Download. Mathematik üben Klasse 8 Prozentrechnung. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert

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2 Mathematik üben Klasse 8 Prozentrechnung Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Dieser Download ist ein Auszug aus dem Originaltitel Mathematik üben Klasse 8 Über diesen Link gelangen Sie zur entsprechenden Produktseite im Web.

3 Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz 38 Prozentrechnung Prozent Zahlenangaben in Prozent (z. B. 15 %) ermöglichen den Vergleich zwischen verschiedenen Größenverhältnissen. So entspricht 1 % dem hundertsten Teil eines Ganzen: 1 % = Unterscheide zwischen: Grundwert G = das Ganze Prozentwert p % = der entsprechende Anteil am Ganzen in Prozent Prozentsatz P w = die Größe des Anteils Beispiel: Von Einwohnern sind 10 % weiblich, das sind Personen. Formeln zur Berechnung: G = P w 100 p P = w G p 100 Regeln für das Lösen von Gleichungen P w p % = 100 % G Die gesuchte Größe steht jeweils rechts unten. Die notwendigen Umformungen werden auf beiden Seiten identisch ausgeführt. Beispiel: Gegeben sind der Grundwert (G = 200 ) und ein Rabatt von 5 %. Wie hoch ist der Rabatt in Euro? 1 Berechne zuerst, wie viel Euro 1 % ist. 2 Multipliziere mit 5, um festzustellen, wie viel Euro 5 % sind. : Der Prozentwert ist P w = 10. Prozent Euro 100 % % 2 5 % 10 : 100 5

4 Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz 1. Gib den Anteil der grauen und weißen Kästchen in Prozent an. a) b) c) 2. Gib den Anteil der grauen, hellgrauen und weißen Kästchen in Prozent an. a) b) c) 3. Berechne die fehlenden Werte. Bruch Prozentzahl 16 % Dezimalbruch 0,65 0,70 4. Berechne die fehlenden Größen. G 75 kg km p% 12 % 8 % 15 % 38 % P w 9 cm 57 g 216,6 km Von einer Gesamtrechnung von 80 sind 66 % bereits bezahlt. Wie viel Euro sind das? 6. Von einer Gemüselieferung sind bereits 39,9 kg verkauft, was 95 % der Gesamtlieferung entspricht. Wie viel Kilogramm wurden insgesamt geliefert? 7. Für ein Rezept werden 880 ml Milch benötigt. In einer Tüte befinden sich noch 114 ml. Wie vielen Prozent entsprechen die 114 ml? 8. Von 800 Schülern kommen 344 mit dem Bus, 264 mit dem Zug, 160 zu Fuß und 40 mit dem Auto der Eltern zur Schule. Welche Diagramme geben den Sachverhalt richtig wieder? a) b) c) Prozentrechnung 39

5 Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz 1. Markiere den angegebenen Teil grau. a) 30 % b) 33,3 % c) 55 % 2. Berechne die fehlenden Werte. Bruch Prozentzahl 5 % Dezimalbruch 1,14 0, Berechne die fehlenden Größen. G , , , ,55 p% 2,79 % 13,28 % 3,68 % 8,91 % P w 401, ,75 185,56 870,35 4. Von einer Bestellung sind noch 380,75 t zu liefern. Dies entspricht 9,5 % des Gesamtauftrags. Wie viele Tonnen wurden insgesamt bestellt? 5. Auf einen Rechnungsbetrag von 85,55 werden noch 19 % Mehrwertsteuer aufgeschlagen. a) Wie hoch ist die Mehrwertsteuer in Euro? b) Wie hoch ist der Rechnungsbetrag inklusive der 19 % Mehrwertsteuer? 6. Im Urlaub bereist Familie König zwei Länder. Im ersten Land bezahlt sie zu der Nettorechnung von 55 noch 9,35 Mehrwertsteuer. Im zweiten Land bezahlt sie zu der Nettorechnung von 91 noch 17,29 Mehrwertsteuer. Welches Land hat die höhere Mehrwertsteuer? Begründe. 7. In einer Stadt sind Autos zugelassen. Davon sind silber oder grau, sind schwarz und sind blau. Berechne die prozentualen Anteile und stelle sie in einem Säulen- und Kreisdiagramm dar. 8. Berechne die Zahlen in den Lücken der beiden Sätze. Die notwendigen Informationen findest du im Balkendiagramm. a) Im Vergleich zum Jahr 2010 wurden 2009???? mehr Fahrzeuge als 2010 verkauft. Das sind??? % mehr Fahrzeuge. b) Im Vergleich zum Jahr 2009 wurden 2010???? weniger Fahrzeuge verkauft als Das sind % weniger Fahrzeuge. 40 Prozentrechnung

