Anleitung zu Blatt 6, Analysis II

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1 Department Mathematik der Universität Hamburg Dr. H. P. Kiani Anleitung zu Blatt 6, Analysis II SoSe Rotationskörper, Kurvenintegrale. Teil Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt! Klasusurberatungstermine: Analysis I: ************ Freitag 6.7., -4. Uhr, Audimax II TUHH Weiterer Termin im September wird noch bekannt gegeben. Analysis II: ************ Donnerstag 5.7., 3-5 Uhr, Audimax I TUHH Dienstag 7.8., 4-6. Uhr, Audimax I TUHH

2 Anleitungen Analysis II, H. P. Kiani, SoSe, Blatt 6 Rotationskörper Betrachte Körper K der durch Rotation des Graphen einer Funktion f : [a,b] R + {}, f(x) = y um die x-achse entsteht. Schneide den Körper mit Ebenen parallel zur (y,z) Ebene. Es entstehen Kreisscheiben mit den Flächeninhalten π(f(x i )) Abbildung : Rotation: xsin(x) um die x-achse, Wurzel y um die y-achse Ist f integrierbar, so gilt für das Volumen des Rotationskörpers V rot,x = π b a (f(x)) dx Rotation um y-achse Volumen des Körpers der zwischen der Mantelfläche und der y-achse entsteht: Sei y = f(x). Forme (wenn möglich) um : x = g(y) und rotiere wie oben V rot,y = π f(b) f(a) (g(y)) dy = π b a x f (x) dx Mantelflächen von Rotationskörpern Approximiere durch Mantelflächen von Kegelstümpfen. M = b a πf(x) +(f (x)) dx

3 Anleitungen Analysis II, H. P. Kiani, SoSe, Blatt 6 3 Beipiel : Gegeben sei die Funktion y = f(x) := x mit x. Skizzieren Sie die durch Rotation des Funktionsgraphen um die x bzw. y Achse entstehenden Rotationskörper und berechnen Sie deren Volumen. V rot,x = π ( ) x x 5 dx = π 5 = π 3 5. Rotation um y Achse: y [,4], x = g(y) = y oder V rot,y = π V rot,y = π 4 ( y) dy = π y x (x) dx = π x4 4 = π 6 = 8π. = π 6 = 8π. Beipiel : Gegeben sei die Funktion y = f(x) := xsin(x) mit x π. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Funktionsgraphen um die y Achse entsteht. Hier hilft der Ansatz x = g(y) aus mehreren Gründen nicht weiter. Wir rechnen also: V rot,y = π π x (xsinx) dx = π π = π [ π x cosx+x 3 sinx ]π π = π4 = π4 x (sinx+xcosx) dx xcosx+3x sinx dx 8 +π [ π xsinx+3x cosx ]π π sinx 6xcosxdx π 8 +π +π[cosx+6xsinx] π π 6sinxdx = π4 8 π 8π.

4 Anleitungen Analysis II, H. P. Kiani, SoSe, Blatt 6 4 Beispiel 3: Berechnen Sie die Mantelfläche des Rotationskörpers, der bei der Rotation von y = f(x) = x, x [,] um die x Achse entsteht. M = b a πf(x) +(f (x)) dx = πx +4x dx Mit der Substitution x = sinh(u) dx, du = cosh(u), dx = cosh(u)du, u = arsinh(x) und β := arsinh (4).947 folgt β M = = = β β π sinh u +sinh u coshudu 4 π sinh (u)cosh (u) β ( π e u e u ) du = du π 64 (e4u +e 4u )du β π 3 (cosh(4u) )du = π 3 (sinh(4β) 4 β) Bemerkung: Das war kein besonders doofes Beispiel. Mantelflächen sind in der Regel so fies!

5 Anleitungen Analysis II, H. P. Kiani, SoSe, Blatt 6 5 Kurven und Bogenlängen Zum Beispiel: Bahn eines Teilchens. Geben Sie für jeden Zeitpunkt t [a,b] den Ort x(t) des Teilchens an: c : [a,b] R 3, c(t) = (x (t), x (t), x 3 (t)) T = x(t) Definition: Eine stetige Funktion c : [a,b] R n heißt (Parameterdarstellung einer) Kurve im R n mit Anfangspunkt c(a) und Endpunkt c(b). Die Kurve heißt geschlossen, wenn c(a) = c(b) gilt. BEISPIELE: a) c : [,] R 3, c(t) = a+t(b a) T a b R 3 fest. (geradlinige Verbindung von a und b) b) c : [,π] R, c(t) = (acost, bsint) T c) c : [,4π] R, c(t) = (acost, bsint) T d) c : [,π] R, c(t) = (acos(t), bsin(t)) T e) c : [,π] R, c(t) = (acos( t), bsin( t)) T Bild der letzten vier Kurven =? Kurven b)-e) unterscheiden sich in : Geschwindigkeit, Umlaufsinn, Anzahl der Durchläufe Kreis : x +y = r Ellipse: x a + y b =

