Kurs 9.3: Forschungsmethoden II

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1 MSc Banking & Finance Kurs 9.3: Forschungsmethoden II Zeitreihenanalyse Lernsequenz 01: Einführung in die Zeitreihenanalyse Oktober 2014 Prof. Dr. Jürg Schwarz Folie 2 Inhalt Programm und Ziele dieser Lernsequenz 5 Mit den Finanzkrisen leben lernen (NZZ, ) 6 Beispiele von Zeitreihen 13 Einführung in die Zeitreihenanalyse 21 Ziele der Zeitreihenanalyse 31 Ein typisches Beispiel 37 Überblick über die Lernsequenzen zur Zeitreihenanalyse 43

2 Folie 3 Inhaltsverzeichnis Programm und Ziele dieser Lernsequenz 5 Mit den Finanzkrisen leben lernen (NZZ, ) 6 Beispiele von Zeitreihen 13 Privater Konsum I Privater Konsum II Jährliche Veränderungen (Differenz von Jahr zu Jahr) Anzahl erlegter Luchse CO 2 -Konzentration Verfügbares Einkommen der privaten Haushalte I Verfügbares Einkommen der privaten Haushalte II Beschreibung Weitere Beispiele von Zeitreihen ohne Ökonomie Einführung in die Zeitreihenanalyse 21 Anwendung der Zeitreihenanalyse in der Ökonomie Was ist Zeitreihenanalyse? Deskriptive Modellierung einer Zeitreihe Beispiel "seasonal goods" (Jan 2004 bis Dez 2006) Komponenten Zeitreihe als stochastisches Modell Einfaches stochastisches Modell Random Walk mit Drift Excel-Tools auf Ilias Folie 4 Ziele der Zeitreihenanalyse 31 Beschreibung von Zeitreihen Zeitreihenplot Modellierung von Zeitreihen Prognose mit Zeitreihen Ein typisches Beispiel 37 Analyse und Prognose des privaten Konsums Überblick über die Lernsequenzen zur Zeitreihenanalyse 43 LS 01 Einführung in die Zeitreihenanalyse LS 02 Deskriptive Modellierung von Zeitreihen LS 03 Einführung in die stochastische Modellierung LS 04 Regression zwischen Zeitreihen, ARMA-Modelle LS 05 Trends und Unit-Root-Test, ARIMA-Modelle LS 06 Zeitreihen mit stochastischer Volatilität LS 07 Kointegration LS 08 Methodische Erweiterung: Panelregression / Zusammenfassung... 44

3 Programm und Ziele dieser Lernsequenz Folie 5 Einführung in die Zeitreihenanalyse (2 Stunden) Programm Was sind typische Eigenschaften von Zeitreihen? Einführung in die Zeitreihenanalyse: Verschiedene Ansätze Was sind die Ziele der Zeitreihenanalyse? Ablauf der Zeitreihenanalyse an einem Beispiel Inhalte der Vorlesung Ziele Sie kennen erste Begriffe der Zeitreihenanalyse. Sie kennen wesentliche Ziele Sie haben einen Überblick Einführung in EViews (1 Stunde) Programm Kurze Einführung in das Hilfesystem von EViews Workshop mit zwei Aufgaben 1. "A Demonstration" von EViews nachvollziehen 2. Beispiel einer multiplen Regression berechnen Vergleich mit SPSS Ziele Sie können sich mittels der Hilfe von EViews selber helfen. Sie können EViews bedienen. Sie können eine einfache multiple Regression berechnen, wesentliche Grössen des Outputs identifizieren und die Gemeinsamkeit zu SPSS erkennen. Mit den Finanzkrisen leben lernen (NZZ, ) Folie 6 S&P-500-Index

4 Ein Jahr nach Lehman... (NZZ, ) Folie 7... sieht die Welt besser aus S&P-500-Index Daten-Quelle: Zwei Jahre nach Lehman... (JS, ) Folie 8... hat sich der S&P 500 vor allem seitwärts bewegt S&P-500-Index Daten-Quelle:

5 Drei Jahre nach Lehman... (JS, ) Folie 9... hat sich der S&P 500 immer noch vor allem seitwärts bewegt S&P-500-Index Daten-Quelle: Vier Jahre nach Lehman... (JS, ) Folie hat sich der S&P 500 insgesamt leicht nach oben bewegt S&P-500-Index Daten-Quelle:

6 Fünf Jahre nach Lehman... (JS, ) Folie hat sich der S&P 500 weiter nach oben bewegt S&P-500-Index Daten-Quelle: Sechs Jahre nach Lehman... (JS, ) Folie hat sich der S&P 500 weiter nach oben bewegt S&P-500-Index Daten-Quelle:

7 Beispiele von Zeitreihen Folie 13 Privater Konsum I Mrd. EUR Jahre 1976 bis 2001 Positiver Trend mit kleinen Fluktuationen Aufeinander folgende Werte hängen wahrscheinlich voneinander ab. Kein saisonales Muster Privater Konsum (Österreich), Mrd. EUR, in Preisen von Quelle: Hackl (2013) Privater Konsum II Jährliche Veränderungen (Differenz von Jahr zu Jahr) Folie 14 Mrd. EUR Scheinbar zufällige Fluktuationen werden deutlich. Jedoch auf tiefem Niveau: Maximum der Fluktuationen 2.5% Der positive Trend zeigt sich im positiven Durchschnitt der Fluktuationen. Mittelwert = 2.04 Mrd. EUR Jahre 1976 bis 2001 Änderung des Privaten Konsums, Mrd. EUR, in Preisen von Quelle: Hackl (2013)

8 Anzahl erlegter Luchse Folie Periodischer Verlauf erkennbar. Länge der Periode (9-10 Jahre) ist Schwankungen unterworfen. Luchse Amplitude ist signifikanten Schwankungen unterworfen. Messwerte sind ziemlich sicher nicht normalverteilt Jahre 1821 bis 1934 Hudson Bay Company. Quelle: Elton & Nicholson (1942) zitiert in Andrews & Herzberg (1985) CO 2 -Konzentration Folie 16 CO2-Konzentration Einheitlich periodischer Verlauf mit kleinen Fluktuationen Hohe Konstanz von Länge und Amplitude der Perioden Positiver Trend mit langwelligen Schwankungen Jahre 1964 bis 2009 Messstelle Mauna Loa, Hawaii, Monatliche Aufzeichnung. Quelle: Keeling & Whorf (2005)

9 Verfügbares Einkommen der privaten Haushalte I Folie Mrd. EUR Jahre 1976 bis 1995 Verfügbares Einkommen (Österreich), Mrd. EUR, in Preisen von Quelle: Hackl (2013) Verfügbares Einkommen der privaten Haushalte II Beschreibung Folie 18 Achtung: Y-Achse abgeschnitten Zeigt typische Eigenschaften ökonomischer Zeitreihen Trend Saisonale Struktur Langwellige Schwankung Zufällige Fluktuationen Quartalseigenschaften 1. Quartal: Tief 2. Quartal: Anstieg 3. Quartal: Stagnation 4. Quartal: Anstieg 1. Q 2. Q 3. Q 4. Q 1. Q

10 Weitere Beispiele von Zeitreihen ohne Ökonomie Folie 19 Ökologie Schadstoffkonzentration (Ozon, Feinstaub,...) Demographie Bevölkerungszahlen, Anzahl Eheschliessungen und Ehescheidungen Physik Mittlere Monatstemperatur, Anzahl Sonnenflecken Biologie Population (Räuber-Beute-System,...) Medizin Verlauf von Pandemie, Anzahl AIDS-Tote Ebola virus disease cases reported each week from Liberia Folie 20 Situation report - 8 October 2014 Liberia Jan 2014 Okt 2014 Quelle: World Health Organization (

