Mechanik der Kontinua Guido Schmitz,

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1 Mechani der Kontinua Guido Schmitz, Smart Materials Bisher hatten wir die Verformung von ondensierter Materie ausschließlich als Antwort auf äußere mechanische Kräfte disutiert. Es gibt edoch einige Materialien, die auf Einwirungen wie eletrische oder magnetische Felder, Temperatur u.s.w. mit einer deutlichen Formänderung reagieren, die signifiant über die allgemein zu beobachtende thermische Ausdehnung hinausgeht. Solche Materialien werden oft als Smart Materials bezeichnet und in steuerbaren mechanischen Atuatoren eingesetzt. Wir studieren hier als Abschluß der Vorlesung zwei Beispiele, den Piezoeletrischen Effet und sogenannte Formgedächtnislegierungen. Andere aufregende Funtionswerstoffe sind etwa magneto- und eletrostritive Festörper oder eletrorheologische Flüssigeiten, die Spezialvorlesungen vorbehalten bleiben müssen Piezo-Eletrizität Modellversuch: 4 cm langes Stäbchen eines Piezo-eletrischen Materials wird einer eletrischen Spannung bis 50V ausgesetzt. Wir bestimmen die Längenänderung über einen Laserpointer als Lichtzeiger. Erreichte relative Längenänderung: 1/000. Die Atome werden offensichtlich einen winzigen Bruchteil der atomaren Gitterabstände aus ihrem Gleichgewichtsabstand ausgelent. Diese winzige Auslenung reicht edoch aus, um in Atuatoren Verschiebungen im Bereich von einigen zehn Nanometern mit außerordentlichen Genauigeit vornehmen zu önnen. (Anwendung: Rastertunnelmirosope, Mirofone, Schallgeber). Ursache der Verschiebung: Ausrichtung von Dipolen in Kristallen mit ionischem Bindungsanteil unter dem äußeren eletrischen Feld. Umgeehrt wird durch eine mechanische Verzerrung des Kristalls eine Polarisation und damit eine Spannung zwischen gegenüberliegenden Kristalloberflächen erzeugt. Für solche piezo-eletrischen Effete ommen edoch nur Ionenristalle in Frage, die spezielle Puntsymmetrie-Eigenschaften aufweisen. Das machen wir uns lar durch eine tensorielle Betrachtung der beteiligten Kräfte und Verschiebungen (Hier wird noch mal deutlich, welche weitreichende Schlüsse aufgrund der der Symmetrieeigenschaften von Tensoren möglich sind): Eine beliebige Verformung des Kristalls wird durch einen allgemeinen Verzerrungstensor (Tensor. Stufe) beschrieben, das äußere Feld durch einen Vetor (Tensor 1. Stufe). Wollen wir zwischen diesen beiden 1

2 Größen eine lineare Relation formulieren, brauchen wir dazu einen Tensor 3. Stufe, den Tensor der piezo-eletrischen Konstanten: ε = γ E (4.86) : Betrachten wir versuchsweise das Verhalten der einzelnen Tensorgrößen unter einer Inversionstransformation x =-x, y =-y, und z =-z: E' = E ui ' ( ui ) ui ε ' = = = = ε (4.87) x ' ( x ) x Nehmen wir etzt an, dass der Kristall zentrosymmetrisch ist, was für die Mehrzahl aller in der Natur vorommenden ristallinen Substanzen gilt, so haben wir für den Tensor der piezo-eletrischen Konstanten γ ' = γ (4.88) Und damit nach der Koordinatentransformation ε ' = γ ' E Gl.4.87 ε = γ ( E ) (4.89) Andererseits gilt aber vor der Transformation ε = γ E (4.90) Die beiden Gl und 4.90 lassen sich nur simultan erfüllen, falls γ =0, so dass alle zentro-symmetrischen Kristalle eine Piezoeletrizität zeigen önnen (wohl aber die sehr viel schwächere Eletrostrition). Für den Bau von Atuatoren ist man deshalbe auf die leinere Klasse der nicht-zentrosymmetrischen Kristalle (Siehe Beispiele in der Tabelle) angewiesen.

