V 22 Beugung des Lichts und Abbesche Theorie der Auflösungsgrenze optischer

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1 V 22 Beugung des Lichts und Abbesche Theorie der Auflösungsgrenze optischer Geräte A) Stichworte zur Vorbereitung Wellennatur des Lichts, Interferenz, Beugung am Spalt, am Gitter und an der Kreisblende, Kohärenz von Wellen, Abbesche Theorie der Auflösungsgrenze optischer Geräte, geometrische Optik. B) Literatur Trautwein, Kreibig, Oberhausen: Physik für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten Harten: Physik für Mediziner Gerthsen, Meschede: Gerthsen Physik Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik. Bd. 3: Heinz Niedrig (Hrsg.): Optik. Berlin: de Gruyter, 9. Aufl Kurt Michel: Die Grundzüge der Theorie des Mikroskops in elementarer Darstellung. Stuttgart: Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft, 3. Aufl (UB: Lehrbuchsammlung, Allg. Lesesaal) C) Motivation Um den Ursprung der Auflösungsgrenze des Lichtmikroskops zu verstehen, ist es nötig, das Phänomen der Beugung zu behandeln. D) Grundlagen Unter Beugung des Lichts versteht man die Abweichung der Lichtausbreitung von den Gesetzen der geometrischen Optik. Grundlage der geometrischen Optik ist die Annahme, daß das Licht sich geradlinig ausbreitet. Diese geradlinige Ausbreitung beobachten wir z.b., wenn wir das parallele Lichtbündel eines Helium Neon Lasers im Praktikumsraum verfolgen. Lassen wir dieses Lichtbündel auf einen Spalt fallen, so erkennt man, daß das Licht sich hinter dem Spalt nicht geradlinig ausbreitet. Man beobachtet nicht nur keinen scharfen Schattenwurf des Spalts, sondern dunkle und helle Beugungssäume parallel zu dem Schatten des Spalts. Dies ist ein Zeichen dafür, daß es sich bei Licht nicht um eine Strahlung aus klassischen Korpuskeln handelt, sondern um ein Wellenphänomen. Licht ist seinem Wesen nach eine elektromagnetische Welle, wie dies auch die Radiowellen, die Röntgen- und γ Strahlen sind. Die genannten Strahlungen unterscheiden sich nur in ihrer Wellenlänge. Im folgenden Abschnitt soll die Entstehung und Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Raum qualitativ erklärt werden. 79

2 1. Die elektromagnetische Welle Wenn man die Aufgabe bekommt, eine elektromagnetische Welle zu skizzieren, zeichnet man häufig eine Sinuswelle folgender Art: Abb. 1: Das Bild einer Welle Da eine Welle ihren Ursprung in einer Schwingung hat, stellt sich natürlich die Frage: wobei die Antwort: Was schwingt bei einer elektromagnetischen Welle? die elektrischen und magnetischen Feldvektoren eine richtige, wohl aber für die meisten zumindest eine wenig anschauliche Vorstellung darstellt. 1.1 Was ist eine Schwingung? 13 Als Beispiel für eine Schwingung haben Sie in Ihrer schulischen Laufbahn sicher das Fadenpendel und das Federpendel kennengelernt. Beim Federpendel hängt man ein Gewicht an eine Feder. Nun zieht man das Gewicht senkrecht nach unten aus seiner Gleichgewichtslage (Federkraft gleich Gewichtskraft) heraus und läßt es los. Das Gewicht fängt an zu schwingen. Die Bewegung des Gewichts läßt sich durch seine Auslenkung aus der Gleichgewichtslage beschreiben. Abb. 1 könnte die zeitliche Abfolge der Auslenkung x(t) des Gewichts darstellen, bezogen auf seine Gleichgewichtslage. Bei elektromagnetischen Wellen ändert sich der elektrische bzw. magnetische Feldvektor an einem festen Ort wie die Auslenkung x(t) des Federpendels zeitlich periodisch. Für Interessierte wurde im nachfolgenden Kapitel versucht, den elektrischen und magnetischen Feldbegriff zu erklären und den Zusammenhang mit den elektromagnetischen Wellen herzustellen. Sie können auch Kapitel 1.2 überspringen und sofort Kapitel 2. bearbeiten. 13 Allgemeines zu Schwingungen und Wellen finden Sie auch unter Versuch

