Fachbereich Mathematik und Informatik FU Berlin, Berlin Tel

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1 Geometrie vorläufiges Skript (ohne Garantie) Ich bin dankbar für Hinweise auf Fehler, Korrekturen, Verbesserungsvorschläge, etc. Version vom 6. Juli 2012 Prof. Günter M. Ziegler Fachbereich Mathematik und Informatik FU Berlin, Berlin Tel FU Berlin, Sommersemester 2012 Diese Vorlesung für das Bachelorstudium soll als natürliche Fortsetzung von Lineare Algebra I und II Fundamente legen für Vorlesungen/Zyklen wie Diskrete Geometrie, Algebraische Geometrie und Differenzialgeometrie. Sie behandelt grundlegende Modelle der Geometrie, insbesondere euklidische, affine, sphärische, projektive und hyperbolische Geometrie, Möbiusgeometrie, Polarität und Dualität Strukturgruppen, Messen (Längen, Winkel, Volumina), explizite Berechnungen und Anwendungen, Beispiele sowie Illustrationsthemen. Dabei werden weitere Bezüge hergestellt, zum Beispiel zur Funktionentheorie und zur Numerik. [1] Michèle Audin. Geometry. Universitext. Springer, Heidelberg Berlin, [2] Marcel Berger. Geometry I. Universitext. Springer, Berlin Heidelberg, [3] David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry. Cambridge University Press, Cambridge, [4] Gerd Fischer. Analytische Geometrie. Vieweg, Wiesbaden, Auflage. [5] Gerd Fischer. Lineare Algebra. Vieweg+Teubner, Wiesbaden, Auflage. [6] Boris A. Springborn. Geometry I. Lecture Notes, TU Berlin/Berlin Mathematical School, 2007/08, 59 pp., ftp://ftp.math.tu-berlin.de/pub/lehre/geometryi/ws07/ geometry1_ws07.pdf. 1

2 Geometrie FU Berlin Sommersemester 2012 Skript, Version: 6. Juli 2012 Günter M. Ziegler Vorbemerkungen Dies ist eine allgemeine Geometrie-Vorlesung für Bachelor-Studierende. Ich will dabei meine Begeisterung für Geometrie vermitteln, interessante Beispiele, Strukturen und Effekte vorführen, insbesondere aber Werkzeuge für die Arbeit mit geometrischen Strukturen vermitteln, die dann in ganz unterschiedliche Richtungen hilfreich sein können, insbesondere für Vorlesungszyklen wie Diskrete Geometrie I III (den ich selber halten werde), Differentialgeometrie, Algebraische Geometrie, aber auch für Vorlesungen wie Geometry Processing und Algorithmische Geometrie. Hier kommt ein grober Zeitplan, den wir schrittweise anpassen werden: 1. Was ist Geometrie? April 2. Euklidische Geometrie, I: Der R n mit einem Skalarprodukt April 3. Euklidische Geometrie, II: Euklidische Bewegungen April 4. Euklidische Geometrie, III: Hochdimensionale Effekte (D.F.) 26. April 5. Diskrete Gruppen, ebene Pflasterungen (D.F.) 27. April 6. Kristalle, kristallographische Gruppen (D.F.) 3. Mai 7. Spiegelungen, reguläre Polytope (D.F.) 4. Mai 8. Affine Geometrie, I Mai 9. Affine Geometrie, II Mai - Christi Himmelfahrt 10. Kegelschnitte und Quadriken, I Mai 11. Kegelschnitte und Quadriken, II Mai 12. Kegelschnitte und Quadriken, III Mai 13. Kegelschnitte und Quadriken, IV Mai 14. Projektive Geometrie, I Juni 15. Projektive Geometrie, II Juni 16. Projektive Geometrie, III Juni 17. Projektive Geometrie, IV Juni 18. Projektive Geometrie, V Juni 19. Was ist eine Geometrie Juni 20. Sphärische und elliptische Geometrie (D.F.) 22. Juni 21. Sphärische und elliptische Geometrie, II Juni 22. Möbiusgeometrie, I Juni 23. Möbiusgeometrie, II Juli 24. Hyperbolische Geometrie Juli 25. Wiederholung / Übersicht / Perspektiven (D.F.) 12. Juli 26. Abschlussklausur (D.F.) 13. Juli 2

3 Geometrie FU Berlin Sommersemester 2012 Skript, Version: 6. Juli 2012 Günter M. Ziegler 0 Was ist Geometrie? Was ist eine Geometrie? Was soll Geometrie? 0.1 Begriff Geo = Erde, Metrie = Vermessung Dürer 1525 Messung, Messkunst 0.2 Geschichte 5000 Jahre Geometrie (siehe [3]) in 7 Büchern: 300 v.chr. Euklid Elemente 1525 Albrecht Dürer Unterweysung der Messung 1637 René Descartes Discours de la Methode 1827 August Möbius Barycentrischer Calkul 1872 Felix Klein Erlanger Programm 1854 Bernhard Riemann Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen 1899 David Hilbert Grundlagen der Geometrie 0.3 Begriffe Euklidische Geometrie Projektive Geometrie Hyperbolische Geometrie Sphärische Geometrie, Elliptische Geometrie Möbiusgeometrie, Kreisgeometrie Differenzialgeometrie, Riemann sche Geometrie,... [Ecker, Huisken] Algebraische Geometrie, torische Geometrie, arithmetische G.... [Altmann, N.N.] Diskrete Geometrie, Polyedergeometrie,... [Ziegler,... ] Algorithmische Geometrie, Geometry Processing,... [Rote, Polthier]... Darstellende Geometrie Grundlagen der Geometrie... anschauliche Geometrie [2] unvergängliche Geometrie [1]... 3

4 0.4 Eine Geometrie Beispiel: d-dimensionale Euklidische Geometrie (R d mit starren Bewegungen, die Abstände erhalten). Dort werden wir unter anderem die folgenden Daten sammeln/beweisen Menge: R d Gruppe: Eukl(d) = R n O(n) Dimension der Gruppe = Anzahl der Freiheitsgrade = ( ) d+1 2 Erzeuger: Spiegelungen an Hyperebene Invarianten: Abstände, Winkel, affine Räume, Kugeln/Sphären,... Charakterisierung: Jede bijektive Abbildung, die Abstände erhält, ist eine euklidische Bewegung Objekte: zum Beispiel Kugelpackungen, Gitter, reguläre Polyeder, Problematische Begriffe zu definieren/klären/charakterisieren: Dimension (u.a. Dimension einer Transformationsgruppe!) Volumen (u.a. von Polyedern, Kugeln, etc. braucht man Analysis dafür?) Winkel [1] Harold Scott Macdonald Coxeter. Unvergängliche Geometrie. Birkhäuser, Basel, Übersetzung der 2. Auflage von Introduction to Geometry, 1. Auflage [2] David Hilbert and Stephan Cohn-Vossen. Anschauliche Geometrie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, Second edition English translation: Geometry and the Imagination, Chelsea Publ., [3] Christoph J. Scriba and Peter Schreiber Jahre Geometrie. Springer, Berlin Heidelberg,

5 Geometrie FU Berlin Sommersemester 2012 Skript, Version: 6. Juli 2012 Günter M. Ziegler Vorlesung 19. April Euklidische Geometrie 1.1 Der R n mit einem Skalarprodukt Lineare und affine Unterräume Modell: R n reeller Vektorraum mit der Standardbasis e 1,..., e n und dem entsprechenden euklidischen Koordinatensystem. Untervektorräume U R n der Dimension dim U, mit 0 dim U n. Innere Beschreibung : U = span{v 1,..., v r } = {λ 1 v λ r v r : λ 1,..., λ r R}, mit r dim U. Hier gilt r = dim U wenn {v 1,..., v r } linear unabhängig ist; in diesem Fall sind die λ i Koordinaten für U. Äußere Beschreibung : durch ein homogenes lineares Gleichungssystem U = {x R n : Ax = 0}, mit A R m n, m n dim U. Hier hat A den Rang n dim U, und es gilt m = n dim U wenn die Zeilen von A linear unabhängig sind. Affine Unterräume U R n der Dimension dim U, mit 1 dim U n, sind die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen, wobei als affiner Unterraum der Dimension 1 betrachtet wird. Äußere Beschreibung : U = {x R n : Ax = b}, mit A R m n, m n dim U, b R n durch ein lineares Gleichungssystem. Wenn b nicht im Spaltenraum von A liegt, dann ergibt dies U =. Ansonsten ist b ein Punkt in U, A hat den Rang n dim U, d.h. dim U = n ranka, und es gilt m = n dim U wenn die Zeilen von A linear unabhängig sind. Innere Beschreibung : U = b + span{v 1,..., v r }, mit r dim U. Hier gilt r = dim U wenn {v 1,..., v r } linear unabhängig sind. Jeder Basispunkt mit einer (geordneten) Basis liefert uns Koordinaten für U. Symmetrischere Alternative: baryzentrische Koordinaten U = {µ 0 u µ r u r : µ 0,..., µ r R, µ µ r = 1}, wobei u 0,..., u r affin erzeugen zum Beispiel b, b + v 1,..., b + v r. Die Punkte u 0,..., u r sind affin unabhängig wenn es keine nicht-triviale Abhängigkeit µ 0 u µ r u r = 0 mit µ µ r = 0 gibt. Unter anderem haben wir als affine Unterräume: Punkte, Geraden, Ebenen (Dimension 2),..., Hyperebenen (Dimension n 1). Ein affiner Unterraum hat keinen natürlichen Basispunkt. 5

6 1.1.2 Abstände Standard-Skalarprodukt: x, y := n i=1 x iy i. Norm x := x, x : Längenmessung Metrik d(x, y) := x y = n i=1 (x i y i ) 2 : Abstand zwischen den durch x, y bestimmten Punkten Polarisierung: Aus der Norm kann das Skalarprodukt rekonstruiert werden, da für alle x, y R d x + y 2 = x 2 + y x, y. Dreiecksungleichung: d(x, z) d(x, y) + d(y, z), mit Gleichheit nur wenn x, y, z in der richtigen Reihenfolge auf einer (affinen) Geraden liegen Orthogonalität Zwei Vektoren x, y R n sind orthogonal, wenn x, y = 0 gilt. Orthogonalisierung. Für x, y R n, x 0 kann man ȳ := y y,x x. Iteration dieses Schemas ergibt die Gram Schmidt Orthogonalisierung. (Einfacheres Rechenschema, wenn man die x 2 Vektoren jeweils auf Länge 1 normiert.) Orthogonale Projektion eines Punkts x auf eine Hyperebene H = {x R n : a, x = α} für a 0: der eindeutige Bildpunkt x H lässt sich auf unterschiedliche Weise beschreiben/ charakterisieren. Aufgabe 1. Für eine Hyperebene H = {x R n : a, x = α} mit a 0 und einen Punkt x R d sind äquivalent: (i) d( x, x) ist minimal für x H (ii) x x, y x = 0 für alle y H (iii) (iv) x = x + ta mit t R so dass x H x = x + α a,x a a,a H x y x a 6

