Fachbereich Mathematik und Informatik FU Berlin, Berlin Tel

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1 Geometrie vorläufiges Skript (ohne Garantie) Ich bin sehr dankbar für Hinweise auf Fehler, Korrekturen, Ergänzungen, Verbesserungsvorschläge, etc. Version vom 26. August 2011 Prof. Günter M. Ziegler Fachbereich Mathematik und Informatik FU Berlin, Berlin Tel FU Berlin, Sommer 2011 Diese Vorlesung für das Bachelorstudium soll als natürliche Fortsetzung von Lineare Algebra I und II Fundamente legen für Vorlesungen/Zyklen wie Diskrete Geometrie, Algebraische Geometrie und Differenzialgeometrie. Sie behandelt grundlegende Modelle der Geometrie, insbesondere euklidische, affine, sphärische, projektive und hyperbolische Geometrie, Möbiusgeometrie, Polarität und Dualität Strukturgruppen, Messen (Längen, Winkel, Volumina), explizite Berechnungen und Anwendungen, Beispiele sowie Illustrationsthemen. Dabei werden weitere Bezüge hergestellt, zum Beispiel zur Funktionentheorie und zur Numerik. Literatur [1] David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry. Cambridge University Press, Cambridge, [2] Gerd Fischer. Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Vieweg+Teubner, Wiesbaden, [3] Boris A. Springborn. Geometry I. Lecture Notes, TU Berlin/Berlin Mathematical School, 2007/08, 59 pp., ftp://ftp.math.tu-berlin.de/pub/lehre/geometryi/ws07/ geometry1_ws07.pdf. 1

2 Geometrie FU Berlin Sommersemester 2011 Skript, Version: 26. August 2011 Günter M. Ziegler Vorbemerkungen Dies ist nicht nur meine erste Vorlesung an der FU Berlin, sondern auch meine ersten allgemeine Geometrie-Vorlesung. Ich will dabei meine Begeisterung für die Geometrie vermitteln, insbesondere aber Werkzeuge für die Arbeit mit geometrischen Strukturen vermitteln, die dann in ganz unterschiedliche Richtungen hilfreich sein können, insbesondere für Vorlesungszyklen wie Diskrete Geometrie I III (den ich selber halten werde), Differenzialgeometrie, Algebraische Geometrie, aber auch für Vorlesungen wie Geometry Processing und Algorithmische Geometrie. Hier kommt ein grober Zeitplan, den wir schrittweise anpassen werden: 1. Euklidische Geometrie, I: Der R n mit einem Skalarprodukt April 2. Euklidische Geometrie, II: Hochdimensionale Effekte April 3. Euklidische Geometrie, III: Euklidische Bewegungen April 4. Euklidische Geometrie, IV April 5. Affine Geometrie, I: April 6. Affine Geometrie, II: April 7. Kegelschnitte, I Mai 8. Kegelschnitte, II Mai 9. Quadriken Mai 10. Quadriken Mai 11. Projektive Geometrie, I: Mai 12. Projektive Geometrie, II: Mai 13. Projektive Geometrie, III: Mai 14. Projektive Geometrie, IV: Mai 15. Projektive Geometrie, V: Mai 16. Was ist eine Geometrie Juni 17. Was ist eine Geometrie Juni 18. Sphärische Geometrie, I: Juni 19. Sphärische Geometrie, II: Juni 20. Möbiusgeometrie, I Juni 21. Möbiusgeometrie, II Juni 22. Hyperbolische Geometrie, I Juni 23. Hyperbolische Geometrie, II Juni 24. Hyperbolische Geometrie, III Juli 25. Hyperbolische Geometrie, IV Juli 26. Hyperbolische Geometrie, V Juli 27. Perspektiven der Geometrie Juli 2

3 Geometrie FU Berlin Sommersemester 2011 Skript, Version: 26. August 2011 Günter M. Ziegler 1 Euklidische Geometrie 1.1 Der R n mit einem Skalarprodukt Lineare und affine Unterräume Modell: R n reeller Vektorraum mit Koordinatensystem Untervektorräume U R n der Dimension dim U, mit 0 dim U n. Innere Beschreibung : U = span{v 1,..., v r } = {λ 1 v λ r v r : λ 1,..., λ r R}, mit r dim U. Hier gilt r = dim U wenn {v 1,..., v r } eine Basis ist. Jede (geordnete) Basis liefert uns Koordinaten für U. Äußere Beschreibung : durch ein homogenes lineares Gleichungssystem U = {x R n : Ax = 0}, mit A R m n, m n dim U. Hier hat A den Rang n dim U, und es gilt m = n dim U wenn die Zeilen von A linear unabhängig sind. Affine Unterräume U R n der Dimension dim U, mit 1 dim U n, sind die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen, wobei als affiner Unterraum der Dimension 1 betrachtet wird. Äußere Beschreibung : U = {x R n : Ax = b}, mit A R m n, m n dim U, b R n durch ein lineares Gleichungssystem. Wenn b nicht im Spaltenraum von A liegt, dann ergibt dies U =. Ansonsten ist b ein Punkt in U, A hat den Rang n dim U, und es gilt m = n dim U wenn die Zeilen von A linear unabhängig sind. Innere Beschreibung : U = b + span{v 1,..., v r }, mit r dim U. Hier gilt r = dim U wenn {v 1,..., v r } eine Basis ist. Jeder Basispunkt mit einer (geordneten) Basis liefert uns Koordinaten für U. Symmetrischere Alternative: baryzentrische Koordinaten U = {µ 0 u µ r u r : µ 0,..., µ r R, µ µ r = 1}, wobei u 0,..., u r affin erzeugen zum Beispiel b, b + v 1,..., b + v r. Unter anderem haben wir als affine Unterräume: Punkte, Geraden, Ebenen (Dimension 2),..., Hyperebenen (Dimension n 1). Ein affiner Unterraum hat keinen natürlichen Basispunkt Abstände Standard-Skalarprodukt: x, y := n i=1 x iy i. Norm x := x, x : Längenmessung Metrik d(x, y) := x y = n i=1 (x i y i ) 2 : Abstand zwischen den durch x, y bestimmten Punkten 3

4 Dreiecksungleichung: d(x, z) d(x, y) + d(y, z), mit Gleichheit nur wenn x, y, z in der richtigen Reihenfolge auf einer (affinen) Geraden liegen. Theorem 1.1. Im R n gibt es n + 1 Punkte, aber keine n + 2 Punkte, die paarweise voneinander denselben Abstand haben. Beweis (für den ersten Teil der Aussage). Betrachte die Punktmenge e 1,..., e n, t(e 1 + +e n ) (für Abstand 2). Das liefert eine quadratische Gleichung für t, mit zwei Lösungen für t. Problem. Wie viele Punkte kann es im R n geben, zwischen denen nur zwei verschiedene Abstände auftreten? nicht vollständig gelöst! Orthogonalisierung Zwei Vektoren x, y R n sind orthogonal, wenn x, y = 0 gilt. Orthogonale Projektion eines Punkts x auf eine Hyperebene H = {x R n : a, x = α} für a 0: der eindeutige Bildpunkt x H lässt sich auf unterschiedliche Weise beschreiben/ charakterisieren, die alle äquivalent sind (Übungsaufgabe! Zeichnung!): d( x, x) ist minimal für x H x x, y x = 0 für alle y H x = x + ta mit t R so dass x H x = x + α a,x a a,a x y x Die Abbildung von x auf x ist linear: a x x + α a, x a. a, a Vgl. Gram-Schmidt Orthogonalisierung aus der Linearen Algebra! Orthogonale Projektion auf einen affinen Unterraum: Genauso! Sphären und Bälle Sphäre S n 1 := {x R n : x = 1}, bzw. S(x 0, r) := {x R n : x x 0 = r} für x 0 R n, r > 0. Ball B n := {x R n : x 1}, bzw. B(x 0, r) := {x R n : x x 0 r}. 4