3 1.2 Das elektrische und magnetische Feld und die elektromagnetische Welle Die elektromagnetischen Felder werden in der Theorie quantitativ durch die Maxwell- Gleichungen beschrieben. Interessierte seien hier auf weiterführende Physikbücher verwiesen. Wir wollen hier nur einige Konsequenzen dieser Gleichungen vorstellen, die das qualitative Verständnis der Entstehung elektromagnetischer Wellen veranschaulichen. Beginnen wir mit der Elektrostatik: In ihrer Welt gibt es nur statische d.h. unbewegliche Ladungen bzw. Ladungsverteilungen. Die Wechselwirkungskraft zwischen zwei Ladungen nennen wir die Coulombkraft; sie ist proportinal zum Produkt der zwei Ladungen und nimmt quadratisch mit deren Abstand zueinander ab. Elektrische Felder Das Kraftfeld einer Ladungsverteilung wird beim Coulombgesetz durch ihr Wirken auf eine Probeladung beschrieben. Durch die Einführung des Feldbegriffs kann die Kraftwirkung einer Ladungsverteilung unabhängig von der Probeladung angegeben werden: An einem bestimmten Ort im Raum wirkt etwas eine Feldstärke, das in der Ladungsverteilung seine Ursache hat. Jedem Punkt in der Umgebung einer Ladungsverteilung wird eine elektrische Feldstärke E zugeordnet, aus der man die Kraftrichtung und -stärke auf eine beliebige Ladung berechnen kann. In der Feldbeschreibung des Coulombgesetzes wechselwirkt eine Ladung mit dem elektrischen Feld einer anderen Ladung. Magnetische Felder Werden Ladungen gleichförmig, d.h. unbeschleunigt bewegt, tritt ein weiterer elektrischer Effekt auf: Der Magnetismus. Ähnlich wie beim Coulombgesetz gibt es eine Kraftwirkung zwischen zwei linearen stationären, d.h. zeitlich konstanten Strömen, die durch das Amperegesetz beschrieben wird. Dieses Gesetz zeigt einen linearen Abfall der Kraft mit dem Abstand und dient, wie die Namensgebung schon vermuten läßt, zur Amperedefinition über die Kraftwirkung zweier linearer Stromleiter aufeinander. Hier führt man das magnetische Feld B ein, welches z.b. jeden stromdurchflossenen Leiter kreisförmig umgibt (vgl. Abb. 3). 81

4 Es besteht jedoch ein prinzipieller Unterschied zwischen elektrischem E-Feld und magnetischem B-Feld: Das E-Feld ist ein Quellenfeld die elektrischen Feldlinien gehen immer von einer Quelle aus und enden in einer Senke entgegengesetzter Polarität oder im Unendlichen. Das B-Feld ist im Gegensatz dazu ein Wirbelfeld die magnetischen Feldlinien sind immer in sich geschlossen. Abb. 2: Das E-Feld, wie es beispielsweise von einer positiv geladenen Punktladung oder einer metallisch leitenden, positiv geladenen Kugel ausgeht. Abb. 3: Das B-Feld legt sich wie ein Wirbel kreisförmig um einen stromdurchflossenen Leiter. Die konventionelle Stromrichtung und die Feldorientierung bilden eine Rechtsschraube. Es gibt auch elektrische Wirbelfelder, jedoch keine magnetischen Quellfelder. In der Welt der ruhenden und gleichförmig bewegten Ladungen gibt es keine elektromagnetischen Wellen, sondern nur elektrische und magnetische Felder. Das Verbindungsglied bildet die Kontinuitätsgleichung der Elektrizitätslehre ein Ladungserhaltungssatz. Sie besagt, daß die zeitliche Abnahme der Ladungsdichte in einem Raumbereich gleich dem Strom ist, der durch die Oberfläche dieses Raumbereichs fließt. Eine Verknüpfung zwischen elektrischen und magnetischen Feldern beobachtet man bei beschleunigten Ladungen, bzw. allgemein bei zeitlich variierenden elektrischen und magnetischen Feldern. Zeitlich variable elektrische und magnetische Felder erzeugen quellfreie Wirbelfelder wie sie in Abb. 4 dargestellt sind. 82

