Proseminar Bernsteinpolynome Bézier-Flächen. Dana Eckhardt Matr.-Nr:

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1 Proseminar Bernsteinpolynome Bézier-Flächen Dana Eckhardt Matr.-Nr:

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Grundidee und Darstellung Satz Konvexe Hülle der Bézier-Punkte Satz Partielle Ableitungen Die ersten partiellen Ableitungen Satz Glatte Zusammensetzung Berechnung eines Wertes x(s,t) 9 5 Gröÿere Flächen 10 6 Anwendung Anwendung von Bézier-Flächen Quellen 13 1

3 Kapitel 1 Einführung 1.1 Grundidee und Darstellung Dieses Thema der Bézier-Flächen knüpft an das vorherige Thema Bézier-Kurven an. Der Übergang ist leicht und erfolgt eigentlich nur über einen weiteren Parameter. Die Grundidee der Denition von Bézier-Flächen besteht darin, dass man von zwei räumlichen Kurven mit Bézier-Darstellung vom gleichen Grad m und demselben Parameterintervall ausgeht. Längs diesen Bézier-Kurven lässt man eine zweite Bézier- Kurve gleiten, die einen anderen Grad (n), jedoch dieselben Parameterwerte hat. Damit wird eine Fläche aufgespannt mit einer Parameterdarstellung, die als Produkt von Bernstein-Polynomen beschrieben werden kann: x(s, t) := i=0 P ij Bi n (s) Bj m (t), s, t [0, 1] Die dreidimensionalen Koordinatenvektoren P ij werden als die Bézier-Punkte der Bézier-Fläche x(s, t) bezeichnet und üblicherweise in einer Bézier-Punkte-Matrix zusammengefasst: P 00 P P 0m P 10 P P 1m P n0 P n1... P nm mit (n + 1)(m + 1) Bézier-Punkten P ij. Beispiel zur Berechnung und Darstellung einer Bézier-Fläche mit 16 Kontrollpunkten: 3 3 x(s, t) = P ij B i3 (s) B j3 (t), s, t [0, 1] i=0 = P 00 B 03 (s) B 03 (t) + P 01 B 03 (s) B 13 (t) P 33 B 33 (s) B 33 (t) = P 00 ((1 s) 3 (1 t) 3 ) + P 01 ((1 s) 3 3t(1 t) 2 ) P 33 (s 3 t 3 ) 2

4 1.2 Satz 3.20 Satz 3.20 Für eine Bézier-Fläche gelten Die Eckpunkte der Bézier-Fläche und somit der Bézier-Punktematrix: x(0, 0) = P 00, x(0, 1) = P 0m, x(1, 0) = P n0, x(1, 1) = P nm Die Randkurve der Bézier-Fläche und somit die Randzeilen bzw. -spalten der Bézier-Punktematrix: x(0, t) = P 0j Bj m (t), x(1, t) = P nj Bj m (t) x(s, 0) = P i0 Bi n (s), x(s, 1) = i=0 P in Bi n (s) i=0 3

5 Kapitel 2 Konvexe Hülle der Bézier-Punkte 2.1 Satz 3.21 Satz 3.21 Die Menge der Punkte der Bézier-Fläche M := {x(s, t) s, t [0, 1]} liegt in der konvexen Hülle ihrer (n + 1)(m + 1) Bézier-Punkte. Begriserklärungen zur konvexen Hülle: konvex: Konvex bedeutet im einfachen Sinne, dass in einer Menge je zwei Punkte durch einen einzigen Polygonzug verbunden werden können, ohne dass der Polygonzug die Menge verlässt. konvexe Hülle: Die konvexe Hülle ist die Menge aller Punkte. Verbindet man die äuÿersten Punkte mit Polygonzügen, so bekommt man die kleinstmögliche Hülle aller Punkte. 4