5 1.1.5 Winkel Den Winkel (x, y) zwischen zwei Vektoren x, y 0 definieren wir als den Abstand zwischen x := 1 x und x y := 1 y, aber gemessen auf der Einheitssphäre y Sn 1 := {x R n : x = 1}. Damit liegen alle Winkel im Intervall [0, π]. Man überlegt sich (Trigonometrie!), dass dann x y = 2 sin( α) ist, also α = 2 2 sin 1 ( 1 2 x y ). y y x α 2 x Oder man überlegt sich (Gram-Schmidt Orthogonalisierung! Zeichnung!), dass für x := x,y das Dreieck 0x y rechtwinklig ist und deshalb cos α = x y y = x,y x y. x,x x α x x Das liefert x, y =: x y cos α. Lemma 1.2 (Winkel sind additiv. Dreiecksungleichung für Winkel!). Für Vektoren x, y, z 0 gilt (x, z) (x, y) + (y, z), mit Gleichheit nur wenn x, y, z linear abhängig sind, mit y zwischen x und z. Beweis. Dreiecksungleichung auf der Sphäre Volumen Volumen kann man für geeignete Teilmengen A R n unterschiedlich definieren: 5

6 1. elementar: Zerschneiden und Zusammensetzen (Isometrien) 2. mit Hilfe der Determinantenfunktion (für Würfel, Spate, etc.) 3. Riemann sches Volumen: mit kleinen Würfelchen ausschöpfen (vgl. Analysis-Vorlesung). Das führt zu dem Riemann-Integral vol(a) := A 1dx. Die Volumengleichheit z.b. von Parallelotopen, also Formeln von der Form vol{λ 1 a λ n a n : 0 λ i 1} = det(a 1,..., a n ) folgen leicht mit Hilfe von Analysis-Methoden aber lässt sich lässt sich Volumengleichheit von Polyedern elementar durch Zerlegungsgleichheit in kongruente Stücke begründen? Das war Hilberts drittes Problem ; es wurde von Dehn negativ gelöst: Es gibt Tetraeder mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, die nicht zerlegungsgleich sind. Siehe [1, Kap. 9] [2]. 1.2 Hochdimensionale Effekte Volumen von Kugel und Würfel Das Volumen der Kugel vom Radius 1 Vol(B n ) = Γ( n 2 π n/2 πn/2 n + 1)! 2 ( 2πe ) n/2 n ist für großes n (d.h. in hoher Dimension) verschwindend klein verglichen mit dem Volumen Vol([ 1, 1] n ) = 2 n. Daher die Zeichnung (auf Anregung von Vitaly Milman, 1998), die die Sphäre wie eine Amöbe zeigt? Wer einen zufälligen Punkt in der Einheitskugel konstruieren will, kann also nicht einfach Zufallswerte in [ 1, 1] n nehmen Lange Diagonalen im Würfel Setzen wir 2 n Bälle vom Radius 1 an die Ecken des n-würfels [ 1, 1] n, dann berühren die sich gerade. Alle Bälle sind in [ 2, 2] n enthalten. Setzen wir noch einen möglichst großen Ball in den Mittelpunkt, so dass der die anderen Bälle gerade berührt. Radius: n 1. Für n > 4 ist der innere Ball größer als die äußeren. Für n > 9 ragt er sogar aus dem Würfel [ 2, 2] n heraus! (Siehe Matoušek [4, Chap. 13]) Das Kusszahl-Problem Kusszahl -Problem: Für n = 3 können 12 Einheitskugeln eine gegebene Einheitskugel berühren (Ikosaeder, siehe Hausaufgabe!), aber nicht mehr (Newton-Gregory Problem). Betrachten wir die Konfiguration im vorigen Abschnitt für n = 4, dann ist ist der innere Ball eine Einheitskugel, und genauso groß wie die äußeren. Und man kann 8 weitere Bälle an die 6

7 Mittelpunkte ±2e i setzen, die die Eckbälle nur berühren das gibt eine Konfiguration von 24 Kugeln vom Radius 1, die gleichzeitig die Einheitskugel berühren, ohne sich zu überlappen. Diese 24er-Konfiguration ist in verschiedenster Hinsicht außergewöhnlich; sie definiert ein 4- dimensionales reguläres Polytop mit 24 Seitenflächen, die allesamt Oktaeder sind, und sie ist hochsymmetrisch. Dieses 24-Zell wurde von Ludwig Schläfli um 1850 entdeckt, als er die regulären Polytope in Dimension n 4 klassifiziert hat. (Siehe z.b. Hilbert & Cohn-Vossen [3]) Für d = 4 ist die Zahl 24 von Berührkugeln maximal das wurde von Musin 2008 bewiesen [5] [6]. Und man nimmt auch an, dass die Konfiguration eindeutig ist das ist aber nicht bewiesen. Eine optimale Konfiguration kennt man auch für n = 8 und für n = 24, aber sonst für keine Dimension n Kongruenztransformationen Translationen Translationen: T a : R n R n, x x + a. Die Translationen sind Isometrien, das heißt, d(t a (x), T a (y)) = d(x, y) gilt für alle x, y. Die Translationen bilden eine abelsche Gruppe, die wir mit (R n, +) identifizieren können Orthogonale Abbildungen Proposition 1.3. Isometrien, die den Nullpunkt festhalten, sind orthogonale Abbildungen. Solche Abbildungen sind also insbesondere linear, und können also in der Form x Ax beschrieben werden, mit orthogonaler Matrix A. Beweis. Sei f : R n R n Isometrie mit f(0) = 0. Dann gilt insbesondere f(x) = x für alle x, und deshalb f(x), f(y) = x, y wegen Polarisation: x, y = 1 2 ( x 2 + y 2 x y 2 ). Nun sei e 1,..., e n eine Orthonormalbasis (ONB), zum Beispiel die Standardbasis (wir setzen ja das Standardskalarprodukt voraus). Dann gilt für jeden Vektor x = n x, e i e i, i=1 und deshalb, weil auch f(e 1 ),..., f(e n ) eine ONB ist, und weil f das Skalarprodukt erhält, n f(x) = f(x), f(e i ) f(e i ) = i=1 Daran sieht man, dass f linear ist. n x, e i f(e i ). i=1 Lemma 1.4. Eine lineare Abbildung x Ax is genau dann orthogonal, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt: 7

8 sie eine Orthonormalbasis auf eine Orthonormalbasis abbildet, sie jede Orthonormalbasis auf eine Orthonormalbasis abbildet, die Spalten von A eine Orthonormalbasis bilden, A t A = E n, die Zeilen von A eine Orthonormalbasis bilden. Jede orthogonale Abbildung hat Determinante +1 oder 1. Die orthogonalen Abbildungen des R n (und damit die darstellenden Matrizen) bilden eine Gruppe, die orthogonale Gruppe O(n) = {A R n : A t A = E n }. Die orientierungserhaltenden orthogonalen Abbildungen bilden eine Untergruppe, die spezielle orthogonale Gruppe SO(n) = {A R n : A t A = E n, det A = 1}. Die Gruppen O(n) ist nicht kommutativ für n 2, SO(n) ist nicht kommutativ für n > 2. Theorem 1.5 (Normalformsatz für orthogonale Abbildungen). Für jedes orthogonale Abbildung R n R n gibt es eine Zerlegung des R n in ein- und zweidimensionale invariante orthogonale Unterräume, so dass auf jedem der ein-dimensionalen invarianten Unterräumen ist die Abbildung die Identität oder ihr Negatives, auf jedem der zwei-dimensionalen invarianten Unterräumen ist die Abbildung eine Drehung um einen Winkel im Intervall ]0, π[. Äquivalent dazu: für jede orthogonale Matrix A O(n) gibt es S O(n) so dass S 1 AS eine Blockdiagonalmatrix ist S 1 AS = diag(1,..., 1, 1,..., 1, D(α 1 ),..., D(α k )) mit Einsen, Minus-Einsen ( und) 2 2 Drehmatrizen zu Winkeln 0 < α i < π auf der Diagonale, cos α sin α also D(α) =. sin α cos α Lemma 1.6. Jede orthogonale Abbildung der Determinante +1 kann stetig (innerhalb der Gruppe O(n)!) in die Identität deformiert werden. Jede orthogonale Abbildung der Determinante 1 kann stetig in die Spiegelung s 1 : x x 2x 1 e 1 deformiert werden. Korollar 1.7. Für n 1 hat die Gruppe O(n) R n n zwei Zusammenhangskomponenten, nämlich die spezielle orthogonale Gruppe SO(n) und die Nebenklasse SO(n)s 1 = {A R n : A t A = E n, det A = 1}. Korollar 1.8. Jede orthogonale Abbildung des R n kann aus höchstens n Spiegelungen an Hyperebenen durch den Nullpunkt erzeugt werden. Im Allgemeinen reichen dafür jedoch n 1 Spiegelungen nicht aus. 8

