MATHEMATIKLEHRPLAN 6. SCHULJAHR SEKUNDARSTUFE

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1 Eurpäische Schulen Bür des Generalsekretärs Abteilung für pädaggische Entwicklung Ref.:2010-D-601-de-2 Orig.: FR MATHEMATIKLEHRPLAN 6. SCHULJAHR SEKUNDARSTUFE Basiskurs 3 Stunden/Wche VOM GEMISCHTER PÄDAGOGISCHER AUSSCHUSS DER EUROPÄISCHEN SCHULEN 4 UND 5 FEBRUAR 2010 IN BRÜSEL GENEHMIGT Mit Inkraftsetzung zum September D-601-de-2 1/9

2 Analysis (unverbindliche Richtlinie: 55 Periden) Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Wiederhlung und Festigung der Vrkenntnisse aus der Analysis Den Definitins- und Wertebereich einer Funktin angeben. Den Graphen einer Funktin zeichnen. Die Steigung einer Geraden bestimmen. Die Eigenschaften einer Tangente an einen Kreis kennen. Vn flgenden Funktinen die Graphen erkennen und deren Funktinsterme bestimmen: f x ax b (a IR *, b IR) 2 f x ax bx c f x (a IR *, b, c IR) ax b cx d f x sin x f x cs x f x tan x (a, b, d IR, c IR * ) Zeichnerisch und rechnerisch bestimmen: die Nullstellen dieser Funktinen, die Schnittpunkte ganzratinaler Funktinen höchstens 2. Grades. Lineare Gleichungssysteme lösen. Auswahl einer geeigneten Skalierung und Fensters, um die charakteristischen Merkmale des Graphen einer Funktin darzustellen. Gleichungen höheren Grades als zwei, trignmetrische- und Bruchgleichungen lösen. Berechnung der Schnittpunkte vn trignmetrischen und ratinalen Funktinen nur mit CAS D-601-de-2 2/9

3 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Diskrete Entwicklungen Algebraische und gemetrische Eigenschaften zusätzlicher Funktinen Das Ziel dieser Einheit ist, praktische Prbleme, beispielsweise aus der Finanzmathematik (Zinseszins, Wertverlust, Inflatin), der Physik (Radiaktivität) der der Bilgie (Zellteilung), mit arithmetischen und gemetrischen Flgen zu lösen. Die Definitinen vn arithmetischen und gemetrischen Flgen in rekursiver Frm kennen. In Graphen und Datenreihen arithmetische bzw. gemetrische Flgen erkennen und das erste Flgeglied swie die knstante Differenz bzw. den knstanten Faktr angeben. Arithmetische und gemetrische Flgen in rekursiver und expliziter Frm darstellen. In diesem Kapitel wird die Menge der dem Schüler bekannten Funktinen und deren Eigenschaften beständig erweitert. In praxisnahen Sachaufgaben sll der Schüler ihm bekannte Funktinen erkennen und alle seine Kenntnisse über Funktinen zur Lösung der Aufgabe anwenden können. Für ganzratinale Funktinen höchstens vierten Grades: Die Glieder einer Flge in den CAS-Rechner eingeben und mithilfe des Rechners weitere Glieder der Flge bestimmen (Algebra-Fenster der Tabellenkalkulatin). Die Glieder einer Flge graphisch darstellen. Mithilfe der Tabellenkalkulatin erkennen und prüfen, b eine Flge arithmetisch der gemetrisch ist und die rekursive und explizite Darstellung der Flge bestimmen. Untersuchung der Veränderung arithmetischer und gemetrischer Flgen - in Abhängigkeit vm ersten Flgeglied und der knstanten Differenz bzw. dem knstanten Faktr - an ihren Graphen. Den Grenzwert arithmetischer und gemetrischer Flgen bestimmen. Zu einer arithmetischen der gemetrischen Flge die Glieder der zugehörigen Reihe berechnen und diese auf Knvergenz untersuchen. Vn dem Graphen der Funktin auf das Symmetrieverhalten f x f x bzw. schließen und den Wahrheitswert vn f x f x überprüfen. Den Grenzwert vn f (x) angeben, wenn x gegen einen gegebenen Wert strebt der für x D-601-de-2 3/9

