S g(p) = i i = 1, 2, 3 f(p) sonst Die Nullstellenmenge von g kann ebenfalls mit dem Marching-Cube-Algorithmus trianguliert werden.

20 Marching-Cube: Ergebnisse Höchstens zwei Kanten läufen parallel zu einer Koordinatenachse. Triangulation liefert zackige Kanten Dreiecke

21 Marching-Cube: Ergebnisse Dreiecke

22 Marching-Cube: Ergebnisse Dreiecke

23 Marching-Cube: Ergebnisse Dreiecke (Zoom)

24 Marching-Cube: Ergebnisse 5412 Dreiecke (Reuleaux Tetraeder 5k)

25 Teil V Parameter Darstellung

26 Parameter Darstellung Reuleaux Tetraeder Triangulierung eines Dreiecks entlang Baryzentrischer Koordinaten.

27 Parameter Darstellung Reuleaux Tetraeder Anwendung auf Dreiecke des Tetraeders.

28 Parameter Darstellung Reuleaux Tetraeder Verschiebung der Ecken nach Außen auf Kugeloberfläche.

29 Parameter Darstellung Reuleaux Tetraeder Verschiebung der Ecken nach Außen auf Kugeloberfläche.

30 Parameter Darstellung Reuleaux Tetraeder Richtung der Verschiebung anpassen.

31 Parameter Darstellung Reuleaux Tetraeder Richtung der Verschiebung anpassen.

32 Parameter Darstellung Reuleaux Tetraeder Richtung der Verschiebung anpassen.

33 Parameter Darstellung Meißnersche Körper Prüfe ob Ecke im Spindel-Raum liegt. Verschiebe Ecke in Richtung Spindelachse.

34 Parameter Darstellung Meißnersche Körper Prüfe ob Ecke im Spindel-Raum liegt. Verschiebe Ecke in Richtung Spindelachse.

35 Parameter Darstellung Meißnersche Körper Prüfe ob Ecke im Spindel-Raum liegt. Verschiebe Ecke in Richtung Spindelachse. Verschiebe Ecke auf Schnittkante.

36 Parameter Darstellung Weite: 0, ( 166µm) 2116 Dreiecke

37 Parameter Darstellung Weite: 0, ( 14,6µm) Dreiecke

38 Parameter Darstellung Weite: 0, ( 1,37µm) Dreiecke (Meißner Ecke )

39 Parameter Darstellung Weite: 0, ( 1,37µm) Dreiecke (Meißner Fläche )

40 Parameter Darstellung Dreiecke (Zoom) (Meißner Fläche )

41 Parameter Darstellung Dreiecke (Meißner Fläche 40k)

42 Meißnersche Körper Konstruktion und 3D-Druck Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.