2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information

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1 2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information Zunächst müssen wir klären, wie wir ein Spiel formal beschreiben. Für nichtkooperative Spiele gibt es (im wesentlichen) zwei Möglichkeiten dies zu tun: Die Normalform [normal form], die wir in diesem Kapitel behandeln, und die Extensivform [extensive form], die Gegenstand des folgenden Kapitels ist. Die Zusammenhänge zwischen den beiden verschiedenen Arten der Darstellung eines Spiels werden wir anschließend in einem eigenen Kapitel nochmals aufgreifen Die Normalform eines Spiels Spielform und Spiel Die Normalform eines Spiels gibt an 1. wer am Spiel beteiligt ist, 2. welche Aktionen den Beteiligten zur Verfügung stehen, 3. welche Konsequenzen sich je nach gewählten Aktionen ergeben und wie diese von den Beteiligten beurteilt werden. Dies sind die minimalen Informationen, die zu einer Analyse des Spiels nötig sind. Es erweist sich als geschickt, zwischen einem Spiel [game] und einer Spielform [game form] zu unterscheiden. Letztere gibt gewissermaßen die Spielregeln vor, die generell gelten, unabhängig davon, wer an dem Spiel teilnimmt. Ein Spiel entsteht dann, wenn die einzelnen Spielerpositionen oder Rollen besetzt sind und damit auch fest liegt, wie die einzelnen Spieler die möglichen Konsequenzen beurteilen. Bevor wir dies formal definieren, ein einfaches Beispiel, das den Unterschied klar macht. Beispiel (Verabredung) Spielform: Die Beteiligten an der Verabredung sind zwei Menschen, es gibt also zwei Spielerpositionen; nennen wir sie 1 und 2. Die möglichen Aktionen bestehen darin, die Verabredung einzuhalten oder nicht zu erscheinen. Daraus ergeben sich vier mögliche Konsequenzen: beide sind da, 1 ist alleine da, 2 ist alleine da oder keiner ist da. 25

2 2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information 26 Spiel 1: 1 ist ein Professor, 2 ein Student, die Verabredung ist, dass der Student in das Büro des Professors kommen will, um eine Frage zur Vorlesung zu klären. Spiel 2: 1 ist ein Professor, 2 ein Student, die Verabredung ist, dass der Student in das Büro des Professors kommen will, um eine mündliche Diplomprüfung abzulegen. Spiel 3: Es handelt sich um eine Verabredung ins Kino zu gehen. 1 ist eine Studentin, 2 ein Student, beide kennen sich lange, sind in einer Lerngruppe und jeweils anderweitig glücklich liiert. Spiel 4: Es handelt sich um eine Verabredung ins Kino zu gehen. 1 ist eine Studentin, 2 ein Student, beide sind Erstsemester, haben sich auf der Erstsemesterparty kennen gelernt und sich schwer verliebt; es ist ihre erste Verabredung. Auch ohne dass wir die jeweiligen Beurteilungen der vier möglichen Konsequenzen explizit erörtern, ist klar, dass zwar die abstrakte Beschreibung der Situation jeweils die selbe, das konkrete Spiel aber in jedem Falle sehr unterschiedlich ist. Definition 2.1 (Spielform in Normalform) Eine Spielform [game form] in Normalform [normal form] ist beschrieben durch die Menge der Spielerinnen [set of players], I, für jede Spielerin i I ihre Strategiemenge [strategy set], S i, die Ergebnisfunktion [outcome function], g : i I S i A, wobei A die Menge der möglichen Ausgänge [outcomes] des Spiels ist. Zwar betrachten wir hier noch eine Spielform, haben also im Prinzip noch keine Spielerinnen, dennoch nennen wir I die Spielerinnenmenge, weil wir später die wirkliche Spielerin mit ihrer Position identifizieren. Alles, was sie für uns individuell charakterisiert ist ihre Präferenz über die möglichen Ausgänge A. Oft betrachten wir Spiele mit endlicher Spielerinnenmenge. Gibt es n Spielerinnen (n N), sprechen wir von einem n Personen Spiel [n person game] und identifizieren die Menge der Spielerinnen in der Regel mit I = {1, 2,..., n}. Die Strategien s i S i bezeichnen wir auch als reine Strategien [pure strategies], um sie von den gemischten Strategien [mixed strategies] abzugrenzen, die wir in Abschnitt (Definition 2.3) einführen. Die Menge der möglichen Strategiekombinationen [strategy combinations] S ist das kartesische Produkt der individuellen Strategiemengen, also S = i I S i oder bei endlicher Spielerinnenmenge in vielleicht gewohnterer Form S = n i=1 S i. Solange wir nicht explizit etwas anderes sagen, setzen wir im folgenden voraus, dass die Strategiemengen S i endlich sind. Die Ergebnisfunktion g bildet Strategiekombinationen in Ausgänge ab. Hier findet sich also in der formalen Definition die Interdependenz zwischen den Spielerinnen wieder. Die Menge der möglichen Ausgänge hängt ganz vom konkreten Fall ab, sie braucht a priori keine besondere Struktur zu haben. Universität des Saarlandes

3 27 Spieltheorie Sommersemester 2007 Um aus einer Spielform ein Spiel zu machen, fehlen noch die Präferenzen der Spielerinnen über die Menge der Ausgänge der Spielform. Wir nehmen an, dass diese für alle i I durch eine von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion u i : A R beschrieben werden können. Diese Nutzenfunktion ist definiert auf Ausgängen. Da aber durch die Ergebnisfunktion g jeder Strategiekombination s S genau ein Ausgang a A zugeordnet wird, den wiederum die von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion u i der Spielerin i auf einen Nutzen, also eine reelle Zahl u i (a) abbildet, können wir mittels der Hintereinanderschaltung u i g von Ergebnis- und Nutzenfunktion auch direkt jeder Strategiekombination einen Nutzenwert zuordnen. Diese Hintereinanderschaltung nennen wir Auszahlungsfunktion [payoff function] und bezeichnen sie mit π i. Damit können wir die klassische Definition eines nichtkooperativen Spiels in Normalform geben, die auf den Zwischenschritt über die Spielausgänge A und die beiden Komponenten Ergebnisfunktion g und individuelle Nutzenfunktionen u i verzichtet und direkt mit den Auszahlungsfunktionen π i arbeitet. Definition 2.2 (nichtkooperatives Spiel in Normalform) Ein nichtkooperatives Spiel [non-cooperative game] in Normalform [normal form] ist beschrieben durch die Menge der Spielerinnen [set of players], I, für jede Spielerin i I ihre Strategiemenge [strategy set], S i, die Auszahlungsfunktion [payoff function], π i : i I S i R. So wie die Nutzenfunktionen u i von Neumann Morgenstern Nutzenfunktionen auf A waren, sind die Auszahlungsfunktionen π i von Neumann Morgenstern Nutzenfunktionen auf S, der Menge aller Strategiekombinationen. Damit ist gemeint (vgl. Abschnitt 1.2), dass positive affine Transformationen der Auszahlungsfunktionen das selbe Spiel beschreiben und dass alle Spielerinnen ihre erwartete Auszahlung maximieren Common knowledge Wir nehmen nicht nur an, dass alle Spielerinnen die Daten des Spiels (also Spielerinnenmenge, Strategiemengen und Auszahlungsfunktionen) kennen, sondern sogar, dass diese Daten Common knowledge [common knowledge] sind (auch gemeinsames Wissen genannt). Damit ist gemeint, dass jede Spielerin die Daten des Spiels kennt, weiß, dass alle Spielerinnen die Daten des Spiels kennen, weiß, dass alle Spielerinnen wissen, dass alle Spielerinnen die Daten des Spiels kennen, weiß, dass alle Spielerinnen wissen, dass alle Spielerinnen wissen, dass alle Spielerinnen die Daten des Spiels kennen, Jörg Naeve

