Kapitel 6. Vielteilchensysteme. 6.1 Einleitung. 6.2 Drehimpuls Definition und Drehimpulserhaltung

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1 Kapitel 6 Vielteilchensysteme 6. Einleitung In diesem Kapitel werden wir die bisher abgeleiteten Gesetze für eine Massenpunkt auf Systeme von mehreren oder vielen Massenpunkten übertragen. Beim Massenpunkt hatten wir bereits die allgemeine Bewegung in einen geradlinigen Anteil und in eine Kreisbewegung zerlegen können. In ähnlicher Weise können wir die Bewegung von Teilchensystemen oder von massiven Körpern in eine Bewegung des Schwerpunkts und eine Bewegung relativ zum Schwerpunkt zerlegen. 6.2 Drehimpuls 6.2. Definition und Drehimpulserhaltung Es seien O ein fester Bezugspunkt im Raum und r der Ortsvektor von O zum Ort des Massenpunktes m. Wir erinnern uns daran, dass bei der Drehbewegung der Impuls senkrecht zum Radiusvektor ist. Wir bilden das Vektorprodukt L = r p, (6.) da wir anhand unserer Ausführungen in Kap..4.5 zum äusseren bzw. Vektorprodukt Grund zur Vermutung haben, dass diese Grösse eine wichtige Rolle bei Drehbewegungen spielen könnte (siehe Abb. 6.). Tatsächlich können wir statt p auch den Gesamtimpuls p verwenden, da r p = r ( ) ( ) p + p = r p + (r p ) (6.2) }{{} =0 63

2 64 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 2007 L Bahn p r ϑ m i O Ebene der Bewegung Abbildung 6.: Zur Definition des Bahndrehimpulses L = r p. Da der Impuls im abgeschlossenen System eine Erhaltungsgrösse ist, untersuchen wir als nächstes die zeitliche Änderung der Grösse L: L = (r p) = ṙ p + r ṗ (6.3) = m } p {{ p +r F } (6.4) =0 L = r F (6.5) Im abgeschlossenen System ist aber F = 0 und damit auch L = 0! Dann ist L konstant und eine neue Erhaltungsgrösse! Mit den Definitionen für das Drehmoment M und M = r F (6.6) L = r p = m (r v) (6.7) für den Drehimpuls L erhalten wir den Drehimpuls- oder Drallsatz für einen Massenpunkt m: M = L = dl (6.8) dt bzw., in differentieller Form: dl = M dt (6.9)

3 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS y y p r O r m p x O r r m x L = ( r y p x ) e z L z = y p x < 0 L = (r x p y ) e z L z = x p y > 0 Abbildung 6.2: Drehimpuls in z-richtung. Der Drehimpulssatz besagt, dass bei Fehlen eines Drehmoments der Drehimpuls erhalten bleibt! Das entspricht dem Impulssatz, wo beim Fehlen einer Kraft der Impuls erhalten bleibt. Die Einheiten von Drehimpuls und Drehmoment sind: [L] = kg m2 s (6.0) [M] = N m (6.) Man beachte, dass sowohl der Drehimpuls wie auch das Drehmoment axiale Vektoren sind, sie geben also einen Drehsinn vor, den man, wie bei der Winkelgeschwindigkeit, mit der rechten Hand ermitteln kann. Abb. 6.2 zeigt zwei verschiedene Kombinationen von r und p, welche zu negativem bzw. positivem Drehimpuls in z-richtung führen Drehimpuls bei Kreisbewegung Die Bahngeschwindigkeit v eines Massenpunkts m bei der Kreisbewegung beträgt nach Gl. (2.45): v = ω r Dann ist der Drehimpuls L des Massenpunkts gleich: L = m r v = m r (ω r) = m{ω (r r) r (r ω) } (6.2) }{{} =0