9 1.3.3 Allgemeine Kongruenztransformationen Die Gruppe der Isometrien des R n (also der euklidischen Bewegungen oder Kongruenztransformationen ) enthält einerseits die Untergruppe der Translationen die wir mit R n identifizieren andererseits die orthogonalen Abbildungen, also die Isometrien, die den Nullpunkt festlassen. Die Schnittmenge zwischen diesen beiden Untergruppen enthält nur die Nullabbildung (die einzige Translation, die den Nullpunkt festlässt). Jede Isometrie f : R n R n kann man als orthogonale Abbildung gefolgt von einer Translation beschreiben, also als f : x Ax + b für A O(n) und b R n. Dabei sind b = f(0) und damit auch A durch f eindeutig festgelegt. Theorem 1.9. Die volle Gruppe der euklidischen Bewegungen ist Eukl(n) = {f : f(x) = Ax + b für ein A O(n), b R n }. Achtung: Trotzdem ist die Gruppe der euklidischen Bewegungen nicht einfach das Produkt R n O(n), weil die Translationen und die orthogonalen Abbildungen nicht kommutieren. Sie kann strukturell beschrieben werden als ein semidirektes Produkt R n O(n), das gebildet werden kann, weil die Gruppe der orthogonalen Abbildungen O(n) als eine Gruppe von Automorphismen auf der Gruppe der Translationen (isomorph zu R n ) wirkt. In dem semidirekten Produkt bilden die Translationen eine normale Untergruppe: Jede Konjugation einer Translation x x + a hat die Form ist also eine Translation. x S 1 (((Sx + b) + a) b) = x + S 1 a, Erzeugung durch Spiegelungen Die Spiegelung an der Hyperebene H = {x R n : a, x = α} bildet x auf x + 2ta ab, wenn x x + ta die Projektion auf die Hyperebene ist: x x + 2 α a,x a,a a. Spiegelung in einem affinen Unterraum: Genauso! Korollar Jede Kongruenztransformation im R n kann als Produkt von höchstens n + 1 Spiegelungen an Hyperebenen dargestellt werden von denen alle, bis auf möglicherweise die letzte, Hyperebenen durch den Nullpunkt sind. Im Allgemeinen reichen dafür jedoch n Spiegelungen nicht aus. Beweis. Dazu stellen wir die Kongruenztransformation als orthogonale Abbildung gefolgt von einer Spiegelung dar. 9

10 1.3.5 Hauptsatz der Euklidischen Geometrie Theorem Sind p 0,..., p m und p 0,..., p m Punkte im R n mit d(p i, p j ) = d(p i, p j) für alle i, j (0 i < j m), so gibt es eine euklidische Transformation f : R n R n, x Ax + b, mit A O(n) und b R n, so dass f(p i ) = p i für alle i gilt, 0 i m. Wenn die Punkte p i nicht alle auf einer Hyperebene liegen (was insbesondere m n erzwingt), dann ist diese euklidische Transformation eindeutig bestimmt. Beweis. Nach einer Verschiebung um den Vektor b := p 0 p 0 dürfen wir annehmen, dass p 0 = p 0 = 0 ist. Nun wenden wir das Gram Schmidt-Verfahren auf die Vektoren p 0,..., p m an, und erhalten daraus eine Orthogonalbasis p 0,..., p n. Achtung: wenn die Vektoren p i nicht linear unabhängig sind, können dabei einige Vektoren durchaus Null ergeben diese werden dann nicht weiter berücksichtigt. Wenn die Vektoren nicht aufspannen, wird am Ende zu einer Orthogonalbasis ergänzt in diesem Fall ist die Basis p 0,..., p n nicht eindeutig durch die Folge p 0,..., p m bestimmt. Genauso erzeugen wir mit dem Gram Schmidt-Verfahren aus der Folge p 0,..., p m von Vektoren eine Orthogonalbasis p 0,..., p n. Dabei läuft das Gram Schmidt-Verfahren ganz analog ab, mit denselben Koeffizienten, weil nämlich die Koeffizienten aus Skalarprodukten zwischen den Vektoren entstehen, und diese (Polarisierung!) durch die Normen der Vektoren und ihrer Differenzen bestimmt sind, und diese Daten sind nach Annahme für die Folgen p 0,..., p m und p 0,..., p m gleich. Nun definiert die Vorschrift f : p j p j eine orthogonale Abbildung f (weil sie eine ONB auf eine ONB abbildet). Die Tatsache, dass die p j mit denselben Koeffizienten aus den p i gewonnen werden, wie die p j aus den p i ergibt insbesondere, dass auch die p i mit denselben Koeffizienten aus den p j dargestellt werden können wie die p i aus den p j. Also bildet f auch p i auf p i ab. In dem Fall, dass keine Basisergänzung nötig ist, die p i also den R n aufspannen, ist die Abbildung f sogar eindeutig. Korollar 1.12 (Kongruenzsatz SSS ). Wenn zwei Dreiecke im R n gleiche Seitenlängen haben, dann sind sie kongruent Freiheitsgrade Bemerkung 1.13 ( Freiheitsgrade Dimension der Gruppe der Kongruenztransformationen). Jede Kongruenztransformation bildet (0, e 1,..., e n ) auf orthogonalen Rahmen ab. Für den ersten Punkt liegt das Bild beliebig im R n, der zweite liegt auf einer (n 1)-dimensionalen Sphäre, der nächste auf einer (n 2)-Sphäre, usw. Daher ist die Anzahl der Freiheitsgrade insgesamt n + (n 1) = 1 (n + 1)n. 2 Alternative Rechnung: wir müssen die Bilder von n + 1 Punkten festlegen, das sind (n + 1)n Variable, aber es gibt ( ) n+1 2 Bedingungen/paarweise Distanzen, also ist die Anzahl der Freiheitsgrade: (n + 1)n ( ) n+1 2 = 1(n + 1)n. 2 Technisch (Analysis III): die Gruppe ist eine Lie-Gruppe, also insbesondere eine Mannigfaltigkeit der Dimension ( ) ( n 2 + n = n+1 ) 2 = 1n(n + 1). 2 10

11 Literatur [1] Martin Aigner and Günter M. Ziegler. Das BUCH der Beweise. Springer-Verlag, Heidelberg Berlin, third edition, [2] V. G. Boltianskii. Hilbert s Third Problem. V. H. Winston & Sons (Halsted Press, John Wiley & Sons), Washington DC, [3] David Hilbert and Stephan Cohn-Vossen. Anschauliche Geometrie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, Second edition English translation: Geometry and the Imagination, Chelsea Publ., [4] Jiří Matoušek. Lectures on Discrete Geometry, volume 212 of Graduate Texts in Math. Springer- Verlag, New York, [5] Oleg R. Musin. The kissing number in four dimensions. Annals of Mathematics, 168:1 32, [6] Florian Pfender and Günter M. Ziegler. Kissing numbers, sphere packings, and some unexpected proofs. Notices of the AMS, 51(8): , September