4 2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information 28 etc. ad infinitum Eine genauere Beschäftigung mit dem, was die Spielerinnen im Spiel wissen, bzw. wissen müssen, d. h. mit den epistemologischen Grundlagen der Spieltheorie, wird nicht Gegenstand unserer Vorlesung sein; einen guten Startpunkt für eine vertiefende Lektüre in dieser Richtung bietet z. B. Geanakoplos (1994), eingeführt und formalisiert wurde der Begriff durch Aumann (1976). Es ist aber instruktiv, sich klar zu machen, warum eine Annahme wie Common knowledge in der Spieltheorie auftaucht. Dabei wird nämlich der entscheidende Unterschied zwischen der Theorie individueller Entscheidungen (decision theory) und der Theorie der Spiele (game theory) deutlich, den wir uns schon zu beginn am Beispiel der Unternehen im Cournot Duopol versucht hatten, klar zu machen. Versetzen wir uns in die Rolle einer Spielerin, die überlegt, welche Strategie sie wählen soll. Da die Auszahlung nicht nur von ihrer Strategiewahl sondern auch von der der anderen Spielerinnen abhängt, wird sie überlegen, welche Strategien ihre Mitspielerinnen wohl wählen. Um sich darüber eine Vorstellung zu bilden, muss sie wissen, was ihre Mitspielerinnen wissen. Das ist aber nicht genug, denn sobald sie beginnt, darüber nachzudenken, wie ihre Mitspielerinnen zu einer Entscheidung für eine Strategie gelangen könnten, stellt sie fest, dass diese sich dabei in exakt der selben Situation befinden, wie sie selbst. D. h., auch alle Mitspielerinnen erkennen die Bedeutung der Entscheidungen der anderen, und dass sie daher wissen müssen, was diese wissen. Unsere Spielerin muss daher auch wissen, was ihre Mitspielerinnen über das Wissen aller Spielerinnen wissen. Wenn dies aber für sie wichtig ist, so auch für alle anderen, womit eine weitere Stufe des Wissens um das Wissen über das Wissen...erreicht ist. Sobald es an irgendeiner Stufe dieses kognitiven Prozesses zu der Situation kommt, dass die Spielerin nicht weiß, was eine andere weiß, kann sie zu keiner vernünftig begründeten Annahme über deren vermutliche Strategiewahl kommen. Damit kann sie aber in der Regel auch nicht entscheiden, welche Strategie sie selbst wählen sollte Auszahlungs(bi-)matrizen Haben wir zwei Spielerinnen und für beide Spielerinnen endlich viele Strategien, können wir ein Spiel in Normalform besonders einfach durch seine Auszahlungsmatrix [payoff matrix] darstellen, indem wir für jede Strategie der Spielerin 1 eine Zeile und für jede Strategie der Spielerin 2 eine Spalte vorsehen und in den Zellen der Matrix die Auszahlungen der beiden Spielerinnen eintragen (daher handelt es sich genauer gesagt um eine Bimatrix). Beispiel (Das Gefangenendilemma) Als erstes Beispiel präsentieren wir das wohl berühmteste Beispiel der Spieltheorie überhaupt, das sogenannte Gefangenendilemma [prisoner s dilemma]. Die Auszahlungsmatrix geht auf Melvin Dresher und Merill Flood zurück, während Alfred W. Tucker die dazugehörige Story erfand und dem Spiel damit seinen Namen gab. Zur Entstehungsgeschichte siehe den Beginn der Einleitung zum ersten Teil des Buches von Eric Rasmusen und die ersten beiden Artikel darin (Rasmusen, 2001, S. 3, 5 8). Universität des Saarlandes

5 29 Spieltheorie Sommersemester 2007 Die Geschichte zum Gefangenendilemma (hier in der populären Version nach Luce und Raiffa (1957, S. 95)) ist die folgende: Zwei einer gemeinsamen schweren Straftat Verdächtigte werden verhaftet und in getrennte Zellen gesperrt. Der Staatsanwalt ist von ihrer Schuld überzeugt, kann aber nichts beweisen. Daher teilt er beiden mit, sie hätten die Wahl zu gestehen oder zu leugnen. Als Konsequenzen stellt er ihnen folgendes in Aussicht (Anmerkung: im Beispiel befinden wir uns im amerikanischen Rechtssystem): Leugnen beide, werden sie für eine mindere Straftat (etwa unerlaubter Waffenbesitz) eine geringe Haftstrafe erhalten. 1 Gestehen beide, so werden sie zwar entsprechend bestraft, aber der Strafrahmen wird dabei nicht voll ausgeschöpft, so dass sie mit einer mittleren Haftdauer zu rechnen hätten. Leugnet hingegen einer, während der andere gesteht, so bekommt der Geständige aufgrund einer Kronzeugenregelung eine noch mildere Haftstrafe, als leugneten beide. Der andere hingegen muss mit der ganzen Härte des Gesetzes rechnen und wandert für die maximal vorgesehene Dauer hinter Gitter. Übersetzt in unser formales Modell ergibt sich folgendes. Die Menge der Spielerinnen ist I = {1, 2}. Die Strategiemengen beider Spielerinnen sind identisch, nämlich S 1 = S 2 = { leugnen, gestehen }. Um Schreibarbeit zu sparen und gleichzeitig in der Notation deutlich zu machen, welcher Spieler welche Strategie wählt, schreiben wir alternativ S 1 = {l 1, g 1 } und S 2 = {l 2, g 2 }. Die Auszahlungen sind in der folgenden Auszahlungsmatrix dargestellt, wobei jeweils die erste Komponente die Auszahlung für Spieler 1 und die zweite diejenige für Spieler 2 angibt. l 2 g 2 l 1 0.9, 0.9 0, 1 g 1 1, 0 0.1, 0.1 Abbildung 2.1.: Auszahlungsmatrix des Gefangenendilemmas Wir könnten auch zunächst die folgende Ergebnisfunktion aufstellen und daraus 1 Al Capone wurde wegen Steuerhinterziehung ins Gefängnis gesteckt! Jörg Naeve