7 1.1.4 Beispiele: Punktmengen mit wenigen Abständen Theorem 1.1. Im R n gibt es n + 1 Punkte, aber keine n + 2 Punkte, die paarweise voneinander denselben Abstand haben. Beweis (für den ersten Teil der Aussage). Betrachte die Punktmenge e 1,..., e n, t(e 1 + +e n ) (für Abstand 2). Das liefert eine quadratische Gleichung für t, mit zwei Lösungen für t. Aufgabe 2. Man beweise, dass k + 1 Punkte, die paarweise denselben Abstand 1 haben, affin unabhängig sind, also einen affinen Raum der Dimension k aufspannen. Problem. Wie viele Punkte kann es im R n geben, zwischen denen nur zwei verschiedene Abstände auftreten? nicht vollständig gelöst! Beispiel 1.2. Zwischen den ( d 2) Punkten ei + e j R d (1 i < j d) gibt es nur zwei verschiedene Abstände. Aufgabe 3. Man beschreibe explizit ( ) d+1 2 Punkte im R d (oder ( d 2) Punkte im R d 1 ), zwischen denen es nur zwei verschiedene Abstände gibt. Aufgabe 4. (*) Zwischen n Punkten in der Ebene R 2 kann der größte Abstand höchstens n mal auftreten. (Hopf & Pannwitz, siehe [7]) Sphären und Bälle Sphäre S n 1 := {x R n : x = 1}, bzw. S(x 0, r) := {x R n : x x 0 = r} für x 0 R n, r > 0. Ball B n := {x R n : x 1}, bzw. B(x 0, r) := {x R n : x x 0 r} Winkel Den Winkel (x, y) zwischen zwei Vektoren x, y 0 definieren wir als den Abstand zwischen x := 1 x und x y := 1 y, aber gemessen auf der Einheitssphäre y Sn 1 := {x R n : x = 1}. Damit liegen alle Winkel im Intervall [0, π]. Man überlegt sich (Trigonometrie!), dass dann x y = 2 sin( α) ist, also α = 2 2 sin 1 ( 1 2 x y ). y y x α 2 x 7

8 20. April 2012 Oder man überlegt sich (Gram Schmidt Orthogonalisierung! Zeichnung!), dass für x := x,y das Dreieck 0x y rechtwinklig ist und deshalb cos α = x y y = x,y x y. x,x x α x x Das liefert x, y =: x y cos α. Lemma 1.3 (Winkel sind additiv. Dreiecksungleichung für Winkel!). Für Vektoren x, y, z 0 gilt (x, z) (x, y) + (y, z), mit Gleichheit nur wenn x, y, z linear abhängig sind, mit y zwischen x und z. Beweis. Dreiecksungleichung auf der Sphäre Volumen Volumen kann man für geeignete Teilmengen A R n unterschiedlich definieren: 1. elementar: Zerschneiden und Zusammensetzen (Isometrien) 2. mit Hilfe der Determinantenfunktion (für Würfel, Spate, etc.) 3. Riemann sches Volumen: mit kleinen Würfelchen ausschöpfen (vgl. Analysis-Vorlesung). Das führt zu dem Riemann-Integral vol(a) := A 1dx. Die Volumengleichheit z.b. von Parallelotopen, also Formeln von der Form vol{λ 1 a λ n a n : 0 λ i 1} = det(a 1,..., a n ) folgen leicht mit Hilfe von Analysis-Methoden aber lässt sich lässt sich Volumengleichheit von Polyedern elementar durch Zerlegungsgleichheit in kongruente Stücke begründen? Das war Hilberts drittes Problem ; es wurde von Dehn negativ gelöst: Es gibt Tetraeder mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, die nicht zerlegungsgleich sind. Siehe [1, Kap. 9] [2]. 8

9 1.2 Kongruenztransformationen Definition 1.4 (Kongruenztransformationen). Eine Abbildung f : R n R n heißt Kongruenztransformation oder euklidische Abbildung oder Isometrie wenn sie Abstände erhält, also Wir betrachten erst einmal Beispiele. f(x) f(y) = x y für alle x, y R n Translationen Translationen: T a : R n R n, x x + a. Die Translationen bilden eine abelsche Gruppe, die wir mit (R n, +) identifizieren können Spiegelungen Die Spiegelung von x an der Hyperebene H = {x R n : a, x = α} mit a 0 und α R: S H : x x + 2 α a, x a. a, a ist eine Kongruenztransformation. Sie ist auch eine Involution: doppelt spiegeln ergibt die Identität, S H S H = id. Spiegelung an einem affinen Unterraum: Genauso! Orthogonale Abbildungen Proposition 1.5. Isometrien, die den Nullpunkt festhalten, sind orthogonale Abbildungen. Solche Abbildungen sind also insbesondere linear, und können also in der Form x Ax beschrieben werden, mit orthogonaler Matrix A. Beweis. Sei f : R n R n Isometrie mit f(0) = 0. Dann gilt insbesondere f(x) = x für alle x, und deshalb f(x), f(y) = x, y wegen Polarisation: x, y = 1 2 ( x 2 + y 2 x y 2 ). Nun sei e 1,..., e n eine Orthonormalbasis (ONB), zum Beispiel die Standardbasis (wir setzen ja das Standardskalarprodukt voraus). Dann gilt für jeden Vektor x = n x, e i e i, i=1 und deshalb, weil auch f(e 1 ),..., f(e n ) eine ONB ist, und weil f das Skalarprodukt erhält, n f(x) = f(x), f(e i ) f(e i ) = i=1 Daran sieht man, dass f linear ist. n x, e i f(e i ). i=1 9

10 Lemma 1.6. Eine lineare Abbildung x Ax is genau dann orthogonal, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt: sie eine Orthonormalbasis auf eine Orthonormalbasis abbildet, sie jede Orthonormalbasis auf eine Orthonormalbasis abbildet, die Spalten von A eine Orthonormalbasis bilden, A t A = E n, die Zeilen von A eine Orthonormalbasis bilden. 26. April 2012 Jede orthogonale Abbildung hat Determinante +1 oder 1. Die orthogonalen Abbildungen des R n (und damit die darstellenden Matrizen) bilden eine Gruppe, die orthogonale Gruppe O(n) = {A R n : A t A = E n }. Die orientierungserhaltenden orthogonalen Abbildungen bilden eine Untergruppe, die spezielle orthogonale Gruppe SO(n) = {A R n : A t A = E n, det A = 1}. Die Gruppe O(n) ist nicht kommutativ für n 2, SO(n) ist nicht kommutativ für n > 2. Theorem 1.7 (Normalformsatz für orthogonale Abbildungen). Für jede orthogonale Abbildung R n R n gibt es eine Zerlegung des R n in ein- und zweidimensionale invariante orthogonale Unterräume, so dass auf jedem der ein-dimensionalen invarianten Unterräumen ist die Abbildung die Identität oder ihr Negatives, auf jedem der zwei-dimensionalen invarianten Unterräumen ist die Abbildung eine Drehung um einen Winkel im Intervall ]0, π[. Äquivalent dazu: für jede orthogonale Matrix A O(n) gibt es S O(n) so dass S 1 AS eine Blockdiagonalmatrix ist S 1 AS = diag(1,..., 1, 1,..., 1, D(α 1 ),..., D(α k )) mit Einsen, Minus-Einsen ( und) 2 2 Drehmatrizen zu Winkeln 0 < α i < π auf der Diagonale, cos α sin α also D(α) =. sin α cos α Lemma 1.8. Jede orthogonale Abbildung der Determinante +1 kann stetig (innerhalb der Gruppe O(n)!) in die Identität deformiert werden. Jede orthogonale Abbildung der Determinante 1 kann stetig in die Spiegelung s 1 : x x 2x 1 e 1 deformiert werden. Korollar 1.9. Für n 1 hat die Gruppe O(n) R n n zwei Zusammenhangskomponenten, nämlich die spezielle orthogonale Gruppe SO(n) und die Nebenklasse SO(n)s 1 = {A R n : A t A = E n, det A = 1}. Korollar Jede orthogonale Abbildung des R n kann aus höchstens n Spiegelungen an Hyperebenen durch den Nullpunkt erzeugt werden. Im Allgemeinen reichen dafür jedoch n 1 Spiegelungen nicht aus. 10

11 1.2.4 Allgemeine Kongruenztransformationen Die Gruppe der Isometrien des R n (also der euklidischen Bewegungen oder Kongruenztransformationen ) enthält einerseits die Untergruppe der Translationen die wir mit R n identifizieren andererseits die orthogonalen Abbildungen, also die Isometrien, die den Nullpunkt festlassen. Die Schnittmenge zwischen diesen beiden Untergruppen enthält nur die Nullabbildung (die einzige Translation, die den Nullpunkt festlässt). Jede Isometrie f : R n R n kann man als orthogonale Abbildung gefolgt von einer Translation beschreiben, also als f : x Ax + b für A O(n) und b R n. Dabei sind b = f(0) und damit auch A durch f eindeutig festgelegt. Theorem Die volle Gruppe der euklidischen Bewegungen ist Eukl(n) = {f : f(x) = Ax + b für ein A O(n), b R n }. Achtung: Trotzdem ist die Gruppe der euklidischen Bewegungen nicht einfach das Produkt R n O(n), weil die Translationen und die orthogonalen Abbildungen nicht kommutieren. Sie kann strukturell beschrieben werden als ein semidirektes Produkt R n O(n), das gebildet werden kann, weil die Gruppe der orthogonalen Abbildungen O(n) als eine Gruppe von Automorphismen auf der Gruppe der Translationen (isomorph zu R n ) wirkt. (Siehe Fischer [3, Abschnitte I.3.4 I.3.6].) In dem semidirekten Produkt bilden die Translationen eine normale Untergruppe: Jede Konjugation einer Translation x x + a hat die Form ist also eine Translation. x S 1 (((Sx + b) + a) b) = x + S 1 a, Erzeugung durch Spiegelungen Korollar Jede Kongruenztransformation im R n kann als Produkt von höchstens n + 1 Spiegelungen an Hyperebenen dargestellt werden von denen alle, bis auf möglicherweise die letzte, Hyperebenen durch den Nullpunkt sind. Im Allgemeinen reichen dafür jedoch n Spiegelungen nicht aus. Aufgabe 5. Wie sieht die letzte Spiegelung konkret aus? Man beweise damit die Aussage. (Korollar 1.10 darf benutzt werden.) Hauptsatz der Euklidischen Geometrie Theorem Sind p 0,..., p m und p 0,..., p m Punkte im R n mit d(p i, p j ) = d(p i, p j) für alle i, j (0 i < j m), so gibt es eine euklidische Transformation f : R n R n, x Ax + b, mit A O(n) und b R n, so dass f(p i ) = p i für alle i gilt, 0 i m. Wenn die Punkte p i nicht alle auf einer Hyperebene liegen (was insbesondere m n erzwingt), dann ist diese euklidische Transformation eindeutig bestimmt. 11

12 Beweis. Nach einer Verschiebung um den Vektor b := p 0 p 0 dürfen wir annehmen, dass p 0 = p 0 = 0 ist. Nun wenden wir das Gram Schmidt-Verfahren auf die Vektoren p 1,..., p m an, und erhalten daraus eine Orthogonalbasis p 1,..., p n. Achtung: wenn die Vektoren p i nicht linear unabhängig sind, können dabei einige Vektoren durchaus Null ergeben diese werden dann nicht weiter berücksichtigt. Wenn die Vektoren nicht aufspannen, wird am Ende zu einer Orthogonalbasis ergänzt in diesem Fall ist die Basis p 1,..., p n nicht eindeutig durch die Folge p 1,..., p m bestimmt. Genauso erzeugen wir mit dem Gram Schmidt-Verfahren aus der Folge p 1,..., p m von Vektoren eine Orthogonalbasis p 1,..., p n. Dabei läuft das Gram Schmidt-Verfahren ganz analog ab, mit denselben Koeffizienten, weil nämlich die Koeffizienten aus Skalarprodukten zwischen den Vektoren entstehen, und diese (Polarisierung!) durch die Normen der Vektoren und ihrer Differenzen bestimmt sind, und diese Daten sind nach Annahme für die Folgen p 1,..., p m und p 1,..., p m gleich. Nun definiert die Vorschrift f : p j p j eine orthogonale Abbildung f (weil sie eine ONB auf eine ONB abbildet). Die Tatsache, dass die p j mit denselben Koeffizienten aus den p i gewonnen werden, wie die p j aus den p i ergibt insbesondere, dass auch die p i mit denselben Koeffizienten aus den p j dargestellt werden können wie die p i aus den p j. Also bildet f auch p i auf p i ab. In dem Fall, dass keine Basisergänzung nötig ist, die p i also den R n aufspannen, ist die Abbildung f sogar eindeutig. Korollar 1.14 (Kongruenzsatz SSS ). Wenn zwei Dreiecke im R n gleiche Seitenlängen haben, dann sind sie kongruent Freiheitsgrade Bemerkung 1.15 ( Freiheitsgrade Dimension der Gruppe der Kongruenztransformationen). Jede Kongruenztransformation bildet (0, e 1,..., e n ) auf orthogonalen Rahmen ab. Für den ersten Punkt liegt das Bild beliebig im R n, der zweite liegt auf einer (n 1)-dimensionalen Sphäre, der nächste auf einer (n 2)-Sphäre, usw. Daher ist die Anzahl der Freiheitsgrade insgesamt n + (n 1) = 1 (n + 1)n. 2 Alternative Rechnung: wir müssen die Bilder von n + 1 Punkten festlegen, das sind (n + 1)n Variable, aber es gibt ( ) n+1 2 Bedingungen/paarweise Distanzen, also ist die Anzahl der Freiheitsgrade: (n + 1)n ( ) n+1 2 = 1(n + 1)n. 2 Technisch (Analysis III): die Gruppe ist eine Lie-Gruppe, also insbesondere eine Mannigfaltigkeit der Dimension ( ) ( n 2 + n = n+1 ) 2 = 1n(n + 1) Anwendung von Kongruenztransformationen Wenn wir euklidische Geometrie betreiben, dann interessieren uns Eigenschaften von Figuren, die sich unter Isometrien nicht ändern. Das sind insbesondere alle Eigenschaften, die sich aus Längen und Längenverhältnissen gewinnen lassen, darunter Volumen Winkel 12

