Benz,W.: Ebene Geometrie: Einführung in Theorie und Anwendung, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg-Berlin 1997.

Transkript

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2 270 Literaturverzeichnis Fischer, G.: Analytische Geometrie, 7. Aufl., Vieweg, Wiesbaden Fischer, G., und Sacher, R.: Einführung in die Algebra, 3. Aufl., Teubner, Stuttgart Freudenthal, H.: Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie, Nieuw Arch.Wiskd.(3)5, (1957). Fritsch, R.: Zum Feuerbachschen Kreis, Konstanzer Universitätsreden 72, Konstanz Glaeser, G.: Geometrie und ihre Anwendung in Kunst, Natur und Technik, 2. Aufl., Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg-Berlin Hajós, G.: Einführung in die Geometrie, Teubner, Leipzig Hessenberg, G., und Diller, J.: Grundlagen der Geometrie, 2. Aufl., de Gruyter, Berlin Hilbert, D.: Grundlagen der Geometrie, Teubner, Leipzig 1899; 14. Aufl., Stuttgart Juschkewitsch, A.P.: Geschichte der Mathematik im Mittelalter, Teubner, Leipzig Karzel, H., und Kroll, H.-J.: Geschichte der Geometrie seit Hilbert, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt Karzel, H., Sörensen, K., und Windelberg, D.: Einführung in die Geometrie, UTB 184, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen Kirsch, A., und Zech, F.: Affine Geometrie der Ebene, Klett, Stuttgart Knörrer, H.: Geometrie, 2. Aufl. Vieweg, Braunschweig-Wiesbaden Koecher, M.: Geometrie der Ebene, Studienbriefe der FernUniversität Hagen, Hagen Koecher, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie, 4. Aufl., Springer- Verlag, Berlin Heidelberg New York Kunz, E.: Ebene Geometrie, Vieweg, Wiesbaden Lang, S., und Murrow, G.: Geometry a high school course, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin Lenz, H.: Vorlesungen über projektive Geometrie, Geest & Portig, Leipzig Lester, J.: Triangles I. Shapes, Aequationes Math. 52, (1996). Lingenberg, R.: Grundlagen der Geometrie, 3. Aufl., Bibliographisches Institut, Mannheim Wien Zürich 1978.

3 Literaturverzeichnis 271 Mainzer, K.: Geschichte der Geometrie, Bibliographisches Institut, Mannheim Wien Zürich Meyberg, K.: Algebra I, 2. Aufl., Hanser, München Wien Müller-Philipp, S., und Gorski, H.-J.: Leitfaden Geometrie, 3.Aufl.,Vieweg, Wiesbaden Braunschweig Neidhardt, W., und Oetterer, T.: GEONET...und die Geometrie lebt!, Buchners Verlag, Bamberg Rees, E.G.: Notes on geometry, 2. Aufl., Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Reid, C.: Hilbert, 2. Aufl., Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Scheid, H., und Schwarz, W.: Elemente der Geometrie, 4. Aufl. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg-Berlin Schreiber, P.: Euklid, Teubner, Leipzig Schupp, H.: Kegelschnitte, BI Wissenschaftsverlag, Mannheim Scriba, C.J., und Schreiber, P.: 5000 Jahre Geometrie, 2. Aufl., Springer- Verlag, Berlin Heidelberg New York Tropfke, J.: Geschichte der Elementar-Mathematik, de Gruyter, Berlin Leipzig 1903; Band 4: Ebene Geometrie, 3. Aufl van der Waerden, B.L.: Geometry and algebra in ancient civilizations, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1983.