6 2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information 30 mit geeigneten Nutzenfunktionen die obige Auszahlungsfunktion generieren. g(l 1, l 1 ) = Ein Jahr Haft für beide Spieler g(l 1, g 2 ) = Zehn Jahre Haft für 1 und drei Monate für 2 g(g 1, l 2 ) = Drei Monate Haft für 1 und zehn 10 Jahre für 2 g(g 1, g 2 ) = Acht Jahre Haft für beide Spieler Um die Auzahlungen der obigen Matrix zu erhalten, müssten beide Gefangene eine von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion haben, für die gilt u(drei Monate Haft) = 1 u(ein Jahr Haft) = 0.9 u(acht Jahre Haft) = 0.1 u(zehn Jahre Haft) = 0 Warum das Gefangenendilemma so großes Interesse findet, wird im Laufe unserer weiteren Betrachtungen, in denen es noch häufiger auftauchen wird deutlich werden. Beispielsweise taucht die Struktur des Gefangenendilemmas auch im Cournot Duopol auf. Dabei steht Gefangenendilemma nicht nur für das konkrete Spiel, das wir oben präsentiert haben, sondern für alle 2 2-Bimatrixspiele, die die folgende Struktur aufweisen. l 1 g 1 l 2 g 2 a, a b, c c, b d, d Wobei gilt c > a > d > b. Abbildung 2.2.: Allgemeine Form des Gefangenendilemmas Reine und gemischte Strategien Jede Spielerin hat die reinen Strategien [pure strategies] s i S i zur Verfügung. Häufig nehmen wir an, dass sie zusätzlich die Möglichkeit hat, nicht nur eine dieser reinen Strategien zu spielen, sondern sich für eine Lotterie über reinen Strategien zu entscheiden (man könnte sich z.b. vorstellen, dass sie zwischen sechs reinen Strategien würfelt). 2 Eine solche Lotterie über reine Strategien nennen wir gemischte Strategie [mixed strategy]. Definition 2.3 (gemischte Strategie) Eine gemischte Strategie [mixed strategy] σ i für Spielerin i I ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über ihre Strategiemenge S i, dabei bezeichnet σ i (s i ) die Wahrscheinlichkeit, die die gemischte Strategie σ i auf die reine 2 In diesem Abschnitt ist es wichtig, dass wir Endlichkeit der Strategiemengen annehmen, um technische Schwierigkeiten zu vermeiden. Andernfalls müssten wir tiefer in die Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie einsteigen. Universität des Saarlandes

7 31 Spieltheorie Sommersemester 2007 Strategie s i S i legt. Für endliche Strategiemengen ist eine gemischte Strategie also eine Abbildung σ i : S i R mit σ i (s i ) [0, 1] s i S i und s i S i σ i (s i ) = 1. Die Menge aller gemischten Strategien für Spielerin i bezeichnen wir mit Σ i. Eine Kombination gemischter Strategien ist σ = (σ i ) i I und die Menge aller Kombinationen gemischter Strategien Σ, 3 definiert als Σ = i I Σ i. Da wir oft wissen möchten, welche der reinen Strategien in einer gemischten Strategie Verwendung finden, d. h. mit positiver Wahrscheinlichkeit belegt werden, ist das Konzept des Trägers einer gemischten Strategie von Interesse. Definition 2.4 (Träger einer gemischten Strategie) Der Träger [support] einer gemischten Strategie σ i Σ i für Spielerin i I ist die Menge aller reinen Strategien s i S i, denen σ i eine strikt positive Wahrscheinlichkeit zuordnet, also die Menge {s i S i σ i (s i ) > 0}. Eine gemischte Strategie σ i Σ i heißt vollständig gemischt [completely mixed], wenn alle reinen Strategien von σ i mit strikt positiver Wahrscheinlichkeit belegt werden, wenn also σ i vollen Träger S i hat. Jede reine Strategie kann als degenerierte gemischte Strategie [degenerate mixed strategy] aufgefasst werden, die sich selbst die Wahrscheinlichkeit 1 und allen anderen reinen Strategien die Wahrscheinlichkeit 0 zuordnet. Insofern gilt S i Σ i. Wollen wir reine Strategien explizit ausschließen, so sprechen wir von nichtdegenerierten gemischten Strategien [nondegenerate mixed strategies]. Die Auszahlungsfunktionen π i sind nur auf den Kombinationen reiner Strategien S definiert. Da wir voraussetzen, dass es sich dabei um von Neumann Morgenstern Nutzenfunktionen handelt (vgl. die Diskussion im Anschluss an Definition 2.2 in Abschnitt 2.1) ist aber klar, wie sie auf Σ ausgedehnt werden muss. Daher verwenden wir auch für die 3 An dieser Stelle eine kurze Warnung, auf die wir später noch zurückkommen. Die Menge aller Kombinationen gemischter Strategien ist eine echte Teilmenge der Menge aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen über S, der Menge der Strategiekombinationen, also den gemischten Strategiekombinationen. Technisch gesprochen enthält Σ nur die Wahrscheinlichkeitsverteilungen über S, die eine Produktstruktur haben. Inhaltlich heißt das, dass alle Spielerinnen ihre jeweilige gemischte Strategie unabhängig voneinander wählen, was zu unabhängigen Wahrscheinlichkeiten über die einzelnen Strategiemengen S i führt. Die gesamte Menge aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen über S entspricht den korrelierten Strategien [correlated strategies]. Jörg Naeve

8 2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information 32 Erweiterung der Auszahlungsfunktionen auf Kombinationen gemischter Strategien die selbe Notation: π i : Σ R, σ ( ) σ j (s j ) π i (s). (2.1) s S j I 2.2. Gleichgewicht in dominanten Strategien Die Frage der wir nachgehen lautet, wie sich eine Spielerin in einem gegebenen Spiel verhalten soll, d. h., welche Strategie sie wählen sollte. Dabei unterstellen wir stets, dass sie gemäß der Erwartungsnutzenhypothese das Ziel verfolgt, ihre erwartete Auszahlung zu maximieren. So lange wir kein Risiko ins Modell einführen, bedeutet dies einfach, dass sie eine möglichst hohe Auszahlung erreichen möchte. Das Problem ist, dass die Auszahlung einer Strategie erst bestimmt ist, wenn auch die Strategien aller anderen Spielerinnen festliegen. Die Spielerin sieht sich also einer aus dem Spiel selbst erwachsenden Unsicherheit gegenüber: Wählt sie eine Strategie, so muss sie als mögliche Konsequenzen alle Auszahlungen bedenken, die sich aus Strategiekombinationen ergeben, die die von ihr gewählte Strategie enthalten. Formal stehen ihr als Entscheidungen ihre Strategien s i S i (bzw. ihre gemischten Strategien σ i Σ i ) zur Verfügung. Die möglichen Zustände der Welt sind die Strategien der anderen Spielerinnen, die wir mit S i (bzw. Σ i ) bezeichnen S i = (bzw. Σ i = j I\{i} j I\{i} S j Σ j ) Elemente von S i schreiben wir als s i, solche von Σ i als σ i. Jede Strategiekombination s S können wir also in die beiden Komponenten s i und s i zerlegen s = (s i, s i ) S = S i S i, (und analog für gemischte Strategien). Eine Entscheidung für die Strategie s i führt im Zustand der Welt s i zur Auszahlung (Konsequenz) π i (s i, s i ). Anders ausgedrückt, wir können eine Strategie s i als Abbildung von S i in die reellen Zahlen interpretieren, d.h., es handelt sich um eine Entscheidungsalternative unter Unsicherheit, wie wir sie in Abschnitt definiert haben (auch hier ersparen wir uns die exakte analoge formale Formulierung für gemischte Strategien). Wenn nun Spielerin i zwei Strategien s i und s i vergleicht, so muss sie dabei alle möglichen Strategiekombinationen ihrer Mitspielerinnen und die sich daraus ergebenden Auszahlungen bedenken. Dabei ergibt sich in der Regel keine klare Antwort, welche der beiden Strategien besser ist. Sollte allerdings eine der beiden Strategien in jedem Falle, d. h. Universität des Saarlandes