13 Dementsprechend definieren wir Winkel in einem Dreieck einfach dadurch, dass wir (nach einer Isometrie) annehmen, dass die betreffende Ecke im Nullpunkt liegt, und die daran anliegenden Kanten eben Vektoren x, y sind. Notation: Im Dreieck ABC bezeichnen wir den Winkel zwischen AB und AC, also den Winkel bei A, mit α := BAC. 13

14 1.3 Hochdimensionale Effekte Volumen von Kugel und Würfel Das Volumen der Kugel vom Radius 1 Vol(B n ) = Γ( n 2 π n/2 πn/2 n + 1)! 2 ( 2πe ) n/2 n ist für großes n (d.h. in hoher Dimension) verschwindend klein verglichen mit dem Volumen Vol([ 1, 1] n ) = 2 n. Daher die Zeichnung (auf Anregung von Vitaly Milman, 1998), die die Sphäre wie eine Amöbe zeigt? Wer einen zufälligen Punkt in der Einheitskugel konstruieren will, kann also nicht einfach Zufallswerte in [ 1, 1] n nehmen Lange Diagonalen im Würfel Setzen wir 2 n Bälle vom Radius 1 an die Ecken des n-würfels [ 1, 1] n, dann berühren die sich gerade. Alle Bälle sind in [ 2, 2] n enthalten. Setzen wir noch einen möglichst großen Ball in den Mittelpunkt, so dass der die anderen Bälle gerade berührt. Radius: n 1. Für n > 4 ist der innere Ball größer als die äußeren. Für n > 9 ragt er sogar aus dem Würfel [ 2, 2] n heraus! (Siehe Matoušek [5, Chap. 13]) Vorlesung 27. April Das Kusszahl-Problem Kusszahl -Problem: Für n = 3 können 12 Einheitskugeln eine gegebene Einheitskugel berühren (siehe Aufgabe 5 unten), aber nicht mehr (Newton-Gregory Problem). Betrachten wir die Konfiguration im vorigen Abschnitt für n = 4, dann ist ist der innere Ball eine Einheitskugel, und genauso groß wie die äußeren. Und man kann 8 weitere Bälle an die Mittelpunkte ±2e i setzen, die die Eckbälle nur berühren das gibt eine Konfiguration von 24 Kugeln vom Radius 1, die gleichzeitig die Einheitskugel berühren, ohne sich zu überlappen. Diese 24er-Konfiguration ist in verschiedenster Hinsicht außergewöhnlich; sie definiert ein 4- dimensionales reguläres Polytop mit 24 Seitenflächen, die allesamt Oktaeder sind, und sie ist hochsymmetrisch. Dieses 24-Zell wurde von Ludwig Schläfli um 1850 entdeckt, als er die regulären Polytope in Dimension n 4 klassifiziert hat. (Siehe z.b. Hilbert & Cohn-Vossen [4]) Für d = 4 ist die Zahl 24 von Berührkugeln maximal das wurde von Musin 2008 bewiesen [6] [8]. Und man nimmt auch an, dass die Konfiguration eindeutig ist das ist aber nicht bewiesen. Eine optimale Konfiguration kennt man auch für n = 8 (240 Kugeln) und für n = 24 ( ), aber sonst für keine Dimension n 5. 14

15 v1 v2 Aufgabe 6. Eine optimale Konfiguration für dass Kusszahlproblem im R 3 liefert das Matheon- Logo im Bild oben. Es zeigt drei Rechtecke, die paarweise senkrecht aufeinander stehen und deren Zentren im Punkt (0, 0, 0) liegen. Für geeignete Verhältnisse der Seitenlängen liefern die zwölf Eckpunkte der Rechtecke die Mittelpunkte für zwölf Einheitskugeln, die eine dreizehnte Einheitskugel mit Mittelpunkt (0, 0, 0) berühren. Was sind geeignete Verhältnisse der Seitenlängen? Und für welches Verhältnis der Seitenlängen ist d(v 1, v 2 ) = d(v 2, v 3 )? v Maßkonzentration In hohen Dimensionen liegt der Großteil der Oberfläche der S n in einer ganz engen Nachbarschaft des Äquators. Anders gesagt: Zwei zufällige Punkte auf der S n sind mit großer Wahrscheinlichkeit fast orthogonal! Quelle: Matoušek [5, Chap. 14] [1] Martin Aigner and Günter M. Ziegler. Das BUCH der Beweise. Springer-Verlag, Heidelberg Berlin, third edition, [2] V. G. Boltianskii. Hilbert s Third Problem. V. H. Winston & Sons (Halsted Press, John Wiley & Sons), Washington DC, [3] Gerd Fischer. Lehrbuch der Algebra. Vieweg, Wiesbaden, [4] David Hilbert and Stephan Cohn-Vossen. Anschauliche Geometrie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, Second edition English translation: Geometry and the Imagination, Chelsea Publ., [5] Jiří Matoušek. Lectures on Discrete Geometry, volume 212 of Graduate Texts in Math. Springer- Verlag, New York, [6] Oleg R. Musin. The kissing number in four dimensions. Annals of Mathematics, 168:1 32, [7] János Pach and Pankaj K. Agarwal. Combinatorial Geometry. J. Wiley and Sons, New York, [8] Florian Pfender and Günter M. Ziegler. Kissing numbers, sphere packings, and some unexpected proofs. Notices of the AMS, 51(8): , September

16 2 Diskrete Bewegungsgruppen Die volle Gruppe Eukl(n) der Euklidischen Bewegungen hat ( ) n+1 2 Freiheitsgrade, hat also insbesondere überabzählbar viele Elemente. Dieses Kapitel behandelt endliche und abzählbare (genauer: diskrete) Untergruppen von Eukl(n). Diese haben zum Einen eine schöne Theorie, zum Anderen spielen sie eine zentrale Rolle in der Untersuchung regelmäßiger Muster (Mosaike, Ornamente... ), in der Kristallographie (die sich mit dem Aufbau von Kristallen wie Salz, Diamant, Stahl... befasst) und für reguläre Polytope ( Platonische Körper ). 2.1 Ebene Pflasterungen und kristallographische Gruppen Endliche Untergruppen von Eukl(2) Theorem 2.1. In einer endlichen Untergruppe G von Eukl(n) haben alle Elemente einen gemeinsamen Fixpunkt. Beweis. Wähle x R n, und betrachte den G-Orbit G(x) von x, i.e. G(x) := {f(x) : f G}. Da G endlich ist, ist auch G(x) endlich. Sei m die Anzahl der Elemente in G(x). Für ein g G gilt gg(x) = {g(f(x)) : f G} = G(x), weil g f G und weil g eine Bijektion ist. Also gilt für den Schwerpunkt s := 1 m von G(x) für jedes g G: g(s) = g ( 1 m 1 m y G(x) y ) = A ( 1 m y ) + b = b + 1 Ay = m y G (Ay + b) = 1 g(y) = 1 m m y G y G Also ist der Schwerpunkt y der gemeinsame Fixpunkt. z gg(x) y G z = 1 m z G(x) z = s. y G(x) Wir können OBdA den gemeinsamen Fixpunkt als 0 annehmen. Also können wir jede endliche Untergruppe von Eukl(n) als Untergruppe von O(n) darstellen. Achtung: Das heißt nicht, dass jede endliche Untergruppe Untergruppe von O(n) ist. Die Gruppe, die aus der Identität sowie den Drehungen um 90, 180, 270 um das Drehzentrum (1, 0) R 2 besteht, liegt nicht in O(2). Aber durch geeignetes Verschieben des Ursprungs erhalten wir eine Untergruppe von O(2). Daher können wir uns bei der Bestimmung der endlichen Untergruppen von Eukl(n) auf die endlichen Untergruppen von O(n) beschränken. (Wie sieht eine Drehung um den Punkt b aus, wenn A O(2) die entsprechende Drehung um 0 ist?) Einige endliche Untergruppen der O(2) sind folgende. Beispiel 2.2. Die zyklische Gruppe C n enthält die Drehungen um 2π/n, 4π/n,... sowie die Identität. Als Matrizen (vgl Theorem 1.7): D(2π/n), D(4π/n),... D(0). Die Buchstaben N, S, Z haben als Symmetrie eine 180 -Drehung sowie die Identität. Ihre Symmetriegruppe ist also C 2. Der Rotor eines Windrads hat meistens die Symmetriegruppe C 3. 16

17 Abstrakt können wir C n schreiben als D, D 2,..., D n = E n (wobei D für D(2π/n) steht. Diese Gruppe hat einen Erzeuger: D, und eine Relation: D n = 1 (wobei 1 für das neutrale Element der Gruppe steht). Beispiel 2.3. Die Diedergruppe D n enthält die n Drehungen um 0, 2π/n, 4π/n,... sowie die n Spiegelungen S(0), S(2π/n), S(4π/n),... an den Geraden durch 0 mit Steigung 0, π/n, 2π/n.... Die Buchstaben A, M, V haben die Symmetriegruppe D 1. Ein reguläres n-eck hat die Symmetriegruppe D n. Abstrakt können wir D n schreiben mittels zweier Erzeuger D (Drehung um 2π/n) und S (Spiegelung an der x-achse) und den Relationen D n = S 2 = DSDS = 1. Was wir hier mit abstrakt meinen: die durch die Erzeuger und Relationen dargestellte Gruppe ist isomorph zu der Bewegungsgruppe. Als Bewegungsgruppen sind etwa C 2 und D 1 verschieden: C 2 enthält eine Drehung und keine Spiegelung, D 2 enthält keine Drehung und eine Spiegelung. Dennoch sind sie isomorph, als abstrakte Gruppen also gleich. Korollar 2.4. Die endlichen Untergruppen von O(2) sind die zyklischen Gruppen C n und die Diedergruppen D n Diskrete Untergruppen von Eukl(2) Soviel zu den endlichen Untergruppen von Eukl(2). Die interessanten abzählbaren Untergruppen von Eukl(2) (oder auch von Eukl(n)) sind die diskreten Bewegungsgruppen. Definition 2.5 (Diskrete und kristallographische Untergruppen). Eine Gruppe G Eukl(n) heißt diskret, wenn jeder G-Orbit aus isolierten Punkten besteht. Eine diskrete Untergruppe von Eukl(n) heißt kristallographisch, wenn sie n linear unabhängige Translationen enthält. Insbesondere sind alle endlichen Untergruppen von Eukl(n) auch diskrete Untergruppen. Ein Beispiel einer nicht diskreten Gruppe ist die unendliche Gruppe {1, D(α), D(2α),...}, wobei α kein rationales Vielfaches von π ist. Der G-Orbit eines Punktes unter dieser Gruppe besteht aus einer abzählbaren Punktmenge, die dicht auf einem Kreis liegt. Lemma 2.6 (Kristallographische Beschränkung). Ist G Eukl(n) eine kristallographische Gruppe (somit diskret), und ist f G eine orthogonale Abbildung, so treten als Drehwinkel in der Normalform (vgl Theorem 1.7) nur 2π/2, 2π/3, 2π/4 und 2π/6 auf. Beweis. Wegen Theorem 1.7 reicht es, sich auf zweidimensionale Unterräume einzuschränken. Wir betrachten daher nur den Fall n = 2. Es sei P ein Drehzentrum mit Drehwinkel 2π/m. (Für andere Winkel ist die Gruppe nicht diskret, s.o.) Die anderen Elemente von G bilden P auf unendlich viele andere Drehzentren Q 1, Q 2,... ab. Sei Q eines, das minimalen Abstand zu P hat. Dann bildet die Drehung um P um den Winkel 2π/n das Drehzentrum Q auf das Drehzentrum Q ab, und eine Drehung um den Winkel 2π/m bildet das Drehzentrum P auf das Drehzentrum P ab. 17