5 E t y x E B t z B Verschiebungsstrom: Ein zeitlich variables elektrisches Feld ist von einem magnetischen Wirbelfeld umgeben, wie beim elektrischen Strom (daher die Namensgebung). Die zeitliche Änderungsrichtung und die magnetische Feldorientierung bilden eine Rechtsschraube. Abb. 4: Induktionsgesetz: Ein zeitlich variables magnetisches Feld ist von einem elektrischen Wirbelfeld umgeben. Die zeitliche Änderungsrichtung und die elektische Feldorientierung bilden eine Linksschraube. Die nachfolgende Abbildung 5 zeigt zwei Momentaufnahmen der elektrischen und magnetischen Felder eines Kondensators, der gerade aufgeladen (Abb. 5 links) bzw. entladen (Abb. 5 rechts) wird. Das Magnetfeld B I, welches sich um die Lade- bzw. Entladestromzuleitung legt, ist qualitativ gleich und ununterscheidbar von dem Feld B E, das durch das sich zeitlich ändernde elektrische Feld des Kondensators hervorgerufen t wird. I I B I B I E(t) E(t) + B E t E t + B E t E t Abb. 5: Momentaufnahmen der elektrischen und magnetischen Felder eines Kondensators, der gerade aufgeladen (links) bzw. entladen (rechts) wird. Die symmetrische Wechselbeziehung zwischen elektrischem und magnetischem Feld, welche die gegenseitige Erzeugung bei zeitlich (und räumlich) veränderlichen Feldern beschreibt, lassen uns die Ausbreitung des Lichts, bzw. allg. einer elektromagnetischen Welle, im Vakuum verstehen: 83

6 Betrachtet man in Abb. 5 den zeitlichen Ablauf der einzelnen Momentaufnahmen für das Laden bzw. Entladen des Kondensators, so ist die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes im Kondensator nicht konstant und somit auch der Lade- bzw. Entladestrom nicht. Folglich variiert das erzeugte magnetische Wirbelfeld mit der Zeit, wodurch entsprechend Abb. 4 (rechts) gemäß dem Induktionsgesetz ein elektrisches Wirbelfeld erzeugt wird. Zeitlich variable elektrische und magnetische Wirbelfelder erzeugen einander gegenseitig und es kommt, da sich die Felder nicht unendlich schnell, sondern mit Lichtgeschwindigkeit c im Raum ausbreiten, zur Abstrahlung einer elektromagnetischen Welle. Beim Laden bzw. Entladen eines Kondensators kommt es folglich zu einer Abstrahlung einer elektromagnetischen Welle. Vergrößert man den Abstand der Kondensatorplatten und biegt die Zuleitungen zu einem geraden Stab auf, so hat man einen Hertzschen Dipol eine Antenne. Die Maxwellschen Gleichungen haben als eine Lösung eine Welle. Wertet man die Wechselbeziehungen zwischen elektrischem und magnetischem Feld mathematisch aus, so sind die E- und B-Felder folgendermaßen korreliert: sie stehen senkrecht zueinander sie schwingen in Phase (nur im Fernfeld, im Gegensatz zum Nahfeld eines Hertzschen Dipols, dort sind sie um 90 phasenverschoben) beide stehen senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung die Ausbreitungsgeschwindigkeit c ist endlich und beträgt im Vakuum c = 2, m/s, also ca km pro Sekunde. In Materie ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner das Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum zu der in Materie wird Brechungsindex n des Mediums genannt. Eine elektromagnetische Welle hat also folgendes Aussehen: x E y z z,t B Abb. 6: Elektromagnetische Welle In Abb. 6 ist ein Sonderfall dargestellt: eine linear polarisierte elektromagnetische Welle, d.h. die elektrischen Feldvektoren schwingen nur in einer Ebene (in der x-z- Ebene), die magnetischen Feldvektoren in der dazu senkrechten (y-z-ebene). Normalerweise ist eine elektromagnetische Welle unpolarisiert, d.h. die elektrischen Feldvektoren schwingen in allen möglichen Richtungen, senkrecht zur Ausbreitungsrichtung die magnetischen aber jeweils senkrecht hierzu. 84

7 Die eingezeichneten Kurven in Abb. 6 verbinden die Vektorspitzen der jeweiligen B- und E-Feldvektoren. Die zwei Bezeichnungen z,t der nach rechts zeigenden Achse bedeuten, daß eine elektromagnetische Welle sowohl einen räumlichen als auch in der Zeit periodischen Vorgang darstellt, d.h. die elektrische und magnetische Feldkomponente ist sowohl eine Funktion des Ortes z als auch eine Funktion der Zeit t: E(z), B(z): Die dargestellte elektromagnetische Welle ist eine Momentaufnahme zu einem bestimmten Zeitpunkt t 0 und zeigt die räumliche Variation der magnetischen und elektrischen Feldvektoren in Ausbreitungsrichtung z. E(t), B(t): Die dargestellte elektromagnetische Welle zeigt die zeitliche Änderung der magnetischen und elektrischen Feldvektoren an einem festen Ort z 0. Es reicht auch völlig aus, das E-Feld zu skizzieren, da das B-Feld, wie oben gezeigt, mit ihm fest verknüpft ist. E z,t Abb. 7: E-Feldvektoren einer elektromagnetischen Welle 85

