Grundbegriffe. Worum geht es in diesem Modul?

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1 Grundbegriffe Worum geht es in diesem Modul? Einführung Merkmale Merkmalstyp Skalenniveaus Skalentransformation Erhebung Erhebungsarten Datenmatrix Exkurs, Indexnotation Resümee Worum geht es in diesem Modul? Die Statistik hat wie jede andere Wissenschaft ihre eigene Sprache. Wo es im alltäglichen Gespräch heißt, dass Sie fünf Freunde nach ihrer Meinung zur Farbe eines Autos gefragt haben, spricht ein Statistiker von einem erhobenen Datensatz vom Umfang fünf zur Erfassung des nominal skalierten Merkmals "subjektiver Farbgeschmack" der Merkmalsträger "Personen". Dieses Kapitel soll Sie Schritt für Schritt mit der Sprache der Statistik vertraut machen. Darüber hinaus werden einige für diese Anwendung benötigte Begriffe erläutert, wie z.b. Skalenniveau und Merkmale. Einführung Bei einer statistischen Untersuchung werden verschiedene Phasen durchlaufen: Planung, Erhebung, Aufbereitung und Auswertung. In der Stufe der Planung legen wir unter anderem das Untersuchungsziel und die statistischen Einheiten der Grundgesamtheit fest. Untersuchungsziel Das Untersuchungsziel ist zu Beginn häufig eine vage Vorstellung des zu untersuchenden Problems. Nötig ist jedoch eine präzise Formulierung. Es sollen präzise Ergebnisse aus einer statistischen Untersuchung gewonnen werden. Es soll die Lärmbelastung in einer bestimmten Straße untersucht werden. Statistische Einheit und Grundgesamtheit Die statistische Einheit (auch Merkmalsträger) ist das Einzelobjekt einer statistischen Untersuchung. Sie ist Träger der für die Untersuchung interessanten Informationen. Die Grundgesamtheit ist die Menge aller statistischer Einheiten, für die sachliche, räumliche und zeitliche Abgrenzungskriterien gelten, so dass wir eindeutig feststellen können, ob eine Einheit zur Grundgesamtheit gehört, also eine statistische Einheit ist oder nicht. Endliche Grundgesamtheiten verfügen über endlich viele statistische Einheiten. Unendliche Grundgesamtheiten (statistische Massen) sind Mengen mit unendlich vielen statistischen Einheiten. Beispiele: Page 1

2 Endliche Grundgesamtheit: Alle Anwohner in einer bestimmten Straße Unendliche Grundgesamtheit: Alle Atome im Universum Merkmale Fragebogen Ein Fragebogen ist eine Sammlung von Fragen, durch die Informationen bezüglich des Untersuchungsziels gewonnen werden sollen. Er ist nichts anderes als eine Übersetzung des zugrundeliegenden Forschungsproblems in Fragen. Beispiel Fragebogen ( a2f.jpg ) Bei der Gestaltung müssen wir bestimmte Regeln beachten. Zum Beispiel soll ein Fragebogen motivierend wirken, die Fragen folglich leicht verständlich sein. Durch einfache Einleitungsfragen kann die Scheu vor der Beantwortung genommen werden. Die weiteren Fragen sollten nach Themenblöcken sortiert sein. Auch das Layout spielt eine nicht zu unterschätzende Rolle. Eine klare thematische Gliederung ist unabdingbar, ebenso eine gut lesbare Schrift. Alles in allem sollten wir ein professionelles Äußeres anstreben. Bevor wir einen Fragebogen verteilen, sollte er einem vorhergehenden Test unterzogen werden. So stellen wir sicher, dass die Fragen verstanden werden oder ob sich Fehler eingeschlichen haben. Durch den sogenannten Pretest werden Verbesserungsmöglichkeiten aufgezeigt. Merkmale Merkmale sind die laut Untersuchungsziel interessierenden Eigenschaften der statistischen Einheiten. In der Regel sind die Eigenschaften einer Einheit, nicht die Einheit selbst von Belang. Die statistischen Einheiten nennen wir folglich auch Merkmalsträger. Merkmalsträger Ein Merkmal ordnet jeder statistischen Einheit einen Wert zu, den sogenannten Merkmalswert. Merkmale bezeichnen wir mit lateinischen Großbuchstaben: Merkmalsausprägungen Merkmalsausprägungen sind alle möglichen Werte, die ein Merkmal annehmen können. Wir bezeichnen die Merkmalsausprägungen mit kleinen lateinischen Buchstaben, wobei dieser kleine Buchstabe der Bezeichnung des Merkmals entspricht: Merkmal Merkmalsausprägungen Merkmalsausprägungen werden häufig mit einer ganzzahligen Ziffer bezeichnet (nur bei nominalskalierten Merkmalen). Merkmalstyp Page 2