18 Q P Q P Q = P Q P P Q P Q P Q P Q Ist m = 6 so ist P = Q. Ist m 7, oder m = 5, so liegt P näher an Q als P an Q, im Widerspruch zur Minimalität des Abstands. Es bleiben nur n = 2, 3, 4 oder Mai Die kristallographischen Gruppen in der Ebene Pflasterungen und Tapetengruppen Ebene kristallographische Gruppen treten als Symmetriegruppen von periodischen ebenen (unendlichen) Mustern auf. Schöne Beispiele solcher Muster findet man in der islamischen Architektur (Alhambra, Taj Mahal). Diese kann man als Pflasterung auffassen. Fuer unsere Zwecke definieren wir eine Pflasterung so: Definition 2.7. Seien M 1,..., M m Polygone (also n-ecke, nicht notwendig konvex). Eine Menge P = {P 1, P 2,...} von Polygonen heißt (ebene) Pflasterung, falls Pi Pj = für alle i j (wobei P das Innere von P ist), i P i = R 2, und jedes P P ist kongruent zu einem der M i. Ist m = 1 so heißt die Pflasterung monohedral. Die Symmetriegruppe einer ebenen Pflasterung ist die Gruppe aller Bewegungen, die P unverändert lassen: Sym(P) = {g Eukl(2) : g(p) = P} Hier sind drei Beispiele für ebene Pflasterungen angedeutet: Der einfachste Fall ist der, dass die Symmetriegruppe ausschließlich Translationen enthält. Das ist im Bild oben links der Fall. Insgesamt gibt es 17 verschiedene Symmetriegruppen von ebenen Pflasterungen, sogenannte wallpaper groups, auf deutsch Tapetengruppen (Fedorov 1891, Schönflies 1891, Barlow 1894). Dabei muss man zunächst klären, was verschieden bedeutet. Am Beispiel der C 2 und der D 1 sahen wir schon, dass nicht-isomorph ein zu grobes Unterscheidungsmerkmal sein könnte. 18

19 Recall: Zwei Gruppen G, H heißen isomorph, falls es eine Bijektion f : G H gibt, so dass für alle x, y G gilt: f(xy) = f(x)f(y). Wir wollen Gruppen eigentlich unterscheiden bis auf Konjugation in Affin(n). D.h., wir fassen zwei Gruppen G, H als gleich auf, falls es eine affine Transformation f (siehe nächstes Kapitel) gibt, so dass f 1 Gf = H. Insbesondere sollen die Spiegelungen in G den Spiegelungen in H entsprechen usw. (Beispiel: eine kristallographische Gruppe G, die nur Translationen enthält. u, v R 2, G = {f(x) = x+nu+mv : m, n Z} ist isomorph zu H = {f(x) = x+ne 1 +me 2 : n, m Z}.) Zum Glück gilt für kristallographische Gruppen: Bemerkung 2.8. Zwei kristallographische Gruppen G und H in Eukl(n) sind isomorph genau dann, wenn sie konjugiert sind in Affin(n) (vgl. Schwarzenberger [4, S. 209]). Obacht! Das ist falsch für endliche Gruppen, denn C 2 und D 1 sind isomorph, aber nicht konjugiert in Affin(2), da eine mögliche Bijektion die Drehung in C 2 auf die Spiegelung in D 1 abbilden muss. Die Bestimmung der 17 Tapetengruppen ist mit elementaren Mitteln möglich, aber aufwendig. Daher deuten wir das hier nur an. Aufgabe 7. (*) Man beweise: Ist P eine Drehung um den Winkel α mit Drehzentrum p und Q eine Drehung um den Winkel β mit Drehzentrum q p, so gilt für das Drehzentrum r und den Drehwinkel γ von R = (P Q) 1 : Die Punkte p, q, r bilden ein Dreieck mit den Winkeln α/2 (bei p), β/2 (bei q) und γ/2. Wir beschränken uns auf die ebenen kristallographischen Gruppen, die nur Drehungen und Translationen enthalten. Sei G eine solche. Wegen Lemma 2.6 können die Drehungen nur Drehwinkel 2π/n mit n = 2, 3, 4, 6 haben. 19

20 Fall 1. G enthält keine Drehung. Also hat G nur Translationen, dieser Fall wurde oben schon angesprochen. Fall 2. G enthält keine Drehung mit n > 2. Also nur solche um π. Das ist der Fall im obigen Bild rechts unten. (Streng genommen muss man noch begründen, warum es nur eine solche Gruppe gibt bis auf Isomorphie. Es ist sowohl Translationsuntergruppe T von G normal in G (Index 2) als auch die Gruppe I = {1, i}, mit i(x) = x, also die Drehung um π um 0. Daher ist G direktes Produkt, G = T I. Also gibt es bis auf Isomorphie nur eine solche Gruppe.) Fall 3. G enthält auch eine Drehung P mit Ordnung n > 2. Das Drehzentrum heiße p. Jetzt benutzen wir Aufgabe 7. Sei Q eine weitere Drehung mit Ordnung m > 2, so dass der Abstand des Drehzentrums q von Q zu p minimal ist (unter allen mit Drehung der Ordnung > 2). Betrachten wir die Drehung R = (P Q) 1 mit Drehzentrum r. Fall 3.1. n = m = 3: Wegen Aufgabe 7 bilden p, q, r ein gleichseitiges Dreieck. Eine Pflasterung für diesen Fall ist im letzten Bild unten links dargestellt. Fall 3.2. n = 3, m = 4: Wie im Beweis von Lemma 2.6 liefern P q und Qp weitere Drehzentren der Ordnung 4 bzw 3 (siehe Bild unten, links). Die Drehung von p um P q liefert ein weiteres Drehzentrum, das kleineren Abstand zu Qp hat als d(p, q), also ein Widerspruch. Dieser Fall tritt also nicht ein. Fall 3.3. n = 3, m = 6: Wegen Aufgabe 7 bilden p, q, r ein Dreieck mit Winkeln π/3, π/6, π/2. Es gibt Drehungen der Ordnungen 2,3 und 6. Dieser Fall ist im letzten Bild oben links dargestellt. Fall 3.4. n = 4, m = 4: Wegen Aufgabe 7 bilden p, q, r ein Dreieck mit Winkeln π/4, π/4, π/2. Dieser Fall ist im letzten Bild oben rechts dargestellt. Fall 3.5. n = 4, m = 6: Dann ist d(p q, Qp) < d(p, q), Widerspruch (Bild unten, Mitte). Fall 3.6. n = m = 6: Wegen Aufgabe 7 bilden p, q, r ein Dreieck mit Winkeln π/6, π/6, π/3. Hätte das Drehzentrum r Ordnung > 2, so wäre das ein Widerspruch. Hat es Ordnung 2, so ist d(p, Rq) < d(p, q), Widerspruch. 3 p q 4 4 Pq Qp 4 p q Pq Qp p Rq 6 6 r 2 q Daher kennen wir jetzt alle fünf Tapetengruppen, die keine Spiegelungen enthalten. Die komplette Klassifikation aller 17 Tapetengruppen mit mit klassischen Methoden ist noch viel länger. Es gibt eine elegantere Methode Orbifold-Notation Bisher haben wir für die 17 Tapetengruppen noch keinen Namen, und wir kennen ihre Struktur nicht genau. Es gibt einen (Pseudo-)Algorithmus, der dies Problem löst. Gegeben sei eine ebene Pflasterung, oder allgemeiner ein ebenes Muster mit zwei linear unabhängigen Translationen. Wir bestimmen seine Signatur wie folgt: 20

21 Allgemeine Regel: Wir beachten von gleichwertigen Objekten immer nur eine Kopie. Gleichwertig sind Punkte / Drehzentren / Spiegelachsen /... wenn sie durch eine Symmetrie des Musters ineinander überführt werden können. 1. Gibt es Spiegelachsen? Falls ja, notieren wir einen *. 2. Für jedes Drehzentrum auf einer Spiegelachse notieren wir ihre Ordnung rechts vom *. Falls wir keine Zahl notiert haben: Gibt es zwei parallele (nicht gleichwertige) Spiegelachsen, so notieren wir **. (Ein * und keine Zahl rechts davon ist gleichbedeutend damit, dass es eine Spiegelachse gibt, aber keinen endlichen Bereich, der von Spiegelachsen begrenzt wird.) 3. Für jedes Drehzentrum, das nicht auf einer Spiegelachse liegt, notieren wir seine Ordnung links vom *. 4. Kann man von einem Punkt zu einem gleichwertigen kommen, ohne eine Spiegelachse zu kreuzen? Wenn ja, notieren wir. In diesem Fall gibt s eine Gleitspiegelung. Gelangen wir zu zwei Kopien, die nicht durch eine bereits entdeckte Symmetrie zu erklären sind, notieren wir. 5. Haben wir bisher nichts notiert, so gibt s nur Translationen. Wir notieren ein. Wir ordnen den Symbolen Kosten zu. (Falls es kein * gibt, ist alles links vom *.) Symbol N Links vom *: N 1 Euro N Symbol N Rechts vom *: N 1 1 Euro N 2 Theorem 2.9 (Magisches Theorem für ebene Muster). Die möglichen Signaturen eines 2- periodischen ebenen Musters sind genau die, die insgesamt 2 Euro kosten und kein enthalten. Die möglichen Signaturen eines Friesmusters sind genau die, die insgesamt 2 Euro kosten und mindestens ein enthalten. Die möglichen Signaturen eines sphärischen Musters sind genau die, die insgesamt 2 2 Euro g kosten und kein enthalten. Dabei ist g die Ordnung der Symmetriegruppe. Bsp: 632 kostet 1 + 5/12 + 1/3 + 1/4 = 2 Euro. Damit können wir herleiten: Theorem Es gibt genau 17 Symmetriegruppen 2-periodischer ebener Muster. Das sind genau die mit folgenden Signaturen: 632, 442, 333, 2222,,,, 632, 442, 333, 2222,, 4 2, 3 3, 2 22, 22,