4 66 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 2007 y dr r dϕ dϕ r + dr r ϕ x Abbildung 6.3: Flächengesetz: Vom Ortsvektor r in der Zeit dt überstrichene Fläche da. Der Drehimpuls eines Massenpunkts auf einer Kreisbahn ist damit: L = mr 2 ω (6.3) Geometrische Interpretation der Drehimpulserhaltung Wir betrachten die Bewegung eines Massenpunktes in der xy-ebene. In der Zeit dt ändert sich der Ortsvektor r um die Strecke dr = v dt. Dabei überstreicht der Ortsvektor die Fläche da = {r (r + dr)} (6.4) 2 = 2 (r dr) = { ( )} r dr + dr (6.5) 2 Die Flächengeschwindigkeit ist deshalb Mit L = m (r v) folgt: = 2 (r dr ) (6.6) Ȧ = 2 (r ṙ) = (r p) (6.7) 2m Ȧ = L 2m (6.8) Bei konstantem Drehimpuls L folgt, dass Ȧ = konst., das heisst, in gleichen Zeiten werden gleiche Flächen überstrichen!

5 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS F ext, 2 F 2 F 2 F 3 F 23 F 32 3 F 3 F ext,3 Abbildung 6.4: Innere und äussere Kräfte in einem Dreiteilchensystem. Der Kreis definiert die Systemgrenze. 6.3 Schwerpunktsatz Wir untersuchen die Bewegungsgleichung für den i-ten Massenpunkt eines Systems von N Massenpunkten: m i r i = m i a i = F ik + F ext,i (6.9) k= k i Der. Term stellt dabei die Summe der durch die restlichen (N ) Teilchen auf das Teilchen Nr. i ausgeübten Kräfte dar, während der 2. Term die Summe aller äusseren Kräfte wiedergibt. Diese Situation ist in Abb. 6.4 für ein System von drei Teilchen exemplarisch dargestellt. Die Summe aller Kräfte F i = m i r i beträgt m i r i = k= k i F ik } {{ } =0 + F ext,i } {{ } :=F ext (6.20) Die Doppelsumme über die inneren Teilchenkräfte ergibt 0, da es zu jeder Kraft F ik nach Newtons 3. Axiom eine Gegenkraft F ki = F ik gibt, die sie kompensiert! Da ferner gilt: m i r i = d2 dt 2 m i r i (6.2)

6 68 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 2007 erhalten wir die folgende wichtige Beziehung: Die Gesamtmasse m des Systems ist { d 2 N } m dt 2 i r i = F ext (6.22) m = m i (6.23) { d2 m dt 2 N m i r i N m i } = F ext (6.24) Wir definieren den Ortsvektor r S des Massenmittelpunkts bzw. Schwerpunkts : m i r i r S := (6.25) m i Der Schwerpunkt wird auch als gewichtetes Mittel der Ortsvektoren bezeichnet. Das Gewicht, besser der relative Anteil eines Massenpunkts der Masse m k beträgt dann m k N m i = m k m Die Bewegungsgleichung des Schwerpunkts lautet damit: (6.26) m d2 r S dt 2 = F ext (6.27) 6.4 Labor- und Schwerpunktsystem Wir werden jetzt die Verknüpfung von kinematischen und dynamischen Grössen eines N-Teilchensystems im Labor- und Schwerpunktsystem untersuchen. Definition: Das Schwerpunktsystem ist ein System, dessen Ursprung im Massenschwerpunkt liegt. Es sei r i = r S + r i, (6.28)

7 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS y 2m r 2 r S r 3 m m r S O x Abbildung 6.5: Labor-und Schwerpunktsystem für 3 Massenpunkte. wobei r i den Ortsvektor des i-ten Teilchens im Schwerpunktsystem darstellt (siehe Abb. 6.5). Es ist r S = m = r S m m i r i = m m i + m = r S + m m i (r S + r i ) (6.29) m i r i (6.30) m i r i (6.3) m i r i = 0 (6.32) Wir berechnen als nächstes die Summe der von der Schwerkraft auf die einzelnen Massenpunkte bezüglich des Schwerpunkts als Drehpunkt ausgeübten Massenmittelpunkt und Schwerpunkt sind identisch, falls die Schwerebeschleunigung für jeden Massenpunkt gleich gross ist.