6 Konvexkombination: Jeder Punkt in dieser konvexen Hülle lässt sich als Konvexkombination der Form: α i x i i=1 darstellen. Mit x 1,..., x n und α 1,..., α n 0, wobei die Bedingung n i=1 α i = 1 gelten muss, was den Unterschied zur Linearkombination aufweist. v = u + (w u)µ w = λy + (1 λ)x v = u + (λy + (1 )x u)µ = (1 λ)u + λµy + (1 λ)µx 1 λ + λµ + (1 λ)µ = 1 Beweis von Satz 3.21 Es gilt 0 Bi n(s)bm j Des Weiteren gilt: (t) 1 s, t [0, 1]. i=0 Bi n (s)bj m (t) = Bi n (s) Bj m (t). Daher ist M in der Tat eine lineare Konvexkombination der Bézier-Punkte. B n i (λ) = α i i=0 5

7 Kapitel 3 Partielle Ableitungen 3.1 Die ersten partiellen Ableitungen Für die ersten partiellen Ableitungen gilt (nach Ableitungsregeln der Bernstein-Polynome): x(s, t) := i=0 Bi n (s)bj m (t) x s = n 1 i=0 n(p (i+1)j P ij )B n 1 i (s)bj m (t) (3.2) 6

8 Denn: x s = = = = i=0 n P ij ( s Bn i (s))bj m (t) np 0j B n 1 0 (s)b m j (t) i=0 + np ij (B n 1 i 1 np nj B n 1 n 1 (s)bm j (t) (s) Bn 1(s))Bj m (t) n(p 1j P 0j )B n 1 0 (s)b m j (t) n 1 + n 1 i=2 i=0 n(p 2j P 1j )B n 1 1 (s)b m j (t) n(p (i+1)j P ij )B n 1 i (s)bj m (t) n(p (i+1)j P ij )B n 1 i (s)bj m (t) i (3.-4) Analog für x t = 3.2 Satz 3.22 n m 1 i=0 j=o m(p i(j+1) P ij )Bi n (s)b m 1 j (t) Für die part. Ableitungen längs der Randkurve gelten: x(0,t) s = n(p 1j P 0j )Bj m (t) (3.-4) Denn: für i=0 gilt n(p 1j P 0j )B n 1 0 (s)b m j (t). 7

9 Damit dies der partiellen Ableitung x(0,t) s gleicht, muss B0 n 1 (s) = 1 sein. Dies erfolgt durch Auösen des Bernstein-Polynoms: ( ) n 1 B0 n 1 (s) = s 0 (1 s) n 0 = 1 0 x(1,t) s = n(p nj P (n 1)j )Bj m (t) (3.-4) Denn: für i=n+1 gilt n(p nj P (n 1)j )B n 1 n 1 (s)bm j (t). Damit dies wieder der partiellen Ableitung x(1,t) s (s) = 1 sein: B n 1 n 1 ( ) n 1 Bn 1 n 1 (s) = n 1 entspricht, muss s n 1 (1 s) n (n 1) = s n 1 = 1 Dies gilt analog für x(s,0) t, x(s,1) t. 3.3 Glatte Zusammensetzung Der vorangegangene Satz 3.22 ist bedeutsam für die glatte Zusammensetzung von Flächensegmenten. Glatt bedeutet in diesem Fall, dass die Flächensegmente genau aneinander passen, ohne Knick. Auÿerdem bedeutet es noch, dass die Flächensegmente an der Zusammensetzungsstelle dierenzierbar sein müssen. Daher beschreibt der Satz 3.22 auch die partiellen Ableitungen der Randkurve. 8