4 Themen Peridische Veränderungen Vraussagen über den Verlauf des Graphen einer Funktin Kenntnisse und Fähigkeiten Am Graphen das Steigungs- und asympttische Verhalten erkennen und beschreiben. f x f x bzw. f x f x prüfen und graphisch interpretieren. Die Symmetriebeziehungen Symmetrieeigenschaften (Punktsymmetrie zum Ursprung und Achsensymmetrie) eines Graphen erkennen und algebraisch interpretieren. In dieser Einheit ist es das Ziel, dass Schüler an einfachen Beispielen aus der Natur - wie Meereswasserstände, Schallwellen und Temperaturtabellen - die Mdellierung mithilfe vn Funktinen kennen lernen. Am Graphen einer transfrmierten Sinus- der Ksinusfunktin der Frm x asinbx c bzw. x acsbx c die Amplitude, Peride, Phase und Nullstellen ablesen. Es ist wichtig, dass die in diesem Kapitel erwrbenen Kenntnisse zur Lösung praktischer Prbleme der Öknmie (Kstenfunktinen, marginale Analysis), einfacher Optimierungs-Aufgaben, Anwendungen aus den Naturwissenschaften der Parameteraufgaben eingesetzt werden. Nutzung technlgischer Hilfsmittel Die Nullstellen und Schnittpunkte dieser Funktinen bestimmen. Den Einfluss des reellen Keffizienten k auf den Verlauf flgender Graphen erläutern: x f x k x f x k x k f x x f k x Den Zusammenhang zwischen den Graphen der Funktinen f x und f x erklären. Aus dem Graphen der Funktin eine Vermutung über die Peridizität mit der Peride T ableiten und den Wahrheitswert vn f x T f x prüfen. Durch Veränderung des Graphen der Sinus- der Ksinusfunktin eine sinus- der ksinusförmig angerdnete, vrgegebene Menge vn Punkten graphisch näherungsweise darstellen und den Funktinsterm der Näherungskurve bestimmen. Die Tangente an die Kurve einer Funktin in einem Punkt zeichnen und deren Gleichung bestimmen D-601-de-2 4/9

5 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Am Ende dieser Einheit sll der Schüler eine vllständige Kurvendiskussin (Definitinsbereich, Nullstellen, Mntnieverhalten, Grenzwerte und Asymptten, Symmetrie, Extremwerte)mithilfe vn CAS und unter Anwendung seines gesamten Wissens aus der Analysis durchführen. Erläutern, dass die Tangente im Punkt eines Graphen als der Grenzwert einer Flge vn Sekanten interpretiert werden kann. Erläutern, dass die Steigung der Tangente dem Grenzwert der Sekantensteigungen entspricht. Die Tangente an eine Kurve zeichnen und deren Gleichung näherungsweise angeben. Zu jeder gegebenen Funktin die Ableitung bestimmen. Die Graphen einer Funktin und deren Ableitungsfunktin über einem vrgegebenen Intervall zeichnen. Mithilfe der Ableitungsfunktin auf das Steigungsverhalten des Graphen der Funktin schließen und die Extrema der Funktin berechnen. Swhl algebraisch als auch am Graphen die Extrema einer Funktin bestimmen. Bestimmen des Terms der bisher eingeführten Funktinen aus gegebenen analytischen der gemetrischen Eigenschaften und/der den Funktinswerten der ersten Ableitung (Parameteraufgaben). Erläutern, dass es zu einer gegebenen Funktin eine weitere Funktin gibt, die jedem Punkt des Graphen die Steigung der Tangente in dem Punkt zurdnet: Die Ableitungsfunktin. Die Gleichung der Tangente an den Graphen zu f an der Stelle a in der Frm y f ' a x a f a angeben Die Zusammenhänge erläutern zwischen (allen möglichen Kmbinatinen aus): dem Vrzeichen vn f ' x (die Ableitungsfunktin kann auch durch ihren Graphen gegeben sein); den Eigenschaften der Funktin f ; dem Graphen vn f D-601-de-2 5/9

