Vortrag CASK Die Nullstellen der Zeta Funktion und die Verteilung der Primzahlen. - unter Verwendung von mathcad 12. Prof. Dr.

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1 Vortrag CASK 007 Die Nullstellen der Zeta Funktion und die Verteilung der Primzahlen - unter Verwendung von mathcad Prof. Dr. Peter Grobstich. Die Ermittlung aller Primzahlen bis N. Der Zusammenhang der Primzahlen 3. Die reelle Zeta Funktion nach EULER. Die komplexe Zeta Funktion nach RIEMANN 5. Die Nullstellen der Funktionen ζ(s) und Ξ(t). Die Verteilung der Primzahlen 7. Eine Anwendung der Primzahlen 8. Projekte, Literatur und Programme

2 . Die Ermittlung aller Primzahlen bis N Wir beginnen mit einer Primzahl-Tabelle, wie sie in jeder Zahlentafel zu finden ist. Die Ermittlung der Primzahlen kann mit einfachen Probedivisionen erfolgen. So findet man zum Beispiel alle Primzahlen bis N = 00. Für die weiteren Untersuchungen stehen nicht die einzelnen Primzahlen im Vordergrund, sondern die Anzahl der Primzahlen in einem Bereich. Es ergeben sich 5 Primzahlen bis N =00 und 8 bis N =000. Mit einem kleinen Programm kann man die Aufgabe einem Computer übertragen: Test( Tab, A, B) := L länge( Tab) k for r for i.. L if TabNeu j A.. B r ( ) mod j, Tab i break if r 0 r 0 TabNeu k j k k + Urliste der Primzahlen bis n = 0: T := ( 3 5 7) T T3 = T3 =

3 Man erhält eine große Primzahl- Tabelle bis N = 0 5, hier im Auszug dargestellt. T = T = T7 = Aus dieser Tabelle können zwei markante Ergebnisse abgelesen werden. Die Anzahl der Primzahlen bis N = 0 ist 9 und bis N = 0 5 beträgt sie 959. Diese beiden Ergebnisse werden später zur Kontrolle benutzt.. Der Zusammenhang der Primzahlen Die Auswertung der bisherigen Ergebnisse erfolgt nun in einer kleinen Tabelle, die durch weitere Angaben ergänzt wurde, π (N) bezeichnet die Anzahl der Primzahlen bis N. N = π (N) N / π (N) ln (N) 0 5,0, 0 3 8,0, , 9, ,, ,7 3, ,0, Unter Beachtung der Logarithmen- Gesetze mit N := 0. N ln (0. N) = ln (N) + ln (0) = ln (N) +.30 ergibt sich die grundsätzliche Vermutung über die Verteilung der Primzahlen: π(n) N ln (N) π(n) Li(N) = N ln (x) dx (C. F. GAUSS / 79) 3

4 Der Zusammenhang zwischen den Primzahlen {p} und den ganzen Zahlen {n} wird über die Primfaktor-Zerlegung durch die Formel von EULER (737) beschrieben: s ( p ) = s n p Auf der linken Seite dieser Formel stellt jede Klammer die Summenformel einer geometrischen Reihe mit dem Faktor q = dar. s p Die Multiplikation zweier solcher Reihen ergibt alle möglichen Kombinationen der Primzahlpotenzen. Aus der Eindeutigkeit der Zerlegung einer ganzen Zahl in Primfaktoren ergeben sich alle Zahlen n, die nur aus diesen beiden Primfaktoren aufgebaut sind. Durch Hinzunahme weiterer Primzahlen ergeben sich schrittweise alle natürlichen Zahlen und damit die Formel auf der rechten Seite. 3. Die reelle Zeta Funktion nach EULER Die Reihe auf der rechten Seite konvergiert für s- Werte, die größer als sind. Die entscheidende Idee von Euler war, diese Reihe zur Definition einer neuen Funktion zu verwenden. So entstand die berühmte Zeta-Funktion: ζ (s) = s n n = s > Zunächst konnte man nur Näherungswerte dieser Funktion berechnen. Ein Durchbruch im Verständnis war Eulers Entdeckung einer Formel für ζ() mit ζ () = π. Da es auch für 0 < s < Grenzwerte in dieser Form gibt n lim n n k = k n Zeta kann man die Zeta Funktion im positiven Bereich mit einer Gliedzahl N so definieren: ZETA( s, N) := N n = n s if < s N n = n s N s if 0. < s < s Das Programm Mathcad ist in der Lage, daraus eine Kurve für diese Funktion zu erstellen. Neben dem Wert ζ() und der Asymptote ist die Polstelle typisch für den Verlauf. Die folgende Zeichnung zeigt den Bereich für x = 0. 5.