8 2. Beugung des Lichts 2.1 Das Huygenssche Prinzip Das Huygenssche Prinzip besagt, daß jeder Punkt im Raum, welcher von einer Lichtwelle getroffen wird, Ausgangspunkt einer Kugelwelle wird. Und die Einhüllende die Enveloppe aller Kugelwellen ergibt die (neue) Wellenfront. Trifft nun eine ebene Wellenfront auf einen Spalt, dessen Ausdehnung klein gegenüber der Wellenlänge ist, separiert dieser Spalt eine Kugelwelle heraus, d.h. der Spalt ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle. Abb. 8 zeigt, wie durch die Überlagerung zweier elementarer Kugelwellen, erzeugt durch zwei Spalte, gebeugte Strahlenbündel zustandekommen. Abb. 8: Beugung am Doppelspalt. Die dünnen Linien geben die Richtungen der Maxima an. Man erkennt, je kleiner der Abstand der zwei Spalte zueinander ist, desto stärker werden die Strahlen gebeugt. 86

9 2.2 Maxima- und Minimabedingungen am Einzelspalt und Doppelspalt Die Beugungserscheinungen beruhen auf der Interferenz, die ihrerseits eine Ausprägung der Welleneigenschaft des Lichtes ist. Bei der Addition zweier Wellen gleicher Wellenlänge können zwei Extremfälle auftreten, siehe Abb. 9. Sind die zwei Wellen um ganzzahlige Vielfache von λ verschoben, verstärken sich die beiden Wellen maximal (konstruktive Interferenz), es kommt zu einem Maximum. Bei einer Verschiebung um eine halbe Wellenlänge λ schwächen sich die Wellen (bei gleicher 2 Amplitude) optimal ab (destruktive Interferenz), es kommt zu einem Minimum. Abb. 9: Konstruktive und destruktive Interferenz von Wellen Anhand von Abb. 10, links erkennt man, daß beim Doppelspalt die Wellenwege von den beiden Spaltöffnungen zum Beobachtungspunkt P unterschiedlich sind, wodurch es zu einer Verschiebungen der Wellenfronten gegeneinander kommt. M α P S SP M α P S SP δ MS MS Abb. 10: Beugung an Doppelspalt und Einzelspalt UmdiegeometrischeWegdifferenz, dengangunterschiedδ, 14 imbeobachtungspunkt P zu berechnen, ist es sinnvoll, in Abb. 10 ein paar Referenzpunkte zu setzen: Die optische Achse soll durch den Punkt M, der beim Doppelspaltexperiment die Mitte zwischen den Spalten bzw. beim Einzelspalt die Mitte des Spalts markiert, verlaufen. Die optische Achse schneidet die Beobachtungsebene im Punkt S. Für die Berechnung des Gangunterschieds wird angenommen, daß der Abstand SP klein ist gegenüber dem Abstand MS. Hieraus folgt, daß der Winkel, unter dem man den Beobachtungspunkt P von den Spaltmittelpunkten beim Doppelspalt bzw. von den Randpunkten des Einzelspalts aus sieht, gleich dem Winkel α ist, von dem man P vom Punkt M aus sieht. 14 Für den Fall eines Mediums mit Brechungsindex n 1 ist der Gangunterschied nicht gleich der geometrischen, sondern gleich der sogenannten optischen Weglängendifferenz. Die optische Weglänge ist das Produkt aus Weg und Brechungsindex. 87

10 Beim Doppelspalt berechnet sich der Gangunterschied δ dann folgendermaßen: wobei d den Spaltabstand bezeichnet. δ = d sinα, (1) Für die Herleitung der Richtungen, in denen beim Einzelspalt Maxima und Minima der Intensitäten auftreten, muß man berücksichtigen, daß aufgrund der endlichen Ausdehnung d des Einzelspalts sich im Punkt P, im Gegensatz zum Doppelspalt (da sind es zwei), unendlich viele Elementarwellen überlagern. Deshalb kann nur die Minimumsbedingung anschaulich hergeleitet werden: Hierzu unterteilt man den Einzelspalt in zwei Teilbereiche und überlagert jeweils zwei Elementarwellen im Abstand d/2 voneinander. Löschen sich die beiden Teilwellen paarweise aus, so kann man sicher sein, daß in dieser Richtung α ein Minimum zu beobachten ist. Für die Auslöschung muß der Gangunterschied der Teilwellen (im Abstand d/2) λ/2 sein, d.h. die Randstrahlen (Abstand d) haben einen Gangunterschied von λ. Die Maximumsbedingung ist auf diese Art nicht herzuleiten, da sich zwar eine Elementarwelle mit einer anderen optimal verstärken kann, hingegen mit einer weiteren Elementarwelle abschwächen kann. Die mathematische Herleitung wollen wir Ihnen ersparen und gleich die Maxima- und Minimabedingungen für Einzel- und Doppelspalt gegenüberstellen (man beachte den Chiasmus!): Einzelspalt Doppelspalt Maxima Minima k = 0, 1, 2,... k = 1, 2,... sinα 0 = 0, sinα k 0 = 2k+1 λ 2 d sinα k = k λ d sinα k = k λ d sinα k = 2k 1 2 λ d Gitter sinα k = k λ d (Für negative k ist das Negative des Winkels für k zu nehmen.) k nennt man die Ordnung des Maximums bzw. Minimums. Im folgenden sollen Sie diese Extremabedingungen anwenden. 3. Abbesche Theorie der Auflösungsgrenze optischer Geräte Die Abbesche Theorie besagt, daß zur Bilderzeugung durch eine Linse notwendigerweise an den Objektstrukturen gebeugtes Licht auf die Linse fallen muß. Am Beispiel des Mikroskops wird dies anhand der folgenden Abbildung klar. 88