3 Merkmale unterscheiden wir folgendermaßen: Qualitative bzw. Klassifikatorische Merkmale Bei qualitativen (klassifikatorischen) Merkmalen besteht keine natürliche Reihenfolge. Es ist nicht möglich, aufgrund der Merkmalsausprägungen Rangfolgen zu ermitteln. Sie klassifizieren nur die Elemente der Grundgesamtheit, es werden Klassen gebildet. Farbe; Geschlecht; Beruf; Studienfach Komparative Merkmale Im Gegensatz zu den qualitativen Merkmalen kann bei komparativen Merkmalen eine Rangordnung gebildet werden. Eine Differenzbildung der Merkmalsausprägungen lässt jedoch keine Schlüsse zu. Klassifizierung bei der Bahn: 1. Klasse ist besser als 2. Klasse, aber nicht doppelt so komfortabel Quantitative bzw. Metrische Merkmale Ergänzend zu den komparativen Merkmalen kann bei den quantitativen (metrischen) Merkmalen nicht nur eine Rangordnung gebildet werden, sondern auch eine Differenzbildung der Merkmalsausprägungen lässt Raum für Interpretationen. Es existiert ein Abstandsmaß (Metrik) zur numerischen Erfassung dieser Differenzen. Merkmale weisen also unterschiedliche Eigenschaften auf. Um Merkmalswerte zu erhalten, benötigen wir eine Messvorschrift, eine Skala. Geschwindigkeiten; Entfernungen Skalenniveaus Die beobachteten Ausprägungen der erhobenen Merkmale bilden die Datengrundlage, auf die wir anschließend statistische Methoden anwenden. Ausschlaggebend für die Auswahl der Methoden und die Art der grafischen Aufbereitung ist das Skalenniveau eines Merkmals. Eine Skala ist eine Anordnung von Werten, denen die Merkmalsausprägungen eindeutig zugeordnet werden. Nominalskala Die Nominalskala ist die einfachste Form. Es gibt keine natürliche Reihenfolge der Skalenwerte, es lässt sich lediglich bestimmen, ob diese Werte gleich oder verschieden sind. Auf der Nominalskala finden wir aus diesem Grund die qualitativen Merkmale. Geschlecht, Nominalskala Neben dem Geschlecht ist beispielsweise auch das Merkmal "Studienrichtung" (BWL, VWL, WiInf,...) nominalskaliert. Ordinalskala Auf einer Ordinalskala können die Merkmalsausprägungen in eine natürliche Reihenfolge gebracht werden, es existiert eine Rangordnung. Die Ausprägungen der Page 3

4 komparativen Merkmale sind ordinal messbar, also auf der Ordinalskala zu finden. Platzierung, Ordinalskala Kardinalskala Ergänzend zu den ordinalskalierten Merkmalen können wir bei den kardinalskalierten Merkmalen nicht nur eine Rangordnung bilden, sondern auch eine Differenzbildung der Merkmalsausprägungen lässt Raum für Interpretationen. Es existiert ein Abstandsmaß (Metrik) zur numerischen Erfassung dieser Differenzen. Eine Skala, deren Skalenwerte reelle Zahlen sind und alle Ordnungseigenschaften der reellen Zahlen besitzt, heißt Kardinalskala. Wir unterteilen Kardinalskalen in drei weitere Skalen. Geschwindigkeit, Kardinalskala (Kardinale) Intervallskala Eine metrische Skala, die keinen natürlichen Nullpunkt und keine natürliche Einheit besitzt, nennen wir Intervallskala. Im Gegensatz zur Ordinalskala (Bsp. Noten) können hier Differenzen bzw. Abstände verglichen werden. Längengrad; Temperatur (Kardinale) Verhältnisskala Eine metrische Skala, die einen natürlichen Nullpunkt, aber keine natürliche Einheit besitzt, nennen wir Verhältnisskala. Entfernung; Geschwindigkeit (Kardinale) Absolutskala Eine metrische Skala, die einen natürlichen Nullpunkt und eine natürliche Einheit besitzt, nennen wir Absolutskala. Stückzahlen Skalentransformation Notwendigkeit von Transformationen Oft ist es für die Arbeit mit Daten notwendig, diese zuerst geeignet zu transformieren: Bei der weiteren Auswertung sind nichtnumerische Ausprägungen, wie das Geschlecht von Personen, schlecht zu handhaben. Wollen wir beispielsweise die Temperaturunterschiede zwischen den USA und Deutschland vergleichen, müssen wir die entsprechenden Daten von Grad Fahrenheit in Grad Celsius umrechnen. Mit einer Transformationwird jeder Ausprägungdes Merkmals ein neuer Wert zugeordnet: z.b. dem Geschlecht "Männlich" die 0 und "Weiblich" die 1; dem Wert 70 Fahrenheit der Wert 21 Celsius; dem Wert 100 db die Bezeichnung "laut", etc. Page 4