4 Symbolverzeichnis G H G ist parallel zu H 7 G / H G ist nicht parallel zu H 7 (lp, G ) affine Ebene oder projektive Ebene 7, 242 G H, G H Schnittpunkt von G und H 8, 243 a b Verbindungsgerade von a und b 8, 55, 242 G a,u Gerade durch a in Richtung u 9, 33, 54 IA 2 (K) affine Koordinatenebene zum Schiefkörper K 9, 36 [G] Parallelenbüschel zur Geraden G 10 [p] Geradenbüschel durch den Punkt p 10 Ord (lp, G ) Ordnung der affinen Ebene (lp, G ) 11 ag Parallele zu G durch a 11, 16 Aut IA Automorphismengruppe von IA 14, 248 DilatIA Gruppe der Dilatationen von IA 16 TransIA Gruppe der Translationen von IA 19 O Nullelement von lp 23 End lp Endomorphismenring von lp 25 O Nullelement von End lp 25 1l Einselement von End lp 25 K(IA) Multiplikatoren-Schiefkörper von IA 25 Mat(2; K) Ring der 2 2 Matrizen über K 52 M t transponierte Matrix 52 M adjungierte Matrix 52 det M Determinante von M 52 M 1 inverse Matrix zu M 52 Spur M Spur von M 52 GL (2; K) Gruppe ) der invertierbaren 2 2 Matrizen über K 53 ( J 53 [x, y] det(x, y) =x 1 y 2 x 2 y 1 53, 95 Aff(2; K) Gruppe der affinen Abbildungen von K 2 58 [x, y, z] [x, y]+[y, z]+[z, x] 59 S a,s b,s c Seitenhalbierende des Dreiecks a, b, c 72 s = s abc Schwerpunkt des Dreiecks a, b, c 72, 109 acb Geradenmaß 78 D abcd Doppelverhältnis 83 x, y = x t y Skalarprodukt von x und y 93, 251 le reelle euklidische Ebene 94 x = Jx zu x orthogonaler Vektor 94 x Länge von x 96 d(x, y) Abstand von x und y 96 Θ x,y Winkel zwischen x und y 97 ) e(ϕ) = ( cos ϕ sin ϕ Einheitsvektor 98 α, β, γ Winkel des Dreiecks a, b, c 99

5 274 Symbolverzeichnis <) (G, H) Winkel zwischen den Geraden G und H 99 O(2) orthogonale Gruppe der 2 2 Matrizen 100 T (ϕ),s(ϕ) Drehung bzw. Spiegelung in O(2) 101 SO(2) spezielle orthogonale Gruppe der 2 2 Matrizen 102 H c,γ Gerade in Gleichungsform 110 M a,b Mittelsenkrechte von a und b 116 m = m abc Umkreismittelpunkt des Dreiecks a, b, c 116, 160 h = h abc Höhenschnittpunkt des Dreiecks a, b, c 118 W a,wa innere bzw. äußere Winkelhalbierende durch a 121, 122 σ = σ abc Umfang des Dreiecks a, b, c 121 i = i abc Inkreismittelpunkt des Dreiecks a, b, c 122, 178 a,b,c Ankreismittelpunkte des Dreiecks a, b, c 122, 178 A, B, C Seitenlängen des Dreiecks a, b, c 125 T p Tangente bzw. Polare an einen Kreis 146, 149 κ K (x) Potenz von x in Bezug auf den Kreis K 148 P K,L Potenzgerade von K und L 150 Φ m,ρ Inversion am Kreis um m mit Radius ρ 157 ρ = ρ abc Umkreisradius des Dreiecks a, b, c 160 f Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises 164 ρ i Inkreisradius des Dreiecks 179 ρ a,ρ b,ρ c Ankreisradien des Dreiecks a, b, c 179 DV (a, b, c, d) komplexes Doppelverhältnis 187 Δ(a, b, c) Ähnlichkeitsmaß 188 ρ 1,ρ 2 Halbachsen der Ellipse und Hyperbel 199, 202 κ A (x) allgemeine Gleichung zweiten Grades 218, 260 K A Kurve zweiten Grades 218 κ abcdex Polynom in x 234 lp K Menge der eindimensionalen Unterräume von K 3 243, 250 lp 2 (K) projektive Koordinatenebene zum Schiefkörper K 243 (lp, G ) projektiver Abschluss der affinen Ebene (lp, G ) 245 IA F affine Ebene zur projektiven Ebene IA 246 IA duale projektive Ebene zu IA 249 e 1,e 2,e 3 Standardbasis 250 G x Gerade in lp 2 (K) 251 φ M projektiver Automorphismus von lp 2 (K) 253 a b Vektorprodukt 259