9 33 Spieltheorie Sommersemester 2007 für alle s i S i zu einer höheren Auszahlung führen, ist diese Strategie zweifellos als besser anzusehen. Formal definieren wir eine Dominanzrelation [dominance relation] auf der Strategiemenge einer Spielerin wie folgt. Definition 2.5 (Dominanz) Eine Strategie s i S i wird strikt dominiert [strictly dominated] durch eine Strategie s i S i, wenn sie für sämtliche Strategien s i S i der anderen Spielerinnen eine höhere Auszahlung liefert. Wir schreiben s i s i, um auszudrücken, dass die Strategie s i die Strategie s i strikt dominiert [strictly dominates], formal s i s i s i S i : π i (s i, s i ) > π i (s i, s i). (2.2) Eine Strategie s i S i wird schwach dominiert [weakly dominated] durch eine Strategie s i S i, wenn sie für sämtliche Strategien s i S i der anderen Spielerinnen mindestens die selbe Auszahlung liefert und mindestens eine Strategiekombination s i S i der anderen existiert, für die die Auszahlung größer ist. Wir schreiben s i s i, um auszudrücken, dass die Strategie s i die Strategie s i schwach dominiert [weakly dominates], 4 formal s i s i s i S i : π i (s i, s i ) π i (s i, s i ) und s i S i : π i (s i, s i ) > π i (s i, s i). (2.3) Die Dominanzrelation bietet einen Ansatz, die Frage zu beantworten, welche Strategie eine Spielerin wählen sollte. Ein besonders überzeugende Antwort erhalten wir dann, wenn es eine dominante Strategie [dominant strategy] gibt. Definition 2.6 (dominante Strategien) Eine Strategie s i S i heißt strikt dominant [strictly dominant], wenn gilt s i s i s i S i \ {s i }. (2.4) Eine Strategie s i S i heißt schwach dominant [weakly dominant], wenn gilt s i s i s i S i \ {s i }. (2.5) Bemerkung 2.7 (Eindeutigkeit dominanter Strategien) Ist die Startegie s i S i eine dominante Strategie gleich ob strikt oder schwach dominant so ist s i die einzige dominante Strategie in S i. Man findet gelegentlich auch Autoren, die die schwache Dominanzrelation anders definieren, als wir es in Gleichung (2.3) von Definition 2.5 getan haben, nämlich indem sie 4 Achtung: Der Zusammenhang zwischen schwacher und strikter Dominanz ist nicht genau der selbe wie zwischen strikten und schwachen Präferenzen. Daher benutzen wir auch die Notation für die schwache Dominanz und nicht wie für die schwache Präferenz. Insbesondere gilt nicht s i s i ; anders ausgedrückt, die schwache Dominanzrelation ist nicht reflexiv. Jörg Naeve

10 2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information 34 auf die Anforderung einer strikt höheren Auszahlung für mindestens eine Strategiekombination s i S i der anderen verzichten. Dies macht die schwache Dominanzrelation reflexiv, führt aber dazu, dass es mehrere schwach dominante Strategien geben kann, die dann alle die selbe Auszahlung gegen sämtliche Strategiekombinationen s i S i liefern. Unsere Definition folgt Fudenberg und Tirole (1996, Abschnitt 1.1.2). Bemerkung 2.8 Man rechnet anhand der Formel aus Gleichung (2.1) leicht nach, dass für eine strikt dominante Strategie s i S i gilt, π i (s i, s i ) > π i (σ i, s i ) σ i Σ i \ {s i }, d.h., s i dominiert auch alle gemischten Strategien der Spielerin i mit Ausnahme der Strategie s i selbst strikt. Analog dominiert jede schwach dominante Strategie s i S i auch jede gemischte Strategie σ i Σ i (außer sich selbst). Beispiel Im Gefangenendilemma (vgl. Beispiel 2.1.2) besitzen beide Spielerinnen eine strikt dominante Strategie. Dies erkennt man in der folgenden Abbildung, in der in jeder Spalte die höchste Auszahlung für Spielerin 1 und in jeder Zeile die höchste Auszahlung für Spielerin 2 unterstrichen sind. Dass diese jeweils eindeutig sind und in der selben Zeile, bzw. Spalte liegen, bedeutet, dass die entsprechende Zeile eine strikt dominante Strategie für Spielerin 1 und die Spalte eine strikt dominante Strategie für Spielerin 2 ist. l 2 g 2 l 1 0.9, 0.9 0, 1 g 1 1, 0 0.1, 0.1 Abbildung 2.3.: Strikt dominante Strategien im Gefangenendilemma Die Spielerinnen sollten also beide gestehen. Anders betrachtet, würden wir erwarten, dass dies das Ergebnis ist, wenn rationale Spielerinnen das Gefangenendilemma spielen. Die Strategiekombination (g 1, g 2 ) heißt auch Gleichgewicht in (strikt) dominanten Strategien [(strictly) dominant strategy equilibrium]. Existiert ein solches, d. h., hat jede Spielerin eine dominante Strategie, erscheint es als die einzig vernünftige Strategiekombination, die im nichtkooperativen Spiel von rationalen Spielerinnen gespielt werden sollte. Aus Bemerkung 2.7 folgt die Eindeutigkeit des Gleichgewichts in dominanten Strategien. 5 Die Überzeugungskraft des Gleichgewichts in dominanten Strategien könnte allerdings in gewisser Weise schwinden, wenn wir noch einmal betrachten, zu welchen Auszahlungen dieses Gleichgewicht im Gefangenendilemma führt. Die Auszahlungen sind π (g 1, g 2 ) = (0.1, 0.1). 5 Für ein Gleichgewicht in schwach dominanten Strategien hängt die Eindeutigkeit von unserer Definition der schwachen Dominanz ab. Folgendes Beispiel zeigt ein Spiel, in dem es nach der erwähnten Universität des Saarlandes