3 Für den umgeehrten Fall der eletrischen Spannungserzeugung durch eine äußere mechanische Spannung brauchen wir etzt eine neuen Konstanten mehr definieren, wie die folgenden zwei Zeilen zeigen: E = = γ γ 1 1 ε lm C lm σ lm (4.91) mit C l der bereits eingeführte Tensor der elastischen Moduln Formgedächtnislegierungen Versuche in der Vorlesung: Verbiegen eines Stabes aus einer NiTi Legierung bei Raumtemperatur. Bei anschliessende Erwärmung der Probe auf etwa 80 C nimmt diese ihre alte Form wieder an. Legierung bei Raumtemperatur sehr weich, bei hoher Temperatur deutlich härter. (Verschiedene Varianten des gleichen Effetes: Federn, Zauber - Bürolammer) Mirosopische Erlärung: Material macht struturellen Phasenübergang durch: Hohe Temperatur: Austenit (ub. raumzentrierte Phase). Tiefe Temperatur: Martensit (monolin verzerrte Phase, struturelle Abscherung ann in 1 verschiedene Richtungen erfolgen 1 verschiedene Orientierungsvarianten der Martensitphase, die bei Erwärmung alle in die gleiche Variante des Austenits übergehen. Verformung erfolgt im Martensit nicht durch Abgleitung sondern durch Umlappen der Varianten. (siehe Schema) Dieser sogenannte Einweg- Memory Effet wird heute in vielen Funtionselementen etwa als Klemmring oder als Federatuator in temperaturgesteuerten Schaltelementen eingesetzt. (Es gibt auch einen sogenannten Zwei-Weg-Effet, bei dem das Material trainiert wird auch bei Abühlung vom Austenit eine feste Form einzunehmen, z.b. zur Konstrution eines Miniaturgreifers.) Neben dem Gedächtniseffet zeigen diese Materialien auch sogenannte Super- Elastizität. (Der Bereich reversibler Verformung erstrect sich bis zu relativen Dehnungen von 10%. Anwendung: Moderne Brillengestelle). Diese Eigenschaft ist eine direte Konsequenz aus den beschriebenen Gedächtniseigenschaften. Das werden wir im folgenden zeigen und dabei gleichzeitig zum ersten Mal die sogenannte Landau-Theorie eines Phasenübergangs ennenlernen, welche bei der Beschreibung einer Vielzahl von Phänomenen benutzt wird. 3

4 Landautheorie des Phasenübergangs Zur Beschreibung des Phasenübergangs zwischen Martensit und Austenit muss die Freie Energie der beteiligten Phasen modelliert werden. Wir betrachten als Modell den einfachen Fall, dass der Austenit in zwei Martenist-Varianten mit entgegengesetzter Abscherungsrichtung transformiert. Die Unterscheidung der Phasen gelingt dann durch einen einzigen Parameter, der Abscherung e. Ist e=0: Austenit. Falls e<0 oder e>0: Martensitvariante 1 oder. Da zunächst über die Freie Energie nichts beannt ist, macht man einen sehr allgemeinen Polynom-Ansatz mit freien Koeffizienten A, B und C und versucht dann, durch geeignete Überlegungen mögliche Werte der Parameter einzugrenzen und durch Anpassung an experimentelle Parameter zu bestimmen: A B 4 C 6 F = F0 + e e + e + (4.9) 4 6 Da die beiden Martensitvarianten gleichberechtigt, önnen in der Entwiclung nur gerade Potenzen von e auftreten. Damit die Phasen nicht spontan beliebig weit abscheren, muss die Freie Energie für genügend große e anwachsen, also C>0. Ein Phasenübergang mit einem unstetigen Sprung von e=0 auf e=e(t) mit Variation der Temperatur, wie im Experiment beobachtet, tritt auf falls B<0 und A=A (T-T 0 ). Siehe dazu mit Gl. 4.9 und diesen Bedingungen für verschiedene Temperaturen berechnete Freie Energieurven in der Abbildung. Bei hoher Temperatur zeigen die Kurven nur ein einziges Minimum bei e=0, d.h. die ubische Austenitphase ist stabil, bei tieferer Temperatur treten dann zwei Nebenminima bei +/- e(t) auf. Da die stabile Phase dieenige mit leinster Freier Energie ist, bleibt hier zunächst noch der Austenit die stabile Phase, während der Martensit im Nebenminimum als metastabile Phase für eine Übergangszeit stabil bleiben ann. Bei der Temperatur 3 B T c = T0 + (4.93) 3A' C (in der Abb. Kurve 0 ) liegen edoch alle drei Minima auf gleicher Höhe, dh. bei dieser Temperatur steht der Austenit mit den beiden Martensitvarianten im Gleichgewicht. Zu noch tieferer Temperatur wird dann das Minimum bei e=0 zum Nebenminimum, d.h. Martensit ist dann stabil. Bei einem Temperaturwechsel verharrt das System edoch zunächst im Nebenminimum, in dem zuvor eingenommeen Zustand. Daraus resultiert am Phasenübergang eine Hystereseschleife, die typisch ist für einen Phasenübergang erster Ordnung. Der Zustand des Systems ist abhängig von der Vorgeschichte. Erst nach langer 4

5 Wartezeit wird innerhalb der Hystereseschleife der thermodynamische Gleichgewichtszustand eingestellt. Können die Koeffizienten in Gl. 4.9 aus Experimenten quantitativ bestimmt werden, so folgt aus der Gleichung das mechanische Verhalten des Systems denn: F 3 5 σ = = A' ( T T0 ) e B e + C e (4.94) e F 4 G = = A'( T T0 ) 3B' e + 5C e (4.95) e Die Variable G ist hier das Schubmodul, wie wir es in der Elastizitätstheorie eingeführt haben. Sie stellt nichts anderes dar als die Krümmung der Freien Energieurve bei gegebenen e. Setzten wir e=0 in Gl. 4.95, so erhält man das Schubmodul des Austenits, für e=e*(t) das Schubmodul des Martensits. In der nebenstehenden Abbildung ist der Verlauf der Freien Energie dargestellt für T etwas oberhalb der Übergangstemperatur. Verformt man die eweilige Phase durch eine äußere Schubspannung, so ändert sich die Freie Energie gemäß der gestrichelt eingetragenen Parabeln. Wir sehen, dass für große Abgleitung e der Martensit relativ zum Austenit stabilisiert wird, d.h. wird Austenit star verformt, so wandelt sich das Material in den Martensit um, und ann dann eine weitere Formänderung durch Umverteilung zwischen verschiedenen Varianten des Martensits sehr leicht erreichen. Trägt man nach Gl die Schubspannung gegen die Abscherung auf, so erhält man Spannungsdehnungsurven wie in der Abbildung unten gezeigt. Für T<<T c ist das Material vollständig martensitisch. Entsprechend läßt es sich zunächst sehr leicht verformen durch Umbesetzung der Varianten. Zu großen e, wenn das Gefüge nur noch aus der günstigsten Variante besteht, steigt dann die erforderliche Schubspannung an, weil etzt der Martensit selbst verzerrt werden muss. Bei T>>T c erhält man das linear elastische Verhalten des Austenits. Interessant (insbesondere für Anwendungen) sind Temperaturen etwas oberhalb von T c. Hier wird zunächst der elastisch steife Austenit elastisch verformt, bis die Spannungen ausreichen Martensit zu bilden. Dieser läßt sich dann sehr leicht verformen. Wird die Last wieder entfernt, wandelt sich das Material wieder in Austenit um, eine vollständige Restauration der Ausgangsform wird erreicht. Das heißt die Verformung bleibt auch für sehr große relative Dehnung vollständig reversibel, also scheinbar elastisch (obwohl die Spannungsdehnungsurve deutlich nicht-linear ist). Man spricht von Super-Elastizität. Anwendungen: Brillengestelle, Expander für Blutgefäße. 5