5/27/ Anwendungen der Bruchzahlen. Prozentrechnung. Zwei Möglichkeiten zum Einstieg

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1 5/27/ Anwendungen der Bruchzahlen Sachaufgaben im 6. und 7. Schuljahr a) Prozentrechnung b) Zinsrechnung c) Zinseszinsrechnung Prozentrechnung Zwei Möglichkeiten zum Einstieg I. Man geht von Prozentangaben im täglichen Leben aus. d) Maßstabrechnen e) quotient- und produktgleiche Zahlenpaare, Dreisatzrechnung f) Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Prozentangaben im täglichen Leben II. Man führt einen relativen Vergleich durch. 1

2 Die formale Einführung der Prozentschreibweise (Einführung I) stellt keine Motivation für die Schüler(innen) dar. Es bestünde keine Notwendigkeit dafür, wenn sie nicht im täglichen Leben, insbesondere im kaufmännischen Bereich und bei den Banken üblich wäre. Die Motivation lässt sich wohl nur durch den relativen Vergleich (Einführung II) erbringen, also durch Verhältnisse, die zum Vergleich auf denselben Nenner gebracht werden müssen. Man kann auch eine gefühlsbetonte Motivation versuchen: Die Lehrkraft erzählt recht spannend von reichen Kaufleuten des Mittelalters, die Kauffahrten u. a. nach Italien unternahmen. Nach der Heimkehr konnten sie viel erzählen, auch dass sie an jeder Grenze einen Teil ihrer Waren oder ihres Kapitals als Zoll abgeben mussten. Um zu demonstrieren, dass sie weit gereist waren, bedienten sie sich italienischer Sprachbrocken und sagten pro cento. Anderes Beispiel für einen relativen Vergleich: In der Klasse 5a sind 27 Schüler(innen), von denen 3 noch nicht schwimmen können. In der Klasse 5 b sind 32 Schüler(innen), von denen 4 noch nicht schwimmen können. Welche Klasse schwimmt besser? Die Prozentrechnung lässt sich auf der Bruchrechnung mit Operatoren aufbauen. Man führt dann Prozentoperatoren ein. Etwa so: 2

3 5/27/09 Diese Umrechnungen müssen geläufig sein. Übungen dazu sind etwa oder auch Besonders wichtig sind auch die Berechnungen von Prozentwerten vom sogenannten vermehrten bzw. verminderten Wert: Aufgaben dazu sind etwa Ein Auto kostet Das Werk setzt den Preis um 4% herauf. Was kostet das Auto nach der Preiserhöhung? alter Preis [... ]-> PLUS Preiserhöhung [ 4% ]-> neuer Preis [... ]-> Lösung: alter Preis [%]-> PLUS Preiserhöhung [ 4% ]-> 928 neuer Preis [104%]-> Ein Fernsehgerät mit Flachbildschirm kostet Wenn man bar bezahlt gibt der Händler 3% Nachlass. Was kostet das Gerät bei Barzahlung? alter Preis MINUS Preisnachlass neuer Preis [... ]-> [ 3% ]-> [... ]-> Lösung: alter Preis MINUS Preisnachlass neuer Preis [%]-> [ 3% ]-> [ 97%]-> 1164 verminderter Wert 3

4 Für ein Elektrogerät zahlt man als Barpreis 46,56. Dabei sind schon 3% Rabatt abgezogen. Wie groß ist der Listenpreis des Gerätes? Listenpreis.... -[... ]-> MINUS Rabatt.... -[ 3% ]-> Barpreis.... -[... ]-> 46,56 Lösung: Listenpreis 48,00 -[%]-> 48,00 MINUS Rabatt 48,00 -[ 3% ]-> 1,44 Barpreis 48,00 -[97%]-> 46,56 Man muss hier mit dem Umkehroperator arbeiten: Barpreis..... <-[97%]- 46, <-[ : ]- 46, <-[ ]- 46,56 Entsprechend sind die Berechnungen vom vermehrten Wert Berechnung vom verminderten Wert Zur Einführung der Prozentrechnung durch den relativen Vergleich eignet sich auch die folgende Aufgabe: Bei einer Wahl haben in der Stadt A von Wahlberechtigten gewählt; in der Stadt B sind von Wahlberechtigten zur Wahl gegangen. In welcher Stadt war die Wahlbeteiligung besser? Da es sich hier um Anzahlen von Menschen geht, rechnet man mit Verhältnissen von natürlichen Zahlen. Daher eignet sich dieser Sachverhalt zur Einführung, wenn die Prozentrechnung direkt an die Bruchrechnung anschließt (ohne dass vorher die sogenannte Dreisatzrechnung behandelt wurde. Eine Vergleichsbasis ist gegeben, wenn man auf eine gleich große Einwohnerzahl umrechnet: Man nimmt hypothetisch an bzw. man sagt, je Einwohner haben in A 78, in B 75 gewählt. Führt man die Prozentrechnung erst nach der Dreisatzrechnung ein, so kann man den Vergleich auch mit Größen durchführen, da Dreisatzrechnung eine Zuordnung von Größenbereichen darstellt und der Zuordnungsoperator als Pro-Operator (Verhältnis- Operator) bereits eingeführt ist. Ein Beispiel ist: Herbert hat bei der Kreissparkasse ein Sparbuch mit 250. Nach einem Jahr bekommt er 12,50 Zinsen. Zuordnung mit einem Pro-Operator 12, [ ] > 12, [ ] > 12, [ 5% ] > 12,50 5 Christel hat bei der Stadtsparkasse ein Sparbuch mit 180. Nach einem Jahr bekommt sie 10,80 Zinsen. Zuordnung mit einem Pro-Operator 10, [ ] > 10, [ ] > 10, [ 6% ] > 10,80 6 Die Prozentrechnung mit Prozentoperatoren hat folgende Gestalt: Grundwert -[ Prozentsatz ]-> Prozentwert Es gibt drei Grundaufgaben: 1. Berechnung des Prozentwertes Man rechnet des Operatorschema vorwärts Grundwert -[ p ]-> Prozentwert 2. Berechnung des Grundwertes Man rechnet das Operatorschema rückwärts Grundwert <-[ ]- Prozentwert p 3. Berechnung des Prozentsatzes Man berechnet Prozentwert : Grundwert Grundwert -[ ]-> Prozentwert Prozentwert Grundwert 4