11 Gegenstand: Beugungsbild Bild d Linse (Blende) Brennebene Abb. 11: Zum Auflösungsvermögen des Mikroskops Als abzubildendes Objekt dienen zwei Punkte im Abstand d (Gitterkonstante) zueinander. In das Mikroskopobjektiv treten außer den Strahlen 0. Ordnung auch noch gebeugte Strahlen 1. und höherer Ordnungen ein (in Abb. 11 sind dies die 0. sowie die ±1. und ±2. Beugungsordnungen). Ohne mindestens die Strahlen 1. Ordnung würde in der Bildebene kein Bild des Gitters entstehen, denn die Strahlen 0. Ordnung allein enthalten keine Information über dessen Struktur (genauso wenig die Strahlen 1. Ordnung allein, erst beide zusammen ermöglichen eine Abbildung des Objekts). Man kann dies zeigen, indem man die Apertur des Mikroskopobjektivs, beispielsweise durch eine Blende, die die 1. Ordnung und alle höheren Ordnungen abschneidet, begrenzt. Das Gesichtsfeld des Mikroskops erscheint jetzt durch die einzig vorhandene 0. Ordnung gleichmäßig erleuchtet ohne irgendeine Struktur. Die Gitterkonstante, für die die 1. Ordnung noch in das Objektiv fällt, ist gegeben durch: d = λ sinα, (2) wobei α der Winkel ist, den die gebeugten Strahlen 1. Ordnung mit der Achse einschließen. Ein Gitter mit kleinerer Gitterkonstante führt zu größeren Beugungswinkeln, die vom Mikroskopobjektiv mit der Apertur α nicht mehr erfaßt werden. Die Struktur wird deshalb vom Mikroskop nicht mehr aufgelöst. Dieses Auflösungskriterium kann man aber noch weiter hinterleuchten: Ein Objekt abbilden heißt, daß Strahlen, welche von einem Punkt der Objektebene in verschiedene Richtungen ausgehen, sich wieder in einem Punkt der Bildebene treffen. Zur Erinnerung: Eine Linse fokussiert zueinander parallele Strahlen in einem Punkt in der Brennebene. Der Abstand des Fokuspunkts in der hinteren Brennebene zur optischen Achse wächst mit dem Winkel, welche die Strahlen mit ihr einschließen. Anhand von Abb. 11 kann die Beschreibung der Abbildung eines Objekts ein wenig modifiziert werden. Man erkennt, daß Strahlen, die unter dem gleichen Winkel von verschiedenen Punkten der Objektebene ausgehen, sich in einem Punkt der Brennebene überlagern und Strahlen, die von verschiedenen Punkten der Brennebene ausgehen, sich schließlich in einem Punkt der Bildebene überlagern und das Bild erzeugen. 89

