Propädeutikum Mathematik

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Gerrit Hofmeister
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1 Propädeutikum Mathematik Sommersemester 2017 Prof. Dr. Jörg Stephan Abteilung Wirtschaftsinformatik SoSe 2017 Seite 1

2 Propädeutikum Mathematik für Wirtschaftsinformatiker (BIS) Beispiele SoSe 2017 Seite 2

3 Eingangstest Beispiel 1: In einem Land mit 20% Mehrwertsteuer kostet ein Fernseher inclusive MWSt 240,00 Geldeinheiten. Wie hoch ist der Mehrwertsteueranteil, bzw. wie hoch ist der Nettopreis? Beispiel 2: Ein Sportler läuft auf dem Hinweg seiner Laufstrecke mit einer Geschwindigkeit von 8 km/h und auf dem Rückweg derselben Strecke mit 12 km/h. Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? Seite 18 SoSe 2017 Seite 3

4 1. Mengen Beispiel 1: A = Menge der natürlichen Zahlen kleiner 5 Beispiel 2: B = Menge der geraden natürlichen Zahlen kleiner 5 Beispiel 3: C = Menge der Primzahlen kleiner 10 Beispiel 4: X = Menge der am in Deutschland zugelassenen PKW SoSe 2017 Seite 4

5 2. Zahlbereiche N abgeschlossen gegenüber Addition und Multiplikation N 0 = {0, 1, 2, 3, } = N {0} Z abgeschlossen gegenüber Addition, Multiplikation und Subtraktion Q abgeschlossen gegenüber Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division R abgeschlossen gegenüber Addition, Multiplikation, Subtraktion, Division und Wurzelziehen etc. SoSe 2017 Seite 5

6 4. Bruchrechnen Kürzen: = = = = = 6 9 = = 2 3 ggt(24, 36) = = = 2 3 6x+18y 12x 24y Kürzen? kgv(10,4)= = = = a+b 2a 1 c 3ab =? SoSe 2017 Seite 6

7 Multiplikation: Division: 3 7 = 3 7 = 3 7 = : 7 = 3 : 7 = 3 1 = 3 1 = Doppelbruch: = 3 5 : 6 7 = = = = 7 10 Gemischter Bruch: 3 2 = = = Verwechslung mit: = = 6 7 SoSe 2017 Seite 7

8 5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten Beispiel 1: = k 6 k=1 Beispiel 2: = Beispiel 3: n = 2j n j=1 100 i= 2 i SoSe 2017 Seite 8

9 5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten Beispiel 4: = = k 2 4 k=1 Beispiel 5: = 2i 1 i=1 9 = (2i + 1) i=0 Beispiel 6: n = 1 2j = 1 2 n j=1 n j=1 1 j = n SoSe 2017 Seite 9

10 5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten Beispiel 7: = k 9 k=1 Beispiel 8: = i 1 i+1 7 i=1 7 = i( 1) i 1 i=1 Beispiel 9: n = j = n! n j=1 sprich: n Fakultät SoSe 2017 Seite 10

11 6. Binomische Formeln (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 Pascalsches Dreieck: usw SoSe 2017 Seite 11

12 7. Potenzen und Wurzeln Beispiel 1: 2 5 = = 32 Beispiel 2: ( 1) 4 = = 1 Beispiel 3: ( 1) n = Beispiel 4: 12x 2 y 2 z 3 3(xyz) 3 =? 1, falls n gerade 1, falls n ungerade SoSe 2017 Seite 12

13 Beispiel 5: = 2 5 = 2 Beispiel 6: =? =? Beispiel 7: 3 a 6 b =? x 12 =? Beispiel 8: Achtung! Beispiel 5: Vereinfache a+b c+ d SoSe 2017 Seite 13

14 8. Logarithmen Beispiel 1: log 10 (1000) = 3 denn 10 3 = 1000 Beispiel 2: log 3 (81) = 4 denn 3 4 = 81 Beispiel 3: ld(1024) = log 2 (1024) = 10 denn 2 10 = 1024 Beispiel 4: Achtung! log a u + v log a u + log a v SoSe 2017 Seite 14

9. Gleichungen mit einer Unbekannten Beispiel 1: Drei Schwestern sind zusammen 33 Jahre alt. Die Älteste ist doppelt so alt wie die Jüngste. Die Mittlere ist zwei Jahre jünger als die Älteste.