5 Bereich: x := 0., ζ ( ) = π Polstelle Im weiteren Verlauf soll nun die Zeta-Funktion für den negativen Bereich erklärt werden. Dazu verwendet man die EULER MacLaurin Formel. In ihrem Aufbau erinnert sie einerseits an die Taylor-Reihen, wobei die Koeffizienten aus den Bernoulli-Zahlen gebildet werden. Andererseits hat sie Ähnlichkeit mit der Interpolationsformel von Newton. mit B B Bk ζ( x) = + + x + x (x + ) (x + ) x!! (k)! für x > -. k, B = ; B3 = 0 ; B = ; B5 = 0 ; B = ; B7 30 = 0 ; ζ( x) triviale Nullstellen x 0 In dieser Darstellung treten zum ersten Mal Nullstellen auf. Diese Nullstellen heißen triviale Nullstellen und liegen genau bei den negativen geraden Zahlen. Die Herleitung bei Knopp: Theorie und Anwendungen der unendlichen Reihen. 5

6 . Die komplexe Zeta Funktion nach RIEMANN Jetzt werden wir die Zeta-Funktion durch Übergang in den komplexen Bereich noch einmal entscheidend erweitern. Diese Erweiterungen stammen im wesentlichen von Riemann. Als Reihenentwicklung legt man für die rechentechnische Behandlung am besten eine Veränderung der Euler-Maclaurin-Formel zugrunde, die von Edwards stammt: ζ ( sn, ) := N n = n s + N s + s N s + s N s+ für Re(s) > - Damit kann das Programm eine 3-D Darstellung der Funktion ζ(s) in der oberen komplexen Halbebene erzeugen: Man erkennt zunächst die Eigenschaften vom reellen Bereich wieder. Die Polstelle und das asymptotische Verhalten treten deutlich hervor. Das Ziel ist jedoch, weitere Nullstellen im komplexen Bereich zu finden. Eine gute Vorstellung vom Verhalten der Funktion kann man durch Schnittebenen gewinnen. Im obigen Bild ist die wichtige Ebene für Re(s) = ½ eingezeichnet worden. An dieser Stelle seien an einer einfachen komplexen Funktion elementare Eigenschaften dargestellt, wichtig sind die Nullstellen und Polstellen. z + + i Die Funktion lautet g(z) =, ihre Nullstellen und die Polstelle werden berechnet. z + 8

7 gz () := z + + i z + 8 Nullstellen bei z + + i 0 auflösen, z gleit, i.5 i zn := i zn := i Polstelle bei: zp := In der komplexen Ebene wird ein elliptischer Bereich ausgewählt, der diese Stellen enthält. Ellipse als Bereich in der komplexen Ebene, Lage der Polstelle und der Nullstellen : 0 8 Ellipse Nullstelle Nullstelle Polstelle Die 3-D Darstellung im ausgewählten Bereich zeigt dieses Bild. 7

