MATHEMATIKLEHRPLAN 5. SCHULJAHR SEKUNDARSTUFE

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1 Eurpäische Schulen Bür des Generalsekretärs Abteilung für pädaggische Entwicklung Ref. : D-8-de- Orig. : EN MATHEMATIKLEHRPLAN 5. SCHULJAHR SEKUNDARSTUFE Kurs 6 Stunden/Wche VOM GEMISCHTEN PÄDAGOGISCHEN AUSSCHUSS DER EUROPÄISCHEN SCHULEN AM 9., 10. und 11. FEBRUAR 011 IN BRÜSEL GENEHMIGT Mit Inkraftsetzung zum September D-8-de- 1/14

2 ALGEBRA (unverbindliche Richtlinie: 80 Unterrichtsstunden) Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Abslutbetrag die Regeln für das Rechnen mit Abslutbeträgen (Summe, Differenz, Prdukt und Qutient) Gleichungen und Ungleichungen der Art ax b c 0, ax b c lösen Gleichungen und Ungleichungen mit Abslutbeträgen lösen mit Hilfe vn Graphen Gleichungen und Ungleichungen lösen Ptenzen und Wurzeln die n-te Wurzel einer reellen Zahl (und Ptenzen dieser Wurzel) als Ptenzen mit ratinalen Expnenten darstellen verstehen, dass Wurzelziehen und Ptenzieren (n-te Wurzel und n-te Ptenz) Umkehrperatinen sind die Erweiterung der Rechenregeln für Ptenzen mit ganzzahligen Expnenten auf Ptenzen mit ratinalen Expnenten verstehen diese Eigenschaften in Sachaufgaben mit expnentiellem Wachstum und Zerfall anwenden Termvereinfachungen, z.b ab 3 9,,, 3a b 18ab 4 7ab durch systematisches Prbieren einfache Expnentialgleichungen wie 4 x x1 lösen Terme berechnen und Lösungen überprüfen mit Hilfe vn Tabellenkalkulatin und Streudiagrammen (Streuplts) Prbleme expnentiellen Wachstums und Zerfalls lösen x einfache Expnentialgleichungen wie 4 lösen bzw. deren Lösungen überprüfen x D-8-de- /14

3 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Lineare Gleichungssysteme des Typs ax by cz d ex fy gz h ix jy kz l Lineare Gleichungssysteme algebraisch lösen Für einfache Textaufgaben das Gleichungssystem aufstellen und lösen Das Gleichungssystem aufstellen um die die Gleichung einer Parabel durch drei gegebene Punkte in einfachen Fällen zu bestimmen Gleichungssysteme lösen eine Parabel an drei gegebene Punkte anpassen die Gleichung der angepassten Parabel rechnerisch überprüfen Plynme Plynmdivisin vn P x Q x mit Q x vm Grad n 1 der n die Bedeutung des Restglieds kennen ein Plynm höchstens vierten Grades faktrisieren (einfache Fälle) die flgenden Frmeln kennen und anwenden a 3 b 3 a ba ab b a 3 b 3 a ba ab b a b a 3a b 3ab b die Nullstellen eines Plynms bestimmen das Vrzeichen eines Plynms bestimmen Brüche der Frm P x Q x vereinfachen, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Vrzeichentabellen vn gebrchenratinalen Funktinen erstellen (Zähler- und Nennergrad ) Terme welche Plynmdivisinen enthalten vereinfachen. ein Plynm faktrisieren die Nullstellen eines Plynms bestimmen das Vrzeichen eines Plynms bestimmen Brüche der Frm P x Q x vereinfachen, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren D-8-de- 3/14

4 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Quadratische Gleichungen und Ungleichungen den Zusammenhang zwischen den Keffizienten und den Lösungen einer quadratischen Gleichung verstehen und anwenden (Satz vn Vieta, Zerlegungssatz): ax bx c 0 kann dargestellt werden als b c xx 0 mit und a a quadratische Ungleichungen lösen in einfachen Fällen Gleichungen lösen, welche sich auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen (z.b. biquadratische Gleichungen) Textaufgaben lösen, welche auf Gleichungen des ben beschriebenen Typus führen quadratische Ungleichungen algebraisch und graphisch lösen Gleichungen lösen, welche auf quadratische Gleichungen reduziert werden können Reelle Funktinen die Definitinsmenge flgender Funktinen bestimmen: Plynmfunktinen höchstens dritten Grades f x ax b f x sin f x cs f x tan f x x x x ax b cx d Funktinen des Typs f x ax b betreffend: die Funktinsgraphen erkennen swie zeichnen überprüfen, dass Funktinsgraphen krrekt gezeichnet wurden die Schnittpunkte mit den Achsen graphisch bestimmen zu einem hyperblischen Funktinsgraphen die Gleichungen der Asymptten der Hyperbel herleiten die Graphen einer größeren Anzahl reeller Funktinen zeichnen D-8-de- 4/14