22 Theorem 2.10 beweist man nun einfach mittels des magischen Theorems 2.9, indem man alle Fälle durchgeht. Das ergibt eine Liste von nur 17 Signaturen. Dann muss man noch für jede Signatur ein Muster finden, dass diese Signatur realisiert. Aufgabe 8. Was sind die Signaturen der Pflasterungen in den Bildern auf den vorherigen und auf dieser Seite? 4. Mai 2012 Der Beweis des magischen Theorems benutzt Begriffe und Ergebnisse aus der Topologie. Siehe dazu etwa Davis [3]. Eine einfache Beschreibung des Beweises findet sich in Conway, Burgiel & Goodman-Strauss [1] oder Conway [2] Sphärische Muster und Friesgruppen Betrachten wir Muster auf einer Kugel, z.b. auf einem Fußball. Diesen können wir genau wie ebenen Mustern ihre Signatur zuordnen, nach demselben Rezept wie oben. Theorem Die Symmetriegruppen sphärischer Muster sind die mit den Signaturen 332, 432, 532, 22N, NN, 332, 432, 532, 22N, NN, 3 2, 2 N, N, N, wobei N N, N 2. Dass dies alle möglichen Signaturen sind, leitet man zunächst aus der Kostentabelle oben her. Damit erhalten wir allerdings zusätzlich die Möglichkeiten MN und MN. Für M N gibt es aber kein sphärisches Muster mit dieser Signatur. Dass die anderen Signaturen alle vorkommen, davon überzeugt man sich wieder mittels konkreter Beispiele für jede einzelne Möglichkeit. Beispiel Ein (klassischer) Fußball hat Symmetriegruppe 532. Moderne Fußbälle haben oft (durch die Form ihrer Nähte oder durch Dekorationen) andere Symmetriegruppen. Beispiel Das Kantennetz eines Würfels kann man auf eine Kugel um seinen Mittelpunkt projizieren. Die Symmetriegruppen dieses sphärischen Musters und des Würfels sind die gleichen: 432. Verbietet man Spiegelungen, so bleiben nur die Symmetrien aus 432. Eine Friesgruppe ist ein ebenes Muster, dessen Symmetriegruppe nur eine linear unabhängige Translation enthält. Beispiel: pdpdpdpdpdpdpdpdpdpdp Solche Muster können wir um den Äquator einer Kugel wickeln, so dass sich die Bausteine nur endlich oft, sagen wir, N mal, wiederholen. N können wir dazu beliebig groß wählen. Das liefert die Erklärung für das : Wir denken uns dafür eine Drehung um einen idealen Punkt in unendlich. Das entspricht der Translation in einer Richtung. Aufgabe 9. Man bestimme alle möglichen Signaturen von Friesgruppen und gebe für jede Signatur ein Beispiel eines Friesmuster mit dieser Signatur an. 22

23 2.2.4 Von Erzeugern und Relationen Wir können nun die Symmetrigruppen von ebenen und sphärischen Mustern durch ihre Signatur beschreiben und auflisten. Wie aber können wir eine Symmetriegruppe klassisch hinschreiben? Ein eleganter Weg benutzt Präsentationen von Gruppen (Beschreibung durch Erzeuger und Relationen, vgl die Beschreibung der zyklischen Gruppen und der Diedergruppen am anfang dieses Kapitels.) Die erhält man so: 1. Für jede Zahl A links vom notieren wir einen Erzeuger mit einem griechischen Buchstaben: α (β, γ,...), und eine Relation: α A = e. (e bezeichne hier das neutrale Element.) 2. Für jede Gruppe von Symbolen der Form AB N mit n Zahlen notieren wir: n + 1 Erzeuger mit lateinischen Buchstaben: P, Q, R,..., W, sowie einen weiteren Erzeuger mit einem griechischen Buchstaben: λ, sowie Relationen P 2 = (P Q) A = Q 2 = (QR) B = R 2 = = (V W ) N = W 2 = e; λ 1 P λ = W (Falls nur ein ohne Zahl rechts davon da steht: zwei Erzeuger λ, P ; und Relationen P 2 = e; λ 1 P λ = P ). 3. Für ein zwei Erzeuger S, T, sowie eine Relation ST S 1 T 1 = e. 4. Für ein : Zwei Erzeuger Z, δ, sowie eine Relation Z 2 = δ. Für : Erzeuger Y, Z, δ mit Z 2 = δ, Y Z = ZY.) 5. Zum Schluss eine weitere Relation ( globale Relation ): Produkt aller vorkommenden griechischen Buchstaben αβγ λ δ = e. Es ist praktisch, die Erzeuger an die Signatur zu schreiben, nach folgendem Schema: Beispiel Signatur 632 liefert: λ P 6 Q 3 R 2 S. Daran liest man ab: P 2 = (P Q) 6 = Q 2 = (QR) 3 = R 2 = (RS) 2 = S 2 = e; λ 1 P λ = S; λ = e Wegen λ = e ist P = S, also können wir die Präsentation vereinfachen zu: P, Q, R P 2 = Q 2 = R 2 = (P Q) 6 = (QR) 3 = (RP ) 2 = e. Beispiel Signatur 3 3: liefert: α 3 λ P 3 Q. Daran lesen wir ab: α 3 = e = P 2 = (P Q) 3 = Q 2 ; λ 1 P λ = Q; αλ = e. Also ist λ = α 1, somit Q = αp α 1. Wir können daher die Erzeuger λ und Q durch α und P darstellen, das spart uns zwei Erzeuger. Wir erhalten die Präsentation α, P α 3 = e = P 2 = (P αp α 1 ) 3. (Die Relation Q 2 = e scheint weggefallen zu sein. Die dürfen wir weglassen, weil sie aus den anderen folgt: Es ist Q 2 = (αp α 1 ) 2 = αp α 1 αp α 1 = αp P α 1 = αp 2 α 1 = αα 1 = e.) Aufgabe 10. Bestimmen Sie möglichst einfache Präsentationen für die Symmetriegruppen der ebenen Pflasterungen aus diesem Kapitel (vgl Aufgabe 8). 23

24 2.2.5 Die kristallographischen Gruppen im Euklidischen Raum Die Bestimmung aller möglichen kristallographischen Gruppen im R 3 (also diskrete Untergruppen der Eukl(3), die drei linear unabhängige Translationen enthalten) ist sehr aufwendig. Leider gibt es kein einfaches Analog der Orbifold-Notation für höhere Dimensionen. Allein die Liste ist sehr lang: Es gibt 219 verschiedene (paarweise nichtisomorphe) kristallographische Gruppen im R 3. Also gibt s auch (siehe Bemerkung 2.8) 219 verschiedene kristallographische Gruppen im R 3 bis auf affine Konjugation. (H = f 1 Gf mit f Affin(3)). Nun gibt es im R 3 neben Drehungen, Spiegelungen, Translationen und Gleitspiegelungen noch weitere Typen von euklidischen Bewegungen: Schraubungen (Drehung um eine Gerade gefolgt von einer Translation entlang der Geraden) und Drehspiegelungen (Drehung um eine Gerade gefolgt von einer Spiegelung an einer Ebene orthogonal zu dieser Geraden). Unter affiner Konjugation werden Spiegelungen zu Spiegelungen usw., aber Schraubungen mit Drehsinn links können zu Schraubungen mit Drehsinn rechts werden. Verlangt man stärker, dass Linksschraubungen nur mit Linksschraubungen identifiziert werden dürfen (das entspricht H = f 1 Gf mit f Affin(3) wobei det(f) > 0), so gibt es 230 verschiedene kristallographische Gruppen im R 3. Man hat auch die Auflistung der kristallographischen Gruppen für höhere Dimensionen durchgeführt: Dim Anzahl Auch darüber hinaus wäre eine Auflistung möglich, aber das Ergebnis rechtfertigt den Aufwand wohl nicht. Immerhin weiß man, dass es in jeder Dimension nur endlich viele verschiedene kristallographische Gruppen gibt (Satz von Bieberbach) Platonische Körper Ein Polygon heißt regulär, falls alle seine Seiten gleich lang sind und alle Innenwinkel gleich sind (und die Seiten sich nicht schneiden). Ein platonischer Körper ist ein Körper im R 3, der von kongruenten regulären q-ecken begrenzt wird, so dass an jeder Ecke p Polygone zusammen treffen. (Beispiel: Würfel, regelmäßiges Tetraeder). Dazu müssen p und q mindestens den Wert 3 haben. Für das Kantennetz eines platonischen Körpers (wie auch generell für konvexe Polytope und planare Graphen) gilt die Eulersche Polyederformel: v e + f = 2, wobei v die Zahl der Ecken bezeichnet, e die Zahl der Kanten und f die Zahl der Seitenflächen. Zählen wir die Kanten aller Flächen zusammen, so haben wir jede Kante zweimal gezählt: qf = 2e. Zählen wir die Ecken aller Flächen zusammen, so haben wir jede Ecke p mal gezählt: qf = pv. Also v e + f = 2 2 e p e + 2e q = 2 1 p + 1 q = e. Da e positiv ist, muss 1 p + 1 q > 1 2 gelten. Es bleiben nur fünf Fälle: 24

25 Ecken Kanten Flächen q, p Symmetriegruppe Tetraeder ,3 *332 Würfel ,3 *432 Oktaeder ,4 *432 Dodekaeder ,3 *532 Ikosaeder ,5 *532 Betrachtet man die Werte, für die = 1 gilt, findet man die drei regulären Pflasterungen p q 2 aus Dreiecken bzw Quadraten bzw Sechsecken mit Symmetriegruppen 632, 442, 632. In der Tabelle oben bilden Würfel und Oktaeder offenbar ein Paar, ebenso wie Dodekaeder und Ikosaeder. Diese Körper (Polytope) sind dual zueinander. Das duale Polytop eines Polytops P ist dass, dessen Ecken die Mittelpunkte der Flächen von P sind. [1] Heidi Burgiel, John H. Conway, and Chaim Goodman-Strauss. Symmetries of Things. AK Peters, Wellesley, MA, [2] John H. Conway. The orbifold notation for surface groups. In M. W. Liebeck and J. Saxl, editors, Groups, Combinatorics and Geometry, Proc. LMS Durham Symposium, Durham, July 5 15, 1990, volume 165 of London Math. Soc. Lecture Notes Series, page , Cambridge, Cambridge University Press. [3] Michael W. Davis. Lectures on orbifolds and reflection groups. In L. Ji and S.-T. Yau, editors, Transformation Groups and Moduli Spaces of Curves, pages International Press, http: // davis.12/papers/lectures%20on%20orbifolds.pdf. [4] R. L. E. Schwarzenberger. Colour symmetry. Bull. London Math. Soc., 16: ,

26 10. Mai Affine Geometrie 3.1 Affine Transformationen Definition 3.1. Eine Abbildung f : R n R m heißt affin, wenn f(λ 1 x λ k x k ) = λ 1 f(x 1 ) + + λ k f(x k ) (1) für k 1, x 1,..., x k R n, λ 1,..., λ k R mit λ λ k = 1. Sie heißt Affinität, wenn sie bijektiv ist (was insbesondere m = n impliziert). Diese Definition funktioniert genauso, wenn über einem beliebigen Körper K: Wir definieren für allgemeinen Körper K eine affine Abbildung als eine Abbildung, die die Bedingung (1) für alle k 2 und λ 1,..., λ k K erfüllt, mit einem beliebigen (endlich-dimensionalen) K- Vektorraum V an der Stelle des R n. Die Bedingung aus der Definition 3.1 ist leer für k = 1. Für k = 2 bedeutet sie, dass f Geraden auf Geraden abbildet, und auf den Geraden Teilungsverhältnisse erhält (z.b. Mittelpunkte). Es stellt sich heraus, dass es über R auch schon ausreicht, die Bedingung für k = 2 zu fordern: Lemma 3.2. Eine Abbildung f : R n R m ist genau dann affin, wenn gilt für alle x, y R n und λ R. f(λx + (1 λ)y) = λf(x) + (1 λ)f(y) (2) Beweis. Die Bedingung (2) gilt für jede affine Abbildung: das ist genau der Spezialfall k = 2 der Bedingung (1). Gelte nun (2); wir versuchen (1) für alle k 1 zu beweisen. Für k = 1 ist (1) trivial, und für k = 2 ist das genau (2). Für k > 2 können nicht alle λ i gleich 1 sein, also können wir annehmen, dass λ 1 1 ist, und dann argumentieren wir mit Induktion: f(λ 1 x λ k x k ) = f(λ 1 x 1 + (1 λ 1 )( x 2 + λ 2 x k )). 1 λ 1 1 λ 1 Über R ist eine affine Abbildung also genau eine, die Geraden auf Geraden abbildet, und dabei Teilungsverhältnisse erhält. Achtung: Dieser Beweis funktioniert nicht und die Aussage ist auch nicht richtig für affine Geometrie über einem allgemeinen Körper K. Im Beweis zu Lemma 3.2 gibt es dann nämlich Schwierigkeiten mit Für k > 1 können nicht alle λ i gleich 1 sein : das stimmt nicht, wenn die Charakteristik von K die Zahl k + 1 teilt! Aufgabe 11. Sei K = GF(2) der Körper mit 2 Elementen. Zeige, dass jede bijektive Abbildung K 2 K 2 affin ist, also Bedingung (1) erfüllt. Wie viele solche Abbildungen gibt es? Zeige, dass nicht jede bijektive Abbildung K 3 K 3 affin ist, aber trotzdem jede Abbildung (2) erfüllt. Wie viele bijektive Abbildungen gibt es, und wie viele bijektive affine Abbildungen gibt es? 26 λ 2