6 Sachverzeichnis abgeschlossen 42 Abschluss, projektiver 245 Abstand 96, 113 Achse 198, 201 Addition 34 adjungierte Matrix 52 ähnlich 105 Ähnlichkeitsabbildung 105 Ähnlichkeitsmaß 188 äquianharmonisch 86 Äquivalenzsatz für den Schwerpunkt 73, 74 orthogonale Matrizen 100 Pappus-Ebenen 40 äußere Winkelhalbierende 121 affin isomorph 14 affine Abbildung 58, 219, 222 Ebene 7 Geometrie 51 Gruppe 58 Koordinatenebene 9, 36 Normalform 222 affiner Isormorphismus 14 affiner Isormorphismus, metrischer 44 Affinität 58 allgemeine Gleichung 2. Grades 218 Lage 7, 242 Allgemeiner Satz von Desargues 68 Allgemeiner Strahlensatz 64 alternierende Funktion 59 Ankreis 179 Anschauungsebene 12 Apollonius 197, Kreis des 145 Ast einer Hyperbel 203 Asymptoten 210 Aubel, Satz von 81 Automorphismengruppe 14, 29, 30, 248 Automorphismus 14, 28, 248 Axiome 5, 7, 242 baryzentrische Koordinaten 75 berühren 145 Berührkreis 179 Betrag 96 Bewegung 102, eigentliche 102 Bewegungsinvariante 106 Bewertung 47 bilinear 53, 93 Bodenmiller, Satz von 155 -Gleichung 155 Brennpunkt 198, 201, 213 gleichung 231 -Tangenten-Abstand 208, 216 Brennstrahl 216 Brianchon, Satz von 266 Brocard, Satz von 193 Brocardscher Punkt 88, 193 Winkel 88, 194 Carnot, Satz von 180 Cauchy-Folge 42 -Schwarzsche Ungleichung 95, 96 Cayley, Satz von 53 Ceva, Satz von 80, 110 -Punkt 80 Connes, Satz von 132 Cosinus-Satz 98, 125 Dandelinsche Kugel 225 Darstellung 94 Desargues, Kleiner Satz von 21, 22, 62, Satz von 30, 64, 69, 256 -Ebene 32, metrische 44 -Gleichung 69 Descartes 91 Determinante 52 Determinantenfunktion 53, 95 Diagonale 63, 68 Diagonalensatz 63

7 276 Sachverzeichnis Diagonalpunkt 67 Dilatation 16, 27 Doppelverhältnis 83, komplexes 172, 187 Drehung 103 Dreieck 7, 71, 108, gleichschenkliges 123, gleichseitiges 105, 117, 163, 164, rechtwinkliges 123, 135, 138 -Lemma 142 Dreieckskoordinaten 75 Dreiecksungleichung 96 Dreieckszahl 140 Dreier-Identität 54 Drei-Geraden-Kriterium 60, 112, 251 -Punkte-Kriterium 59, 251 duale projektive Ebene 249 Durchmesser 204 Ebene, affine 7, euklidische 46, 48, 94, projektive 242 Ecke 71, 108 Eckpunkt 71, 108 Eich-Quadrik 93 eigentliche Bewegung 102 eigentlicher Kegelschnitt 221 Einfacher Strahlensatz 64 Einheitskreis 138 Einheitsvektor 96 Einselement 11, 25 Elemente des Euklid 1, 15 Ellipse 198 elliptisches Integral 223 Endomorphismenring 25 Ergänzungswinkel 99 Euklid 1, 15 euklidische Bewegung 102 Ebene 46, 48, 94 Geometrie 6, 91 Länge 96 euklidischer Winkel 139 Euler, Satz von 163, 182 -Gerade 163 -Gleichung 162 Existenzsatz für den Umkreis 159 Exzentrizität 227 Fadenkonstruktion 200, 203, 214 Fano-Postulat 68 Fastkörper 32 Fermat-Gleichung 156 Feuerbach 166, Satz von 166, 183 -Gleichung 164 -Kreis 164 Fixgerade 15, 18 Fixpunkt 15, 17, 103 Flächeninhalt 117, 127 Flächenmaß 74 Fluchtpunkt 241 Formel von Heron 127 Mollweide 129 Fünf-Punkte-Satz 236, 262 Fußpunkt 113 Gauss, Satz von 68 -Gerade 68 Gegenwinkel 94 gehen durch 7, 55, 242 Geometrie, affine 51, euklidische 6, 91, projektive 232, 241, synthetische 239 geometrischer Ort 143 Gerade 7, 9, 35, 54, 242, 243, 250, unendlich ferne 245 Geradenbüschel 10, 56 Geradengleichung 56, 76, 111 Geradenmaß 78, 109 Geradenspiegelung 103 gleichschenkliges Dreieck 99, 127 gleichseitiges Dreieck 99, 117, 163, 164 Gleichung einer Geraden 56, 111 Gradient 225 Gruppe, affine 58, normierte 42, orthogonale 100, spezielle orthogonale 101