5 Graphische Darstellungen zur Prozentrechnung auf der Grundlage zwischen zwei Leitern Graphische Darstellung des Prozentzusammenhangs im Koordinatensystem S bewegliche Gerade Diese Darstellung eignet sich auch gut für eine Darstellung mit dem Overhead-Projektor. Man macht den (hier rot gezeichneten) Strahl beweglich mit einer Reißzwecke fest und dreht ihn um einen festen Punkt. Prozentzuordnung mit dem Gummiband Prozentangaben lassen sich mit Hilfe einer Tabellenkalkulation gut veranschaulichen: Sonstiges Für eine Klassenfahrt müssen von jedem/r Schüler/in 140 aufgebracht werden. Davon sind vorgesehen: 30% für die Fahrt 15% für die Unterkunft 50% für die Verpflegung Fahrt der Rest für Sonstiges Verpflegung Unterkunft 5

6 Auch die Zinsrechnung lässt sich in das Operatorschema einbauen. Kapital -[ Zinsoperator ]-> Jahreszinsen -[ Zeitoperator ]-> Zinsen Ein Kapital von 7500 wird zu 5% jährlich verzinst. Wie 3 viel Zinsen erhält man nach Jahren? 4 Operatorschema: [ 5% ]-> 375 -[ 3 ]-> 281,25 4 Zuerst werden die Anschließend werden Jahreszinsen bestimmt. die Zinsen für den angegebenen Zeitraum bestimmt. Der Zinsoperator ist nicht identisch mit dem Prozentoperator; er bezieht sich auf 1 Jahr und lautet daher z. B. 5 %. Jahr Auch der Zeitoperator trägt eine Einheit, nämlich 1 Jahr. Das Operatorschema müsste daher geschrieben werden als % [ 5 ]-> 375 -[ 3 Jahr ]-> 281,25 Jahr 4 Die Zinsformel lässt sich aus dem Operatorschema entwickeln: K -[ p ]-> Jahreszinsen -[ t ]-> z Man verkettet die Operatoren -[ p t ]-> K p t und rechnet = z. Die vier Grundaufgaben der Zinsrechnung lassen sich alle mit dem Operatorschema lösen. 1 2 Beispiele dafür sind:

7 Die Zinseszinsrechnung lässt sich zwanglos anschließen. Ein Programmablaufplan zeigt, dass sich die Rechnung jedes Jahr wiederholt; man muss sie nur jeweils auf das um die Zinsen erhöhte Kapital anwenden. Das lässt sich mit einer Schleife schreiben. Wird ein Kapital k für i = 10 Jahre auf Zinseszins angelegt, so erhöht man i in jedem Jahr um 1 und setzt als Abbruchbedingung I 10 fest. Mit einer Tabellenkalkulation kann man dann die Berechnungen ganz einfach durchführen und auf Grund des automatischen Kopiermodus für beliebig viele Jahre zeigen. Auch Aufgaben zum Ratensparen lassen sich bequem lösen, wenn man die jährliche Ratenzahlung, den Zinssatz und das gewünschte Endkapital (hier 3000 ) vorgibt. Der Programmablaufplan sieht dann so aus, wie hier rechts aufgeschrieben. Die Abbruchbedingung ist jetzt k

8 Alle Umkehraufgaben können mit Hilfe der Tabellenkalkulation gelöst werden. Berechnung des Zinssatzes bei vorgegebenem Anfangskapital, Endkapital und der Anzahl der Jahre. Berechnung des Anfangskapitals bei vorgegebenem Endkapital, dem Zinssatz und der Laufzeit. Berechnung der Laufzeit bei vorgegebenem Anfangskapital, Endkapital und Zinssatz. Formel im 10. Schuljahr: K n = K 0. q n mit K n Endkapital K 0 Anfangskapital p q = 1 + p Zinssatz 8