11 Einführung in die Zeitreihenanalyse Folie 21 Anwendung der Zeitreihenanalyse in der Ökonomie Empirische Grundlagen für ökonomische Theorien Verifikation ökonomischer Theorien basierend auf erhobenen Daten Volkswirtschaftliche Untersuchungen BIP-Prognose, saisonbereinigte Arbeitslosenquote, Konjunkturanalyse Schätzung von Parametern für Modelle der Finanzmathematik Erwartete Renditen und Korrelationen im Portfoliomanagement Prognose von Preisen / Renditen Aktienkurs, Devisenkurs, Rendite Anwendung im Risikomanagement Risikoquantifizierung von Finanzinstrumenten Schätzung von Zinsstrukturen Zinsen von langfristigen vs. kurzfristigen Anlagen Was ist Zeitreihenanalyse? Folie 22 Ad hoc Definition einer Zeitreihe Zeitreihen sind zeitlich geordnete Folgen von Beobachtungen. Die Werte ökonomischer Zeitreihen sind mit grosser Wahrscheinlichkeit voneinander abhängig. Deskriptive Modellierung Modellierung von Zeitreihen mit Komponenten (Trend, Zyklus, Saison) Stochastische Modellierung Modellierung der Abhängigkeitsstruktur von Zeitreihen durch stochastische Prozesse Prognose Prognose künftiger Werte aus den Beobachtungen einer Zeitreihe Eventuell unter Zuhilfenahme von zusätzlichen Informationen

12 Deskriptive Modellierung einer Zeitreihe Beispiel "seasonal goods" (Jan 2004 bis Dez 2006) Jan 04 Apr 04 Jul 04 Okt 04 Jan 05 Apr 05 Jul 05 Okt 05 Jan 06 Apr 06 Jul 06 Okt 06 Folie 23 Zeit Umsatz [Monat] [Mio. Fr.] Januar Februar März April Mai Juni Juli August September Oktober November Dezember Januar Februar März April Mai Juni Juli August September Oktober November Dezember Januar Februar März April Mai Juni Juli August September Oktober November Dezember Komponenten 10.0 Folie Restkomponente Jan 04 Feb 04 Mrz 04 Apr 04 Mai 04 Jun 04 Jul 04 Aug 04 Sep 04 Okt 04 N ov 04 Dez 04 Jan 05 Feb 05 Mrz 05 Apr 05 Mai 05 Jun 05 Jul 05 Aug 05 Sep 05 Okt 05 N ov 05 Dez 05 Jan 06 Feb 06 Mrz 06 Apr 06 Mai 06 Jun 06 Jul 06 Aug 06 Sep 06 Okt 06 N ov 06 Dez Trend Jan 04 Feb 04 Mrz 04 Apr 04 Mai 04 Jun 04 Jul 04 Aug 04 Sep 04 Okt 04 N ov 04 Dez 04 Jan 05 Feb 05 Mrz 05 Apr 05 Mai 05 Jun 05 Jul 05 Aug 05 Sep 05 Okt 05 N ov 05 Dez 05 Jan 06 Feb 06 Mrz 06 Apr 06 Mai 06 Jun 06 Jul 06 Aug 06 Sep 06 Okt 06 N ov 06 Dez Konjunktur Jan 04 Apr 04 Jul 04 Okt 04 Jan 05 Apr 05 Jul 05 Okt 05 Jan 06 Apr 06 Jul 06 Okt Jan 04 Feb 04 Mrz 04 Apr 04 Mai 04 Jun 04 Jul 04 Aug 04 Sep 04 Okt 04 N ov 04 Dez 04 Jan 05 Feb 05 Mrz 05 Apr 05 Mai 05 Jun 05 Jul 05 Aug 05 Sep 05 Okt 05 N ov 05 Dez 05 Jan 06 Feb 06 Mrz 06 Apr 06 Mai 06 Jun 06 Jul 06 Aug 06 Sep 06 Okt 06 N ov 06 Dez 06 Jan 04 Feb 04 Mrz 04 Apr 04 Mai 04 Jun 04 Jul 04 Aug 04 Sep 04 Okt 04 Nov 04 D ez 04 Jan 05 Feb 05 Mrz 05 Apr 05 Mai 05 Jun 05 Jul 05 Aug 05 Sep 05 Okt 05 Nov 05 D ez 05 Jan 06 Feb 06 Mrz 06 Apr 06 Mai 06 Jun 06 Jul 06 Aug 06 Sep 06 Okt 06 Nov 06 D ez 06 Saison