8 Sachverzeichnis 277 Halbachse 199, 202 Halbebene 9, 110 Halbstrahl 99 Halbwinkel-Satz 129 harmonisch 85, 86 Hauptachsentransformation 205 Hauptsatz für euklidische Ebenen 48 Heron, Formel von 127 heronisches Dreieck 128, 138 Tripel 138 Hesse 114 Hessenberg, Satz von 39 Hessesche Normalform 111, 114 Hilbert 5, 7 Hlawka-Identität 97 Höhe 117 Höhenfußpunkt-Dreieck 168 Höhensatz 124 Höhenschnittpunkt 118 Hornich-Hlawkasche Ungleichung 97 Hyperbel 201 ast 203 indefinit 221 Inkreis 179 innere Winkelhalbierende 121 Inneres 120 Inversion am Kreis 157 Inzidenz-Axiome 7 Inzidenz-Relation 252 Isomorphismus, affiner 14, metrischer affiner 44, projektiver 246, 248 Kathetensatz 124 Kegelschnitt 197, 221, 224 Klassifikation 221 Kleiner Satz von Desargues 21, 22, 62 Pappus 25 Scherensatz 25 kollinear 7, 56, 242 komplexe euklidische Ebene 49 komplexes Doppelverhältnis 187 komplexe Zahlenebene 185 Kompositionsalgebra 48 kongruent 105 Kongruenzabbildung 105 Kongruenz-Sätze 126 konvergent 42 konvex 173 Koordinaten 75, baryzentrische 75 ebene, affine 8, 9, 30, 34, projektive 243, 250 transformation 104 Kreis 141, verallgemeinerter 159, 189 desapollonius 145 spiegelung 157 viereck 173 Kugel, Dandelinsche 225 Kurve mit Leitlinie 227 zweiten Grades 218, 224 Länge 96 Lage, allgemeine 7, 242 Leibniz, Satz von 181 Leitlinie 213, 227 Leitstrahl 216 liegen auf 7, 55, 110, 242 Limes 42 linear abhängig 35 linear unabhängig 35 Lot 113 Matrix, adjungierte 52 Menelaos, Satz von 80, 97, 110 -Gerade 80 Metrik 42 metrisch affin isomorph 44 metrische Desargues-Ebene 44 Pappus-Ebene 44 Translationsebene 44 metrischer affiner Isomorphismus 44 Raum 42 Miquel, Satz von 176, 189 Miquel-Dreieck 189 -Punkt 176, 189

9 278 Sachverzeichnis Mittelpunkt 63, 143, 198, 201, 226 Mittelpunktsgleichung 144, 199, 203, 230 Mittelpunktswinkel 161 Mittelsenkrechte 116 Mittendreieck 72, 167 Möbius 75 Möbius-Transformation 186 Mollweide, Formel von 129 Monge, Satz von 152 Morley, Satz von 131, 134, 195 -Dreieck 131, 134, 195 Moulton-Ebene 13, 14, 22, 32 -Gerade 13 Multiplikator 25 Multiplikatoren-Schiefkörper 26 Nagelscher Punkt 180 Napier, Regel von 129 Napoleon, Satz von 117, 135 Neun-Punkte-Kreis 166 nicht-ausgeartet 59, 94, 260 Norm 42 Normale 111 Normalform 219, 222, Hessesche 111, 114 normieren 219 normierte Gruppe 42 mit Parallelogramm-Gesetz 43 Normierung 219 Nullelement 23 numerische Exzentrizität 227 Ordnung 11, 247 orientierte Fläche 124 orthogonal 94, 100 orthogonale Gruppe 100 Pappus, Kleiner Satz von 25, Satz von 38, 65, 257 -Ebene 39, metrische 44 Parabel 77, 213 parallel 7, 56 Parallele 7, 56 Parallelen-Axiom 7, 15 büschel 10, 56 Parallelogramm 62 -Gesetz 43 -Satz 24 Parameterdarstellung 54, 111, 144, 200, 203, 206 Pascal 238, Satz von 65, 67, 237, 257 -Gerade 238, 264 Peczar-Identität 189 Peripheriewinkel 161 Pick, Satz von 141 -Polygon 141 Polare 149 Polarkoordinaten 98, 231 Poncelet 241 positiv definit 94 Potenz 148 gerade 150 primitiv 135 Projektion, stereographische 156 projektiv isomorph 248 projektive Ebene 242, 250, duale 249 Geometrie 232, 241 Koordinatenebene 243 projektiver Abschluss 245 Isomorphismus 246, 248 Ptolemaeus 176, Satz von 175 -Gleichung 175 Punkt 7, 34, 52, 242, 243, 250, unendlich ferner 241, 245 Punktspiegelung 103 pythagoräisches Tripel 135 Pythagoras, Satz des 96 Quadratwurzel 107 Quadrik 260 Quaternionen-Schiefkörper 36 Radius 143 rationale Punkte 138 Raum, metrischer 42