6 Statistik (unverbindliche Richtlinie: 10 Periden) Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Wiederhlung und Festigung der Vrkenntnisse aus der Statistik Anwendung zweidimensinaler Häufigkeitsverteilungen Die Przentrechnung und den Begriff der relativen Häufigkeit erläutern und anwenden. In diesem Kapitel sind theretische Herleitungen und Frmalismen zu vernachlässigen. Stattdessen sll mit praxisnahen Anwendungen aus Öknmie, Physik, Gegrafie und Bilgie die Kmpetenz des Prblemlösens gefördert werden. Erstellen, ergänzen und interpretieren einer Kntingenztafel und deren Randsummen. Aus einer Häufigkeitstabelle eine Tabelle für die relativen Häufigkeiten erstellen: bezgen auf die Gesamtzahl. bezgen auf die Zeilensumme. bezgen auf die Spaltensumme. Zu einer Tabelle der relativen Häufigkeit und einer absluten Häufigkeit eine Häufigkeitstabelle erstellen. Anwendung der Tabellenkalkulatin (Elementare Zellfunktinen, relativer und absluter Zellbezug) um eine Tabelle für die abslute Häufigkeit in eine Tabelle für die relative Häufigkeit (auch in Przentdarstellung) umzuwandeln und umgekehrt. Alle Berechnungen mithilfe der Tabellenkalkulatin 2010-D-601-de-2 6/9

7 Wahrscheinlichkeit (unverbindliche Richtlinie: 25 Periden) Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Wiederhlung und Festigung der Vrkenntnisse aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zählmethden und Wahrscheinlichkeiten Erklären der Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit für wachsenden Stichprbenumfang bei gleichen und unabhängigen Versuchen (Gesetz der grßen Zahl). Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bzw. Gegenereignisses bestimmen mithilfe der Frmeln: PE 1 PE PAB PA PB für unabhängige Ereignisse PAB PA PB für unvereinbare Ereignisse P AB P A P B P A B Veranschaulichung einfacher (höchstens dreistufiger) Zufallsexperimente an einem Baumdiagramm. In dieser Einheit ergibt sich für die Schüler der Bezug zur Praxis aus der Aufgabenstellung. Das Knzept der Wahrscheinlichkeit vn A unter der Bedingung B erklären. Die Frmel für die bedingte Wahrscheinlichkeit Alle Rechnungen mithilfe der vn CAS bereitgestellten arithmetischen Grundfrmeln. Mit den kmbinatrischen Zählverfahren des CAS Wahrscheinlichkeiten berechnen können Berechnung der Anzahl der Permutatinen vn n Elementen. der Möglichkeiten, aus n Elementen k Elemente mit Wiederhlung mit Berücksichtigung der Reihenflge 2010-D-601-de-2 7/9

8 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel P A B P A PA B B P B kennen und in einem Baumdiagramm, in einer Vierfeldertafel anwenden. Klassische, elementare Zufallsversuche (gerdnete endliche Stichprben mit der hne Zurücklegen; ungerdnete endliche Stichprben hne Zurücklegen) erkennen und einem geeigneten Mdell zurdnen, das zu flgenden Zählprinzipen der Kmbinatrik führt: Anzahl der Permutatinen einer endlichen Menge. Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n Elementen hne Zurücklegen unter Berücksichtigung/hne Berücksichtigung der Reihenflge auszuwählen. Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n Elementen mit Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenflge auszuwählen. Das Knzept eines Bernulliexperiments erklären (Treffer und Niete). In Zufallsexperimenten ein Bernulliexperiment erkennen und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Den Begriff der Bernullikette erklären. Den Begriff der endlichen diskreten Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung erläutern. auszuwählen. der Möglichkeiten, aus n Elementen k Elemente ( k n ) hne Wiederhlung mit/hne Berücksichtigung der Reihenflge auszuwählen. Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung P X k eine Binmialverteilung. für 2010-D-601-de-2 8/9

9 Themen Kenntnisse und Fähigkeiten Nutzung technlgischer Hilfsmittel Zufallsexperimente erkennen, die auf eine binmialverteilte Zufallsgröße X führen und deren Wahrscheinlichkeits- P X k berechnen. verteilung 2010-D-601-de-2 9/9