12 Jedes Maximum 1. und höherer Ordnung in der Brennebene hat Informationen von jedem Punkt in der Objektebene, nämlich seinen Abstand zum Maximum 0. Ordnung, welcher abhängig von den Abständen der Objektpunkte (Gitterkonstante) ist (vgl. Gleichung (2)), d.h. jeder Punkt des Beugungsbildes in der Brennebene trägt die Information des Objekts und gibt sie wieder weiter, damit ein Bild in der Bildebene entstehen kann. Durch Blenden 15 können Informationen verlorengehen, d.h. Maxima 1. und höherer Ordungen ausgeblendet werden, wodurch die Information der entsprechenden Gitterkonstanten des Objekts nicht zur Bildentstehung beitragen kann. E) Versuchsdurchführung und -auswertung Achtung: Niemals in den Laserstrahl oder in seine direkten Reflexe schauen! Der Laser darf von den Praktikanten nicht aus der Halterung auf der optischen Bank genommen werden! 1. Beugung am Spalt Versuchsaufbau Photowiderstand Spaltblende Lochblende Spalt Laser Abb. 12: Versuchsaufbau zur Messung der Intensitätsverteilung des am Spalt gebeugten Lichts Auf dem Schirm hinter dem Spalt beobachtet man ein Beugungsbild mit folgendem Aussehen: An einen sehr hellen Mittelstreifen (0. Ordnung des Beugungsbildes) schließen sich auf beiden Seiten dunkle und helle Beugungsstreifen mit abnehmender Intensität an. Es liegt also eine Beugungserscheinung vor. 1.1 Abschätzung der Intensitätsverteilung mit dem Detektor Auge Skizzieren Sie den scheinbaren Intensitätsverlauf des Einzelspaltbeugungsbildes. Vergleichen Sie diesen später mit dem Intensitätsverlauf, der mit dem Photowiderstand aufgenommen wurde. 15 Auch die Linsen selbst wirken wegen ihres begrenzten Durchmessers wie Blenden. 90

13 1.2 Messung der Intensitätsverteilung mittels Photowiderstand Die Messung der Intensitätsverteilung (vgl. Abb. 12) wird mit einem Photowiderstand durchgeführt, der sich hinter einer Spaltblende von 0,2 mm Breite befindet. Zum Schutz des Photowiderstands und für die Abschirmung gegenüber Streulicht befinden sich Photowiderstand und Blende in einem, innen schwarz ausgemalten, Metallkasten. Dieser ist in mittels Mikrometerschraube in x Richtung verschiebbar. Laser, Photowiderstandspalt und Lochblende sind dann richtig justiert, wenn sich die Intensitäten bzw. Widerstandswerte bei Einstellung auf das Maximum 1. Ordnung auf der rechten Seite und linken Seite um nicht mehr als 10% unterscheiden. Die auf den Photowiderstand fallende Lichtintensität ist näherungsweise umgekehrt proportional zu dem von dem Ohmmeter angezeigten Widerstand. Daher gilt: Je heller das Licht, d.h. je größer die Intensität ist, umso geringer ist der Widerstand Messung: Messen Sie zunächst den Abstand des Spaltes von der Photozelle. Messen Sie dann die Intensitätsverteilung des an einem Spalt gebeugten Lichts mit mindestens 20 Meßpunkten. Vermessen Sie die Verteilung zwischen den -1. und dem +3. Maximum. Ihre Tabelle der Meßwerte sollte etwa wie folgt aussehen: x mm Widerstand kω Intensität I willk. Einheiten I I 0 Mit I 0 ist die maximale Intensität in der 0. Ordnung bezeichnet Auswertung: Stellen Sie die relative Intensität I/I 0 des gebeugten Lichts in Abhängigkeit des Abstandes von der Mitte des zentralen Maximums graphisch dar. Berechnung der Spaltbreite d: Berechnen Sie aus der Lage der Maxima, der Lichtwellenlänge des He Ne Lasers von 632,8 nm und dem Abstand Spalt Photozelle die Spaltbreite. 2. Beugung am Strichgitter Es wird folgender Aufbau verwendet: Mit Hilfe eines Lasers wird ein Strichgitter im vorliegenden Fall ein Objektmikrometer, wie es in der Mikroskopie verwendet wird beleuchtet und das Beugungsbild auf einem Schirm oder der Wand betrachtet. 91

14 2.1 Beobachtung des Beugungsbildes Beschreiben und erklären Sie in Ihrer Ausarbeitung das beobachtete Beugungsbild dieses Strichgitters. Warum beobachten Sie in dem Beugungsbild zwischen den Beugungspunkten mit hoher Intensität noch solche mit geringerer Intensität? Berechnung der Gitterkonstanten d 1 und d 2 Bestimmen Sie den Abstand des lichtschwachen Maximums 1. Ordnung zum Maximum 0. Ordnung und berechnen Sie die Gitterkonstante d 1. Aus dem Abstand des lichtstarken Maximums 1. Ordnung zum Maximum 0. Ordnung berechnen Sie die Gitterkonstante d 2. Hierzu müssen Sie jeweils auch den Abstand des Objektmikrometers vom Schirm kennen. 3. Experimentelle Bestätigung der Abbeschen Theorie Experimenteller Aufbau Zur experimentellen Bestätigung der Abbeschen Theorie der Auflösung des Mikroskops bzw. aller abbildenden optischen Systeme ist folgender Versuchsaufbau zu realisieren: Gegenstand G (Strichgitter) Laser weiße Lichtquelle Kondensor Hauptebene H Blende Hauptebene H Brennebene Schirm S Bild B g f b Abb. 13: Versuchsaufbau zur experimentellen Bestätigung der Abbeschen Theorie Bitte achten Sie darauf, niemals die entspiegelten Glasflächen der Objektive mit den Fingern zu berühren! Dieser Versuchsteil setzt eine sorgfältige Justierung voraus. 16 Es handelt sich bei den Maxima mit geringerer Intensität nicht um sogenannte Nebenmaxima, wie sie bei Mehrfachspalten auftreten! 92