11 35 Spieltheorie Sommersemester 2007 Diese Auszahlungen werden durch diejenigen der Strategiekombination (l 1, l 2 ) Pareto dominiert, denn π (l 1, l 2 ) = (0.9, 0.9) (0.1, 0.1). Daher auch die Bezeichnung Gefangenendilemma: Die oben diskutierte Rationalität der Spielerinnen, die sich darin ausdrückt, dass sie, falls diese existieren, dominante Strategien wählen, führt zu einer Pareto dominierten Auszahlungskombination. Wäre das Gefangenendilemma ein kooperatives Spiel, könnten sich die beiden Spielerinnen verbessern, indem sie sich verbindlich festlegen, beide zu leugnen. Da bindende Absprachen aber annahmegemäß unmöglich sind, besteht diese Möglichkeit nicht. Jede der beiden Spielerinnen kann sich überlegen, dass sie sich durch gestehen verbessern kann, wenn ihre Mitspielerin leugnet und auch wenn diese selbst gesteht. Beispiel (Duopol mit Preissetzung) Zwei Firmen produzieren enge Substitute eine Preisänderung des einen hat eine Nachfrageänderung beim anderen Gut zur Folge. Die Nachfragefunktionen seien: d 1 (p 1, p 2 ) = 10 p 1 + p 2 2p 1 d 2 (p 1, p 2 ) = 20 2p 2 + p 1 p 2. Weiterhin wird aus Vereinfachungsgründen angenommen, dass die Kosten gleich null sind. Diese Beschreibung kann in das folgende nichtkooperative Spiel in Normalform übersetzt werden: Spielermenge: I = {1, 2}; Strategienmengen: S 1 = [0, 10] und S 2 = [0, 10]; Auszahlungsfunktionen: π 1 (p 1, p 2 ) = 10p 1 p p 2 und π 2 (p 1, p 2 ) = 20p 2 2p p 1. Achtung: In diesem Fall gibt es unendlich viele reine Strategien ([0, 10] ist ein Intervall), die Strategienmengen sind unendlich. Wie findet man heraus, ob es eine dominante Strategie gibt? Alternativdefinition mehrere Gleichgewichte in schwach dominanten Strategien gibt. L R T 1, 1 0, 1. B 1, 0 0, 0 In diesem Fall ist jeder Spieler indifferent, welche der beiden Strategien er verwenden soll; beide ergeben die gleiche Auszahlung, unabhängig von der Strategie des anderen Spielers. Hier ist für beide Spieler jede Strategie eine (schwach) dominante Strategie, und jede Strategiekombination ist ein Gleichgewicht in (schwach) dominanten Strategien. Jörg Naeve

12 2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information 36 Wir gehen im Prinzip so vor, wie im Gefangenendilemma: Wir ermitteln für jede Strategie der jeweils anderen Spielerin, welche Strategie die höchste Auszahlung liefert (die beste Antwort [best reply], um die Terminologie, die wir in Abschnitt 2.4 einführen werden vorweg zu nehmen). Ist dies für alle gegnerischen Strategien die selbe, so haben wir die dominante Strategie gefunden. Um für gegebene Strategie p i zu ermitteln, welcher Preis die beste Antwort darstellt, müssen wir das Maximierungsproblem lösen. max p i S i π i (p i, p i ) Für Spielerin 1 erhalten wir daraus die (notwendige) Bedingung erster Ordnung, die in diesem Fall auch hinreichend ist, indem wir den Gewinn, den wir hier mit der Auszahlung des Spiels identifizieren, nach p 1 ableiten und das Ergebnis gleich null setzen. Es ergibt sich p 1 (p 2 ) = 5. π 1 (p 1, p 2 ) p 1 = 10 2p 1 = 0 Analog erhalten wir für Spielerin 2 p 1 (p 2 ) = 5. π 2 (p 1, p 2 ) p 2 = 20 4p 2 = 0 Also ist die beste Antwort unabhängig von der jeweiligen Strategie der Mitspielerin gegeben durch p 1 = 5 für Spielerin 1 und p 2 = 5 für Spielerin 2. Anders ausgedrückt: Diese Preise sind dominante Strategien. (Achtung: Dieses Ergebnis gilt nur für die konkrete Spezifikation des Modells, im allgemeinen können die besten Antworten jeweils vom vorgegebenen Preis der Mitspielerin abhängen.) Das Konzept des Gleichgewichts in dominanten Strategien ist sehr überzeugend: Ist eine Strategie optimal unabhängig davon, wie sich die andere Spielerin verhält, dann muss eine Spielerin nicht über das Verhalten ihrer Mitspielerinnen spekulieren, muss also auch deren Auszahlungsfunktionen nicht kennen. In einem solchen Falle ist eine andere Lösung als ein Gleichgewicht in dominanten Strategien kaum vorstellbar. Wie bereits in der Warnung zum Schluss des Beispiels angedeutet, kann allerdings der Fall eintreten, dass es in einem Spiel kein Gleichgewicht in dominanten Strategien gibt. Dies macht auch das folgende Beispiel deutlich. Beispiel (Matching Pennies) Die Idee dieses Spiels ist die folgende: Zwei Spielerinnen wählen gleichzeitig, ob sie Universität des Saarlandes

13 37 Spieltheorie Sommersemester 2007 Kopf (K) oder Zahl (Z) einer Münze aufdecken wollen. Spielerin 1 zahlt einen Euro an Spielerin 2, wenn beide Münzen verschiedene Seiten zeigen, andernfalls zahlt 2 einen Euro an 1. Die Auszahlungs(bi)matrix ist in Abbildung 2.4 dargestellt. Wie oben im Gefangenendi- K Z K 1, 1 1, 1 Z 1, 1 1, 1 Abbildung 2.4.: Matching Pennies: Nichtexistenz dominanter Strategien lemma haben wir jeweils die besten Antworten durch unterstreichen markiert. Man sieht, dass die jeweiligen besten Antworten in verschiedenen Zeilen bzw. Spalten auftauchen. Demnach gibt es für keine der beiden Spielerinnen eine dominante Strategie Iterierte Eliminierung dominierter Strategien Bisher haben wir argumentiert, dass es für eine Spielerin sinnvoll ist, eine dominante Strategie zu verwenden, wenn eine solche zur Verfügung steht, was allerdings nicht immer der Fall ist. Ähnlich kann man überlegen, dass es für eine Spielerin nicht sinnvoll sein kann, eine dominierte Strategie [dominated strategy] zu verwenden. Definition 2.9 (dominierte Strategien) Eine reine Strategie s i S i heißt strikt dominiert [strictly dominated], wenn es eine gemischte Strategie σ i Σ i gibt, für die gilt π i (σ i, s i ) > π i (s i, s i ) s i S i. (2.6) Eine reine Strategie s i S i heißt schwach dominiert [weakly dominated], wenn es eine gemischte Strategie σ i Σ i gibt, für die gilt π i (σ i, s i ) π i (s i, s i ) s i S i und ŝ i S i : π i (σ i, ŝ i ) > π i (s i, ŝ i ). (2.7) Bemerkung 2.10 Wenn eine Strategie σ i für jede Kombination reiner Strategien der anderen Spielerinnen eine strikt größere Auszahlung als s i liefert, dann gilt dies auch für alle Kombinationen gemischter Strategien der anderen. Bemerkung 2.11 Es ist wichtig, in der Definition der dominierten Strategien zuzulassen, dass eine Strategie durch eine gemischte Strategie dominiert wird, da sonst reine Strategien als undominiert gelten würden, gegenüber denen eine Spielerin sich durch geschicktes Mischen verbessern könnte. Betrachten wir etwa das in Abbildung 2.5 dargestellte Spiel, in dem die reine Strategie m von Spielerin 1 durch keine ihrer reinen Strategien dominiert wird. Jörg Naeve