27 Proposition 3.3. f : R n R m ist genau dann affin, wenn es eine Matrix A R m n und einen Vektor b R m gibt mit f(x) = Ax + b für alle x R n. f : R n R n ist genau dann eine Affinität, wenn es eine Matrix A GL(n, R) = {A R n n : det A 0} und einen Vektor b R m gibt mit f(x) = Ax + b für alle x R n. Korollar 3.4. Die Affinitäten f : R n R m bilden eine Gruppe, nämlich Affin(n) = {f : f(x) = Ax + b für ein A GL(n), b R n } = R n GL(n). Beweis. Die Umkehrabbildung zu f(x) = Ax+b ist f 1 (x) = A 1 (x b) = A 1 x+( A 1 b). Man kann sich überlegen, dass auch Affin(n) zwei Zusammenhangskomponenten hat, die durch det A > 0 bzw. det A < 0 gegeben sind. Wir haben Affinitäten als bijektive Abbildungen definiert, die (1) Geraden auf Geraden abbilden und (2) Teilungsverhältnisse erhalten. Eine bijektive Abbildung, die nur (1) erfüllt, kann man Kollinearität nennen. Im Allgemeinen reicht die erste Bedingung nicht aus, es ist also nicht jede Kollinearität eine Affinität, wie man z.b. am Fall m = n = 1 sieht, oder an der Aufgabe 11, oder an der Abbildung C n C n, z z. Das sind aber auch schon fast alle Gegenbeispiele, wie man am folgenden Resultat sieht. Theorem 3.5 (Charakterisierung der affinen Abbildungen). Sei K ein Körper mit mindestens drei Elementen, und n 2. Dann ist jede Kollinearität f : K n K n eine Semi-Affinität, d.h. sie erfüllt f(λx + (1 λ)y) = α(λ)f(x) + (1 α(λ))f(y) für einen Körperautomorphismus α. Für K = R gibt es keine Körperautomorphismen außer der Identität, dann ist also jede Kollinearität eine Affinität. Für K = C gibt es viele Körperautomorphismen, insbesondere die Konjugation, die auch noch R auf R abbildet. 11. Mai 2012 Dieses Resultat kann man aus einem Satz aus der projektiven Geometrie ableiten, den wir später beweisen. Hier geben wir nur das Hauptlemma an. Dass R keine nicht-trivialen Automorphismen hat, ist leicht zu zeigen, siehe Fischer [2, S. 33]. Lemma 3.6. Sei K ein Körper mit mindestens drei Elementen und f : K n K n eine Kollinearität. Dann bildet f parallele Geraden auf parallele Geraden ab. Beweis. Für n = 1 ist nichts zu zeigen. Für n 2 zeigt man, dass (1.) zwei Geraden genau dann parallel sind, wenn sie in einer Ebene liegen und keinen Schnittpunkt haben, und (2.) jede Ebene durch die Verbindungsgeraden der Punkte auf zwei sich schneidenden Geraden überdeckt wird letzteres stimmt eben nur für K 3. Für Details siehe Fischer [2, Abschnitt 1.3]. 27

28 3.1.1 Hauptsatz der Affinen Geometrie Definition 3.7 (affin unabhängig, affine Basis). Punkte p 0,..., p k R n heißen affin unabhängig, wenn es keine nichttriviale affine Abhängigkeit λ 0 p λ k p k = 0, λ λ k = 0 gibt; äquivalent, wenn es für jeden der Punkte eine affine Hyperebene gibt, die den Punkt nicht enhält, alle anderen aber schon. Jede maximale Menge von affin unabhängigen Punkten bildet eine affine Basis. (Eine affine Basis ist also einfach eine Menge von n + 1 affin unabhängigen Punkten.) k + 1 affin unabhängige Punkte bilden die Ecken eines k-dimensionalen Simplex (Punkt für k = 0, Strecke für k = 1, Dreieck für k = 2, Tetraeder für k = 3). Definition 3.8 (Affiner Spann, affine Hülle). Für p 0,..., p k R n heißt aff(p 0,..., p k ) := {λ 0 p λ k p k : λ λ k = 1} der affine Spann oder die affine Hülle von p 0,..., p k. Lemma 3.9 (Baryzentrische Koordinaten). Sind p 0,..., p k R n affin unabhängig, so hat jeder Punkt x aff(p 0,..., p k ) eine eindeutige Darstellung in der Form x = λ 0 p λ k p k mit λ λ k = 1. Die Koeffizienten λ 0,..., λ k heißen dann die baryzentrischen Koordinaten von x. Insbesondere heißt der Punkt x 0 = 1 (p k p k ) das Baryzentrum oder der Schwerpunkt der Punkte p 0,..., p k. Theorem 3.10 (Hauptsatz der Affinen Geometrie). Seien p 0,..., p m und p 0,..., p m zwei Folgen von Punkten im R n. Dann gibt es eine Affinität f : R n R n, x Ax + b, mit A GL(n) und b R n mit f(p i ) = p i, 0 i k, dann und nur dann, wenn zwischen den Punkten p i bzw. p i dieselben affinen Abhängigkeiten (mit denselben Koeffizienten) bestehen. Die Abbildung existiert also insbesondere, wenn die Punktfolgen p 0,..., p m und p 0,..., p m affin unabhängig sind. Wenn die Punktfolgen affine Basen sind (also insbesondere m = n), dann ist die Affinität eindeutig bestimmt. Beweis. Klar? Jede Affinität bildet Geraden auf Geraden ab, bildet parallele Geraden auf parallele Geraden ab, erhält Strecken-/Teilungsverhältnisse entlang von Geraden, erhält Volumenverhältnisse. 28

29 Welche dieser Eigenschaften reicht zur Charakterisierung von Affinitäten? Proposition f : R n R n ist genau dann eine Affinität, wenn sie Volumenverhältnisse erhält, wenn es also eine Konstante α R, α 0, gibt mit det(f(p 1 ) f(p 0 ),..., f(p n ) f(p 0 )) = α det(p 1 p 0,..., p n p 0 ) für alle p 0,..., p n R n. Beweis. Offenbar erhält jede Affinität f(x) = Ax + b Volumenverhältnisse, mit α = det A. Wenn umgekehrt f Volumenverhältnisse erhält, so bildet f Punkte auf einer Geraden auf Punkte auf einer Geraden ab andernfalls findet man eine affine Basis, die auf eine affine Nicht- Basis abgebildet wird. Korollar Die volumenerhaltenden Abbildungen R n R n sind genau die Affinitäten der Determinante 1, bilden also die Gruppe {f : f(x) = Ax + b für ein A SL(n), b R n } = R n SL(n), wobei SL(n) die spezielle lineare Gruppe SL(n) = {A R n n : det A = 1 bezeichnet. Bemerkung 3.13 ( Freiheitsgrade Dimension der Gruppe der affinen Transformationen). Eine Affinität ist durch die Bilder von n + 1 Punkten einer affinen Basis festgelegt, und diese können (generisch) frei gewählt werden. Also ist die Anzahl der Freiheitsgrade und die Dimension der Gruppe Affin(n) gleich (n + 1)n. In der Tat ist {(A, b) : det A 0} eine offene Teilmenge des R n (n+1). 3.2 Anwendungen Proposition 3.14 (Die Seitenhalbierenden schneiden sich.). In jedem Dreieck schneiden sich die Verbindungslinien von den Ecken zu den gegenüberliegenden Seitenmittelpunkten. Beweis. Die Behauptung ist invariant unter affinen Transformationen, also können wir annehmen, dass wir es mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun haben. C C M b M b S M a A S M a A B M c M c B 29

30 Entsprechend höherdimensional: Baryzentren. Proposition 3.15 (Satz von Ceva). In jedem Dreieck schneiden sich die Verbindungslinien von den Ecken A, B, C zu Punkten A, B, C auf den gegenüberliegenden Seiten dann und nur dann, wenn AC BA CB C B A C B A = 1. Beweis. Invariant unter affinen Transformationen, also können wir annehmen, dass wir es mit einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1) zu tun haben. Für dieses Dreieck rechnet man die Behauptung dann leicht(er) nach. Merke: Koordinatentransformationen ausnutzen! Dto: Der Satz von Menelaus über die Schnittpunkte einer Geraden mit den (verlängerten) Kanten eines Dreiecks. Quelle: Brannan et al. [1, Sect. 2.4] Aufgabe 12. Sei f : R 2 R 2, f(x) = Ax+b eine affine Abbildung, die die Punkte p 0 = (1, 0), p 1 = (4, 1) und p 2 = (s, 1) auf f(p 0 ) = (2, 1), f(p 1 ) = (5, 2) und f(p 2 ) = (1, t) abbildet, wobei s, t aus R sind. Für welche Werte von s, t hat f (1) genau einen Fixpunkt, (2) eine Fixpunktgerade, (3) keinen Fixpunkt? Aufgabe 13. Sind die folgenden Punktmengen im R 2 affin-äquivalent? Wenn nein, woran kann man das sehen z.b. an affinen Abhängigkeiten? Wenn ja, geben Sie eine affine Äquivalenz an also eine Affinität, die die erste Punktmenge auf die zweite abbildet! 1. {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} und {(0, 0), (1, 0), (2, 2)}? 2. {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} und {(0, 0), (2, 2), (4, 4)}? 3. {(0, 0), (1, 0), (2, 2)} und {(0, 0), (2, 2), (4, 4)}? 4. {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)} und {(0, 0), (1, 0), ( 1 2, 1), ( 1 2, 1)}? 5. {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)} und {(0, 0), (1, 0), ( 1 2, 1), ( 1 2, 2)}? Achtung: die Punktmengen sind nicht geordnet/nummeriert! Aufgabe 14. Sind die folgenden Punktmengen P 1 und P 2 im R 5 affin-äquivalent? Wenn nein, woran kann man das sehen z.b. an affinen Abhängigkeiten? Wenn ja, geben Sie eine affine Äquivalenz an! P 1 : P 2 : (1, 0, 0, 0, 0) (1, 1, 0, 0, 0) (0, 1, 0, 0, 0) (0, 1, 1, 0, 0) (0, 0, 1, 0, 0) (0, 0, 1, 1, 0) (0, 0, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 1, 1) (0, 0, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 0, 1) (0, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 1) 30

31 (Hinweis: P 1 und P 2 sind die Eckenmengen von Bipyramiden über 4-dimensionalen Simplexen die beide in der Eckenmenge des 5-dimensionalen 0/1-Würfels liegen [3, p. 9].) [1] David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry. Cambridge University Press, Cambridge, [2] Gerd Fischer. Analytische Geometrie. Vieweg, Wiesbaden, Auflage. [3] Günter M. Ziegler. Lectures on 0/1-polytopes. In G. Kalai and G. M. Ziegler, editors, Polytopes Combinatorics and Computation, volume 29 of DMV Seminars, pages Birkhäuser-Verlag, Basel,