5 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Nullstellen und eventuellen Schnittpunkt mit der y-achse bestimmen Funktinen des Typs f x tan x betreffend: f x sin x, f x cs x und die Funktinsgraphen erkennen swie zeichnen den Begriff der Peride dieser Funktinen verstehen Hyperbeln mit den Funktinsgleichungen a ax b f x und f x betreffend: x b cx d die Funktinsgraphen erkennen swie zeichnen die Gleichheit ax b A B cx d cx d nachweisen die Gleichungen der waagrechten und senkrechten Asymptten bestimmen die Schnittpunkte mit der x-achse und, falls möglich, mit der y-achse des Krdinatensystems bestimmen das Verhalten im Unendlichen untersuchen das Verhalten an den Plstellen untersuchen das Symmetriezentrum ermitteln die Funktinsgraphen vn f mit f x g x für flgende Funktinen g erkennen und zeichnen: g x ax b g x ax bx c g x ax b cx d D-8-de- 5/14

6 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel gegebenenfalls für f x g x flgende Eigenschaften bestimmen: die Gleichungen der Asymptten das Symmetriezentrum die Nullstellen die Schnittpunkte mit den Achsen den Kurvenverlauf vn abschnittsweise definierten Funktinen skizzieren, welche aus flgenden Funktinen g zusammengesetzt sind: g x ax b g x ax bx c g x z.b.. ax b cx d 3x x 1 f( x) x² x D-8-de- 6/14

7 STATISTIK & WAHRSCHEINLICHKEIT (unverbindliche Richtlinie: 5 Unterrichtsstunden) Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel den Ergebnisraum eines Zufallsexperiments bestimmen ein Ereignis A als ein- der mehrelementige Teilmenge vn definieren den Ergebnisraum in Frm eines Venndiagramms darstellen Ereignisalgebra die Vereinigung A B und die Schnittmenge A B zweier Ereignisse in Wrten beschreiben und in Mengenschreibweise darstellen A B für unvereinbare Ereignisse das Gegenereignis A zu einem gegebenen Ereignis A bestimmen Grundlegendes der Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehen, dass für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gilt: PA 0 1 die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A berechnen den Zusammenhang vn relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit verstehen den Zufallszahlengeneratr verwenden mit Hilfe der Tabellenkalkulatin die relativen Häufigkeiten eines simulierten Zufallsexperiments ermitteln und diese mit theretischen Wahrscheinlichkeiten vergleichen (z.b. Simulatin eines Würfels) Wahrscheinlichkeiten als Brüche und als Dezimalzahlen berechnen D-8-de- 7/14

8 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Berechnung vn Wahrscheinlichkeiten unabhängige Ereignisse (Ziehen mit Zurücklegen) mit Hilfe der flgenden Methden beschreiben: Vierfeldertafel (Mehrfeldertafel) Venndiagramme Baumdiagramme abhängige Ereignisse (Ziehen hne Zurücklegen) mit Hilfe vn Baumdiagrammen beschreiben (maximal dreistufige Experimente) flgende Frmeln anwenden: P A P A 1 für Gegenereignisse B +P P A 0 für unvereinbare Ereignisse P A B P A P B P A B P A B P A B für unvereinbare Ereignisse B P A 1 für Gegenereignisse P A B P B P A B P A B P B PB ( A) P A B P A P B für unabhängige Ereignisse (bedingte Wahrscheinlichkeit nur mit Baumdiagrammen) Wahrscheinlichkeiten berechnen D-8-de- 8/14

9 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Analyse vn Daten verstehen, dass die Varianz und die Standardabweichung ein Maß für die Streuung ist Varianz und Standardabweichung bei einer kleinen Stichprbe n 6 mit einer der flgenden Frmeln x x x² berechnen: ² n n x Varianz und Standardabweichung bei Häufigkeitsverteilungen berechnen Schätzen und Berechnen der Varianz und Standardabweichung bei ungerdneten und gerdneten Stichprben x x x² ² n n x a x x ax² ² a a x Berechnen der Varianz und Standardabweichung bei ungerdneten und gerdneten Stichprben mit Hilfe der Tabellenkalkulatin Interpretatin und Vergleich vn Daten Verteilungen interpretieren und vergleichen in Bezug auf Mittelwert und Varianz/Standardabweichung vrgegebenen Histgrammen Schätzen und Berechnen vn Mittelwert, Varianz und Standardabweichung Histgramme zur Interpretatin und zum Vergleich erstellen D-8-de- 9/14