6 Anleitungen Analysis II, H. P. Kiani, SoSe, Blatt 6 6 Kuspe:(t 3,t ) Zykloide:(t sin t, cos t) Abbildung : Kuspe, Zykloide, Schraubenlinie mit 6 Windungen f) c : [,] R, c(t) = (t 3, t ) T (Kuspe) g) c : [,π] R, c(t) = (rt asint, r acost) T (Zykloide) h) c : [,π] R 3, c(t) = (rcos(t), rsin(t), t) T (Schraubenlinie mit Radius r, Ganghöhe π und 6 Windungen) i) Plotten in Matlab z.b. Kuspe t=-:.5:; % oder linspace(-,,4); x= t.^3; y=t.^; plot(x,y) %(in 3-d : plot3(x,y,z))

7 Anleitungen Analysis II, H. P. Kiani, SoSe, Blatt 6 7 Kurvenlänge: Approximiere Kurve durch Polygonzug durch c(t i ), i =,,,m m Länge des Polygonzugs: l(z) = c(t i ) c(t i ) Für jede C Kurve gilt unabhängig von der Parametrisierung i= L(c) = b a ċ(t) dt. Beispiel: c : [,π] R 3, cos(t ) tsin(t ) c(t) := sin(t ) = ċ(t) = tcos(t ) t ċ(t) = 4t sin (t )+ 4t cos (t )+4 = 4+4t L(c) = π 4+4t dt +t dt = [t +t ] t t +t dt = = [t +t ] t + +t dt [t +t ] +t dt + +t dt Substutution t = sinh(u), dt = cosh(u) du im letzten Integral ergibt +t [t +t ] dt = + du = t +t + arsinh(t)+c Also = t +t + ln(t+ +t )+C L(c) = π +t dt = = π +4π + ln(π + +4π ) [ t +t + ln(t+ ] π +t )

8 Anleitungen Analysis II, H. P. Kiani, SoSe, Blatt 6 8 Parametrisierung nach der Bogenlänge Eingangsbeispiele zu Kurven: Ellipse wurde je nach Parametrisierung unterschiedlich schnell durchlaufen. Gleichmäßigen Durchlauf mit Geschwindigkeit ċ(t) = erreicht man mit Parametrisierung nach der Bogenlänge: Sei c : [,π] R, c(t) = (rcost, rsint) T Definiere die Bogenlängenfunktion s : [,π] [, L(c)] = [, πr], s(t) := Hier also s(t) = t rdτ = rt [, πr] Wähle σ = s(t) = rt als neuen Parameter. Definiere t ċ(τ) dτ C : [,πr] R, C(σ) = (rcos( σ r ), rsin(σ r ))T Es gilt dann C (σ) = rsin( σ r ) r rcos( σ r ) = Ċ(σ) = r Allgemein definieren wir für eine glatte Kurve c : [a,b] R n, t c(t) mit der Länge L( c) die Bogenlängenfunktion s : [a,b] [, L(c)], s(t) := t ċ(τ) dτ s ist eine streng monoton wachsende Funktion. Es ist also ein Parameterwechsel von t zu s(t) möglich. Wir definieren die nach der Kurvenlänge parametrisierte Kurve als Es gilt dann d dσ ĉ(σ) =. ĉ(σ) := c(s (σ)) Der Tangenteneinheitsvektor der Kurve im Punkt ĉ(σ) ist T(σ) = d dσ ĉ(σ) Der Hauptnormalenvektor der Kurve im Punkt ĉ(σ) ist n(σ) = d dσ ĉ(σ)