12 2 Affine Geometrie 2.1 Affine Transformationen Definition 2.1. Eine Abbildung f : R n R m heißt affin, wenn f(λx + (1 λ)y) = λf(x) + (1 λ)f(y) gilt für alle x, y R n und λ R. Sie heißt Affinität, wenn sie bijektiv ist (was insbesondere m = n impliziert). Eine affine Abbildung ist also eine Abbildung, die Geraden auf Geraden abbildet, und auf den Geraden Teilungsverhältnisse erhält (z.b. Mittelpunkte). Bemerkung 2.2. Die erste Bedingung reicht nicht allein, wie man z.b. am Fall m = n = 1 sieht. (Man kann aber zeigen, dass für n 2 sogar jede Abbildung f : R n R n, die Geraden auf Geraden abbildet, eine Affinität ist für n 2 und über den reellen Zahlen braucht man also die Voraussetzung über Teilungsverhältnisse nicht.) Siehe Fischer [2, Abschnitt 1.3]. Proposition 2.3. f : R n R m ist genau dann affin, wenn es eine Matrix A R m n und einen Vektor b R m gibt mit f(x) = Ax + b für alle x R n. f : R n R n ist genau dann eine Affinität, wenn es eine Matrix A GL(n, R) = {A R n n : det A 0} und einen Vektor b R m gibt mit f(x) = Ax + b für alle x R n. Lemma 2.4. Wenn f affin ist, dann gilt f(λ 1 x λ k x k ) = λ 1 f(x 1 ) + + λ k f(x k ) für k 1, x 1,..., x k R n, λ 1,..., λ k R mit λ λ k = 1. Beweis. Für k = 1 ist das trivial. Für k > 1 können nicht alle λ i gleich 1 sein, also können wir annehmen, dass λ 1 1 ist, und dann argumentieren wir mit Induktion: f(λ 1 x λ k x k ) = f(λ 1 x 1 + (1 λ 1 )( x 2 + λ 2 x k )). 1 λ 1 1 λ 1 λ 2 Ende Korollar 2.5. Die Affinitäten f : R n R m bilden eine Gruppe, nämlich Affin(n) = {f : f(x) = Ax + b für ein A GL(n), b R n } = R n GL(n). Beweis. Die Umkehrabbildung zu f(x) = Ax+b ist f 1 (x) = A 1 (x b) = A 1 x+( A 1 b). Man kann sich überlegen, dass auch Affin(n) zwei Zusammenhangskomponenten hat, die durch det A > 0 bzw. det A < 0 gegeben sind. 12

13 2.1.1 Hauptsatz der Affinen Geometrie Definition 2.6 (affin unabhängig, affine Basis). Punkte p 0,..., p k R n heißen affin unabhängig, wenn es keine nichttriviale affine Abhängigkeit λ 0 p λ k p k = 0, λ λ k = 0 gibt; äquivalent, wenn es für jeden der Punkte eine affine Hyperebene gibt, die den Punkt nicht enhält, alle anderen aber schon. Jede maximale Menge von affin unabhängigen Punkten bildet eine affine Basis. (Eine affine Basis ist also einfach eine Menge von n + 1 affin unabhängigen Punkten.) k + 1 affin unabhängige Punkte bilden die Ecken eines k-dimensionalen Simplex (Punkt für k = 0, Strecke für k = 1, Dreieck für k = 2, Tetraeder für k = 3). Definition 2.7 (Affiner Spann, affine Hülle). Für p 0,..., p k R n heißt aff(p 0,..., p k ) := {λ 0 p λ k p k : λ λ k = 1} der affine Spann oder die affine Hülle von p 0,..., p k. Lemma 2.8 (Baryzentrische Koordinaten). Sind p 0,..., p k R n affin unabhängig, so hat jeder Punkt x aff(p 0,..., p k ) eine eindeutige Darstellung in der Form x = λ 0 p λ k p k mit λ λ k = 1. Die Koeffizienten λ 0,..., λ k heißen dann die baryzentrischen Koordinaten von x. Insbesondere heißt der Punkt x 0 = 1 (p k p k ) das Baryzentrum oder der Schwerpunkt der Punkte p 0,..., p k. Theorem 2.9 (Hauptsatz der Affinen Geometrie). Seien p 0,..., p m und p 0,..., p m zwei Folgen von Punkten im R n. Dann gibt es eine Affinität f : R n R n, x Ax + b, mit A GL(n) und b R n mit f(p i ) = p i, 0 i k, dann und nur dann, wenn zwischen den Punkten p i bzw. p i dieselben affinen Abhängigkeiten (mit denselben Koeffizienten) bestehen. Die Abbildung existiert also insbesondere, wenn die Punktfolgen p 0,..., p m und p 0,..., p m affin unabhängig sind. Wenn die Punktfolgen affine Basen sind (also insbesondere k = n), dann ist die Affinität eindeutig bestimmt. Beweis. Klar? Jede Affinität bildet Geraden auf Geraden ab, bildet parallele Geraden auf parallele Geraden ab, erhält Strecken-/Teilungsverhältnisse entlang von Geraden, erhält Volumenverhältnisse. 13

14 Welche dieser Eigenschaften reicht zur Charakterisierung von Affinitäten? Proposition f : R n R n ist genau dann eine Affinität, wenn sie Volumenverhältnisse erhält, wenn es also eine Konstante α R, α 0, gibt mit det(f(p 1 ) f(p 0 ),..., f(p n ) f(p 0 )) = α det(p 1 p 0,..., p n p 0 ) für alle p 0,..., p n R n. Beweis. Offenbar erhält jede Affinität f(x) = Ax + b Volumenverhältnisse, mit α = det A. Wenn umgekehrt f Volumenverhältnisse erhält, so bildet f Punkte auf einer Geraden auf Punkte auf einer Geraden ab andernfalls findet man eine affine Basis, die auf eine affine Nicht- Basis abgebildet wird. Korollar Die volumenerhaltenden Abbildungen R n R n sind genau die Affinitäten der Determinante 1, bilden also die Gruppe {f : f(x) = Ax + b für ein A SL(n), b R n } = R n SL(n), wobei SL(n) die spezielle lineare Gruppe SL(n) = {A R n n : det A = 1 bezeichnet. Bemerkung 2.12 ( Freiheitsgrade Dimension der Gruppe der affinen Transformationen). Eine Affinität ist durch die Bilder von n + 1 Punkten einer affinen Basis festgelegt, und diese können (generisch) frei gewählt werden. Also ist die Anzahl der Freiheitsgrade und die Dimension der Gruppe Affin(n) gleich (n + 1)n. In der Tat ist {(A, b) : det A 0} eine offene Teilmenge des R n (n+1). 2.2 Anwendungen Proposition 2.13 (Die Seitenhalbierenden schneiden sich.). In jedem Dreieck schneiden sich die Verbindungslinien von den Ecken zu den gegenüberliegenden Seitenmittelpunkten. Beweis. Die Behauptung ist invariant unter affinen Transformationen, also können wir annehmen, dass wir es mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun haben. C C M b M b S M a A S M a A B M c M c B 14

15 Entsprechend höherdimensional: Baryzentren. Proposition 2.14 (Satz von Ceva). In jedem Dreieck schneiden sich die Verbindungslinien von den Ecken A, B, C zu Punkten A, B, C auf den gegenüberliegenden Seiten dann und nur dann, wenn AC BA CB C B A C B A = 1. Beweis. Invariant unter affinen Transformationen, also können wir annehmen, dass wir es mit einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1) zu tun haben. Für dieses Dreieck rechnet man die Behauptung dann leicht(er) nach. Merke: Koordinatentransformationen ausnutzen! Dto: Der Satz von Menelaus über die Schnittpunkte einer Geraden mit den (verlängerten) Kanten eines Dreiecks. Quelle: Brannan et al. [1, Sect. 2.4] Literatur [1] David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry. Cambridge University Press, Cambridge, [2] Gerd Fischer. Analytische Geometrie. Vieweg, Wiesbaden, Auflage. 15