6 Vermehrter Grundwert Vermehrter Grundwert Der vermehrte Grundwert ergibt sich nach einer prozentualen Erhöhung des Grundwertes. Aufgaben zur Mehrwertsteuer, Lohn- und Preiserhöhungen, Preiszuschlägen, Inflation, Beispiel mit der Addition der Mehrwertsteuer von 19 %: Bei einem Notebook mit einem Preisschild von 500 ohne Mehrwertsteuer sind die 500 der Grundwert. Der vermehrte Grundwert ergibt sich durch die Addition der Mehrwertsteuer. Mehrere Berechnungsmöglichkeiten: I. Dreisatz, dann Addition 1 Berechne den Prozentwert (19 %) mit dem Dreisatz. Prozent Euro 100 % % 5 19 % 95 Zwischenergebnis: Die Mehrwertsteuer beträgt Addiere Grundwert und Prozentwert = 595 Ergebnis: Der Preis mit Mehrwertsteuer beträgt 595. II. Addition, dann Dreisatz 1 Addiere die Prozentangaben. 100 % + 19 % = 119 % Zwischenergebnis: Der Preis wird sich auf 119 % des Grundwertes erhöhen. 2 Berechne den vermehrten Grundwert mit dem Dreisatz. Prozent Euro 100 % % % 595 Ergebnis: Der Preis mit Mehrwertsteuer beträgt 595. III. Wachstumsfaktor 1 Ermittle den Wachstumsfaktor. 100 % + 19 % = 119 % = = 1,19 2 Multipliziere den Grundwert mit dem Wachstumsfaktor ,19 = 595 Ergebnis: Der Preis mit Mehrwertsteuer beträgt 595. Prozentrechnung 41

7 Vermehrter Grundwert 1. Bestimme den Wachstumsfaktor für die folgenden prozentualen Erhöhungen. a) 15 % b) 5 % c) 27 % d) 0,2 % e) 111 % 2. Bestimme die prozentualen Erhöhungen aus den gegebenen Wachstumsfaktoren. a) 1,07 b) 1,85 c) 1,50 d) 1,003 e) 2,23 3. Berechne die fehlenden Werte. Der Preis ohne Mehrwertsteuer (MwSt.) ist der Grundwert. Der Preis inklusive der 19 % MwSt. ist der vermehrte Grundwert. Preis ohne MwSt Wachstumsfaktor Preis mit MwSt. 4. Ein Geschäft erhöht den Einkaufspreis eines MP3-Players um 20 % und verkauft ihn für 180. a) Was ist gegeben? Was ist gesucht? b) Welchen Wert hat der Wachstumsfaktor? c) Berechne den gesuchten Wert. 5. Timo wog vor einem Jahr noch 60 kg. Heute wiegt er 69 kg. a) Was ist gegeben? b) Berechne den Wachstumsfaktor und die Zunahme in Prozent. 6. Berechne die fehlenden Werte. Grundwert 85 kg 14 km ,50 dm Erhöhung in % 8 % 14 % 7 % 9 % Wachstumsfaktor Vermehrter Grundwert 53,5 294,3 g ,82 dm 7. Carla hat ein Computerspiel dreimal gespielt und bekommt die jeweils erreichten Punkte in einem Balkendiagramm angezeigt. a) Um wie viel Prozent hat sich Carla zwischen dem ersten und zweiten Versuch gesteigert? b) Um wie viel Prozent hat sich Carla zwischen dem zweiten und dritten Versuch gesteigert? 42 Prozentrechnung