14 2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information 38 L R o 7, 1 0, 3 m 1, 3 1, 1 u 0, 1 7, 3 Abbildung 2.5.: Nur durch gemischte Strategie dominierte reine Strategie Man sieht aber leicht, dass z.b. die gemischte Strategie σ 1 = ( 1 2, 0, 1 2), in der Spielerin 1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwischen ihren reinen Strategien o und u mischt, die Strategie m strikt dominiert. Wenn eine Spielerin niemals in Betracht zieht, eine dominierte Strategie zu spielen, kann man eine solche Strategie aus ihrer Strategiemenge streichen, ohne dass dies für sie eine Einschränkung darstellt. Allerdings hat diese Änderung möglicherweise Auswirkungen auf die anderen Spielerinnen. Dabei ist es nicht entscheidend, ob wir uns vorstellen, dass die dominierten Strategien tatsächlich eliminiert werden oder dass sie nur als irrelevant anzusehen sind und als tatsächlich zu erwartende Strategien nicht in Betracht kommen. Der Punkt ist, dass sich mit einer Änderung der Menge der (relevanten) Strategien einer Spielerin die Dominanzrelation über die Strategien aller anderen Spielerinnen verändern. Dies wird sofort klar, wenn wir uns die Gleichungen (2.6) und (2.7) vergegenwärtigen, in denen alle Strategiekombinationen der anderen Spielerinnen betrachtet werden. Ändert sich diese Menge, weil für eine Spielerin nun weniger Strategien relevant sind, so können zusätzliche Strategien dominiert sein. Werden im nächsten Schritt die so neu hinzugekommenen dominierten Strategien wiederum eliminiert, können dadurch erneut zusätzliche Strategien dominiert werden. Die Frage ist, ob dieser Prozess konvergiert und ob sich eine eindeutige Strategiekombination ergibt. Ist dies der Fall, so würden wir diese Strategiekombination, die als einzige die iterierte Eliminierung dominierter Strategien überstanden hat, als Handlungsempfehlung bzw. -vorhersage vorschlagen. Genauer gesagt, werden wir uns zunächst auf die iterierte Eliminierung strikt dominierter Strategien beschränken. Bevor wir dafür eine formale Definition geben, wollen wir noch kurz auf die epistemologischen Voraussetzungen eingehen, die der Idee der iterierten Eliminierung dominanter Strategien zugrunde liegt. Dies hängt eng mit unserer Diskussion des Konzept der Common knowledge zusammen. Nehmen wir an, es gebe zwei Spielerinnen, 1 und 2. Für Spielerin 1 sei s eine dominierte Strategie, die sie also nie spielen wird. Damit nun Spielerin 2 diese Strategie aus ihren Betrachtungen beim Vergleich ihrer Strategien streichen kann, reicht es nicht, dass sie weiß, dass Spielerin 1 das Spiel kennt. Sie muss zusätzlich wissen, dass Spielerin 1 rational ist, d. h. niemals eine dominierte Strategie spielen wird. Ist nach Streichen von s eine Strategie t von Spielerin 2 dominiert, die es vorher nicht war, kann man davon ausgehen, dass 2 ihrerseits niemals t spielen wird. Wenn daraufhin Spielerin 1 diese Strategie in ihre Überlegungen nicht mehr mit einbezieht, steckt dahinter, dass sie weiß, dass Spielerin 2 rational ist und dass Spielerin 2 weiß, dass Spielerin Universität des Saarlandes

15 39 Spieltheorie Sommersemester rational ist. Wollen wir sicherstellen, dass beliebig viele Runden der Eliminierung dominierter Strategien derart begründet werden können, müssen wir Common knowledge der Rationalität [common knowledge of rationality] voraussetzen. Definition 2.12 (Iterierte Eliminierung strikt dominierter Strategien) Der Prozess der iterierten Eliminierung strikt dominierter Strategien [iterated elimination of strictly dominated strategies] ist wie folgt definiert. Jeweils für alle Spielerinnen i I: Setze S 0 i = S i und Σ 0 i = Σ i. Definiere rekursiv { Si n = s i S n 1 i σ i Σ n 1 und definiere Σ n i = { σ i Σ i σi (s i ) > 0 nur wenn s i S n i }. Schließlich setze i : [ ] } π i (σ i, s i ) > π i (s i, s i ) s i S n 1 i S i = n=0 S n i. Si ist die Menge aller reinen Strategien der Spielerin i, die nach iterierter Eliminierung strikt dominierter Strategien übrig bleiben. Sind alle Strategiemengen endlich, handelt es sich beim Prozess der iterierten Eliminierung strikt dominierter Strategien um einen Algorithmus, d. h., der Prozess kommt nach endlich vielen Schritten zum Stillstand. Definition 2.13 (lösbar durch Dominanz) Ein Spiel heißt lösbar durch Dominanz [dominance solvable] oder genauer lösbar durch iterierte Eliminierung strikt dominierter Strategien [solvable by iterated elimination of strictly dominated strategies], wenn für alle Spielerinnen i I durch den oben beschriebenen Prozess genau eine reine Strategie ausgewählt wird, d.h., die Menge Si für alle i I einelementig ist. Die so ausgewählte Strategiekombination nennen wir Gleichgewicht in (iteriert) nicht dominierten Strategien [(iterated) undominated strategy equilibrium]. Beispiel Wir illustrieren den Prozess der iterierten Eliminierung strikt dominierter Strategien anhand des Spiels aus Abbildung Wir beginnen mit dem ursprünglichen Spiel. Jörg Naeve

16 2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information 40 L R o 7, 1 0, 3 m 1, 3 1, 1 u 0, 1 7, 3 D.h., wir haben S1 0 = {o,m,u} und S0 2 = {L,R}. Σ0 1 und Σ0 2 sind dementsprechend die Mengen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen über S1 0 bzw. S2. 0 Spielerin 1 hat wie wir gesehen haben eine strikt dominierte Strategie, nämlich m. Spielerin 2 besitzt keine strikt dominierte Strategie. 2. Streichen wir nun alle strikt dominierten Strategien, so erhalten wir S1 1 = {o,u} und S2 1 = {L,R}. Das reduzierte Spiel sieht also jetzt so aus. L R o 7, 1 0, 3 u 0, 1 7, 3 In diesem Spiel ist keine Strategie von Spielerin 1 strikt dominiert. Jetzt wird aber die Strategie L der Spielerin 2 strikt dominiert durch ihre Strategie R. 3. Streichen wir erneut alle strikt dominierten Strategien, so erhalten wir S 2 1 = {o,u} und S 2 2 = {R}. Das reduzierte Spiel sieht also jetzt so aus. R o 0, 3 u 7, 3 In diesem Spiel besitzt Spielerin 2 nur noch eine einzige Strategie, die offenbar nicht strikt dominiert sein kann. Für Spielerin 1 wird jetzt ihre Strategie o strikt dominiert durch ihre Strategie u. 4. Streichen wir wieder alle strikt dominierten Strategien, so erhalten wir S1 3 = {u} und S2 3 = {R}. Das reduzierte Spiel sieht also jetzt so aus. R u 7, 3 Für jede Spielerin ist eine einzige Strategie übrig geblieben. Diese Strategien sind nicht dominiert. Daher gilt S 1 = S 3 1 und S 2 = S 3 2. Die Strategiekombination (u, R) ist also unsere durch iterierte Eliminierung strikt dominierter Strategien gewonnene Handlungsempfehlung (oder -voraussage) oder das Gleichgewicht in (iteriert) nicht dominierten Strategien. Wir können also auch für ein Spiel eine Antwort auf die Frage geben, was rationale Spielerinnen in diesem Spiel tun werden, das keine dominanten Strategien aufweist. Bemerkung 2.14 Besitzt ein Spiel ein Gleichgewicht in strikt dominanten Strategien s, so ist es lösbar durch Dominanz und s ist auch das Gleichgewicht in (iteriert) nicht dominierten Strategien. Universität des Saarlandes