8 Wir kehren zur Zeta-Funktion zurück. Die ausgewählte Schnittebene bestimmt eine Kurve. Die Kurve für s = ½ + t. i entlang dieser Schnittebene könnte neue, nichttriviale Nullstellen aufweisen. Diese Kurve wird im folgenden Bild gezeigt, sie hat tatsächlich Nullstellen. Die Nullstellen treten für etwa t =,, 5 und 3 auf. Jetzt ergeben sich mehrere Fragen: - wie kann man erkennen, dass sich dort tatsächlich Nullstellen befinden? - wie kann man sie genau lokalisieren? - kann man die Nullstellen berechnen? - wie viele Nullstellen gibt es im Bereich 0 < t < T? - kann man mit einem Programm eine Tabelle der Nullstellen erzeugen? Eine genaue getrennte Untersuchung des Realteils und des Imaginärteils der Zeta-Funktion zeigt zum Beispiel für s = ½ + t. i folgendes Bild: Realteil Zeta-Fkt für Re (s) = / U ( t) t 3 Imaginärteil Zeta-Fkt. für Re (s) = / 0.7 V ( t) t 3 Es treten bei Realteil und Imaginärteil gemeinsame Nullstellen auf! Eine Untersuchung für andere s-werte mit Re(s) ½ zeigt entweder keine gemeinsamen oder keine Nullstellen des Realteils. Diese Beobachtung führt auf die berühmte RIEMANNsche Vermutung: Alle nichttrivialen Nullstellen der ζ Funktion liegen auf der Geraden Re (s) = ½ 8

9 5. Die Nullstellen der Funktionen ζ(s) und Ξ(t) Zur Untersuchung der nichttrivialen Nullstellen auf der Geraden Re(s) = ½ hat Riemann die vervollständigte Zeta-Funktion vorgeschlagen: ξ(t) = Γ s π s s (s ) ζ(s) s = + t i Die zugehörige Kurve zeigt im Bereich 0 < t < 50 folgenden Verlauf: In diesem Bereich hat die Kurve 0 Nullstellen! Wir steigern nun die Genauigkeit der Darstellung in diesem Bereich und erweitern den Bereich bis zu T =

10 Eine weitere Darstellung für die vervollständigte Zeta-Funktion geht ebenfalls auf Riemann zurück und ist durch eine Integralformel gegeben: Ξ(t) = 3 ( t + ) θ(x) x cos ( t ln x)dx Diese Form ist für die Berechnung von Funktionswerten ebenfalls gut geeignet. Wir verwenden sie, um Nullstellen der ζ - Funktion zu berechnen. Eine Nullstelle einer (stetigen) Funktion ist durch einen Vorzeichen-Wechsel zu erkennen. So ergibt sich zum Beispiel: ) Ξ () t 00 Genauigkeit: 3 t t + θ ( x) x cos x ln( x) := d TOL := 0 Nullstelle finden: Ξ (. ) = Ξ ( 5) = Mathcad - Anweisung "wurzel" zur Ermittlung von Nullstellen t := wurzel Ξ () t, t t := 5 wurzel Ξ () t, t ( ).35 ( ) = t := wurzel Ξ () t, t = t := 30 wurzel Ξ () t, t ( ) =.0 ( ) = Eine elegante Methode zur Ermittlung von Nullstellen stellt die Mathcad-Anweisung wurzel dar. Es wird die Gleichung Ξ (t) = 0 nach dem Newton Verfahren mit dem vorgegebenen Startwert gelöst. Damit hat man bisher für Nullstellen Näherungswerte. Um eine systematische Ermittlung der Nullstellen durchzuführen, verwenden wir ein kleines Mathcad-Programm, das einen gegebenen Bereich T mit einer Schrittweite h testet. Dabei ist eine Voraussetzung, dass man die Anzahl der Nullstellen in diesem Bereich kennt. Eine Näherungsformel, die von Riemann ohne Beweis angegeben wurde lautet: T T N (T) ln + π π 3) Im folgenden wird das Programm angeschrieben. Es verwendet einen Bereich [a, b], in der Regel [0 T], und durchläuft ihn mit der Schrittweite h. Bei einem Vorzeichenwechsel der Funktion werden die aktuellen Werte in eine Liste geschrieben. Das Programm gibt dann die Lage der Nullstellen in geordneter Reihenfolge aus. In einem ersten kleinen Beispiel werden die erwarteten Nullstellen im Bereich 0 < t < 80 berechnet. Eine große Tabelle mit insgesamt 0 Nullstellen bildet das Kernstück der Berechnungen. Die Funktion θ(x) bezeichnet die Jacobi-Theta Funktion. 3 Man kann die Anzahl der Nullstellen durch ein Integral über die logarithmische Ableitung der Funktion Ξ (t) entlang einer geschlossenen Kurve berechnen. Die Auswertung dieses komplizierten Integrals gelingt mit Mathcad. Es ergeben sich so z. B. 5 ζ - Nullstellen im Bereich 8 < t < 38. 0