15 3.1 Bestimmung der kleinen Gitterkonstante d 2 Es wird folgende Reihenfolge beim Aufbau des Versuches empfohlen: 1. Anstelle der mit einem Kondensor versehenen Glühlampe zunächst nur den He Ne Laser auf die optische Bank setzen. Genügend Platz zwischen Laser und Gegenstand lassen, damit später die weiße Lichtquelle mit dem Kondensor eingefügt werden kann. Objektmikrometer und Objektiv so justieren, daß der Laserstrahl das Strichgitter zentral durchsetzt und das Objektiv bei kleinster Blende (= größte Blendenzahl) ungehindert durchlaufen kann. 2. Dann zwischen Laser und Strichgitter die Lichtquelle und den Kondensor einsetzen. Die Aufgabe des Kondensors ist es, den Leuchtfaden der Lichtquelle in die (Haupt-)Ebene des Objektivs abzubilden. Nur bei richtiger Justierung des Kondensors können Sie die Blende des Objektivs schließen, ohne daß sich das Gesichtsfeld auf dem Schirm S verkleinert. Dann wird bei voll geöffneter Blende des Objektivs das Objektmikrometer scharf auf den Schirm S abgebildet. Man stellt bei zur optischen Achse schräggestelltem Schirm S (man erreicht dadurch eine Vergrößerung der Strichabstände) durch Veränderung der Objektiveinstellung auf die feinen Teilstriche des Objektmikrometers (Abstand 10 μm) scharf. Verkleinert man jetzt die Blende des Objektivs, so beobachtet man ab einer bestimmten Blendenstufe, daß die feinen Teilstriche auf dem Schirm S nicht mehr aufgelöst werden. Messung Bestimmen Sie die Blendenstufe, bei der die feinen Teilstriche gerade noch aufgelöst werden. Messen Sie den Abstand Objektiv Schirm. Auswertung Aus der Gegenstandsweite g und dem Radius r der Blende ist für den Fall, daß das Gitter gerade noch aufgelöst wird, die Gitterkonstante d 2 zu berechnen und mit dem Wert von 2.2 zu vergleichen. Da die Lage der Hauptebene des Objektivs nicht bekannt ist, berechnen wir die Gegenstandsweite mit Hilfe der Linsengleichung (siehe V 21) 1 g + 1 b = 1 f aus der Objektivbrennweite f = 5 cm und der Bildweite b (Abstand Objektiv Schirm), bei der sich die Unkenntnis der Lage der Hauptebene in einem viel geringeren relativen Fehler auswirkt. Den Radius r berechnen Sie aus der Definition der Blendenzahl B: (3) 2 r = D = f B. (4) Der Winkel α, der durch die Blende gerade noch durchgelassen wird, ist aufgrund der geometrischen Verhältnisse gegeben durch tanα = r g. (5) 93