13 Deskriptive Modellierung Folie 25 Komponenten ökonomischer Zeitreihen Systematische Komponenten Restkomponente Glatte Komponente Saisonkomponente Trend Konjunkturkomponente Folie 26 Saisonale Komponente: Beschreibt saisonale Schwankungen innerhalb eines Jahres (Beispiel: Arbeitslosenquote), Schwankungen innerhalb eines Monats (Beispiel: Umsätze von Einzelhandelsgeschäften), Schwankungen innerhalb einer Woche (Beispiel: Auflage einer Boulevardzeitung), Schwankungen innerhalb eines Tages (Beispiel: Verkehrsdichte) Trend: Beschreibt die langfristige Entwicklung der Zeitreihe. Beispiele mit ausgeprägtem Trend: Produktivität, Säuglingssterblichkeit Zyklische Variation ("Konjunkturkomponente"): Typisch sind längere, über mehrere Jahre gehende Zyklen mit variabler Periodenlänge. Beispiele: Konjunkturzyklus, Bauzyklus, Schweinezyklus Trend und Konjunkturkomponente werden oft zur glatten Komponente zusammengefasst, die dann ebenfalls als Trend bezeichnet wird. Zufallsschwankung ("Restkomponente"): Einmalige und zufällige Einflüsse, deren Ursache, Zeitpunkt und Stärke nicht oder nur schwer abzuschätzen sind. Beispiele: Witterungseinflüsse, Streiks, Veränderungen von Wechselkursen, Maschinenausfälle.

14 Zeitreihe als stochastisches Modell Eine Zeitreihe ist eine Folge von n Beobachtungen y t. Die n Beobachtungen sind Realisation der Zufallsvariablen Y 1, Y 2,...Y n Folie 27 {y t } t=1,w,n alternative Schreibweise {y t, t = 1,..., n} Die Folge der Zufallsvariablen Y 1, Y 2,...Y n ist ein Ausschnitt des zu Grunde liegenden stochastischen Prozesses {Y t, t = -,..., } diskret Werte stetig Die Messzeitpunkte der Zeitreihe können diskret oder stetig sein. Die Messwerte der Zeitreihe können diskret oder stetig sein. Zeitpunkte diskret stetig A C B D Beispiele Anzahl Personen, die aus Zügen von Zürich nach Bern steigen (A) Tagesmaximum von Aktienkursen (B) Anzahl Personen, die an einer Überwachungskamera vorbeigehen (C) Laufende Notierung von Aktienkursen (D) Einfaches stochastisches Modell Random Walk mit Drift Zeitreihenmodell Y + u t = δ+ Yt 1 = Yt Yt 1 Y =δ+ u Eigenschaften t t Werte von Y zum Zeitpunkt t sind abhängig von den Werten zum Zeitpunkt t-1. Hinzu kommt eine Konstante δ. Hinzu kommt eine zufällige Schwankung u t. Die Differenzen Y fluktuieren zufällig um den Wert δ (Erwartungswert von Y t ). Wiederholtes Einsetzen in die Modellgleichung liefert Y= Y +δ t+ u t 0 i i t Die Darstellung zeigt, warum der Prozess als Random Walk (Irrfahrt) mit Drift bezeichnet wird. Der Prozess setzt sich aus zwei Komponenten zusammen: Deterministischer Wachstumspfad (Drift): Y 0 + δ t Kumulierte Störgrössen (Irrfahrt): Σu i Die u t sind unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0 und Varianz σ 2. Eine Variable mit diesen Eigenschaften heisst Weisses Rauschen (white noise). Folie 28