17 41 Spieltheorie Sommersemester 2007 Beweis: Für jede Spielerin i I dominiert ihre strikt dominante Strategie S i alle übrigen Strategien strikt. Das heißt, dass im Prozess der iterierten Eliminierung strikt dominierter Strategien bereits im ersten Schritt alle Strategien bis auf s i gestrichen werden, wir haben also S 0 i = S i und S 1 i = S i = {s i }. Durch die iterierte Eliminierung strikt dominanter Strategien können wir also tatsächlich für mehr Spiele eine Antwort geben, als mit dem Konzept des Gleichgewichts in strikt dominanten Strategien. Die Kosten dafür liegen in den weitaus anspruchsvolleren Anforderungen an die Information der Spielerinnen: Für das Gleichgewicht in strikt dominanten Strategien reicht Common knowledge der Spielerinnenmenge und der Strategiemengen sowie die Kenntnis der eigenen Auszahlungsfunktion. Für das Gleichgewicht in (iteriert) nicht dominierten Strategien benötigen wir neben der Common knowledge über die Daten des Spiels auch noch Common knowledge der Rationalität der Spielerinnen. Tommy Chin-Chiu Tan und Sergio Ribeiro da CostaWerlang (Tan und Werlang, 1988, Theoreme 5.2 und 5.3) zeigen, dass Common knowledge der Rationalität äquivalent dazu ist, dass nur Strategien gespielt werden, die den Prozess der iterierten Eliminierung strikt dominierter Strategien überstehen. Im übrigen können wir uns auch mit diesem Konzept nicht zufrieden geben, da nicht alle Spiele durch Dominanz lösbar sind. Beispiel (Matching Pennies) Als Beispiel dient uns wieder das Spiel Matching Pennies. K Z K 1, 1 1, 1 Z 1, 1 1, 1 Abbildung 2.6.: Nicht durch Dominanz lösbar: Matching Pennies Da für beide Spielerinnen keine ihrer Strategien strikt (oder auch nur schwach) dominiert ist, können wir keine Strategien eliminieren, m.a.w., es gilt S 1 = S 1 und S 2 = S 2. Das Konzept der iterierten Eliminierung strikt dominierter Strategien hängt eng zusammen mit dem der rationalisierbaren Strategien [rationalizable strategies], das unabhängig voneinander von Douglas Bernheim (1984) und David Pearce (1984) entwickelt wurde. In der Tat gilt für 2 Personen Spiele, das beide Konzepte äquivalent sind (vgl. Pearce (1984, Lemma 3, S. 1048)). Für eine ausführlichere Diskussion dieses Zusammenhangs siehe Fudenberg und Tirole (1996, Abschnitt 2.1). Interessant ist auch, wie das Verhältnis des hier vorgestellten Konzepts mit dem des Nash Gleichgewicht ist, das wir im folgenden Abschnitt behandeln. Jörg Naeve

18 2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information 42 Bemerkung 2.15 Besitzt ein Spiel ein Gleichgewicht in (iteriert) nicht dominierten Strategien, so ist diese Strategiekombination das einzige Nash Gleichgewicht des Spiels (vgl. Definition 2.20) und zudem strikt (vgl. Definition 2.17) und damit ein Nash Gleichgewicht in reinen Strategien (vgl. Definition 2.16). In Definition 2.9 haben wir den Prozesses der iterierten Eliminierung strikt dominierter Strategien so definiert, dass in jedem Schritt sämtliche strikt dominierten Strategien aller Spielerinnen gestrichen werden. Es kommt aber bei strikt dominierten Strategien nicht auf die Reihenfolge an: Man könnte auch erst die strikt dominierten Strategien einer Spielerin eliminieren und dann die einer anderen oder in jedem Schritt nur genau eine einzelne strikt dominierte Strategie streichen, ohne das Endergebnis, also die Mengen Si zu verändern. Dies gilt nicht mehr, wenn wir auch schwach dominierte Strategien eliminieren, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel Betrachten wir folgendes Spiel H T H 1, 1 1, 1 T 1, 1 1, 1 O 3, 1 2, 1. Für Spielerin 1 sind ihre Strategien H und T strikt dominiert durch ihre Strategie O, tatsächlich ist für sie O eine strikt dominante Strategie. Für Spielerin 2 ist keine ihrer Strategien schwach dominiert. Bei simultaner Eliminierung aller dominierten Strategien ergibt sich das reduzierte Spiel H T O 3, 1 2, 1, in dem keine weiteren dominierten Strategien existieren. Als Ergebnis des so gestalteten Prozesses erhalten wir also die Menge {(O, H), (O, T)}. Wird jedoch in jeder Runde nur eine dominierte Strategie eliminiert, so spielt die Reihenfolge, in der die dominierten Strategien gelöscht werden, eine Rolle. Würde etwa zunächst für Spielerin 1 ihre Strategie H gestrichen, ergäbe sich als folgendes reduzierte Spiel H T T 1, 1 1, 1 O 3, 1 2, 1. Universität des Saarlandes

19 43 Spieltheorie Sommersemester 2007 In diesem Spiel ist nach wie vor die Strategie T für Spielerin 1 strikt dominiert. Nun besitzt aber auch Spielerin 2 eine schwach dominierte Strategie, nämlich ihre Strategie T. Wird nun diese im zweiten Schritt gestrichen, erhalten wir das Spiel H T 1, 1 O 3, 1 in dem natürlich T immer noch eine strikt dominierte Strategie von Spielerin 1 ist, die die letzte noch zu eliminierende dominierte Strategie ist. Das Ergebnis ist dann die Strategiekombination (O, H). Wird jedoch erst T bei Spieler 1 gestrichen, erhalten wir als reduziertes Spiel, H T H 1, 1 1, 1 O 3, 1 2, 1, in dem die Strategie H der Spielerin 2 schwach dominiert wird. Also könnte diese Strategie im nächsten Schritt und danach die strikt dominierte Strategie H der Spielerin 1 gestrichen werden. Dann bliebe die Strategiekombination (O, T) übrig. Will man also auch schwach dominierte Strategien eliminieren, muss man sich auf eine Reihenfolge festlegen. Dies geschieht, indem festgelegt wird, dass in jedem Schritt alle vorhandenen schwach dominierten Strategien eliminiert werden sollen. Auf ein anderes Problem mit der iterierten Eliminierung schwach dominierter Strategien weist Tilman Börgers (Börgers, 1994) hin: Selbst Common knowledge der Rationalität ist keine hinreichende Bedingung zur Begründung des Prozesses der iterierten Eliminierung schwach dominierter Strategien. Wir werden daher auf dieses Thema nicht weiter eingehen. Fudenberg und Tirole (1996) tun dies in Abschnitt 11.3, dessen Lektüre wegen der anderen im Zusammenhang mit der iterierten Eliminierung schwach dominierter Strategien diskutierten Konzepte erst nach der des folgenden Kapitels 3 zu empfehlen ist Das Nash Gleichgewicht Nash Gleichgewicht in reinen Strategien Wenn wir uns noch einmal überlegen, was dem Konzept der Dominanz zu Grunde liegt, mit dem wir in den beiden vorigen Abschnitten gearbeitet haben, so stellen wir fest, dass eine Spielerin dabei in gewisser Weise versucht, gedanklich der Spielsituation dadurch zu entrinnen, dass sie Strategien daraufhin überprüft, ob sie in jedem Falle gut sind, d. h., egal was die anderen Spielerinnen tun. Damit muss sie keine Vermutungen über Jörg Naeve