16 Da dies auch der Winkel sein muß, unter dem das Maximum 1. Ordnung erscheint, kann dieser so bestimmte Winkel α in die Gleichung für das Maximum 1. Ordnung beim Gitter sinα = λ d 2 (6) eingesetzt werden, um die Gitterkonstante d 2 zu berechnen. Als Wellenlänge verwenden Sie hierbei eine mittlere Wellenlänge des weißen Lichts von 500 nm. Da der Winkel α klein ist, können Sie ausnutzen, daß dann sinα tanα ist. 3.2 Demonstration des Beitrages der einzelnen Beugungsordnungen zum Bild Notieren und erklären Sie bei diesem Demonstrationsversuch Ihre Beobachtungen! Um den Beitrag der Beugung zur Bildentstehung deutlich zu demonstrieren, ersetzen wir nun die Lichtquelle und den Kondensor wieder durch eine monochromatische Lichtquelle, den früher schon verwendeten He Ne Laser. Verändern Sie dabei die Entfernungseinstellung des Objektivs nicht, da die Scharfstellung bei weißem Licht einfacher als bei Laserlicht durchzuführen ist. An den Ort der bildseitigen Brennebene bringt man eine aus zwei verschiebbaren Platten bestehende Blende, auf der wir das Beugungsbild des Gitters, wie wir es schon in Teil 2. gesehen haben, beobachten. Mit der einen Platte blendet man nun zunächst alle negativen Beugungsordnungen, also den linken 17 Teil des Beugungsbildes aus. Dadurch ändert sich noch nichts im Bild des Gitters auf dem schräggestellten Schirm. Um den Informationsgehalt der verbliebenen positiven Beugungsmaxima zu verdeutlichen, blendet man diese nun nacheinander mit der anderen Platte aus: Ausblenden der Maxima 1. und höherer Ordnung der den 10 μm-strichen entsprechenden Gitterkonstanten: Dazu verschieben wir, unter ständiger Beobachtung des Gitterbilds auf dem schräggestellten großen Schirm, die zweite (rechte) Platte von rechts zur optischen Achse hin, bis auch das achsennächste helle Maximum ausgeblendet ist. Die Ortsinformation der kleinen Gitterkonstante ist nun ausgeblendet, und die feinen Teilstriche im Gitterbild verschwimmen. Ausblenden des Maximums 0. Ordnung: Die rechte Platte wird nun wieder entfernt. Die linke wird so weit nach rechts verschoben, daß außer den negativen auch noch die 0. Beugungsordnung ausgeblendet wird. Das Maximum 0. Ordnung trägt die Intensitätsinformation auf dem großen Schirm beobachtet man eine Kontrastumkehr 18. Man sieht das Gitterobjekt in der ro- 17 bei Blick in Strahlrichtung 18 Die Kontrastumkehr durch Ausblenden des Maximums 0. Ordnung funktioniert bei Phasenobjekten immer, bei Amplitudenobjekten, mit denen wir es hier zu tun haben, dagegen nur in speziellen Fällen wie dem eines Strichgitters. 94

17 ten Laserfarbe auf schwarzem Untergrund, da ja weiter die Ortsinformation des Gitterobjekts zur Bildentstehung beiträgt (Dunkelfeldbild des Objektmikrometers). Dies ist der Beweis, daß das Bild durch Interferenz des Lichts 0. Ordnung mit dem gebeugten Licht der höheren Ordnungen zustande kommt. Ausblenden der Maxima 0., 1. und höherer Ordnung der kleineren Gitterkonstanten (10 μm): Wir verschieben nun wieder die rechte Platte nach links, so daß nacheinander auch noch (zusätzlich zu den Maxima negativer und 0. Ordnung) die zur kleineren Gitterkonstanten gehörigen Maxima höherer, 3., 2. und schließlich auch 1. Ordnung ausgeblendet werden. Sobald das der optischen Achse am nächsten liegende Maximum (Maximum 1. Ordnung) der kleinen Gitterkonstanten ausgeblendet wird, verschwinden die feinen roten Gitterstriche! Die Gitterstriche, die der 50μm-Teilung entsprechen, bleiben jedoch weiter sichtbar (Warum?). F) Fragen 22.1 Worin besteht der Unterschied zwischen Glühlicht und Laserlicht? 22.2 Erklären Sie die Arbeitsweise des Lasers Warum kann ein Laserstrahl von nur 5 Milliwatt Leistung für die Augen gefährlich sein? Schätzen Sie die Leistungsdichte (in W/mm 2 ) eines solchen auf die Netzhaut fokussierten Laserstrahls ab. Die Winkeldivergenz (voller Öffnungswinkel) des Laserstrahls sei 1 mrad, die Brennweite der Augenlinse 1,5 cm. Um das Problem zu verstehen, müssen Sie den Strahlengang konstruieren! Gehen Sie hierbei von einem entspannten Auge (auf Unendlich akkomodiert) aus Nennen Sie 4 Beispiele für die Verwendung des Lasers in der Medizin Was bedeutet das Wort Phase? 22.6 Erklären Sie den Unterschied zwischen Beugung und Brechung Geben Sie je 2 Beispiele für Beugung und Brechung aus dem täglichen Leben an Angenommen, Sie haben einen Spalt mit der Spaltbreite d und ein Strichgitter, dessen Strichabstände ebenfalls d sind. Unter welchen Winkeln beobachten Sie in beiden Fällen das Intensitätsmaximum 1. Ordnung? 22.9 Wodurch ist das Auflösungsvermögen des Auges begrenzt (physikalisch und physiologisch), wodurch das einer Linse? 95