15 Folie 29 Beispiel (Excel-Tool "Random Walk & AR(1).xls") Yt = Yt 1 + ut, mit Y0 = 0 ut: Gleichverteilte Pseudozufallsvariable mean(ut) = 0.25, var(ut) = 0.87 Yt δt Σut y t ut t mean var Σ Yt δt i t Σ ut i Y = Y + δt + u y Folie 30 Excel-Tools auf Ilias MA(1) ARMA(p,q) Random Walk & AR(1)

16 Ziele der Zeitreihenanalyse Folie 31 Beschreibung von Zeitreihen Ziel: Sichtbar machen innerer Zusammenhänge Deskriptive Methoden Grafiken der Zeitreihe ("Zeitreihenplot") Zerlegung der Zeitreihe in Komponenten Lagged Scatterplot (siehe LS 03) Korrelogramm (siehe LS 03) Erster, wichtiger Schritt der Zeitreihenanalyse ist die Betrachtung des Zeitreihenplots Zeitreihenplot liefert Informationen über Trends, Saisoneffekte, Variabilität und "Ausreisser" Übliche Darstellung X-Achse: Zeitachse Y-Achse: Gemessene Grösse Zeitreihenplot Eigenschaften und Fallstricke Folie 32 Chattfield (2001) [Ausrufezeichen im Originalzitat]: Some computer graphs are AWFUL!! So use Tippex (!) or a better package which does give control over output. Die Darstellung des Zeitreihenplots kann zu Missinterpretationen führen, je nach... Wahl der Skalen Sind die Skalen transformiert? Welche Einheiten? Wahl des Ausschnitts Mit oder ohne Nullpunkt? Startpunkt/Endpunkt des Ausschnitts? Zeitreihe im Zeitreihenplot ist eine einmalige Realisation eines Zufallsprozesses Muster und zugehörige Hypothesen könnten sich bei der nächsten Realisation als nichtig herausstellen. Nur unter bestimmten Voraussetzungen (siehe LS 03) können einmalige Realisationen als repräsentativ betrachtet werden. Folgerung: Zeitreihenplots sind wichtige Analyseinstrumente, die mit Vorsicht interpretiert werden sollten.

17 Folie 33 Beispiel eines Zeitreihenplots Wahl von Skala und Ausschnitt Ausschnitt Folie 34 Beispiel eines Zeitreihenplots "Mustererkennung" Trend? Saisonalität? "seasonal goods"?

18 Folie 35 Der Zeitreihenplot stammt aus einer Simulation eines Random Walk mit Drift Y t = δ + Y t-1 + u t Weitere Realisationen (Excel-Tool "Random Walk & AR(1).xls") Es gibt offensichtlich keine Saisonalität! Modellierung von Zeitreihen Ziel: Verständnis und Festlegung modellhafter Zusammenhänge Gegeben eine Zeitreihe y 1, y 2, y 3,... Methoden Deskriptive Modellierung: Klassische, "ältere" Zeitreihenanalyse Folie 36 Stochastische Modellierung: Spezifikation eines stochastischen Prozesses {Y t } t=1,2,3,... Ablauf Theoretische Überlegungen Analyse empirischer Daten zur Aufdeckung der Gesetzmässigkeiten Festlegung des Modelltyps Schätzung der Modellparameter Testen der Modellgüte Prognose mit Zeitreihen Ziel: Prognose von unbekannten Werten mit zugehörigen Prognoseintervallen Grundlage ist ein geschätztes und validiertes Modell.

19 Ein typisches Beispiel Folie 37 Analyse und Prognose des privaten Konsums Ausgangslage: Privater Konsum (Österreich), Mrd. EUR, in Preisen von Mrd. EUR Jahre 1976 bis 2001 Theoretische Grundlagen Wie kommt der Trend zustande? Können bestimmte Unregelmässigkeiten inhaltlich erklärt werden? Können inhaltliche Annahmen für eine Prognose (Szenarien) gemacht werden? Folie 38 Statistische Analyse Zeitreihenplot (Originaldaten und erste Differenzen) Korrellogramm (nicht in diesem Beispiel, folgt in späteren Lernsequenzen) Verschiedene Tests (nicht in diesem Beispiel, folgt in späteren Lernsequenzen) Modellierung Wahl eines Modells Modellüberprüfung Prognose Angaben zur Qualität der Prognose (Vertrauensintervall, usw.)