5 Transformationen können bewirken, dass sich das Skalenniveau des Merkmals ändert. Werden z.b. in -Werten vorliegende Umweltbelastungen auf die drei Kategorien "gering", "mittel" und "hoch" abgebildet, ist das Merkmal nun nicht mehr kardinal, sondern nur noch ordinal skaliert. Skalenerhaltende Transformation Im folgenden sind die jeweils skalenerhaltendentransformationen aufgeführt: Nominalskala - eineindeutige Transformation, d.h. zu jedemexistiert genau einund umgekehrt. Ordinalskala - monotone Transformation, d.h. wenn, dann gilt auch. Kardinalskala - lineare Transformation, d.h., wobeiundbeliebige reelle Zahlen sind undgilt. Ein Übergang von einer höheren zu einer niedrigeren Skala ist jederzeit möglich. Ein Übergang von einer niedrigeren zu einer höheren Skala wird z.b. über Standardisierung oder Messziffern ermöglicht. Erhebung Quellen Wir können Daten über mehrere verschiedenartige Quellen gewinnen. Primäre Quellen Bei einer Primärerhebung erheben wir die Daten für einen spezifischen Untersuchungszweck. Vorteil: - Erhebungskonzept kann genau auf das Untersuchungsziel zugeschnitten werden Nachteil: - hoher Kosten- und Zeitaufwand bei der Entwicklung (für viele private Erhebungen zu kostspielig) - fragwürdige Zuverlässigkeit der gewonnenen Daten - (keine Verpflichtung zur wahrheitsgemäßen Beantwortung bei privater Befragung; bei amtlicher Befragung, z.b. bei Fragen des Statistischen Bundesamts jedoch schon) Sekundäre Quellen Bei Sekundärerhebungen greifen wir auf vorhandenes Datenmaterial zurück. Diese Daten wurden vorher von anderen Stellen für andere Untersuchungszwecke erhoben, z.b. vom Statistischen Bundesamt. Häufig werden Primär- und Sekundäranalyse kombiniert. Vorteil: - im Vergleich zu Primärerhebung relativ niedriger Kosten- und Zeitaufwand (schnell verfügbar) Nachteil: - nicht immer aktuelle Daten Page 5

6 - für einen anderen Zweck erhoben, daher eingeschränkte Verwendbarkeit Beispiele für Quellen: Statistisches Bundesamt in Wiesbaden UN Eurostat in Luxemburg Zentralarchiv für empirische Sozialforschung in Köln usw. Totalerhebung vs. Stichprobenerhebung Eine wichtige Frage bei jeder Erhebung ist der Umfang(die Anzahl) der zu berücksichtigenden Merkmalsträger. Alle für eine Erhebung in Frage kommenden Merkmalsträger bilden die Grundgesamtheit der Erhebung. Berücksichtigen wir alle Merkmalsträger der Grundgesamtheit in der statistischen Erhebung, sprechen wir von einer Totalerhebung, andernfalls handelt es sich um eine Stichprobe. Erhebungsarten Befragung Die Befragung ist die in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften am häufigsten verwendete Methode der Datenerhebung. Die Befragung kann je nach Untersuchungsziel strukturiert (bestimmte Kernfragen), frei (nur das Thema ist vorgegeben) oder standardisiert (feste Reihenfolge der Fragen) erfolgen. Wir können Befragungen auf unterschiedliche Arten durchführen:. Persönlich. Telefonisch. Schriftlich. Internet Persönliche Befragungen (sog. Face-to-Face Interviews) sind in der Regel sehr kostenund zeitaufwändig. Man geht jedoch davon aus, dass relativ "zuverlässige" Ergebnisse (im Sinne einer guten Datenqualität) erreicht werden. Telefonische Befragungen sind in allgemeinen kostengünstiger, jedoch meist vom Umfang der Befragung stark eingeschränkt. Bei postalisch versendeten Umfragen besteht häufig das Problem einer geringen Antwortrate. Aus diesem Grund ist die Fragebogengestaltung, die zur Teilnahme an der Befragung motivieren soll, nicht unerheblich. Internetbefragungen können wir ebenfalls als schriftliche Befragung auffassen. Sie sind schnell und kostengünstig durchführbar, jedoch ist noch wenig über den Selektionsmechanismus bekannt. Mitarbeiterbefragung über die Zufriedenheit im Unternehmen Beobachtung Hier werden die zu erhebenden Daten durch Beobachter unmittelbar erfasst. Dies kann Page 6