15 9. Gleichungen mit einer Unbekannten Beispiel 1: Drei Schwestern sind zusammen 33 Jahre alt. Die Älteste ist doppelt so alt wie die Jüngste. Die Mittlere ist zwei Jahre jünger als die Älteste. Wie alt sind die drei Geschwister? Beispiel 2: Kurz nach der Tagesschau schaut ein Fernsehzuschauer kurz auf die Wanduhr und stutzt: Sind großer und kleiner Zeiger in diesem Moment nicht exakt gleich weit von der 6 auf dem Ziffernblatt entfernt? Die Winkel scheinen in der Tat gleich groß zu sein. Aber ist das überhaupt möglich? Und falls ja: Wie lautet die genaue Uhrzeit in diesem Moment? SoSe 2017 Seite 15

16 Beispiel 3: Am werden 1000 Euro auf ein Sparkonto eingezahlt. Zum Jahresende werden jeweils die Zinsen gut geschrieben und weitere 100 Euro eingezahlt. Am befinden sich 1307,50 Euro auf dem Konto. Wie groß war der Zinssatz? Beispiel 4: 4 6 x = x Beispiel 5: 2x + 7 4x 3 = x 10 4x 5 SoSe 2017 Seite 16

17 Beispiel 6: x 5 x 4 6x 3 = 0 Beispiel 7: x 6 35x = 0 Beispiel 8: x 3 6x x 6 = 0 Beispiel 9: x 3 3x = 0 Beispiel 10: x 4 10x x 2 50x + 24 = 0 SoSe 2017 Seite 17

18 Beispiel 11: 5 2x-3 = 2 x+1 Beispiel 12: 5 x 3 2x = 7 x x SoSe 2017 Seite 18

19 10. Dreisatz und Prozentrechnung Beispiel 1: Ein PKW fährt mit konstanter Geschwindigkeit und legt in 20 min. eine Strecke von 40 km zurück. Welche Strecke legt der PKW bei Beibehaltung der Geschwindigkeit in 3½ Stunden zurück? Beispiel 2: Fünf Maschinen erledigen eine bestimmte Arbeitsmenge in drei Stunden. Wie lange würden 15 Maschinen benötigen? SoSe 2017 Seite 19

20 10. Dreisatz und Prozentrechnung Beispiel 3: 45% der Studierenden an der Fakultät IV sind weiblich. Insgesamt gibt es 4000 Studierende an der Fakultät. Wie viele davon sind weiblich? Beispiel 4: 200 Euro werden auf einem Sparbuch mit 3% p.a. verzinst. Wie hoch ist der Kontostand des Sparbuches nach einem Jahr? SoSe 2017 Seite 20

21 11. Ungleichungen mit einer Unbekannten Beispiel 1: 2x + 4 < 3x y Wo liegt die linke Gerade unter der rechten Geraden? Beispiel 2: x+1 x 2 > 1 3 Wo liegt der linke Bruch unter ein Drittel? y x x SoSe 2017 Seite 21

22 Beispiel 3: 6 y 2x 2 6x + 4 < 0 In welchen Intervallen ist der Ausdruck 2x 2-6x + 4 positiv, wo ist er negativ? Beispiel 4: 2x 2 > 4x In welchen Intervallen ist der Ausdruck 2x 2-4x positiv, wo ist er negativ? y x x SoSe 2017 Seite 22

23 Beispiel 5: -x 2 + 5x 6 > 0 In welchen Intervallen ist der Ausdruck -x 2 + 5x - 6 positiv, wo ist er negativ? y x -5 SoSe 2017 Seite 23

24 12. Gleichungssysteme Beispiel 1: (1) 2x + 3y = 7 (2) 3x 2y = 4 Wo schneiden sich die Geraden? y x Beispiel 2: (1) 2x 4y = 10 (2) 3x + 6y = 15 Die Geraden sind identisch und liegen übereinander! SoSe 2017 Seite 24

25 Beispiel 3: (1) 4x 6y = 7 (2) x + 1,5y = 4 Wo schneiden sich die Geraden? y x Beispiel 4: x 2 + 3y 7 = 0 2x + y = 0 SoSe 2017 Seite 25

26 Beispiel 5: y 2 + y = 0 x 2 4 = 0 Beispiel 6: x 2 + 4xy + 8x = 0 xy - 4 = 0 Beispiel 7: x - 1 = 0 xy y/x = 0 SoSe 2017 Seite 26

27 12. Grundlagen der ebenen Geometrie Beispiel 1: Wie lautet die Geradengleichung der Geraden, die durch die Punkte P = (2; 4), Q = (-1; 1) geht? Beispiel 2: Wie lautet die Geradengleichung der Geraden, die durch den Punkt P = (-1; 1) geht und die Steigung m = ½ besitzt? SoSe 2017 Seite 27

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