8 Vermehrter Grundwert 1. Berechne den Preis mit 19 % Mehrwertsteuer (MwSt.). Runde auf zwei Stellen nach dem Komma. Preis ohne MwSt. 55,00 1,48 320, ,30 0, Preis mit MwSt. 2. Berechne die fehlenden Werte. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma. Grundwert 790,55 44, ,00 0,78 Erhöhung in % Vermehrter Grundwert 6 % 7,5 % 5 % 6,8 % 629, , ,44 0,88 3. Im Jahr 2005 erhielten Menschen Unterstützung durch das sogenannte Arbeitslosengeld II (umgangssprachlich Hartz IV ) waren es Menschen. Berechne den prozentualen Anstieg. 4. Eine Rechnung im Kaufhaus beläuft sich auf 434,15. a) Wie viele Euro Mehrwertsteuer sind auf der Rechnung ausgewiesen? b) Wie hoch ist der Nettopreis? 5. Der Verkäufer in einem Internet-Marktplatz verlangt für eine Digitalkamera 350. Im Preis sind 2,25 % Gebühren enthalten. Wie hoch ist der Reinerlös für den Verkäufer? 6. Der Preis von Streusalz ist starken Schwankungen unterworfen. Im Sommer kostet eine Tonne üblicherweise 60. Nach den ersten Schneefällen im November steigt der Preis auf 102 pro Tonne. Nach weiteren, anhaltenden Schneefällen im Dezember erreicht der Preis dann seinen Höchststand. a) Um wie viel Prozent steigt der Salzpreis im November? b) Der Preisanstieg vom Sommer bis Oktober beträgt 50 %. Was kostet das Salz im Oktober? c) Der Preisanstieg vom Sommer bis zum Höchststand im Dezember beträgt 200 %. Was kostet das Salz im Dezember? Prozentrechnung 43

9 Verminderter Grundwert 44 Prozentrechnung Verminderter Grundwert Der verminderte Grundwert ergibt sich nach einer prozentualen Abnahme des Grundwertes. Aufgaben zu Rabatt, Preisnachlass, Ersparnis, Skonto, Beispiel der Subtraktion eines Preisnachlasses oder Skontos von 2 %: Bei einem Fotoapparat mit einem Preisschild von sind die der Grundwert, also der Preis ohne Nachlass. Der verminderte Grundwert ergibt sich durch das Abziehen des Skontos. Mehrere Berechnungsmöglichkeiten: I. Dreisatz, dann Subtraktion 1 Berechne den Prozentwert (2 %) mit dem Dreisatz. Prozent Euro 100 % % 15 2 % 30 Zwischenergebnis: Das Skonto beträgt Subtrahiere Grundwert Prozentwert = 1470 Ergebnis: Der Preis mit Skonto beträgt II. Subtraktion, dann Dreisatz 1 Subtrahiere die Prozentangaben. 100 % 2 % = 98 % Zwischenergebnis: Der Preis wird sich auf 98 % des Grundwertes vermindern. 2 Berechne den verminderten Grundwert mit dem Dreisatz. Prozent Euro 100 % % % 1470 Ergebnis: Der Preis mit Skonto beträgt III. Wachstumsfaktor 1 Ermittle den Wachstumsfaktor. 100 % 2 % = 98 % = = 0,98 2 Multipliziere den Grundwert mit dem Wachstumsfaktor ,98 = 1470 Ergebnis: Der Preis mit Skonto beträgt 1470.