16 3 Kegelschnitte und Quadriken 3.1 Kegelschnitte und ihre Eigenschaften Vorbemerkung: Quadriken (Lösungsmengen von quadratischen Gleichungen in n Variablen) werden für n = 2 oft mit Kegelschnitten identifiziert. Aussagen wie Für n = 2 nennen wir die Quadriken Kegelschnitte verdecken aber die naheliegende Definition von Kegelschnitten als Schnitten eines (Doppel-)Kegels mit einer Ebene die Tatsache, dass zum Beispiel die leere Menge zwar eine Quadrik ist, aber kein Schnitt eines Kegels, die Frage, wann zwei Quadriken bzw. zwei Kegelschnitte gleich/äquivalent sind. Im Folgenden werden wir Kegelschnitte als Schnitte eines (Doppel-)Kegels mit einer Ebene definieren, und (bis auf Kongruenz-/Isometrie) klassifizieren Quadriken als Lösungsmengen von quadratischen Gleichungen definieren, durch Matrizen darstellen, bis auf Isometrie klassifizieren, und auch bis auf affine Transformationen klassifizieren (jeweils mit Normalform ) ableiten, dass für n = 2 die Kegelschnitte (bis auf Isometrie) genau die nicht-leeren Quadriken sind (Ausnahme: zwei parallele Geraden sind auch eine Quadrik, aber kein Kegelschnitt) Kegelschnitte Unser Augangspunkt ist der Kreiskegel C = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x x 2 2 = x 2 3} (der ja eigentlich ein Doppelkegel ist). Wir schreiben ihn für das Folgende einfacher als C = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 }. Schneidet man C mit einer Ebene E, so erhält man zum Beispiel für Schnitt mit z = c: einen Kreis, bzw. für c = 0 einen Punkt, für Schnitt mit y = c: eine Hyperbel, bzw. für c = 0 zwei sich schneidende Geraden, für Schnitt mit z = y + c: Parabel, Doppelgerade Definition 3.1. Eine Teilmenge Q R 2 ist ein Kegelschnitt, wenn es eine Isometrie zwischen R 2 und einer Ebene E R 3 gibt, unter der Q auf C E abgebildet wird, also auf den Schnitt der Ebene E mit dem Doppelkreiskegel C = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 } Wir betrachten also jetzt einen Schnitt von C mit einer beliebigen Ebene E, wobei wir die Schnitte bis auf Isometrie klassifizieren. Wir können dabei die Symmetrien des Kreiskegels ausnutzen, also annehmen, dass wir eine Ebene der Form z = c, c 0 betrachten, die wir dann um einen Winkel ϕ, 0 ϕ π /2 (also um höchstens 90 Grad) um die x-achse kippen. Wir überlegen uns, dass die Isometrie, die Punkte der Ebene z = 0 auf eine solche allgemeine Ebene gegeben ist, wie folgt abbildet: x y 0 x y c = x y c cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ0 x y c = x cos ϕ y sin ϕ c sin ϕ y + cos ϕ c.

17 Die Bildpunkte dieser Transformation müssen also die Gleichung des Kreiskegels erfüllen: x 2 + (cos ϕ y sin ϕ c) 2 = (sin ϕ y + cos ϕ c) 2. Vereinfachung dieser Gleichung, unter Verwendung von cos 2 ϕ sin 2 ϕ = cos 2ϕ und 2 cos ϕ sin ϕ = cos 2ϕ ergibt x 2 + (cos 2ϕ)y 2 2c sin 2ϕ y = (cos 2ϕ)c 2 Fall 1. Für ϕ = π /4, also cos 2ϕ = 0 und sin 2ϕ = 1 ergibt dies x 2 2c y = 0 also für c > 0 eine Parabel y = 1 2c x2, und für c = 0 eine Gerade (genauer eine Doppelgerade) x 2 = 0. Nehmen wir also jetzt ϕ π /4 an, so können wir durch cos 2ϕ teilen und quadratisch ergänzen, und erhalten x 2 cos 2ϕ + (y 2c tan 2ϕ)2 = (1 + tan 2 2ϕ)c 2. Wenn wir jetzt y 2c tan 2φ einfach durch y ersetzen, so entspricht das einer Translation, also einer Isometrie, und wir erhalten x 2 cos 2ϕ + y2 = c2 cos 2 2ϕ. Fall 2. Für 0 ϕ < π /4 ist cos 2ϕ > 0, dann ist das für c > 0 die Gleichung einer Ellipse, die man mit a 2 cos 2ϕ := und b 2 := cos2 2ϕ auf die Normalform c 2 c 2 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 mit a, b > 0 bringen kann; für c = 0 erhält man entsprechend mit a 2 := cos 2ϕ und b 2 := cos 2 2ϕ x 2 a 2 + y2 b 2 = 0 mit a, b > 0 also den Punkt (0, 0). Fall 3. Für π /4 < ϕ π /2 ist cos 2ϕ < 0, dann ist das für c > 0 die Gleichung einer Hyperbel, die man mit a 2 cos 2ϕ := und b 2 := cos2 2ϕ auf die Normalform c 2 c 2 x2 a 2 + y2 b 2 = 1 mit a, b > 0 bringen kann; für c = 0 erhält man entsprechend mit a 2 := cos 2ϕ und b 2 := cos 2 2ϕ x2 a 2 + y2 b 2 = 0 mit a, b > 0 also zwei sich schneidende Geraden bx = ±ay. Damit haben wir im Wesentlichen den folgenden Satz bewiesen dessen Zusatz man auch leicht verifiziert. 17

18 Theorem 3.2. Die Schnitte des Kreiskegels C = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 } mit einer Ebene im R 3 sind isometrisch zu genau einer der folgenden sechs ebenen Mengen: 1. eine Ellipse x2 + y2 = 1 mit a, b > 0, a 2 b 2 2. eine Parabel y = ax 2 mit a > 0, 3. eine Hyperbel x2 + y2 = 1 mit a, b > 0, a 2 b 2 4. zwei sich schneidende Geraden, x2 + y2 = 0 mit a, b > 0, a 2 b 2 5. eine Gerade, oder 6. ein Punkt. Umgekehrt tritt jede dieser Figuren mit den gegebenen Parametern auch als Schnitt auf Geometrische Eigenschaften 1. Ellipse. Q = { x2 + y2 = 1}, mit a b > 0 a 2 b 2... ist affines Bild eines Kreises,... hat zwei aufeinander senkrecht stehende Symmetrieachsen, x = 0 bzw. y = 0, die Hauptachsen; vergleiche dazu die Zeichnung aus Dürers berühmter Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt [2]: 18

19 ... hat vier Scheitelpunkte (±a, 0) und (0, ±b) auf den Hauptachsen (für a = b sind alle Geraden durch das Zentrum (0, 0) Symmetrieachsen, und alle Punkte auf der Ellipse Scheitelpunkte),... hat Brennpunkte F = (c, 0) und F = ( c, 0), für c := a 2 b 2 (hier verwenden wir a b; für a = b fallen die Brennpunkte zusammen),... Konstruktion der Brennpunkte mit dem Zirkel! (Kreise mit Mittelpunkt (±a, 0) durch (0, ±b)). Proposition 3.3 (Drei Eigenschaften/Charakterisierungen der Brennpunkte). [ Gärtner-Konstruktion ] Für alle Punkte P = (x 0, y 0 ) auf der Ellipse gilt d(f, P ) + d(p, F ) = 2a. [Reflexionseigenschaft] Lichtstrahlen, die von einem Brennpunkt ausgehen, und in der Ellipse reflektiert werden, gehen durch den anderen Brennpunkt; das heißt, die Strecken F P und F P haben denselben Winkel zur Tangente an die Ellipse in P. y b P a c 0 c ax b Ende [Dandelin sche Kugeln] 3-dimensionale geometrische Konstruktion 19