8 70 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 2007 Drehmomente: M i = = {r i F i } = {r i m i g} (6.33) { N } {m i r i g} = m i r i g (6.34) } {{ } =0 M i = 0 (6.35) Man kann also den Schwerpunkt eines Systems von Massenpunkten bestimmen, indem man im Schwerefeld den Drehpunkt so lange verändert, bis die Schwerkraft kein Drehmoment mehr ausübt! 6.5 Linear- und Drehbewegung 6.5. Geschwindigkeit Wir betrachten im Folgenden die mechanischen Grössen im Laborsystem L und im Schwerpunktsystem S. Im Laborsystem: v i = dr i dt = dr S dt + dr i dt := v S + v i (6.36) Die Geschwindigkeit v i eines Massenpunktes im Laborsystem ist also gleich der Summe aus der Geschwindigkeit v S des Schwerpunkts und der Geschwindigkeit v i des Massenpunkts relativ zum Schwerpunkt: v i = v S + v i (6.37) Impuls Im Laborsystem: p i = m i v i = m i v S + m i v i (6.38) = m i v S + p i (6.39) Aus Gl. (6.32) folgt: 0 = d dt m i r i = m i v i (6.40)

9 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS Demnach verschwindet die Summe aller im Schwerpunkt gemessener Impulse p i : p i = 0 (6.4) Dies wird häufig als Definition des Schwerpunktsystems verwendet Energie Im Laborsystem: T = = = = 2 m iv 2 i = p 2 i 2m i (6.42) 2m i {p i + m i v S } 2 (6.43) { } p 2 i + 2m i (p i v S ) + m 2 i v 2 S 2m i { N } p 2 i 2m i + p i } {{ } =0 v S + 2 v2 S m i }{{} =m (6.44) (6.45) Damit gilt für die kinetische Energie T eines Systems von N Teilchen im Laborsystem: T = p 2 i 2m i + 2 m v2 S (6.46) Die gesamte kinetische Energie T setzt sich demnach zusammen aus der Summe aller Einzelenergien im Schwerpunktsystem und aus der kinetischen Energie des Schwerpunkts, gemessen im Laborsystem.

10 72 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS Drehimpuls Im Laborsystem: L = = = {r i p i } (6.47) (r S + r i ) (m i v S + p i ) (6.48) {m i (r S v S ) + r S p i + m i (r i v S ) + r i p i } (6.49) = r S (m v S ) +r }{{} S :=L S p i }{{} =0 ( N ) + m i r i v S + } {{ } =0 r i p i } {{ } :=L Der gesamte Drehimpuls L setzt sich demnach aus zwei Teilen zusammen: (6.50) L = L + L S (6.5) Dabei sind L der Eigendrehimpuls oder Spin und L S der Bahndrehimpuls des Systems von Massenpunkten im Laborsystem Drehmoment Wir haben in Kap. 6.3 gesehen, dass wegen des 3. Newtonschen Axioms sich alle inneren Kräfte eines Systems gegenseitig kompensieren. Entsprechendes gilt für die Drehmomente (siehe Abb. 6.6). Betrachten wir dazu das Kräftepaar F ik und F ki, für das gilt F ik = F ki Die entsprechenden Drehmomente sind Dann gilt für das gesamte Drehmoment: M = M i = r i F ik (6.52) M k = r k F ki (6.53) M i + M k = r i F ik + r k F ki = (r i r k) F ik (6.54) = 0, (6.55)

11 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS F ik r i i (r i r k ) O r k k F ki Abbildung 6.6: Zur gegenseitigen Kompensation der inneren Drehmomente eines Systems von Massenpunkten. da F ik (r i r k ). Für ein beliebiges System gilt demnach der Drallsatz: L = M ext (6.56) wobei M ext die Summe aller externen Drehmomente ist. Der Drehimpuls eines Systems ändert sich also nur, wenn ein äusseres Moment an ihm angreift. Ohne ein äusseres Drehmoment bleibt der Gesamtdrehimpuls erhalten. M ext = 0 = L = 0 = L = konst (6.57) Damit der Drallsatz gilt, müssen L und M ext bezüglich des gleichen Punktes O bestimmt werden. muss der Nullpunkt O entweder ein in einem Inertialsystem ruhender Punkt oder der Schwerpunkt des betrachteten Körpers sein.