10 Verminderter Grundwert 1. Bestimme den Wachstumsfaktor für die folgenden prozentualen Abnahmen. a) 53 % b) 2 % c) 0,2 % d) 0,8 % e) 22 % 2. Bestimme die prozentuale Abnahme aus den gegebenen Wachstumsfaktoren. a) 0,65 b) 0,26 c) 0,08 d) 0,92 e) 0, Berechne die fehlenden Werte. Der Preis in der ersten Zeile ist der Grundwert. Der Preis nach Abzug von 2 % Skonto ist der verminderte Grundwert. Preis ,50 Wachstumsfaktor Preis abzüglich Skonto 4. Ein Geschäft rabattiert einen MP3-Player um 20 % und verkauft ihn für 180. a) Was ist gegeben? Was ist gesucht? b) Welchen Wert hat der Wachstumsfaktor? c) Berechne den gesuchten Wert. 5. Vor der Installation des Radargerätes betrug die Durchschnittsgeschwindigkeit 55 km/h. Jetzt wird im Durchschnitt nur noch 45 km/h gefahren. a) Was ist gegeben? b) Berechne den Wachstumsfaktor und die Abnahme der Geschwindigkeit in Prozent. 6. Berechne die fehlenden Werte. Grundwert 85 kg 14 m 50 km/h 270 min Ermäßigung in % 10 % 14 % 1 % 21 % Wachstumsfaktor Verminderter Grundwert 37,50 km/h 245,70 min ,19 7. Wegen einer anstehenden Operation muss der 150 kg schwere Herr K. abnehmen. Seine Diät wird von der Klinik überwacht und in ein Diagramm eingetragen. a) Um wie viel Prozent konnte Herr K. sein Gewicht vom 1. zum 2. Quartal verringern? b) Um wie viel Prozent verringerte sich sein Gewicht vom 2. zum 3. Quartal? Prozentrechnung 45

11 Verminderter Grundwert 1. Berechne den Preis der Produkte ohne Mehrwertsteuer (MwSt.). Preis mit MwSt ,50 Preis ohne MwSt. 2. Berechne die fehlenden Werte. 46 Prozentrechnung Grundwert 780,20 366, ,50 1,65 Ermäßigung in % 10,50% 14,10% 25,00% 65,65% Verminderter Grundwert 3. Berechne die reduzierten Preise. a) Jacken: 125,50, 150,25, 190,75 b) Pullis: 59,99, 79,99, 89,99 c) Hosen: 75,75, 40,40, 89,89 d) Blazer: 110,75, 85,50, 165,25 10,83 188, ,43 0,91 ab sofort bis zum Weihnachts-Shopping 21 % auf alle Jacken 22 % auf alle Pullis 23 % auf alle Hosen 24 % auf alle Blazer Das MODEHAUS am Ring in Nürnburg 4. Fahrgäste der Deutschen Bahn erhalten 25 % des Fahrpreises erstattet, wenn ihr Zug mindestens eine Stunde Verspätung hat. Hat der Zug mehr als zwei Stunden Verspätung, können sie 50 % des Fahrpreises zurückfordern. Von Frankfurt aus kostet die Fahrkarte nach Berlin 113, nach München 91 und nach Köln 64. a) Berechne die Fahrpreise, wenn die Züge jeweils 80 Minuten Verspätung haben. b) Berechne die Fahrpreise, wenn die Züge jeweils 80 Minuten Verspätung haben und die Fahrkarte mit einer Bahncard 25 (d. h. die Fahrkarte war 25 % reduziert) gekauft wurde. 5. In einer Schokoladenfabrik werden zu verschiedenen Zeiten im Jahr Weihnachtsmänner, Osterhasen und Glückskäfer hergestellt. Die Herstellung der Figuren ist unterschiedlich kompliziert und führt daher zu unterschiedlichen Mengen an Ausschuss. a) Von einer Sorte Weihnachtsmänner werden Stück am Tag produziert. Wie viele Weihnachtsmänner gelangen bei einem Ausschuss von 5,5 % in den Handel? b) Bei den Osterhasen ist der Ausschuss höher als bei den Weihnachtsmännern. Von produzierten Osterhasen passieren lediglich Stück die Qualitätskontrolle. c) 563 Glückskäfer stehen täglich zum Versand bereit. Der Ausschuss betrug 2,25 %. Wie viele wurden produziert? 6. Von einer Lieferung Glückskäfer konnten im Supermarkt nur 1850 Stück verkauft werden, da 1,5 % bei der Lieferung zu Bruch gegangen waren. In der Fabrik passieren nur 2,25 % der Glückskäfer die Qualitätskontrolle. a) Wie viele Glückskäfer wurden an den Supermarkt geliefert? b) Wie viele Glückkäfer dieser Lieferung kamen zur Qualitätskontrolle?