20 Lemma 3.4 (Tangentengleichung). Die Tangente an die Ellipse x2 a 2 (x 0, y 0 ) ist gegeben durch xx 0 a + yy 0 2 b = y2 b 2 = 1 im Punkt P = Beweis. Leicht und elegant rechnet man nach, dass das wirklich eine Gerade ist, auf der P liegt, und dass P der einzige Schnittpunkt in T Q ist. Zwei affine Sätze über Ellipsen: Proposition 3.5. [1, Sect ] Die Mittelpunkte der Schnitte einer Ellipse mit einer Parallelenschar liegen auf einem Durchmesser. Proposition 3.6. [1, Sect ] Zu jedem Durchmesser l einer Ellipse gibt es einen anderen Durchmesser l so dass: Die Mittelpunkte der Sehnen, die zu l parallel sind, liegen auf l, die Mittelpunkte der Sehnen, die zu l parallel sind, liegen auf l. 2. Hyperbel. Q = { x2 y2 = 1}, mit a, b > 0 a 2 b 2... ist affines Bild der Standardhyperbel xy = 1,... hat zwei aufeinander senkrecht stehende Symmetrieachsen, x = 0 bzw. y = 0, die Hauptachsen,... hat zwei Scheitelpunkte (±a, 0) auf den Hauptachsen,... hat Brennpunkte F = (c, 0) und F = ( c, 0), für c := a 2 + b 2,... hat zwei Asymptoten, die durch x2 a 2 sich die Hyperbeläste annähern, y2 b 2 = 0 gegeben sind, also bx ± ay = 0, und denen... Konstruktion der Brennpunkte mit dem Zirkel! (Verwende Kreise mit Mittelpunkt (±a, 0) durch (0, ±b)) Proposition 3.7 (Zwei Charakterisierungen der Brennpunkte). [ Gärtner-Konstruktion ] Für alle Punkte P = (x 0, y 0 ) auf der Hyperbel gilt d(f, P ) d(p, F ) = 2a. [Reflexionseigenschaft] Lichtstrahlen, die auf einen Brennpunkt zielen, aber in der Hyperbel reflektiert werden, zielen dann auf den anderen Brennpunkt; das heißt, die Strecken F P und F P haben denselben Winkel zur Tangente an die Hyperbel in P. 20

21 y P c a 0 a c x b Lemma 3.8 (Tangentengleichung). Die Tangente an die Hyperbel x2 a 2 (x 0, y 0 ) ist gegeben durch xx 0 a yy 0 2 b = 1. 2 y2 b 2 = 1 im Punkt P = Lemma 3.9. Haben eine Hyperbel und eine Ellipse dieselben Brennpunkte, so haben sie 4 Schnittpunkte, und sie schneiden sich in diesen senkrecht. 3. Parabel. Q = {y = ax 2 }, mit a > 0... ist affines Bild der Standardparabel y = x 2,... hat nur eine Symmetrieachse, y = der Scheitelpunkt ist (0, 0),... der Brennpunkt ist F = (0, c), für c := 1 4a,... die Leitgerade ist L = {y = c}. Proposition 3.10 (Zwei Charakterisierungen der Brennpunkte). [Parabolspiegel!] Für alle Punkte P = (x 0, y 0 ) auf der Parabel gilt d(f, P ) = d(p, L). [Reflexionseigenschaft] Lichtstrahlen, die vom Brennpunkt ausgehen, und in der Parabel reflektiert werden, sind danach parallel zur Symmetrieachse. 21

22 y Q c c P x Lemma 3.11 (Tangentengleichung). Die Tangente an die Parabel y = ax 2 im Punkt P = (x 0, y 0 ) ist gegeben durch y = ax 0 (2x x 0 ). Anwendung/Illustration: Fortune s Sweep zur Konstruktion von ebenen Voronoi-Diagrammen. 22

23 Selbst ausprobieren: (Quelle/Siehe: Applet auf Ende

24 3.2 Quadriken Definition Eine Quadrik ist die Lösungsmenge Q R n eines Polynoms vom Grad höchstens 2 in n Variablen. Man spricht dabei von quadratischen Gleichungen, und Q wird auch als Nullstellenmenge der Gleichung q(x 1,..., x n ) R[x 1,..., x n ] bezeichnet. Prinzipiell lässt die obige Definition auch Polynome vom Grad höchstens 1 zu, also lineare Polynome. Dieser Fall ist nicht besonders interessant: dann ist Q entweder leer, oder eine Hyperebene im R n, oder der gesamte R n. Wir lassen diese drei trivialen Fälle als Quadriken in der Definition zu, ignorieren sie im Folgenden aber meist. If Fall n = 1 ist Q also die Lösung einer quadratischen Gleichung, also besteht Q aus ein oder aus zwei Punkten oder ist leer (oder ist ganz R). Für n = 2 können wir die quadratische Gleichung wie folgt schreiben: Q = {(x, y) R 2 : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0} für a, b, c, d, e, f R. Wenn (a, b, c) = (0, 0, 0), so erhalten wir eine lineare Gleichung, die Lösungsmenge ist dann Gerade oder leer oder der R 2. Diesen Fall könnten wir also ausschließen... Bessere Notation, mehrere Möglichkeiten: Q = = { ( ) x 1 x 2 { ( x 1 x 2 } R 2 : a 11 x a 12 x 1 x 2 + a 22 x a 01 x 1 + 2a 02 x 2 + a 00 = 0 ) a 00 a 01 a 02 1 R 2 : (1, x 1, x 2 ) a 10 a 11 a 12 x 1 } a 20 a 21 a 22 x 2 für a ij R 2 (0 i, j 2). Entsprechend können wir n-dimensionale Quadriken wie folgt schreiben: Q = {x R n : a ij x i x j = 0, mit x 0 := 0} 0 i,j n ( ) ( ) = {x R n : (1, x t t a00 a ) 0 1 a 0 A x ( ) ( ) c b = {x R n : (1, x t t 1 ) b A x = {x R n : x t Ax + 2b t x + c = 0} für A R n n symmetrisch, a 0 R n, a 00 R bzw. A R n n symmetrisch, b R n, c R Euklidische Klassifikation der Quadriken Im Folgenden werden Koordinatentransformationen angewandt, um die Quadriken auf besonders einfache, und eindeutig bestimmte, Gleichungen zu bringen, also auf Normalform. Dabei wenden wir in dieser Reihenfolge an: 24

25 (1) orthogonale Transformationen (2) Translationen (3) Skalierung Dabei verwenden wir, dass die Kombination (1) von (2) eine beliebige Isometrie ergibt. Diese Kombination muss uns also die Klassifiktation der Quadriken bis auf Isometrie liefern. Lassen wir zusätzlich Skalierung zu, so ergibt das beliebige affine Transformationen, und damit die entsprechende Klassifikation der Quadriken. Fundamentales Hilfsmittel aus der Linearen Algebra ist der Spekralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen/symmetrische Matrizen: Theorem 3.13 (Spekralsatz). Jeder Endomorphismus auf einem endlich-dimensionalen reellen Vektorraum mit Skalarprodukt hat eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Äquivalent: Für jede symmetrische Matrix A R n n (also mit A t = A) gibt es eine orthogonale Matrix S R n n (also mit S t = S 1 ) so dass S t AS = Λ eine Diagonalmatrix ist. Der Beweis für die Äquivalenz der beiden Formulierungen wird hier nicht gegeben. Die Diagonaleinträge von Λ sind die Eigenwerte von A. Die Spalten von S bilden eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A, wobei für die zweite Formulierung das Standardskalarprodukt auf dem R n angenommen wird (was wegen Gram Schmidt zulässig ist). Damit ist der Spektralsatz konstruktiv: wir wissen, wie man S konstruieren kann. Sei nun die Quadrik Q R n gegeben als Menge der Nullstellen von ( ) ( ) c b q(x) = (1, x t t 1 ) b A x mit A = A t R n n, b R n, c R. (1) Orthogonale Transformation. Wir konstruieren S O(n) so, dass λ 1... λ k λ k+1 S t AS =... λ k+l mit λ 1,..., λ k > 0 und λ k+1,..., λ k+l < 0. (Zum Beispiel kann man die nichtverschwindenden Eigenwerte nach Größe ordnen, und erhält damit λ 1 λ k > 0 > λ k+1 λ k+l.) Damit können wir das quadratische Polynom q(x) wie folgt faktorisieren: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c b q(x) = (1, x t t ) 0 S 0 S t b A 0 S 0 S 1 x ( ) ( ) c = (1, x t bt ) b Λ 1 x mit x := S 1 x, b := S t b und Λ := S t AS. 25