10 Sachverzeichnis 279 Rechteck-Lemma 141 rechwinklige Hyperbel 211 rechtwinkliges Dreieck 123, 144 reelle Bewertung 47 euklidische Ebene 49, 94 Regel von Napier 129 regula sex quantitatum 79, 81 Rhombus 122 Richtung 10, 19, 54 Satz des Pythagoras 96 über die Hauptachsentransformation 205 Hessesche Normalform 114 vom Höhenschnittpunkt 118 vonaubel 81 Bodenmiller 155 Brianchon 266 Brocard 193 Carnot 180 Cayley 53 Ceva 80 Ceva-Menelaos 110 Connes 132 Desargues 30, 64, 69, 256, Kleiner 21, 22, 62 Euler 163, 182 Feuerbach 166, 183 Gauss 68 Hessenberg 39 Leibniz 181 Menelaos 80, 97 Miquel 176, 189 Monge 152 Morley 131, 134, 195 Napoleon 117, 135 Pappus 37, 65, 257,Kleiner 25 Pascal 65, 67, 237, 257, 264 Pick 141 Ptolemaeus 175 Schwarz 170 Steiner 171 Stewart 127 Thales 144 Wallace 171, 192 Wedderburn 41 Scheitelgleichung 228, 229, 230 Scheitelpunkt 214 Scherensatz 32, 67, 257, Kleiner 25 Schiefkörper 26 schiefsymmetrisch 53 Schnittpunkt 7, 55, 57, 232, 242 formel 57, 111 Schwarz, Satz von 171 Schwerpunkt 72, 73, 109 satz 72, 74, 109 Sehnen-Tangenten-Satz 148 -Winkel 162 viereck 173 Seite 71, 108 einer Geraden 120 Seitenhalbierende 72 Seitenlänge 99, 108 Seitenmitte 72 semi-definit 221 Simpson-Gerade 172 Sinus-Satz 117, 126 Skalarprodukt 94, 251 spezielle orthogonale Gruppe 101 Spiegelung 20, 28, 101, 157 Spur 52 Steiner 238 -, Satz von 171 sche Gerade 172 stereographische Projektion 156 Stewart, Satz von 127 Strahlensatz 46, 64, 109 Streckenrechnung 6 Streckung 105 symmetrisch 93 synthetische Geometrie 239 Tangens-Satz 128, 129 Tangente 145, 206, 215, 226, 263 Tangentengleichung 215, 226 Tangentenkonstruktion 147, 208, 216 Tangenten-Kriterium 207 viereck 147, 176

11 280 Sachverzeichnis Ternärkörper 37 Thales, Satz von 144 -Kreis 145 Torsion 44 Translation 19, 58 Translations-Axiom 20 ebene 20, metrische 44 Transponierte 52 Transversale 80 Trapez 63 Trigonometrie 125 Tripel, heronisches 138, pythagoräisches 135 unendlich ferne Gerade 245 unendlich ferner Punkt 241, 245 Umfang 121 Umfangswinkel 161 Umkreis 160 mittelpunkt 160 radius 160 Vektornorm 43 Vektorprodukt 259 verallgemeinerter Kreis 159, 189 Verbindungsgerade 8, 55, 242 Vereingungs-Lemma 142 Viereck 173 Vier-Punkte-Kriterium 173 Vierseit 67, 85 vollständig 42 vollständiges Vierseit 67, 85 Wallace, Satz von 171, 192 -Gerade 171 -Gleichung 170 Wedderburn, Satz von 41 Winkel 97, 99 Winkel, euklidischer 139 halbierende 121, 178, innere, äußere 121 summen-satz 99 Zentralprojektion 64 Zentrumswinkel 161 Zwei-Quadrate-Satz 95 -Sehnen-Satz 148