10 Kapitel 4 Berechnung eines Wertes x(s,t) Die Berechnung eines Wertes der Bézier-Fläche x(s,t) erfolgt durch zweimaligem Anwenden des Casteljau-Algorithmus'. Will man beispielsweise die Kurve mit s konstant ausrechnen, hat man x(s, t) = i=0 P ij Bi n (s) Bj m (t) =: Q j (s)bj m (t) damit erhält man ihre Bézier-Darstellung mit (m+1) von s abhängigen Bézier-Punkten. Diese erhält man dann, wenn man den de Casteljau-Algorithmus auf die (m+1)-spalten der Bézier-Punktematrix anwendet und den Wert s konstant lässt. Mit den berechneten Hilfspunkten Q j (s) ergibt sich dann die gesuchte Flächenkurve, indem man für jedes t den Algorithmus durchführt. Um die zweite Kurve für x(s, t) mit t konstant zu berechnen, erfolgt dies analog. 9

11 Kapitel 5 Gröÿere Flächen Gröÿere Flächen werden aus einzelnen Bézier-Flächensegmenten zusammengesetzt, wobei allgemeinere, rechteckigere, aneinandergrenzende Paramterbereiche nötig sind. Sei F 1 das erste Bézier-Fächensegment mit den Bézier-Punkten b ij und F 2 das zweite Bézier-Flächensegment mit den Bézier-Punkten c ij. Sie haben gleiche Grade der Parameterdarstellung. x 1 (u, v) = x 2 (u, v) = b ij Bi n (u)bj m (v), u [u 1, u 2 ], v [v 1, v 2 ] i=0 i=0 c 1j Bi n (u)bj m (v), u [u 2, u 3 ], v [v 1, v 2 ] (5.0) Wegen der Stetigkeitsforderung an den beiden Flächensegmenten an der Stelle u = u 2 folgt: b nj Bj m (v) = c 0j Bj m (v), v [v 1, v 2 ] Somit ist u = u 2 genau dann stetig, wenn b nj = c 0j ist, d.h. wenn die Bézier-Punkte der Randkurve zusammengefallen, also die letzte Zeile der Bézier-Punktematrix des ersten Flächensegments ist die erste Zeile der Bézier-Punktematrix des zweiten Flächensegments. Wenn an der gemeinsamen Randkurve auch noch C 1 -Stetigkeit wegen der Glattheit verlangt wird, ist zu untersuchen, ob u = u 2 C 1 -Stetigkeit besitzt: Seien h 1 := u 2 u 1 und h 2 := u 3 u 2 die Abstände des Intervalls [u 1, u 2 ] bzw. [u 2, u 3 ]. Somit gilt wegen Satz 3.22 die Bedingung m n h 1 (b nj b (n 1)j )B m j (v) = m n h 2 (c 1j c 0j )B m j (v), v [v 1, v 2 ]. 10

12 (5.0) Hier gilt nun wieder die Beziehung: für u = u 2 gilt C 1 -Stetigkeit 1 h 1 (b nj b (n 1)j ) = 1 h 2 (c 1j c 0j ). Setzen wir in der oben genannten Bedingung c 0j = b nj, so erhalten wir: 1 h 1 (b nj b (n 1)j ) = 1 h 2 (c 1j b nj ) b nj h 1 + b nj h 2 = c 1j h 2 + b (n 1)j h 1 b nj(h 1 + h 2 ) h 1 h 2 = c 1j h 2 + b (n 1)j b nj = h 1 h 2 h 1 + h 2 b (n 1)j + h 1 h 1 + h 2 c 1j (5.-3) 11

13 Kapitel 6 Anwendung 6.1 Anwendung von Bézier-Flächen Bézier-Flächen nden ihre Anwendung in der Computergrak. Dort werden sie im Rahmen von CAD (computer-aided design), bei Vektorgraken (z.b. SVG) und zur Beschreibung von Schriften (z. B. Postscript Type1, TrueType und CFF-Opentype) verwendet. Sie sind sehr nützlich im Bau, da man auch für komplexe, unförmige Bauten nur die Eck- und Randpunkte benötigt. 12

14 Kapitel 7 Quellen H.R. Schwarz. Numerische Mathematik. Teubner, Stuttgart, 1996 R. Schneider. Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory