Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 8

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1 PD. Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 6. Dezember 2013

2 4. Deskriptive Statistik 4.1. Grundbegriffe der Statistik Der Begriff Statistik wurde Ende des 17. Jahrhunderts geprägt für die verbale oder numerische Beschreibung eines bestimmten Staates oder den Inbegriff der Staatsmerkwürdigkeiten eines Landes oder Volkes (er hat dieselbe Wortwurzel wie Staat oder Staatsmann ). Heute hat dieser Begriff viele verschiedene Bedeutungen, z.b. für eine tabellarische oder graphische Darstellung von zahlenmäßig erhobenen Daten; einen Fachausdruck für eine Stichprobenfunktion; eine methodische Hilfswissenschaft zur zahlenmäßigen Untersuchung von Massenerscheinungen. Hier soll mit dem Begriff Statistik eine Zusammenfassung von Methoden verstanden werden, die zur zahlenmäßigen oder graphischen Analyse von Daten dienen soll, insbesondere im Zusammenhang mit Massenerscheinungen und zufallsbehafteten Vorgängen. PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 1

3 Teilgebiete der Statistik Die beschreibende oder deskriptive Statistik behandelt z.b. beschreibende Aussagen über statistische Daten, deren Veranschaulichung oder Möglichkeiten der Datenreduktion. Eng damit verwandt ist die explorative Datenanalyse, bei der z.b. Daten auf Unstimmigkeiten hin untersucht werden oder Modellvorstellungen über die den Daten zugrundeliegenden Gesetzmäßigkeiten entwickelt werden. Die Methoden der schließenden oder beurteilenden Statistik dienen z.b. zur Ableitung von statistisch gesicherten Aussagen über die den Daten zugrunde liegenden Sachverhalte, etwa die Schätzung von Kenngrößen oder die Durchführung von statistischen Tests. Insbesondere in der schließenden Statistik werden (auch zum Teil sehr anspruchsvolle) mathematische Methoden verwendet, deren (Weiter-)Entwicklung und Begründung durch die mathematische Statistik erfolgt. Insgesamt bestehen enge Beziehungen zwischen der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik). PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 2

4 Vorgehen bei statistischen Untersuchungen 1 Studienplanung (Vorbereitung und Planung): u. a.mit der exakten Formulierung des Untersuchungsziels der Festlegung der Art der Untersuchung, der Bestimmung der Stichprobengröße der Klärung organisatorischer und technischer Fragen (z.b. über die Verwendung welcher Tests, Ein- bzw. Ausschlusskriterien) der Berücksichtigung der entstehenden Kosten Durchführung (Erhebung, Datenerfassung): Man unterscheidet Primärdaten (die Daten werden eigens für den Untersuchungszweck erhoben) bzw. Sekundärdaten (vorhandenes Datenmaterial) Bei einer Primärstatistik unterscheidet man Vollerhebungen und Teilerhebungen Erhebungsarten bei primärstatistischen Untersuchungen sind z.b. die schriftliche bzw. mündliche Befragung die Beobachtung das Experiment die automatische Erfassung PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 3

5 Vorgehen bei statistischen Untersuchungen 2 Datenmanagement (Datenkontrolle und -aufbereitung): Hier können z.b. die Verkodierung, die Vorgehensweise mit Ausreißern oder Prüfungen zur sachlichen Richtigkeit (Plausibilität), Vollzähligkeit oder Vollständigkeit eine Rolle spielen. Analyse (Datenauswertung und-analyse): z.b. Beschreibung der Stichprobe (deskriptive Statistik) Schluss auf die Grundgesamtheit (schließende, induktive, analytische, beurteilende Statistik) Präsentation, Interpretation und Diskussion der Ergebnisse: z.b. zur Ableitung von Kernaussagen aus der Analyse der Daten PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 4

6 Untersuchungseinheiten, Grundgesamtheit und Stichprobe Daten werden an gewissen Objekten (den Untersuchungseinheiten ) beobachtet, z.b. Wirksamkeit eines Medikaments an Patienten Lebensdauern an elektronischen Geräten Ankunftsraten an Bahnkunden Einschätzung der wirtschaftl. Lage an Personen aus der Bevölk. Untersuchungseinheit= Einzelobjekt einer statistischen Untersuchung Jede Untersuchungseinheit wird hinsichtlich des Untersuchungsziels durch sachliche, räumliche und zeitliche Kriterien abgegrenzt, bzw. identifiziert. Grundgesamtheit= Gesamtheit von Untersuchungseinheiten mit übereinstimmenden Identifikationskriterien Stichprobe= Teilmenge der Grundgesamtheit, die bei einer stat. Untersuchung erfasst wird PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 5

7 Merkmale und Merkmalsausprägungen eigentlich interessieren nicht die Untersuchungseinheiten selbst, sondern bestimmte Eigenschaften der Untersuchungseinheiten (sogen. Merkmale), z.b. interessiert nicht der Patient selbst, sondern ob oder wie das Medikament bei ihm wirkt; bei Umfragen interessiert nicht der Passant, sondern seine Meinung Merkmal = Größe oder Eigenschaft einer Untersuchungseinheit, die auf Grund der interessierenden Fragestellung erhoben bzw. gemessen wird Merkmalsausprägung = möglicher Wert, den ein Merkmal annehmen kann Merkmalsträger = Untersuchungseinheit PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 6

8 Beispiel Mietspiegel Nettomiete abhängig von Merkmalen wie Art: Altbau, Neubau Lage: Innenstadt, Stadtrand Größe: 40m 2, 95m 2,... Baujahr: } {{ } 1932, 1965, 1983, 1995,... } {{ } Merkmale Ausprägungen In der Regel werden mehrere Merkmale an einem Merkmalsträger beobachtet; z.b. Merkmalsträger: Wetter zu einem best. Zeitpunkt an einem bestimmten Ort Merkmale: Temperatur, Niederschlagsmenge, Luftdruck, Bewölkung, Luftfeuchtigkeit, Sicht,... Merkmalsausprägungen müssen keine Zahlen sein; z.b. Bewölkung: wolkenlos, heiter, leicht bewölkt, wolkig, bedeckt Autofarbe: rot, grün, schwarz,... PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 7

9 Bwzeichnungen und Klassifikation von Merkmalen Bezeichnungen: Grundgesamtheit: Ω Untersuchungseinheit: ω oder i Merkmale: X, Y, Z oder auch X 1, X 2, X 3 Menge der Merkmalsausprägungen: S Merkmalsausprägungen: x = X(ω) oder x i = X(i) Merkmal ist eine Funktion X : Ω S, die jeder Untersuchungseinheit die zugehörige Merkmalsausprägung zuordnet. Klassifikation von Merkmalen: Merkmale qualitatives M. Rangmerkmal quantitatives M. diskret stetig PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 8

10 Merkmalstypen qualitatives Merkmal: es gibt weder eine nat. Ordnung der Ausprägungen, noch ist es sinnvoll, Abstände oder Verhältnisse der Ausprägungen zu betrachten; Ausprägungen meist verbal beschrieben Rangmerkmal: es gibt eine nat. Ordnung der Ausprägungen, aber es ist nicht sinnvoll, Abstände oder Verhältnisse der Ausprägungen zu betrachten; Ausprägungen verbal oder durch nat. Zahlen beschrieben quantitatives Merkmal: es gibt nat. Ordnung, Abstände oder Verhältnisse sind interpretierbar diskretes Merkmal: Ausprägungen sind isolierte Zustände, Menge der möglichen Ausprägungen ist abzählbar stetiges Merkmal: Ausprägungen liegen dicht, zwischen je zwei Ausprägungen ist stets eine weitere möglich Beachte: Jede praktische Messung bei stetigen Merkmalen ist durch die jeweilige Grenze der Messgenauigkeit bedingt diskret. PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 9

11 Merkmalstypen (Beispiele) Merkmal Ausprägungen Art Geschlecht m / w keine Ordnung qualitativ Automarke Fiat, Toyota,... keine Ordnung qualitativ Prüfungsnote 1, 2, 3, 4, 5 Ordnung, Rangmerkmal Abst. nicht interpr. Beliebtheit von sehr, mäßig, nicht Ordnung, Rangmerkmal Politikern Abst. nicht interpr. Anzahl Kinder 0, 1, 2, 3,... Ordnung, quantitativ, in einer Familie Abst. interpr., diskret keine Auspr. zw. 2 anderen mögl. Regenmenge 20mm, 50mm,... Ordnung, quantitativ, an einem Tag Abst. interpr., stetig Verhältn. interpr., zwischen 2 Auspr. immer weitere mögl. PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 10

12 Das Problem der Repräsentativität Die Repräsentativität spielt für statistische Auswertungen und Aussagen eine sehr große Rolle. Dabei können u.a. zwei Probleme bei Teilerhebungen von Bedeutung sein. Das Auswahlverfahren der Individuen aus der Grundgesamtheit (das Ziehen der Stichprobe). Dieses sollte so organisiert sein, dass jedes Individuum die gleiche Chance hat, ausgewählt zu werden und dass die Individuen unabhängig voneinander ausgewählt werden. Zu beachten ist, dass zu jedem Individuum auch mehrere Merkmale beobachtet werden können. Die Erhebung einer Stichprobe aus Zufallsexperimenten. Dabei sollte gewährleistet sein, dass die Versuche unter gleichbleibenden Versuchsbedingungen durchgeführt werden und dass die Zufallsexperimente unabhängig voneinander durchgeführt werden. Auch in diesem Fall können mehrere Merkmale von Interesse sein. PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 11