12 74 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS Erhaltungssätze für N-Teilchen-Systeme Erhaltungssätze wie Impuls- oder Energieerhaltung können grundsätzlich nicht bewiesen werden, andererseits durch einen einzigen Gegenbeweis widerlegt werden. Da dies aber bisher nie gelungen ist, können wir weiterhin von deren Gültigkeit Gebrauch machen Schwerpunktsatz Der Schwerpunkt bewegt sich mit konstantem Impuls, wenn die Summe aller äusseren Kräfte auf das N-Teilchen-System verschwindet. dp S dt = F ext,i (6.58) Der Schwerpunktsatz ist die spezielle Form des Impulssatzes für den Schwerpunkt eines Sytems von Massenpunkten Impulssatz Bei der Wechselwirkung von N Teilchen bleibt die Summe der Impulse der an der Wechselwirkung beteiligten Teilchen konstant, auch wenn sich die Teilchenzahl ändert. N N 2 p i = p i (6.59) Dabei sind die Impulse vor der Wechselwirkung mit p i und nach der Wechselwirkung mit p i gekennzeichnet Drehimpulssatz ) Die durch die internen Kräfte hervorgerufenen Drehmomente kompensieren sich wegen Newtons 3. Axiom zu null. 2) Die zeitliche Änderung des totalen Drehimpuls eines N-Teilchen-Systems wird ausschliesslich durch die Drehmomente der externen Kräfte hervorgerufen. 3) Der Drehimpuls eines N-Teilchen-Systems bleibt nach Betrag und Richtung konstant, wenn die Summe der externen Drehmomente verschwindet.

13 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS N dl dt = r i F ext,i = M ext,i = M ext (6.60) Mechanischer Energiesatz Die gesamte mechanische Energie eines N-Teilchen-Systems bleibt konstant, sofern die externen und internen Kräfte konservativ sind. E tot = { } 2 m iv 2 i + U int,i + U ext,i = { } 2 m iv 2 i + U int,i + U ext,i (6.6) Dabei sind die Geschwindigkeiten und Energien vor der Wechselwirkung mit v bzw. U und nach der Wechselwirkung mit v bzw. U gekennzeichnet. 6.7 Spezialfall: 2-Teilchen-System 6.7. Ortsvektor im Schwerpunktsystem Jedes 2-Teilchen-System lässt sich auf ein -Teilchen-System reduzieren, das sich mit der reduzierten Masse µ unter dem Einfluss der Kraft F 2 mit der Geschwindigkeit v 2 (t) bewegt. Der Ortsvektor des Schwerpunkts ist gegeben durch: r S = m r + m 2 r 2 (6.62) Der Ortsvektor von Teilchen im Schwerpunktsystem lautet: r = r r S (6.63) = r m r + m 2 r 2 (6.64) m 2 = (r r 2 ) (6.65) }{{} :=r 2 Entsprechendes gilt für Teilchen 2. Wir fassen zusammen: r = + m 2 r 2 r 2 = m r 2 (6.66)

14 76 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 2007 und m r + m 2 r = 0 (6.67) Geschwindigkeit im Schwerpunktsystem v = d dt r = Zusammengefasst für beide Teilchen: m 2 ṙ 2 }{{} :=v 2 (6.68) v = + m 2 v 2 v 2 = m v 2 (6.69) Impuls im Schwerpunktsystem p = m v = + m m 2 v 2 p 2 = m 2 v 2 = m m 2 v 2 (6.70) Diese Gleichungen lassen sich noch vereinfachen, indem man die reduzierte Masse µ einführt: µ := m m 2 µ = m + m 2 Damit folgt für die Impulse im Schwerpunktsystem: (6.7) p = +µv 2 (6.72) p 2 = µv 2 (6.73) p + p 2 = 0 (6.74) Gl. (6.74) stellt ja gerade die Definition des Schwerpunktsystems dar! Transformation vom Labor- ins Schwerpunktsystem Bei Streuprozessen ist es vorteilhaft, die Impulse der beteiligten Teilchen vom Labor ins Schwerpunktsystem zu transformieren. Die Relativgeschwindigkeit