26 Hier sind also die ersten k 0 Spalten von S orthonormale Eigenvektoren zu positiven Eigenwerten von A, die nächsten l 0 Spalten von S sind orthonormale Eigenvektoren zu negativen Eigenwerten von A, und die letzten n k l 0 Spalten von S sind eine Orthonormalbasis für den Eigenraum zum Eigenwert 0, also zum Kern von A. Dabei dürfen wir im Fall, dass das mehr als eine Spalte ist, also für n k l 2, annehmen, alle diese Spalten außer möglicherweise der ersten, senkrecht auf b stehen, dass also die letzten n k l 1 Koordinaten von b = S t b verschwinden. Damit liegt das Polynom q(x) jetzt in der Form q(x) = λ 1 x λ k+l x k+l b 1 x b k+l+1 x k+l+1 vor. Dieses kann man nun durch eine quadratische Ergänzung vereinfachen, oder äquivalent dazu (!) durch eine geeignete Translation. (2) Translation. Eine Translation x x + u (also eine affine Abbildung) lässt sich in den homogenen Koordinaten (mit zusätzlicher Koordinate x 0 = 1) als lineare Abbildung darstellen: ( 1 x ) ( 1 u + x ) ( 1 0 t = u E ) ( 1 x wobei E die Einheitsmatrix darstellt (hier: E R n n ). Die Inverse der Translation um u ist die Translation um u. Daher faktorisieren wir weiter q(x) als ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1, x t u t 1 u t 1 0 c b t t 1 0 t ) 0 S 0 E 0 E 0 S t b A 0 S u E u E 0 S 1 x ( = (1, x t c + ) 2 bt u + u t Λu b t + u t ) ( ) Λ b + Λu Λ 1 x mit x = S 1 x u. Nun setzen wir und ( ) c b r t := rank b A r := rank A = rank Λ = k + l ). ( ) ( c bt c + = rank = rank 2 bt u + u t Λu b ) t + u t Λ. b Λ b + Λu Λ Dabei ist offenbar 0 r r r + 2, r n und r n + 1. Fall 1: Liegt b im Spaltenraum von A, also rank( b Λ) = rank(λ) = k + l, so gibt es ein u mit b + Λu = 0 (nämlich u := Λ b, wobei Λ die Diagonaleinträge λ i 1 hat), und wir berechnen c + 2 b t u u t Λu = c b t Λ b =: c. In diesem Fall ist r = r wenn c = 0 ist, und sonst r = r + 1. Fall 2: Liegt b nicht im Spaltenraum von A, so hat q(x) also einen linearen Term, und wir können c durch eine weitere Translation wegtransformieren. Insgesamt ergibt das den folgenden Normalformsatz: Theorem 3.14 (Euklidische Hauptachsentransformation). Jede Quadrik im R n (mit Ausnahme der linearen Quadriken, also der Hyperebenen, sowie Q = und Q = R n ) lässt sich durch eine Isometrie auf eine der folgenden drei Typen von Normalformen bringen, für k 1, l 0, k + l n, und 0 < a 1 a k, a k+1 a k+l > 0: (1a) x2 1 a x2 k a 2 k x2 k+1 a 2 k+1 x2 k+l a 2 k = 1, 26

27 (1b) x x2 k a 2 1 a 2 k (2) x2 1 a x2 k a 2 k x2 1 x2 k+l a 2 k+1 a 2 k x2 1 x2 k+l a 2 k+1 a 2 k = 0 mit k l und a 1 = 1, = 2x k+l+1, mit k l, k + l < n. Hier entspricht (1a) dem Fall r = r + 1, (1b) ist der Fall r = r, und (2) ist der Fall r = r + 2. Dass man jede Quadrik auf eine dieser Normalformen transformieren kann, haben wir im Wesentlichen bewiesen; dafür setzt man λ i =: für i k und λ 1 a 2 i =: 1 für k < i k + l. Die i a 2 i Bedingung k 1 schließt die linearen Quadriken aus. Eigentlich würde man den Normalformsatz so formulieren, dass die Normalformen alle unterschiedlich sind, und Quadriken mit unterschiedlicher Normalform auch nicht ineinander transformierbar. Das ist für die oben angegebene Formulierung nicht ganz richtig, aus zwei Gründen: 1. die Quadriken der Form (1b) haben im Fall k = l zusätzliche Äquivalenzen, und 2. für lineare Quadriken (insbesondere Hyperebenen) ist das Quadrat einer definierenden Gleichung wieder eine definierende Gleichung, und diese tauchen in den obigen Gleichungen eben doch noch auf. Mit etwas mehr Mühe/Geduld lässt sich die obige Beschreibung aber zu so einer eindeutigen Normalform verfeinern. Um dies zu formulieren, kann/müsste man insbesondere im Fall (1b) lexikographische Ordnung etc. verwenden. Um sie zu beweisen, argumentiert man entweder geometrisch, oder algebraisch muss dann zeigen, dass die Gleichung durch die Quadrik im Wesentlichen (bis auf Vielfache) eindeutig festgelegt ist wieder bis auf die offensichtliche Ausnahmen im Fall von linearen Quadriken (leer, Hyperebene, ganzer R n ). Wir geben die Klassifikation der Quadriken für n = 2 tabellarisch an: Typ r r k l typische Gleichung Beschreibung (1a) x 2 1 = 1 zwei parallele Geraden (1a) x x 2 2 = 1 Ellipse (1a) x 2 1 x 2 2 = 1 Hyperbel (1b) x 2 1 = 0 (Doppel-)Gerade (1b) x 2 1 x 2 2 = 0 Geradenpaar mit Schnittpunkt (1b) x x 2 2 = 0 Punkt (Kreis vom Radius 0) (2) x 2 1 = 2x 2 Parabel Wir diskutieren also nochmal die Aussage die Kegelschnitte sind genau die nicht-leeren ebenen Quadriken... und stellen fest, dass es drei Ausnahmen gibt, nämlich die Ebene, die leere Menge, und zwei parallele Geraden alle drei Ausnahmen sind Quadriken, aber keine Kegelschnitte. 27