11 Nullstellen im Das ζ - Programm Bereich 0 < t < 80 ζnull( a, b, h) := t a. k while L z ξ3() t t t + h z if t t < b ξ3( t) zz < 0 L t k, L t k, k k + t ζ = Tabelle der ersten 0 ζ - Nullstellen ζ = ζ= ζ= ζ= ζ= ζ= ζ=

12 .. Die Nullstellen der ζ- Funktion und die Verteilung der Primzahlen Der folgende Formelapparat ist die Grundlage zur Berechnung der Anzahl der Primzahlen bis zu einer gegeben Größe x. Diese Formeln stammen von RIEMANN aus seiner berühmten Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. Man beginnt mit der Berechnung einer möglichst großen Anzahl von Nullstellen der Zeta- Funktion. Die Imaginärteile t dieser Nullstellen gehen in die Dichtefunktion D(x) ein. Sie spielen die Rolle von Korrekturtermen bei der bekannten Dichtefunktion nach Gauß. Das Integral über die Dichte ergibt die Anzahl aller Primzahl-Potenzen kleiner x. Die letzte Formel schließlich berechnet daraus die gesuchte Anzahl der Primzahlen. Anzahl der Nullstellen T T N (T) ln + π π Dichtefunktion für Primzahlen D(x) = cos( t ln(x)) ln (x) x ln (x) t Anzahl Primzahlpotenzen Anzahl der Primzahlen bis x A(x) = x D(x) dx ANZ(x) = A(x) A( x ) A( x ) A( x ) A( x ) A( x ) 3 ±... Es folgen konkrete Berechnungen: Ermittlung von 35 ζ - Nullstellen für die Dichtefunktion: T := 50 NT ( ) T T := ln + NT ( ) = 35 π π t T = Dx ( ) 35 x := cos( t i ln( x) ) Ax ():= ln( x) Dx ( ) dx x ln() x i = ANZ( x) := A() x ( ) A x ( ) 3 A 3 x ( ) 5 A 5 x + ( ) A x ( ) 7 A 7 x ANZ( 0) = ANZ( 00) = 5 ANZ( 000) = 8 ANZ( 0 5 ) = 959 Die Ergebnisse geben die tatsächliche Verteilung der Primzahlen fast exakt wieder!! Monatsberichte der Berliner Akademie, November 859.

13 . Die Tschebyscheff Funktion ψ(x) Der Zusammenhang zwischen den kompletten Nullstellen ρ der ζ - Funktion und einzelnen Primzahlen wird über die Funktion ψ(x) beschrieben. Sie ist die Summe der Logarithmen aller Primzahlen bis zur Stelle x. Eine explizite Funktionsgleichung lautet: ψ (x) = x ln ( π) ln x ρ ρ x ρ Die verkürzte Gleichung ist: ψ 0 (x) = x ρ ρ x ρ Die grafische Darstellung des Kurvenverlaufs im Bereich bis x = 30: Primzahlen Der Verlauf zeigt eine Sprungfunktion. Die Sprünge treten bei den Primzahlen auf und bei Zahlen, die vollständige Potenzen von Primzahlen sind, z.b. bei x = 3,7,9, aber auch bei x = 8 = 3, 5 = 5, 7 = 3 3 usw. Der Verlauf zeigt auch ein Schwingungsverhalten wie bei einer Fourier - Entwicklung. Hier zum Vergleich eine bekannte Entwicklung: 3