13 Nutzung von Statistik-Computerprogrammen Statistische Untersuchungen werden heutzutage im Allgemeinen unter Verwendung von Statistik-Computerprogrammen durchgeführt. Im Rahmen dieser Vorlesung werden entsprechende Vorgehensweisen mit Hilfe von 2 Programmen (von unterschiedlichem Typ) illustriert. Diese können nicht direkt in den Übungen geübt werden, deshalb sind hier selbstständige Bemühungen wünschenswert. Die Interpretation der Ausgabeinformationen der Computerprogramme und die prinzipielle Vorgehensweise (die Schritte, die nacheinander und in Abhängigkeit von bereits erzielten Ergebnissen durchzuführen sind) sind jedoch Bestandteil der Vorlesung und auch der Übung und gehören zum Prüfungsstoff. PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 12

14 Statgraphics Statgraphics Centurion ist ein menübasiertes Statistik-Computerprogramm, für das an der TU Bergakademie Freiberg eine Campuslizenz existiert. Informationen über die Installation des Programms und eine Anleitung zur Nutzung finden Sie z.b. auf der Webseite (unten) Ein ähnliches (auch kommerzielles) menübasiertes Statistik-Computerprogramm ist SPSS. PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 13

15 Das Programmpaket R R ist ein freies Statistik-Softwarepaket. Es kann unter kostenlos heruntergeladen werden. R ist ein kommandozeilenorientiertes Programm. Man gibt Befehle ein, die sofort ausgeführt werden und oft Ausgabeinformationen erzeugen. Mit Hilfe von Skripten können aufeinanderfolgende Befehlsketten zur Verarbeitungen vorbereitet und dann jedes Mal bei Bedarf ausgeführt werden. Durch die Mitarbeit vieler Personen wächst der Umfang der Programme und damit der Umfang der mit R bearbeitbaren Probleme ständig. Ein ähnliches kommandozeilenorientiertes Programm ist SPlus. Dieses ist allerdings ein kommerzielles Programm. PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 14

16 Beispieldatensatz Iris gehört als Beispieldatensatz zum Programmpaket R Datensatz enthält Werte von jeweils 50 Exemplaren von 3 Pflanzenarten Iris setosa (Borsten-Schwertlilie), Iris versicolor (Schwertlilie) und Iris virginica (Virginische oder Blaue Sumpfschwertlilie) zu jeder Blume wurden jeweils die folgenden Informationen erhoben: die Länge des Kelchblattes in cm ( Sepal.Length ) die Breite des Kelchblattes in cm ( Sepal.Width ) die Länge des Blütenblattes in cm ( Petal.Length ) die Breite des Blütenblattes in cm ( Petal.Width ) die Blumenart ( Species ) die Daten können in R wie folgt geladen werden: > data(iris) Informationen zum Datensatz erhält man in R durch > help(iris) PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 15

17 R Dokumentation zum Iris-Beispieldatensatz (> help(iris)) R: Edgar Anderson's Iris Data iris {datasets} R Documentation Edgar Anderson's Iris Data Description This famous (Fisher's or Anderson's) iris data set gives the measurements in centimeters of the variables sepal length and width and petal length and width, respectively, for 50 flowers from each of 3 species of iris. The species are Iris setosa, versicolor, and virginica. Usage iris iris3 Format iris is a data frame with 150 cases (rows) and 5 variables (columns) named Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length, Petal.Width, and Species. iris3 gives the same data arranged as a 3-dimensional array of size 50 by 4 by 3, as represented by S-PLUS. The first dimension gives the case number within the species subsample, the second the measurements with names Sepal L., Sepal W., Petal L., and Petal W., and the third the species. Source Fisher, R. A. (1936) The use of multiple measurements in taxonomic problems. Annals of Eugenics, 7, Part II, The data were collected by Anderson, Edgar (1935). The irises of the Gaspe Peninsula, Bulletin of the American Iris Society, 59, 2 5. References Becker, R. A., Chambers, J. M. and Wilks, A. R. (1988) The New S Language. Wadsworth & Brooks/Cole. (has iris3 as iris.) See Also matplot some examples of which use iris. Examples dni3 <- dimnames(iris3) ii <- data.frame(matrix(aperm(iris3, c(1,3,2)), ncol=4, dimnames = list(null, sub(" L.",".Length", sub(" W.",".Width", dni3[[2]])))), Species = gl(3, 50, labels=sub("s", "s", sub("v", "v", dni3[[3]])))) all.equal(ii, iris) # TRUE [Package datasets version Index] PD. Dr. Frank Heyde (TUBAF) Stochastik/Statistik für Ingenieure Vorlesung 8 16