12 Lösungen: Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz 1. a) grau: 25 %; weiß: 75 % b) grau: 20 %; weiß: 80 % c) grau: 60 %; weiß: 40 % 2. a) grau: 60 %, weiß: 40 % b) grau: 40 %, weiß: 60 % c) grau: 40 %, hellgrau: 20 %; weiß: 40 % 3. Bruch Prozentzahl 36 % 7 % 16 % 20 % 65 % 70 % Dezimalbruch 0,36 0,07 0,16 0,2 0,65 0,70 G 75 kg cm 150 g km p% 12 % 8 % 15 % 38 % 15 % 7,3 % P w 9 kg 12 9 cm 57 g 216,6 km ,66 = 52,80 Es sind 52, ,9 kg 95 % 0,42 kg 1 % 42 kg 100 % Insgesamt wurden 42 kg geliefert ml : 880 ml 0, ml entsprechen 13 %. 8. Diagramme b) und c) Prozentrechnung

13 Lösungen: Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz 1. a) b) c) 2. Bruch Prozentzahl 60 % 70 % 8 % 5 % 114 % 3,3 % Dezimalbruch 0,6 0,7 0,08 0,05 1,14 0,033 G , , , , , ,24 p% 2,79 % 13,28 % 12,18 % 10,10 % 3,68 % 8,91 % P w 380, ,45 401, ,75 185,56 870,35 380,75 t 9,5 % 40,079 t 1 % 4 007,9 t 100 % Insgesamt wurden 4 007,9 t bestellt. 5. a) 0,19 85,55 16,25 Die Mehrwertsteuer beträgt 16,25. b) 85, ,25 = 101,80 Die Rechnung beträgt 101, Im ersten Land: 9,35 : 85,55 = 17 % Im zweiten Land: 17,29 : 91 = 19 % a) 1,1 Millionen 40,74 % b) 1,1, Millionen 28,95 % Prozentrechnung

14 Lösungen: Vermehrter Grundwert 1. a) 1,15 b) 1,05 c) 1,27 d) 1,002 e) 2,11 2. a) 7 % b) 85 % c) 50% d) 0,3 % e) 123 % 3. Preis ohne MwSt Wachstumsfaktor 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19 1,19 Preis mit MwSt. 59,50 309,40 380,80 142,80 55, ,59 4. a) Gegeben: Prozentsatz = 20 %, vermehrter Grundwert = 180 ; gesucht: Grundwert (= Einkaufspreis) b) Wachstumsfaktor = 1,2 c) 120 % % 1, % 150 Der Einkaufspreis beträgt a) Gegeben: vermehrter Grundwert, Grundwert b) 9 kg : 60 kg = 0,15 Wachstumsfaktor 1,15. Die Zunahme beträgt 15 %. 6. Grundwert 85 kg 14 km 50 l 270 g 1200,00 1,50 dm Erhöhung in % 8 % 14 % 7 % 9 % 1 % 21 % Wachstumsfaktor 1,08 1,14 1,07 1,09 1,01 1,21 Vermehrter Grundwert 91,8 kg 15,96 km 53,5 l 294,30 g 1 212,00 1,82 dm 7. a) Carla hat sich um 25 % gesteigert. b) Carla hat sich um 20 % gesteigert. Prozentrechnung