10 GEOMETRIE (unverbindliche Richtlinie: 60 Unterrichtsstunden) Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Orientierte Winkel den Einheitskreis definieren einen rientierten Winkel definieren und ihn am Einheitskreis darstellen einen Winkel im Bgenmaß definieren die Größe eines Winkels vm Gradmaß ins Bgenmaß umrechnen und umgekehrt die Größe eines Winkels swhl in Grad- als auch in Bgenmaß schätzen die Größe eines Winkels vm Gradmaß ins Bgenmaß umrechnen und umgekehrt mit Hilfe vn Knstruktinen und Messungen Schätzungen bestätigen Trignmetrische Werte die trignmetrischen Werte eines in Grad- der Bgenmaß angegebenen rientierten Winkels und der assziierten Winkel bestimmen die gemetrische Bedeutung der trignmetrischen Werte kennen darstellen, wie sich die trignmetrischen Werte eines rientierten Winkels ändern die trignmetrischen Werte besnderer Winkel darlegen trignmetrische Werte flgender Winkel vergleichen: Kmplementärwinkel: cs sin 90 cs sin Ergänzungswinkel: sin sin 180 sin sin mit Hilfe der Funktinsgraphen verstehen, dass mehrere Winkel dieselben trignmetrischen Werte annehmen können die Eigenschaften der Kmplementär- und Ergänzungswinkel mittels Schieberegler dynamisch veranschaulichen Berechnungen mit den trignmetrischen Frmeln durchführen Lösungen trignmetrischer Gleichungen überprüfen Trignmetrische Gleichungen lösen D-8-de- 10/14

11 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel flgende Frmeln kennen und anwenden: sin cs 1 sin tan cs flgende Frmeln für numerische Werte kennen und anwenden: cs cs cs sin sin sin sin cs cs sin sin sin cs cs cs sin für 0 und flgende Gleichungstypen lösen: sin a, cs a and tan a einfache Gleichungen, wie 1 cs 6 und 3cs sin 1 0 Dreiecke flgende Frmeln für allgemeine Dreiecke erläutern und beweisen a b c bc cs a b c r sin sin sin 1 A sin bc mit Hilfe dieser Frmeln Anwendungsaufgaben bearbeiten mit Hilfe vn Knstruktinen und Messungen diese Eigenschaften bestätigen mit Hilfe dieser Frmeln Anwendungsaufgaben bearbeiten D-8-de- 11/14

12 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Vektren in der Ebene flgende Begriffe verstehen: lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Basis eines Vektrraums, Krdinatensystem Dimensin eines Vektrraums eine Orthnrmalbasis definieren einen Vektr als Linearkmbinatin zweier gegebener Basisvektren darstellen die bijektive Abbildung zwischen einer Menge vn Vektren und einer Menge gerdneter Zahlenpaare aufzeigen Skalarprdukt den Betrag eines Vektrs definieren flgende Definitinen des Skalarprdukts kennen: a b 1 1 a b a1b 1 ab a b a b a b cs a, b das Skalarprdukt zweier Vektren berechnen das Skalarprdukt eines Vektrs mit sich selber definieren die Orthgnalität zweier Vektren definieren die Eigenschaften des Skalarprdukts nennen und ausnutzen mittels des Skalarprdukts die Orthgnalität zweier Vektren überprüfen ein Skalarprdukt in einer Orthnrmalbasis ausdrücken das Skalarprdukt zweier Vektren berechnen durch geeignete Knstruktinen und Messungen die Eigenschaften des Skalarprdukts veranschaulichen D-8-de- 1/14

13 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Geraden in der Ebene den Abstand zweier Punkte berechnen mit Hilfe vn Vektren gemetrische Beweise durchführen, z.b. der Frmeln a b c bc cs 1 A sin bc die Vektrgleichung einer Geraden angeben eine Parametergleichung einer Geraden bestimmen die Kartesische Gleichung einer Geraden bestimmen die Lagebeziehung zweier Geraden bestimmen Parallelität und Orthgnalität zweier Geraden anhand ihrer Gleichungen erkennen zu einer Geraden swhl die Gleichung einer Parallelen als auch die Gleichung einer Senkrechte bestimmen welche durch einen gegebenen Punkt geht. den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen den Abstand zweier paralleler Geraden berechnen den Schnittwinkel zweier Geraden berechnen die gegenseitige Lage eines Punkts und einer Geraden bestimmen den Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen die Krdinaten der senkrechten Prjektin eines Punktes auf eine Gerade berechnen eine Parametergleichung einer Geraden in deren Kartesische Gleichung umfrmen zu einer Geraden swhl eine parallele als auch eine senkrechte Gerade durch einen gegebenen Punkt knstruieren den Schnittpunkt vn Geraden bestimmen den Abstand zweier paralleler Geraden messen den Schnittwinkel zweier Geraden messen den Abstand eines Punktes zu einer Geraden messen die Krdinaten der senkrechten Prjektin eines Punktes auf eine Gerade berechnen D-8-de- 13/14

14 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Kreise in der Ebene die Gleichung eines Kreises bestimmen die Gleichung der Tangente an einem Punkt auf der Kreislinie bestimmen die Lagebeziehungen Punkt Kreis Gerade Kreis Kreis Kreis die Schnittpunkte einer Geraden und eines Kreises bestimmen: graphisch mittels eines Gleichungssystems welches auf eine lineare und eine quadratische Gleichung reduziert werden kann die gegenseitige Lagebeziehungen vn Kreis und Gerade graphisch untersuchen Vermutungen bzgl. der Gleichung einer Tangente an einen Kreis vn einem gegebenen Punkt aus anstellen diese Gleichung mittels des Skalarprdukts rechnerisch bestimmen diese Gleichung mit Hilfe vn Gleichungssystemen bestimmen D-8-de- 14/14