32 18. Mai Kegelschnitte und Quadriken 4.1 Kegelschnitte Vorbemerkung: Klassisches Thema seit der antiken griechischen Mathematik. So schrieb (angeblich) Apollonios von Perge (* ca. 262 v. Chr. in Perge; ca. 190 v. Chr. in Alexandria) sein Hauptwerk Konika (Über Kegelschnitte). Wikipedia: In seinem bedeutendsten Werk Konika ( Über Kegelschnitte ) widmete er sich eingehenden Untersuchungen über Kegelschnitte, Grenzwertbestimmungen und Minimum-Maximum-Problemen. Er wies nach, dass die drei verschiedenen Kegelschnitte (Ellipse, Parabel und Hyperbel), deren Namen und Definitionen er einführte, vom selben allgemeinen Kegeltypus stammen. Vorbemerkung: Quadriken (Lösungsmengen von quadratischen Gleichungen in n Variablen) werden für n = 2 oft mit Kegelschnitten identifiziert. Aussagen wie Für n = 2 nennen wir die Quadriken Kegelschnitte verdecken aber die naheliegende Definition von Kegelschnitten als Schnitten eines (Doppel-)Kegels mit einer Ebene die Tatsache, dass zum Beispiel die leere Menge zwar eine Quadrik ist, aber kein Schnitt eines Kegels, die Frage, wann zwei Quadriken bzw. zwei Kegelschnitte gleich/äquivalent sind. Im Folgenden werden wir Kegelschnitte als Schnitte eines (Doppel-)Kegels mit einer Ebene definieren, und (bis auf Kongruenz-/Isometrie) klassifizieren Quadriken als Lösungsmengen von quadratischen Gleichungen definieren, durch Matrizen darstellen, bis auf Isometrie klassifizieren, und auch bis auf affine Transformationen klassifizieren (jeweils mit Normalform ) ableiten, dass für n = 2 die Kegelschnitte (bis auf Isometrie) genau die nicht-leeren Quadriken sind (Ausnahme: zwei parallele Geraden sind auch eine Quadrik, aber kein Kegelschnitt). Unser Ausgangspunkt ist der orthogonale Kreiskegel C = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 2 1 +x 2 2 = x 2 3} (der ja eigentlich ein Doppelkegel ist). Wir schreiben ihn für das Folgende einfacher als C = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 }. Schneidet man C mit einer Ebene E, so erhält man zum Beispiel für Schnitt mit z = c: einen Kreis, bzw. für c = 0 einen Punkt, für Schnitt mit y = c: eine Hyperbel, bzw. für c = 0 zwei sich schneidende Geraden, für Schnitt mit z = y + c: Parabel, Doppelgerade Definition 4.1. Eine Teilmenge Q R 2 ist ein Kegelschnitt, wenn es eine Isometrie zwischen R 2 und einer Ebene E R 3 gibt, unter der Q auf C E abgebildet wird, also auf den Schnitt der Ebene E mit dem Doppelkreiskegel C = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 } Wir betrachten also jetzt einen Schnitt von C mit einer beliebigen Ebene E, wobei wir die Schnitte bis auf Isometrie klassifizieren. Wir können dabei die Symmetrien des Kreiskegels 32

33 ausnutzen, also annehmen, dass wir eine Ebene der Form z = c, c 0 betrachten, die wir dann um einen Winkel ϕ, 0 ϕ π /2 (also um höchstens 90 Grad) um die y-achse kippen. Wir überlegen uns, dass die Isometrie, die Punkte der Ebene z = 0 auf eine solche allgemeine Ebene gegeben ist, wie folgt abbildet: x y 0 x y c = x y c cos ϕ 0 sin ϕ sin ϕ 0 cos ϕ x y c = cos ϕ x sin ϕ c y sin ϕ x + cos ϕ c Die Bildpunkte dieser Transformation müssen also die Gleichung des Kreiskegels erfüllen: (cos ϕ x sin ϕ c) 2 + y 2 = (sin ϕ x + cos ϕ c) 2. Vereinfachung dieser Gleichung, unter Verwendung der Doppelwinkelsätze (Additionstheoreme) cos 2 ϕ sin 2 ϕ = cos 2ϕ und 2 cos ϕ sin ϕ = cos 2ϕ ergibt (cos 2ϕ)x 2 2c sin 2ϕ x + y 2 = (cos 2ϕ)c 2, (3) also eine polynomiale Gleichung vom Grad 2 in den Variablen x und y. Fall 1. Für ϕ = π /4, also cos 2ϕ = 0 und sin 2ϕ = 1 ergibt dies 2c x + y 2 = 0 also für c > 0 eine Parabel x = 1 2c y2, und für c = 0 eine Gerade (genauer eine Doppelgerade) y 2 = 0. Nehmen wir also jetzt ϕ π /4 an, so können wir durch cos 2ϕ teilen und quadratisch ergänzen, und erhalten (x 2c tan 2ϕ) 2 + y2 cos 2ϕ = (1 + tan2 2ϕ)c 2. Wenn wir jetzt x 2c tan 2φ einfach durch x ersetzen, so entspricht das einer Translation, also einer Isometrie, und wir erhalten x 2 + y2 cos 2ϕ = c2 cos 2 2ϕ. Fall 2. Für 0 ϕ < π /4 ist cos 2ϕ > 0, dann ist das für c > 0 die Gleichung einer beliebigen (!) Ellipse, die man mit a 2 := c2 und cos 2 2ϕ b2 := c2 auf die Normalform cos 2ϕ x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 mit a b > 0 bringen kann; für c = 0 erhält man entsprechend mit b 2 := cos 2ϕ x 2 + y2 b 2 = 0 mit b > 0 also den Punkt (0, 0). Fall 3. Für π /4 < ϕ π /2 ist cos 2ϕ < 0, dann ist das für c > 0 die Gleichung einer Hyperbel, die man mit a 2 := c2 und cos 2 2ϕ b2 := c2 auf die Normalform cos 2ϕ x 2 a 2 y2 b 2 = 1 mit a b > 0 33.

34 bringen kann. Beachte, dass dies keine beliebige Hyperbel ist, sondern eine, bei der die Asymptoten eines Astes maximal einen rechten Winkel einschließen. Für c = 0 erhält man entsprechend mit b 2 := cos 2ϕ x 2 y2 b 2 = 0 mit b > 0 also zwei sich schneidende Geraden y = ±bx. Damit haben wir im Wesentlichen den folgenden Satz bewiesen. Theorem 4.2. Jeder Schnitt des orthogonalen Standard-Kreiskegels C = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 } mit einer Ebene im R 3 sind isometrisch zu einer Menge aus genau einer der folgenden sechs Familien: 1. eine Ellipse x2 + y2 = 1 mit a b > 0, a 2 b 2 2. eine Parabel x = 1 2c y2 mit c > 0, 3. eine Hyperbel x2 y2 = 1 mit a b > 0 (also mit Öffungswinkel α a 2 b π /2), 2 4. zwei sich schneidende Geraden, 5. eine Gerade, oder 6. ein Punkt. Umgekehrt tritt jede dieser Figuren mit den gegebenen Parametern auch als Schnitt auf. 24. Mai Quadriken Achtung: wir haben eigentlich noch nicht definiert, was eine Ellipse/Hyperbel/Parabel eigentlich ist. Entsprechende Definitionen in verschiedenen Lehrbüchern sind ausgesprochen unbefriedigend. Achten Sie bei der Lektüre zum Beispiel darauf, euklidische oder affine Äquivalenz zugelassen wird... Jedenfalls sehen wir aus der Diskussion im vorherigen Abschnitt, mit Gleichung (3), dass die Kegelschnitte alle Lösungsmengen von quadratischen Gleichungen sind, sie sind also Quadriken. Definition 4.3. Eine Quadrik in einem n-dimensionalen affinen Raum ist die Lösungsmenge Q R n einer Polynomgleichung vom Grad höchstens 2 in den Koordinaten. Man spricht dabei von quadratischen Gleichungen. Die Quadrik wird auch als Nullstellenmenge des Polynoms q(x 1,..., x n ) R[x 1,..., x n ] in den Koordinaten x 1,..., x n bezeichnet. Lemma 4.4. Die Definition einer Quadrik ist unabhängig von den gewählten Koordinaten. Jedes Bild einer Quadrik unter einer affinen Transformation (insbesondere also: unter einer euklidischen Transformation) ist wieder eine Quadrik. Jeder Schnitt einer Quadrik mit einem affinen Unterraum ist wieder eine Quadrik. Prinzipiell lässt die obige Definition auch Polynome vom Grad höchstens 1 zu, also lineare Polynome. Dieser Fall ist nicht besonders interessant: dann ist Q entweder leer, oder eine Hyperebene im R n, oder der gesamte R n. Wir lassen diese drei trivialen Fälle als Quadriken in der Definition zu, ignorieren sie im Folgenden aber meist. 34

35 If Fall n = 1 ist Q also die Lösung einer quadratischen Gleichung, also besteht Q aus ein oder aus zwei Punkten oder ist leer (oder ist ganz R). Für n = 2 können wir die quadratische Gleichung wie folgt schreiben: Q = {(x, y) R 2 : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0} für a, b, c, d, e, f R. Wenn (a, b, c) = (0, 0, 0), so erhalten wir eine lineare Gleichung, die Lösungsmenge ist dann Gerade oder leer oder der R 2. Diesen Fall könnten wir also ausschließen... Bessere Notation, mehrere Möglichkeiten: { ( ) x } Q = 1 R 2 : a 11 x a 12 x 1 x 2 + a 22 x a 01 x 1 + 2a 02 x 2 + a 00 = 0 = x 2 { ( ) x 1 x 2 a 00 a 01 a 02 1 } R 2 : (1, x 1, x 2 ) a 10 a 11 a 12 = 0 a 20 a 21 a 22 für a ij R 2 (0 i, j 2). Entsprechend können wir n-dimensionale Quadriken wie folgt schreiben: { } Q = x R n : a ij x i x j = 0, mit x 0 := 1 = = 0 i,j n x 1 x 2 { ( ) ( ) x R n : (1, x t t a00 a ) 0 1 } = 0 a 0 A x { ( ) ( ) c b x R n : (1, x t t 1 } ) = 0 b A x = {x R n : x t Ax + 2b t x + c = 0} für A R n n symmetrisch, a 0 R n, a 00 R bzw. A R n n symmetrisch, b R n, c R. Aufgabe 15. Eine Quadrik im R n enthalte die sieben Punkte 0, a, b, c, a + b, a + c und b + c. Man zeige, dass sie auch den Punkt a + b + c enthält Euklidische Klassifikation der Quadriken Im Folgenden werden Koordinatentransformationen angewandt, um die Quadriken auf besonders einfache, und eindeutig bestimmte, Gleichungen zu bringen, also auf Normalform. Dabei wenden wir in dieser Reihenfolge an: (1) orthogonale Transformationen (2) Translationen (3) Skalierung Dabei verwenden wir, dass die Kombination (1) von (2) eine beliebige Isometrie ergibt. Diese Kombination muss uns also die Klassifikation der Quadriken bis auf Isometrie liefern. Lassen wir zusätzlich Skalierung von Variablen zu, so ergibt das beliebige affine Transformationen, und damit die entsprechende Klassifikation der Quadriken. Fundamentales Hilfsmittel aus der Linearen Algebra ist der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen/symmetrische Matrizen: 35