20 Folie 39 Statistische Analyse Zeitreihenplot (siehe oben) Positiver Trend mit kleinen Fluktuationen Aufeinander folgende Werte hängen wahrscheinlich voneinander ab. Kein saisonales Muster Plot der ersten Differenzen 4 3 Mrd. EUR Jahre 1976 bis 2001 Fluktuationen zufällig und auf tiefem Niveau: Maximum der Fluktuationen 2.5% Positiver Trend <=> positiver Durchschnitt der Fluktuationen Folie 40 Modellierung Wahl eines Modells Regression als linearer Trend mit Zeit als Regresssor: Y t = β 0 + β 1 t + E t Residual Actual Fitted Signifikantes Modell > EViews Output "Prob(F-statistic) " Hoher Determinationskoeffizient > EViews Output "R-squared " Modellüberprüfung Durbin-Watson-Statistik > EViews Output "Durbin-Watson stat " Residuen weisen Autokorrelation 1. Ordnung auf Modell liefert verzerrte Schätzer

21 Folie 41 Wahl eines neuen Modells Autoregression: Y t = α + ϕ Y t-1 + E t Residual Actual Fitted Signifikantes Modell > Prob(F-statistic) Hoher Determinationskoeffizient > EViews Output "R-squared " Modellüberprüfung Durbin-Watson-Statistik > Durbin-Watson stat <=> geringe Autokorrelation AR(1)-Term ϕ = > 1 => nichtstationärer Prozess Inverted AR Roots 1.02 >1 => nichtstationärer Prozess Prozess ist eher Random Walk mit Drift ("Estimated AR process is nonstationary") Prognose mit Prognoseintervallen: ± 2 Standardfehler (95%-Vertrauensintervall) Periode für die Schätzung der Parameter: Prognoseperiode: Regression als linearer Trend Folie CR MINUS_2SE CRF PLUS_2SE

22 Überblick über die Lernsequenzen zur Zeitreihenanalyse Folie 43 LS 01 Einführung in die Zeitreihenanalyse Siehe diese Lernsequenz LS 02 Deskriptive Modellierung von Zeitreihen Komponenten ökonomischer Zeitreihen Trendbestimmung durch Filterung / Glättung Bestimmung der Saisoneffekte mit Dummyvariablen LS 03 Einführung in die stochastische Modellierung Zeitreihe als stochastisches Modell / Konzept der Stationarität Autokorrelation und partielle Autokorrelation AR(p)-Prozess, MA(q)-Prozess und ARMA(p,q)-Prozess LS 04 Regression zwischen Zeitreihen, ARMA-Modelle Tests auf Autokorrelation der Fehlerterme Modellierung von ARMA(p,q)-Prozessen Ausführliches Beispiel zur Modellbildung LS 05 Trends und Unit-Root-Test, ARIMA-Modelle Deterministischer vs. stochastischer Trend Test für Stationarität / Unit-Root-Tests in EViews Schätzen von ARIMA-Modellen mit EViews Folie 44 LS 06 Zeitreihen mit stochastischer Volatilität Stylized Facts von Finanzzeitreihen / Modellierung nichtkonstanter Varianz Schätzung von ARCH(p)-Modellen GARCH(p,q)-Modell LS 07 Kointegration Massnahmen bei nichtstationären Zeitreihen Erweiterung des Modells Kointegrationstest mit EViews LS 07 Simulation mit EViews Programmieren mit der EViews-Programmiersprache Erzeugung von Prozessen (Random Walk, ARMA(p,q)-Prozesse) For...Next-Steuerung LS 08 Methodische Erweiterung: Panelregression / Zusammenfassung