7 durch Augenschein oder durch Messgeräte erfolgen. Voraussetzung ist eine neutrale Einstellung des Beobachters, er darf den Sachverhalt nicht beeinflussen. Ideal ist, wenn der Beobachter am Geschehen nicht teilnimmt. Beobachtungen sind objektiv, wenn bei einer Aufzeichnung von Daten durch Messgeräte der menschliche (subjektive) Einfluss fehlt. Problematisch ist, dass wir nur einen momentanen Zustand erfassen können. Vergangenheitsbezogene Daten können wir folglich nicht gewinnen. Die Beobachtung finden wir vor allem im ökonomischen Bereich in der Marktforschung, etwa bei der Erfassung von Scannerdaten am "Point of Sale". Weiteres Verkehrszählung Experiment Bei einem Experiment ermitteln wir die zu gewinnenden Daten durch geplante Versuche. Es können Eigenschaften von Produkten experimentell ermittelt werden (z.b. Stiftung Warentest). Wir können jedoch auch von einem Experiment sprechen, wenn z.b. verschiedene Fragebögen in Umlauf gebracht werden, um die "Akzeptanz" der Befragung zu testen. Diese können wir durch die Anzahl des Rücklaufes der jeweiligen Fragebögen bestimmen. Winterreifentest durch Versuche auf Schnee, Eis und Matsch Datenmatrix Wird bei einer Erhebung nur ein Merkmal erhoben, ist das Resultat eine Liste von Merkmalswerten, die sog. Urliste. Liegen jedoch von jedem Merkmalsträger mehrere Merkmale vor, stellen wir die Ausprägungen tabellarisch, in einer sogenannten Datenmatrix, dar. Jede Zeile der Datenmatrix steht für einen Merkmalsträger, jede Spalte für ein Merkmal. Die Bezeichnungen der Merkmale notieren wir in einer Kopfzeile. Zusätzlich stellen wir der Datenmatrix eine Indexspaltezur Kennzeichnung der Zeilen voran. Die gesamte Datenmatrix (ohne die Indexspalte) bildet einen sog. Datensatz. Betrachten wir nur ein Merkmal, also eine einzelne Spalte, handelt es sich um einen univariaten Datensatz. Werden mehrere Spalten gleichzeitig betrachtet - z.b. um Abhängigkeiten zwischen Merkmalen zu bestimmen - ist der Datensatz multivariat. Bei der Betrachtung zweier Merkmale wird häufig auch von einem bivariaten Datensatz gesprochen. Vollständige Datenmatrix ( b7a.xls ) Exkurs, Indexnotation Um die in einer Urliste oder Datenmatrix enthaltenen Werte unterscheidbar zu machen, wenden wir eine Indexnotation auf die Daten an. Page 7

8 Die in einer Urliste angegebenen Ausprägungen eines Merkmals werden so z.b. als durchnumeriert, wobei für den Umfang des Datensatzes steht. Für die Form der Benennung gelten bestimmte Konventionen. Zur Bezeichnung von Merkmalen verwenden wir Großbuchstaben, für einzelne Ausprägungen die zugehörigen Kleinbuchstaben. Wollen wir die Summe aller Werte des Merkmalseiner Urliste angeben, so geschieht dies über die Schreibweise: Als Laufvariable wird die Indexvariable von 1 bis zum Umfang der Urliste hochgezählt und die zugehörigen Ausprägungen addiert. Bei der Datenmatrix bezeichnen wir jedes Merkmal (jede Spalte) mit einem eigenen Buchstaben. Zusätzlich wird eine Indexspalte vorangestellt, in der wir die Zeilen durchnumerieren. Die Kennzeichnung eines Wertes in der Matrix besteht somit aus dem Index der Zeile sowie dem Buchstaben oder Namen der Spalte. Auch hier bezeichnen wir die Merkmale mit Großbuchstaben und die Ausprägungen mit Kleinbuchstaben. Der dritte Wert der Spalte, welche das Merkmalenthält, heißt damit. Viele Lehrbücher verwenden für die in einer Datenmatrix enthaltenen Werte auch die Notation, wobei die Nummer der Zeile und j den Index der Spalte bezeichnet. Resümee Statistik als Methodenlehre Der Skalentyp entscheidet darüber, welche Aussagen mit den Messwerten sinnvoll gemacht werden können. Wir können mindestens drei verschiedene statistische Methodenlehren unterscheiden: Absolutskala ErklärungGrundgesamtheit ErklärungIntervallskala ErklärungKardinalskala ErklärungKomparative Merkmale ErklärungMerkmale ErklärungMerkmalsausprägungen ErklärungMerkmalswert ErklärungMetrische Merkmale ErklärungNominalskala ErklärungOrdinalskala ErklärungSkala ErklärungSkalentransformation ErklärungStatistische Einheit ErklärungUntersuchungsziel ErklärungVerhältnisskala ErklärungRepresentavität Erklärung Page 8

9 (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 9