9 Anleitungen Analysis II, H. P. Kiani, SoSe, Blatt 6 9 und die Krümmung der Kurve im Punkt ĉ(σ) ist κ(σ) = d dσ ĉ(σ) Für das Beispiel unseres Kreises erhalten wir rsin( σ r T(σ) = ) ( r rcos( σ r ) sin( σ = r ) ) cos( σ r ) r und κ(σ) = ( r cos(σ r ) ) r sin(σ r ) = r Bei beliebiger Parametrisierung gilt für den Tangenteneinheitsvektor T und die Krümmung κ T(t) = ẋ(t) ẋ(t) ẍ(t) ẋ(t), κ(t) = < ẋ(t), ẍ(t) > ẋ(t) Im R 3 gilt damit κ(t) = ẋ(t) ẍ(t) ẋ(t) 3 Beispiel: c : [, π ] R, c(t) = ( cos (t)) sin (t) = ċ(t) = ( ) ( sin(t)cos(t) sin(t) cos(t) = sin(t)cos(t) ) = ċ(t) = 4sintcost L(t) = 4sin(τ)cos(τ)dt = sin (τ) t = sin (t) = σ t = arcsin( σ ) und cos (t) = σ. ĉ(σ) = c(t(σ)) = c(arcsin( σ )) = ( σ σ ) ĉ (σ) = ( ) ĉ (σ) = ( Krümmung = κ =. Logisch, da c auch als c(x) = ( x x) geschrieben weden kann! )

10 Anleitungen Analysis II, H. P. Kiani, SoSe, Blatt 6 Matlab Codes % Rotationskörper, f= rotierte Funktion, hier % x^ bzw. x.*sin(x) hold on % optional: plotten der Achsen: plot3([-..7],[ ],[ ], g ) %x-achse plot3([ ],[-.7.7],[ ], g ) %y-achse plot3([ ],[ ],[-.7.7], g ) %z-achse x=linspace(,pi/,); % x-vektor f=x.*x; %x.*sin(x); % Funktionswerte y=x.*; % Nullvektor mit der Länge von x plot3(x,y,f); % Graph der Funktion f plot3(x,y,-f); % Graph der Funktion -f % Im folgenden werden einzelne Schnitte von Ebenen senkrecht % zur x-achse durch den Rot.koerper durch plotten von % Kreisen mit Radius f(x) um den Punkt (x,,)^t angedeutet for x=:pi/8:pi/ % x-koordinaten, für die % Schnitte gezeichnet werden f=x.*x; % Funktionswerte zu x %f=x.*sin(x); % alternative Funktionswerte phi=linspace(,*pi,); % Winkel für die % ein Punkt auf den Kreisen mit %Radius f(x) und Mittelpunkt x % berechnet wird y=f*sin(phi); z=f*cos(phi); xv=x*ones(size(phi)); % der x-vektor enthaelt in % allen Komponenten den aktuellen x-wert, % und hat die gleiche Länge wie der phi- % (also auch der y- oder z-)vektor plot3(xv,y,z, r ) end

11 Anleitungen Analysis II, H. P. Kiani, SoSe, Blatt 6 ALTERNATIV: % Rotation der Funktion g(y)= sqrt(y) um die y-achse im Bereich % y \in [.5, ]. Die y_achse erscheint im Bild als z-achse, % daher z=.5:.:; Die beiden anderen Koordinaten liegen im Bild auf % Kreise mit Radius g(z) grid on % axis([ ]) %Festlegung der Achsen (optional) z=:.:; x=linspace(-sqrt(),sqrt(),); y=x; [X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z); %Erzeugt xyz Gitterpunkte im 3-d-Raum V=X.^+Y.^-(sqrt(Z)).^; % V wird für jeden Gitterpunkt berechnet p= patch(isosurface(x,y,z,v,)) %isosurface(a,b,c,f,w) berechnet %(a,b,c) Werte, für die V(a,b,c)=w % ist (Niveauflächen, vgl Analysis III) %patch ermöglicht die Visualisierung der %(z.b. durch isosurface erzeugten) Fläche % in R^3 set(p, FaceColor, w, EdgeColor, b ); %Legt verschiedene % Eigenschaften des Objektes p fest. % Hier Oberfläche : weiß = nicht sichtbar. % Netz blau. Alternativen z.bsp % set(p, FaceColor, red, EdgeColor, none ); % rote Fläche, kein Netz daspect([ ]) %Skalierung der Achsen axis tight % Achsenbereich wird den Daten angepasst % axis equal % Skalierung auf allen Achsen gleich camlight %Schatten lighting flat % Alternativen: gouraud, none, phong