28 Genauso bekommen wir die nichtlinearen Quadriken im R 3 als Typ r r k l typische Gleichung Beschreibung (1a) x 2 1 = 1 paralleles Ebenenpaar (1a) x x 2 2 = 1 Zylinder über einer Ellipse (1a) x 2 1 x 2 2 = 1 Zylinder über einer Hyperbel (1a) x x x 2 3 = 1 Ellipsoid (1a) x x 2 2 x 2 3 = 1 einschaliges Hyperboloid (1a) x 2 1 x 2 2 x 2 3 = 1 zweischaliges Hyperboloid (1b) x 2 1 = 0 Doppelebene (1b) x x 2 2 = 0 Gerade (1b) x 2 1 x 2 2 = 0 Ebenenpaar mit Schnittgerade (1b) x x x 2 3 = 0 Punkt (1b) x x 2 2 x 2 3 = 0 Kreiskegel (1b) x 2 1 = 2x 2 Zylinder über einer Parabel (1b) x x 2 2 = 2x 3 elliptisches Paraboloid (1b) x 2 1 x 2 2 = 2x 3 hyperbolisches Paraboloid Bemerkung Die interessantesten Fälle sind offenbar die mit r = n + 1; alle anderen Quadriken erhält man als Zylinder oder Kegel über niedrigdimensionaleren Quadriken. Bemerkung Unter den Quadriken im R 3 mit r = n + 1 (nichtlinear, nicht Zylinder oder Kegel (im Fall (1b))) sind einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid Regelflächen, bei denen es durch jeden Punkt der Quadrik zwei Geraden gibt, die in der Quadrik verlaufen. Unter den Regelflächen wird insbesondere auf das einschalige Hyperboloid hingewiesen siehe die Mae West -Skulptur in München [3] Affine Klassifikation der Quadriken Wenn wir nur auf Klassifikation der Quadriken bis auf affine Transformation interessiert sind, dann dürfen wir insbesondere Koordinatentransformationen der Form x i a i x i durchführen, und bekommen damit aus dem euklidischen den affinen Normalformsatz: Theorem 3.17 (Affine Hauptachsentransformation). Jede nicht-lineare Quadrik im R n lässt sich durch eine affine Transformation auf eine der folgenden drei Typen von Normalformen bringen, für k 1, l 0, k + l n: (1a) x x 2 k x2 1 x 2 k+l = 1, (1b) x x 2 k x2 1 x 2 k+l = 0 mit k l, (2) x x 2 k x2 1 x 2 k+l = 2x k+l+1 mit k + l < n. 28

29 Dass man jede Quadrik auf eine dieser Normalformen transformieren kann, folgt aus dem euklidischen Fall mit einer zusätzlichen Substitution x i a i x i. Quadriken mit diesen Normalformen sind alle unterschiedlich sind und nicht durch affine Transformationen ineinander transformierbar wieder mit den offensichtlichen Ausnahmen, bei den linearen Quadriken. Um das zu beweisen, argumentiert man wieder entweder geometrisch, oder algebraisch. Literatur [1] David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry. Cambridge University Press, Cambridge, [2] Albrecht Dürer. Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheydt. Nürnberg, 1525 (English translation with commentary by W. L. Strauss: The Painter s Manual: Instructions for Measuring with Compass and Ruler, New York 1977); wiki/underweysung_der_messung,_mit_dem_zirckel_und_richtscheyt, _in_linien,_ebenen_unnd_gantzen_corporen/erstes_buch. [3] Günter M. Ziegler. Mathematik im Alltag: Der Name der Rose. Mitteilungen der DMV, 19(1):42 44,

30 4 Projektive Geometrie 4.1 Motivation Affine Geometrie: Punkte im Unendlichen, so dass sich zwei Geraden in einer Ebene immer in einem Punkt schneiden; es gibt keine Parallen; perfekte Dualität zwischen Punkten und Hyperebenen Gebrochen-lineare Transformationen können Geometrie vereinfachen, aber schieben Hyperebenen nach Unendlich Was passiert, wenn man bei Kegelschnitten die Ebene stetig verändert? Ellipse Parabel Hyperbel? Zentralprojektion: Streckenverhältnisse ändern sich, aber Doppelverhältnisse bleiben gleich. Was haben wir davon? Geometrie mit perfekter Dualität vielen Transformationen, also vielen Möglichkeiten zur Vereinfachung Matrix-Beschreibung für Transformationen 4.2 Der n-dimensionale projektive Raum Definition; mehrere Modelle Definition 4.1 (Der n-dimensionale projektive Raum). Der n-dimensionale projektive Raum RP n ist die Menge RP n := {L R n+1 : L ist ein 1-dimensionaler linearer Unterraum}. aller 1-dimensionalen Unterräume im Vektorraum R n+1. Für 1 k n sind die k-dimensionalen projektiven Unterräume die Teilmengen P (U) := {L RP n : L U} für (k + 1)-dimensionale Unterräume U R n+1. Achtung: die projektive Dimension von P (U) ist also gegeben durch dim P (U) = dim U 1. Bemerkung 4.2 (Mehrere Modelle). Den Projektiven Raum RP n können wir äquivalent betrachten als (1) Raum der eindimensionalen Unterräume im R n+1, wie hier definiert, (2) die Menge der Vektoren in R n+1 \ {0}, modulo Identifikation von Vielfachen, (3) die Sphäre S n R n+1 modulo Identifizierung gegenüberliegender Punkte, oder (4) affiner Raum R n plus Punkte im Unendlichen. Wichtig sind die Übersetzungen zwischen diesen Modellen, wobei wir identifizieren: (1) einen eindimensionalen Unterräume im R n+1 mit (2) den nicht-verschwindenden Vektoren in den Unterraum, bzw. (3) den (beiden) Vektoren der Länge 1 in dem Unterraum, 30

31 (4) dem Vektor in dem Unterraum mit x 0 -Koordinate 1, bzw. sonst einer Richtung (d.h. einem Element von RP n 1 ). Lemma 4.3. Zwei verschiedene Geraden G 1, G 2 RP 2 schneiden sich in genau einem Punkt. Proposition 4.4 (Plücker-Koordinaten). Sei U ein k-dimensionaler linearer Unterraum U R n. Sei A R n k eine Matrix, deren Spalten eine Basis von U bilden. Der Plücker-Vektor von A ist der Vektor x A R (n k) der k k-unterdeterminanten von A. Dieser ist bis auf Vielfache eindeutig bestimmt, ergibt also einen eindeutigen Punkt im RP (n k) 1. Dieser Punkt bestimmt den linearen Unterraum eindeutig (wobei nicht jeder Punkt in RP (n k) 1 einen Unterraum entspricht). Beweis. Die Matrix A ist bis auf invertierbare Spaltenoperationen eindeutig bestimmt. Also ist der Vektor der Unterdeterminanten bis auf ein gemeinsames Vielfaches eindeutig bestimmt. Die Rekonstruktion des Unterraums aus dem gegebenen Plücker-Vektor überlegt man sich am Beispiel. 4.3 Projektive Transformationen Definition 4.5 (Projektive Transformationen; Projektivitäten). Eine Abbildung f : RP m RP n heißt projektiv, wenn sie durch eine lineare Abbildung ˆf : R m+1 R n+1, x Ax induziert wird, für A R (n+1) (m+1). (Insbesondere muss dann x Ax injektiv sein, A also vollen Rang m haben, insbesondere also m n gelten.) Eine Projektivität ist eine projektive Abbildung f : RP n RP n. (Projektivitäten sind also die bijektiven projektiven Abbildungen.) Lemma 4.6. Die projektiven Transformationen RP n RP n eingeschränkt auf R n RP n sind genau die gebrochen-linearen Transformationen x Ax+b für nichtsinguläre Matrix ( ) c t x+δ δ c t. b A Beachte: die gebrochen-lineare Abbildung ist für c 0 nur außerhalb der Hyperebene H := {x : c t + δ = 0} definiert. Interpretation: diese bildet H nach Unendlich ab. Beweis. ( ) 1 x ( ) ( ) δ c t 1 b A x = ( ) c t x + δ Ax + b ( ) 1 Ax+b. c t x+δ Proposition 4.7 (Invarianten). Projektive Transformationen (i) bilden projektive Unterräume auf projektive Unterräume (derselben Dimension!) ab, (ii) bilden Quadriken auf Quadriken ab. Definition 4.8 (Projektive Basis). Eine projektive Basis des RP n besteht aus n + 2 Punkten p 0, p 1,..., p n+1, von denen keine n + 1 auf einer Hyperebene (also in einem Unterraum der Dimension n 1) liegen. 31