15 Lösungen: Vermehrter Grundwert 1. Preis ohne MwSt. 55,00 1,48 320, ,30 0, Preis mit MwSt. 65,45 1,76 381, ,31 0, Grundwert 790,55 44,00 599, , ,00 0,78 Erhöhung in % Vermehrter Grundwert 3. 6 % 7,5 % 5 % 6,8 % 3,75 % 12,82 % 837,98 47,30 629, , ,44 0,88 Zunahme um Menschen : ,3712 Die Zunahme liegt bei 37,12 %. 4. a) 434, % 3, % 69,32 19 % Die Mehrwertsteuer beträgt 69,32. b) 434,15 69,32 = 364,83 5. Der Nettopreis beträgt 364, ,25 % 3,423 1 % 342, % Der Reinerlös für den Verkäufer beträgt 342, a) 42 : 60 = 0,7 Der Preis steigt um 70 % an. b) 60 1,5 = 90 Eine Tonne kostet im Oktober 90. c) 60 3 = 180 Eine Tonne kostet im Dezember 180. Prozentrechnung

16 Lösungen: Verminderter Grundwert 1. a) 0,47 b) 0,98 c) 0,998 d) 0,2 e) 0,78 2. a) 35 % b) 74 % c) 92 % d) 8 % e) 99,77 % Preis ,50 Wachstumsfaktor 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 Preis abzüglich Skonto ,60 34,30 1,47 a) Gegeben: Prozentsatz = 20 %, verminderter Grundwert = 180 ; gesucht: Grundwert (= Normalpreis) b) Wachstumsfaktor = 0,8 c) 180 : 0,8 = Der Normalpreis beträgt 225. a) Gegeben: Grundwert = 55 km/h, verminderter Grundwert = 45 km/h b) 10 km/h : 55 km/h 0, Die Geschwindigkeit nimmt um 18,18 % ab. Wachstumsfaktor 0,82 Grundwert 85 kg 14 m 50 km/h 270 min ,51 Ermäßigung in % 10 % 14 % 25 % 9 % 1 % 21 % Wachstumsfaktor 0,90 0,86 0,75 0,91 0,99 0,79 Verminderter Grundwert 7. a) 20 kg : 150 kg 0, ,50 kg 12,04 m 37,5 km/h 245,7 min ,19 Herr K. konnte sein Gewicht um 13,33 % verringern. b) 13 kg : 130 kg = 0,1 Herr K. konnte sein Gewicht um weitere 10 % verringern. Prozentrechnung

17 Lösungen: Verminderter Grundwert 1. Preis mit MwSt ,50 Preis ohne MwSt. 840,34 336, ,18 58,82 29,41 1,26 2. Grundwert 780,20 366,60 14,44 549, ,50 1,65 Ermäßigung in % 10,50 % 14,10 % 25,00 % 65,65 % 0,75 % 44,85 % Verminderter Grundwert 3. a) 99,15 118,70 150,69 b) 46,79 62,39 70,19 c) 58,33 31,11 69,22 d) 84,17 64,98 125, ,28 314,91 10,83 188, ,43 0,91 a) nach Berlin: 84,75 nach München: 68,25 nach Köln: 48 b) nach Berlin: 63,56 nach München: 51,19 nach Köln: a) 0, Stück Pro Tag sind es Weihnachtsmänner. b) 225 : ,0 % 6 % sind Ausschuss. c) 97,75 % % 5, % 575,96 Es wurden 576 Glückskäfer produziert. a) 98, 5 % % 18, % 1 878,17 Es wurden Stück geliefert. b) 97,75 % % 18,79 2,25 % 42,28 43 Glückskäfer kamen zur Qualitätskontrolle. Prozentrechnung