20 2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information 44 die Aktionen ihrer Mitspielerinnen anstellen; sie behandelt das Spiel exakt wie eine individuelle Entscheidung unter Unsicherheit. Daher benötigt sie auch keine Common knowledge sondern nur die Kenntnis der Spielerinnen- und Strategiemengen, die die möglichen Zustände der Welt darstellen, und ihrer eigenen Auszahlungsfunktion. Erst im Prozess der iterierten Eliminierung dominierter Strategien gehen im zweiten Schritt dann doch Überlegungen über die Strategiewahl der anderen Spielerinnen ein: Die Spielerin, macht sich klar, dass auch die anderen Spielerinnen keine dominierten Strategien spielen werden und sie daher die entsprechenden Strategiekombinationen der anderen nicht als mögliche Zustände der Welt in Betracht ziehen muss. Man kann dies so betrachten, als bekäme sie in jedem Schritt feinere Informationen: Zunächst erscheinen ihr alle Strategiekombinationen in S i möglich, im ersten Schritt nur noch die in S 1 i usw. Für Spiele in denen ein Gleichgewicht in dominanten Strategien existiert, wie etwa dem Gefangenendilemma, stellt dies ein überzeugendes Lösungskonzept dar. Wir haben aber am Beispiel von Matching Pennies gesehen, dass dies nicht für alle Spiele der Fall ist (und für dieses Spiel bot auch die iterierte Eliminierung dominierter Strategien keinen Lösungsansatz). Die Anforderung an eine Strategie für alle Strategien der anderen Spielerinnen eine beste Antwort zu sein, scheint also zu stark zu sein, um generell angewendet werden zu können. Z.B. im Spiel Matching Pennies hängt, wie wir in Abbildung 2.4 gesehen haben, die beste Antwort für Spielerin 1 davon ab, welche Strategie Spielerin 2 wählt und umgekehrt. In einem nichtkooperativen Spiel besteht aber das Problem gerade darin, dass die Spielerinnen ihre Strategie wählen müssen, ohne zu wissen, welche Strategie die anderen Spielerinnen gewählt haben. Die Idee, die dem Nash-Gleichgewicht zu Grunde liegt, ist daher am leichtesten so zu interpretieren, dass für eine Strategiekombination, die als Lösung in Betracht kommen soll, gefordert wird, dass ex post keine der Spielerinnen ihre Strategiewahl bereut. Eine etwas andere Betrachtungsweise steckt hinter Cournot s Argumentation, warum sich im Duopol nicht die Monopolmenge ergibt (Cournot, 1838, S ) Wie kommt es nun, daß die Produzenten sich nicht verständigen und nicht, wie im Fall des Monopols oder der Gesellschaftsbildung bei dem aus der Gleichung (4) errechneten Wert p halt machen, der ihnen tatsächlich den größten Gewinn bringt? Der Grund hiervon ist der, daß, wenn der Produzent (1) seine Produktion auf den Betrag eingestellt hat, der sich aus der Gleichung (4) und aus der Bedingung D 1 = D 2 ergibt, der Produzent (2) mit einem augenblicklichen Gewinn seine eigene Produktion auf einen höheren oder geringeren Betrag bringen kann [hier irrt Cournot: nur ein Abweichen auf eine höhere Ausbringungsmenge steigert den Gewinn, Anm. J.N.]. [...], mit anderen Worten: dieser Zustand wird kein Gleichgewichtszustand sein, und wenn er auch für Universität des Saarlandes

21 45 Spieltheorie Sommersemester 2007 beide Produzenten der günstigste ist, [...] Während wir oben fragten, ob eine Spielerin ihre Entscheidung bereut, liegt hier der Schwerpunkt darauf, ob durch einseitiges Abweichen (in der zitierten Textstelle ändert nur Produzent (2) seine Menge, während die Menge des Produzenten (1) fixiert bleibt) eine Verbesserung erreicht werden kann. Damit verschiebt sich die Perspektive von der bloß kognitiven hin zu einer möglichen Handlung, nämlich einer tatsächlichen Änderung der Strategie. Dies begründet auch die Bezeichnung Gleichgewicht: Wie in der Physik wird damit ein Zustand bezeichnet, in dem das betrachtete System zur Ruhe gekommen ist. In einem Spiel in dem jede Spielerin autonom und unabhängig über ihre Strategiewahl entscheidet bedeutet eine Strategiekombination von der aus niemand sich durch einseitiges Abweichen verbessern kann, dass es keine Bewegung weg von dieser Strategiekombination geben wird. 6 Die obigen Überlegungen münden in folgende Definition. Definition 2.16 (Nash Gleichgewicht in reinen Strategien) Sei Γ = ( I, {S i } i I, {π i } i I ) ein nichtkooperatives Spiel in Normalform. Ein Nash Gleichgewicht in reinen Strategien [pure strategy Nash equilibrium] in Γ ist eine Strategiekombination s S derart, dass für alle Spielerinnen i I gilt π i ( s i, s i) πi ( si, s i) si S i. (2.8) Eine mögliche Verschärfung der Anforderungen an ein Nash Gleichgewicht sollte nach der Diskussion um strikte und schwache Dominanz sofort ins Auge fallen: Die Ungleichung (2.8) ist nur schwach, d.h., es könnte für eine Spielerin eine andere als ihre Gleichgewichtsstrategie [equilibrium strategy] s i geben, die gegen die Gleichgewichtsstrategien der anderen die selbe Auszahlung ergibt. Damit würde sich die Frage stellen, warum sie sich dann zwingend für s i entscheiden sollte. Dies führt uns zu einer ersten Verfeinerung [refinement] des Nash Gleichgewichts in reinen Strategien, dem strikten Nash Gleichgewicht [strict Nash equilibrium]. 7 Definition 2.17 (striktes Nash Gleichgewicht) Sei Γ = ( I, {S i } i I, {π i } i I ) ein nichtkooperatives Spiel in Normalform. Ein striktes Nash Gleichgewicht [strict Nash equilibrium] (Harsanyi, 1973b) in Γ ist eine Strategiekombination s S derart, dass für alle Spielerinnen i I gilt ( ( π i s i, s i) > πi si, s i) si S i \ {s i }. (2.9) 6 Die Qualifikation Spiel in dem jede Spielerin autonom und unabhängig über ihre Strategiewahl entscheidet ist insofern von Bedeutung, als wir sonst auch koordinierte Abweichungen mehrerer Spielerinnen betrachten müssten. Dies würde zum starken Nash Gleichgewicht [strong Nash equilibrium] führen (vgl. die Diskussion von Verfeinerungen des Nash Gleichgewichts in Abschnitt 2.4.3). 7 Die aufmerksame Leserin wird sich fragen, warum wir hier nicht von einem strikten Nash Gleichgewicht in reinen Strategien sprechen. Der Grund ist, wie wir bei der Betrachtung von Nash Gleichgewichten in gemischten Strategien noch sehen werden, dass jedes strikte Nash Gleichgewicht stets ein Nash Gleichgewicht in reinen Strategien ist. Jörg Naeve