14 7. Eine Anwendung der Primzahlen - Das RSA - Verfahren Die Bedeutung der Primzahlen in der Praxis besteht heute darin, dass mit ihrer Hilfe eine sichere Übermittlung von Texten möglich ist. Dazu ist es notwendig, dass man einen Text, bevor man ihn versendet, zuerst mit dem Schlüssel d verschlüsseln muss. Der Empfänger muss ihn dann wieder mit einem passenden Schlüssel e entschlüsseln. Bei dem RSA-Verfahren 5 werden die Schlüssel d und e verschieden gewählt, sie sind so genannte modulo - Inverse. Das Verschlüsseln und das Entschlüsseln erfolgt über ein Potenzieren modulo N. Das Verfahren besteht aus folgenden Schritten: Vorgabe zweier (großer) Primzahlen p und q - geheim - Bilden des Moduls durch p. q = N - öffentlich - Schlüssel d und e berechnen mit: d. e mod [ (p ). (q ) ] ( * ) Text x mit e (öffentlich) verschlüsseln und absenden x e mod N = y Text y empfangen und mit d (geheim) entschlüsseln y d mod N = x Es folgt ein Beispiel. Hier wird das Computerprogramm ARIBAS verwendet, um ein realistisches Beispiel zu demonstrieren. Dargestellt werden nur die Ergebnisse. Auswahl der geheimen Primzahlen p und q von geeigneter Größe, hier ca. 0 Stellen Modul: N = p. q N = 3_953_3750_950_99_998_00_5389_ _089_535_3358_09_07_7_9890_57 Verschlüsselter Text (dezimal): Y = 873_995_798_90_777_08359_0595_887_9_ 03_3798_7087_73_058_3999_3878_57. Entschlüsselter Text (hexadezimal): X = D_78_5D_7_9B_0D_053_707_3_ 85_0_573_09_E7_5E_95_757_73. Entschlüsselter ASCII - Text: Mathematik Sprache des Ingenieurs Die Sicherheit des Verfahrens beruht darauf, dass es sehr schwer ist, eine große Zahl N in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Aus der Kenntnis von p und q könnte man dann über die Gleichung ( * ) zum öffentlichen Schlüssel e den passenden geheimen Schlüssel d berechnen! 5 Das Verfahren ist benannt nach den Entwicklern Rivest, Shamir und Adleman Das komplette Beispiel findet man in Grobstich / Strey: Mathematik für Bauingenieure, Kap..3

15 8. Projekte, Literatur und Programme Wichtige große internationale Projekte, die mit massivem Computereinsatz Probleme aus diesem mathematischen Gebiet bearbeiten, sind: zetagrid : ζ Nullstellen werden berechnet zur Überprüfung der Riemann Vermutung. 0 3 Nullstellen wurden ermittelt, alle mit dem Re = ½ (Stand 005). prothsearch : Proth Primzahlen der Bauart p = k. b n + werden gesucht, p = ist ein Beispiel aus dem Jahre 00. GIMPS : Mersenne Primzahlen der Bauart p = n werden gesucht, p = ist die größte bekannte Primzahl, Stand 00. Es folgt eine kurze Literatur Liste mit Büchern und Artikeln, die Themen aus diesem Bereich behandeln: RIEMANN: Über die Anzahl der Primzahlen.., Monatsberichte der Berliner Akademie 859 KNOPP: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Springer - Verlag 99 /. Auflage 9 EDWARDS: Riemann s Zeta Function, 97 / 00 RIBENBOIM: Die Welt der Primzahlen, Springer - Verlag 00 du SAUTOY: Musik der Primzahlen, Deutscher Taschenbuch Verlag 00 BOMBIERI: Problems of the Millennium: The RIEMANN Hypothesis, Institute for Advanced Study, Princeton NJ 0850 FREITAG / BUSAM : Funktionentheorie, Springer - Verlag 00 Grobstich / Strey: Mathematik für Bauingenieure, Teubner - Verlag 00 Diese Computer - Programme wurden für die Berechnungen benutzt: Das Computer-Algebra Programm mathcad, Mathsoft USA / Canada Das Zahlentheorie Programm ARIBAS NT, O. Forster / Uni München 5

16 Mit Porträts der Mathematiker, die wesentliche Grundlagen zu diesem Thema geschaffen haben, wird der Vortrag nun beschlossen. Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Bernhard Riemann 8-8 Quelle: Wikipedia Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Peter Grobstich