36 Theorem 4.5 (Spektralsatz). Jeder selbstadjungierte Endomorphismus auf einem endlich-dimensionalen reellen Vektorraum mit Skalarprodukt hat eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Äquivalent: Für jede symmetrische Matrix A R n n (also mit A t = A) gibt es eine orthogonale Matrix S R n n (also mit S t = S 1 ) so dass S t AS = Λ eine Diagonalmatrix ist. Zur Äquivalenz der beiden Formulierungen: Die Diagonaleinträge von Λ sind die Eigenwerte von A. Die Spalten von S bilden eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A, wobei für die zweite Formulierung das Standardskalarprodukt auf dem R n angenommen wird (was wegen Gram Schmidt zulässig ist). Damit ist der Spektralsatz konstruktiv: wir wissen, wie man S konstruieren kann. Sei nun die Quadrik Q R n gegeben als Menge der Nullstellen von ( ) ( ) c b q(x) = (1, x t t 1 ) b A x mit A = A t R n n, b R n, c R. (1) Orthogonale Transformation. Wir konstruieren S O(n) so, dass λ 1... S t AS = λ k λ k+1... λ k+l mit λ 1,..., λ k > 0 und λ k+1,..., λ k+l < 0. (Zum Beispiel kann man die nichtverschwindenden Eigenwerte nach Größe ordnen, und erhält damit λ 1 λ k > 0 > λ k+1 λ k+l.) Damit können wir das quadratische Polynom q(x) wie folgt faktorisieren: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c b q(x) = (1, x t t ) 0 S 0 S t b A 0 S 0 S 1 x ( ) ( ) c = (1, x t bt ) b Λ 1 x mit x := S 1 x, b := S t b und Λ := S t AS. Hier sind also die ersten k 0 Spalten von S orthonormale Eigenvektoren zu positiven Eigenwerten von A, die nächsten l 0 Spalten von S sind orthonormale Eigenvektoren zu negativen Eigenwerten von A, und die letzten n k l 0 Spalten von S sind eine Orthonormalbasis für den Eigenraum zum Eigenwert 0, also zum Kern von A. Dabei dürfen wir im Fall, dass das mehr als eine Spalte ist, also für n k l 2, annehmen, alle diese Spalten außer möglicherweise der ersten, senkrecht auf b stehen, dass also die letzten n k l 1 Koordinaten von b = S t b verschwinden

37 Damit liegt das Polynom q(x) jetzt in der Form q(x) = λ 1 x λ k+l x k+l b 1 x b k+l+1 x k+l+1 + c vor. Dieses kann man nun durch eine quadratische Ergänzung vereinfachen, oder äquivalent dazu (!) durch eine geeignete Translation. (2) Translation. Eine Translation x x + u (also eine euklidische Abbildung) lässt sich in den homogenen Koordinaten (mit zusätzlicher Koordinate x 0 = 1) als lineare Abbildung darstellen: ( ) ( ) ( ) ( ) t 1 =. x u + x u E x wobei E die Einheitsmatrix darstellt (hier: E R n n ). Die Inverse der Translation um u ist die Translation um u. Daher faktorisieren wir weiter q(x) als ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1, x t u t 1 u t 1 0 c b t t 1 0 t ) 0 S 0 E 0 E 0 S t b A 0 S u E u E 0 S 1 x ( = (1, x t c + ) 2 bt u + u t Λu b t + u t ) ( ) Λ b + Λu Λ 1 x mit x = S t x u. Nun setzen wir und ( ) c b r t := rank b A r := rank A = rank Λ = k + l ( ) ( c bt c + = rank = rank 2 bt u + u t Λu b ) t + u t Λ. b Λ b + Λu Λ 25. Mai 2012 Dabei ist offenbar 0 r r r + 2, r n und r n + 1. Fall 1: Liegt b im Spaltenraum von A, d.h. b im Spaltenraum von Λ, also rank( b Λ) = rank(λ) = k + l, so gibt es ein u mit b + Λu = 0 (nämlich u := Λ b, wobei Λ die Diagonaleinträge λ i 1 hat), und wir berechnen c + 2 b t u + u t Λu = c b t Λ b =: c. In diesem Fall 1b ist r = r wenn c = 0 ist, und sonst sind wir im Fall 1a, mit r = r + 1. Fall 2: Liegt b nicht im Spaltenraum von A, d.h. b nicht im Spaltenraum von Λ, so hat q(x) also einen linearen Term, und wir können c durch eine weitere Translation wegtransformieren. Insgesamt ergibt das den folgenden Normalformsatz: Theorem 4.6 (Euklidische Hauptachsentransformation). Jede Quadrik im R n (mit Ausnahme der linearen Quadriken, also der Hyperebenen, sowie Q = und Q = R n ) lässt sich durch eine Isometrie auf eine der folgenden drei Typen von Normalformen bringen, für k 1, l 0, k + l n, und 0 < a 1 a k, a k+1 a k+l > 0: (1a) x2 1 a 2 1 (1b) x2 1 a x2 k a 2 k + + x2 k a 2 k x2 k+1 a 2 k+1 x2 k+1 a 2 k+1 x2 k+l a 2 k+l x2 k+l a 2 k+l = 1, = 0 mit k l und a 1 = 1, 37

38 (2) x x2 k a 2 1 a 2 k x2 k+1 a 2 k+1 x2 k+l a 2 k+l = 2x k+l+1 mit k l, k + l < n. Hier ist r = k + l, und (1a) entspricht dem Fall r = r + 1, (1b) ist der Fall r = r, und (2) ist der Fall r = r + 2. Dass man jede Quadrik auf eine dieser Normalformen transformieren kann, haben wir im Wesentlichen bewiesen; dafür kann man zunächst annehmen, dass entweder c = 0 gilt, oder c = 1 (indem man nämlich im Fall c 0 die Gleichung durch c teilt, und ggf. (für c < 0) noch k und 1 l vertauscht. Nun setzt man λ i =: für i k und λ a 2 i =: 1 für k < i k +l. Die Bedingung i a 2 i k 1 schließt die linearen Quadriken aus. Eigentlich würde man den Normalformsatz so formulieren, dass die Normalformen alle unterschiedlich sind, und Quadriken mit unterschiedlicher Normalform, also mit unterschiedlichen Daten [Typ, k, l, a 1, a 2,..., a k+l ] auch nicht ineinander transformierbar. Das ist für die oben angegebene Formulierung nicht ganz richtig, aus zwei Gründen: 1. die Quadriken der Form (1b) haben im Fall k = l zusätzliche Äquivalenzen, und 2. die Quadriken der Form (1b) für l = 0 sind lineare Unterräume, die für k = 1 Hyperebenen (also lineare Quadriken) sind, und für k > 1 ist das Ergebnis unabhängig von den a i. Mit etwas mehr Mühe/Geduld lässt sich die obige Beschreibung aber zu so einer eindeutigen Normalform verfeinern. Um dies zu formulieren, kann/müsste man insbesondere im Fall (1b) lexikographische Ordnung etc. verwenden. Um sie zu beweisen, argumentiert man entweder geometrisch, oder algebraisch muss dann zeigen, dass die Gleichung durch die Quadrik im Wesentlichen (bis auf Vielfache) eindeutig festgelegt ist wieder bis auf die offensichtliche Ausnahmen im Fall von linearen Quadriken (leer, Hyperebene, ganzer R n ). Wir geben die Klassifikation der nichtlinearen Quadriken für n = 2 tabellarisch an: Typ k l r r typische Gleichung Beschreibung x (1a) = 1 zwei parallele Geraden a 2 x (1a) y2 = 1 Ellipse a 2 b 2 x (1a) y2 = 1 Hyperbel a 2 b 2 (1b) x 2 = 0 (Doppel-)Gerade x (1b) y 2 = 0 Punkt a 2 x (1b) y 2 = 0 Geradenpaar mit Schnittpunkt a 2 x (2) = 2y Parabel a 2 Wir diskutieren also nochmal die Aussage die Kegelschnitte sind genau die nicht-leeren ebenen Quadriken... und stellen fest, dass es drei Ausnahmen gibt, nämlich die Ebene, die leere Menge, und zwei parallele Geraden alle drei Ausnahmen sind Quadriken, aber keine Kegelschnitte. 38

39 Genauso bekommen wir die nichtlinearen Quadriken im R 3 als Typ k l r r typische Gleichung Beschreibung x (1a) = 1 a 2 paralleles Ebenenpaar x (1a) a 2 + y2 = 1 b 2 Zylinder über einer Ellipse x (1a) a 2 + y2 b 2 + z2 = 1 c 2 Ellipsoid x (1a) a 2 y2 = 1 b 2 Zylinder über einer Hyperbel x (1a) a 2 + y2 b 2 z2 = 1 c 2 einschaliges Hyperboloid x (1a) y2 z2 = 1 zweischaliges Hyperboloid a 2 b 2 c 2 (1b) x 2 = 0 Doppelebene x (1b) y 2 = 0 a 2 Gerade x (1b) y2 + z 2 = 0 Punkt a 2 b 2 x (1b) y 2 = 0 Ebenenpaar mit Schnittgerade a 2 x (1b) a 2 + y2 z 2 = 0 b 2 Kreiskegel x (2) = 2y a 2 Zylinder über einer Parabel x (2) a 2 + y2 = 2z b 2 elliptisches Paraboloid x (2) a 2 y2 = 2z b 2 hyperbolisches Paraboloid Bemerkung 4.7. Die interessantesten Fälle sind offenbar die mit r = n + 1; alle anderen Quadriken erhält man als Zylinder oder Kegel über niedrigdimensionaleren Quadriken. Unter den Quadriken im R 3 mit r = n + 1 (nichtlinear, nicht Zylinder oder Kegel, also im Fall (1b)) sind einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid Regelflächen, bei denen es durch jeden Punkt der Quadrik zwei Geraden gibt, die in der Quadrik verlaufen. Unter den Regelflächen wird insbesondere auf das einschalige Hyperboloid hingewiesen siehe die Mae West -Skulptur in München [3]. Aufgabe 16. Man zeige, dass sich jedes einschalige Hyperboloid H = {(x, y, z) R 3 : ax 2 + by 2 cz 2 = 1} als Vereinigung von (unendlich vielen) Geraden in R 3 darstellen lässt. Aufgabe 17. Man bestimme jeweils den Typ der folgenden Quadrik in R 2 für a = 1, a = 4, a = 7: {(x, y) R 2 : ax 2 4xy + y 2 + 2x y = 0} Im Fall der Ellipse bestimme man die beiden Brennpunkte. 31. Mai Affine Klassifikation der Quadriken Wenn wir nur auf Klassifikation der Quadriken bis auf affine Transformation interessiert sind, dann dürfen wir insbesondere Koordinatentransformationen der Form x i a i x i durchführen, und bekommen damit aus dem euklidischen den affinen Normalformsatz: Theorem 4.8 (Affine Hauptachsentransformation). Jede nicht-lineare Quadrik im R n lässt sich durch eine affine Transformation auf eine der folgenden drei Typen von Normalformen bringen, für k 1, l 0, k + l n: 39

40 (1a) x x 2 k x2 k+1 x2 k+l = 1, (1b) x x 2 k x2 k+1 x2 k+l = 0 mit k l, (2) x x 2 k x2 k+1 x2 k+l = 2x k+l+1 mit k + l < n. Dass man jede Quadrik auf eine dieser Normalformen transformieren kann, folgt aus dem euklidischen Fall mit einer zusätzlichen Substitution x i a i x i. Quadriken mit diesen Normalformen sind alle unterschiedlich sind und nicht durch affine Transformationen ineinander transformierbar mit einer Ausnahme, nämlich der linearen Quadrik im Fall (1b) mit l = 0. Um das zu beweisen, argumentiert man wieder entweder geometrisch, oder algebraisch. 4.3 Kegelschnitte und ihre Eigenschaften Die Ellipse... Definition: affines Bild eines Kreises, euklidisches Bild von Q = { x2 a 2 + y2 b 2 = 1}, mit b a > 0,... hat zwei aufeinander senkrecht stehende Symmetrieachsen, x = 0 bzw. y = 0, die Hauptachsen; vergleiche dazu die Zeichnung aus Dürers berühmter Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt [2]:... hat vier Scheitelpunkte (±a, 0) und (0, ±b) auf den Hauptachsen (für a = b sind alle Geraden durch das Zentrum (0, 0) Symmetrieachsen, und alle Punkte auf der Ellipse Scheitelpunkte), 40