15 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS v 2 ist gleich v 2 = v v 2 (6.75) = p m p 2 m 2 (6.76) Mithilfe von Gl erhalten wir die gewünschte Transformationsgleichung: p = + m 2p m p 2 p 2 = m 2p m p 2 (6.77) Bewegungsgleichungen im Schwerpunktsystem m dv dt = F 2 (6.78) dv 2 m 2 dt = F 2 (6.79) d ( dt (v v 2 ) = + ) F 2 (6.80) m m 2 Damit können wir die Bewegungsgleichungen (6.69)-(6.70) durch eine einzelne Gleichung ersetzen, welche die reduzierte Masse und die Relativbewegung enthält: µ d dt v 2 = F 2 (6.8) Die Bewegung der einzelnen Teilchen kann man dann daraus berechnen. Lösungsweg: ) Berechne die Bewegung des Schwerpunkts aufgrund der externen Käfte auf das 2-Teilchen-System: ( ) dv S(t) dt = F ext (6.82) 2) Berechne die Bewegung des reduzierten Systems, bestmme also r 2 (t) und v 2 (t) aus µ v 2 = F 2 3) Aus der Kenntnis von r S und v S, sowie von r 2 (t) und v 2 (t) können r i (t) und r i (t), (i =, 2) berechnet werden. 4) Der Eigendrehimpuls und kinetische Energie des 2-Teilchen-Systems betragen: L S = r 2 µ v 2 (6.83) T s = 2 µ v2 2 = p 2 2 µ = p µ (6.84)

16 78 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 2007 v Mo r Mo S r E M v E Abbildung 6.7: Bahnbewegung des Mondes im Schwerpunktsystem Erde-Mond Beispiele für 2-Teilchen-Systeme ) Die Relativbewegung Mond-Erde lässt sich auf ein Einteilchenproblem reduzieren, nämlich die Bewegung eines Körpers mit der reduzierten Masse µ = m E m Mo /(m E +m Mo ) 0,99 m Mo im Zentralkraftfeld der Gravitation Erde-Mond mit Zentrum im Mittelpunkt der Erde (siehe Abb. 6.7). Der Schwerpunkt des Systems Erde-Mond liegt wegen m Mo 0,0 m E um 4552 km vom Mittelpunkt der Erde entfernt, also noch im Inneren der Erde. In diesem System beschreiben Mond und Erde fast kreisförmige elliptische Bahnen um den gemeinsamen Schwerpunkt S mit den Radien und r E = r Mo = wobei R der Abstand Erde-Mond ist. m Mo m E + m Mo R 0,0 R (6.85) m E m E + m Mo R 0,99 R, (6.86) 2) Das Wasserstoffatom ist ein System aus Proton (Masse m p und Elektron (Masse m e ). Aus m p = 836 m e folgt µ = 0,99946 m e. Der Schwerpunkt S liegt r pe /837 vom Mittelpunkt des Protons entfernt, wenn r pe der Abstand Proton-Elektron ist. Die Bewegung der beiden Teilchen im Wasserstoffatom kann aufgeteilt werden in eine Translation des Schwerpunktes S mit der Geschwindigkeit v S und die Bewegung eines Teilchens

17 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS der Masse µ m e mit der Relativgeschwindigkeit v pe um den Schwerpunkt. Die gesamte kinetische Energie des H-Atoms ist dann: T = 2 (m p + m e ) v 2 S + 2 µv2 pe (6.87) Bei Geschwindigkeiten des H-Atoms, die thermischen Bewegungen entsprechen, ist der erste Term der Translationsenergie (W 0,03 ev) sehr klein gegen den zweiten Term der inneren kinetischen Energie ( 0 ev) Teilchen-System Ein 3-Teilchen-System kann im allgemeinen nicht auf ein einfacheres System reduziert werden! Das Gleichungssystem lautet: m r = F 2 + F 3 + F ext, (6.88) m r 2 = F 2 + F 23 + F ext,2 (6.89) m r 3 = F 3 + F 32 + F ext,3 (6.90) ) Es ist ein System von gekoppelten Differentialgleichungen. 2) Die Kräfte F ij hängen z.b. von den relativen Abständen r ij ab. 3) Normalerweise gibt es nur numerische Lösungen. 6.9 Teilchenstösse 6.9. Einleitung Die Auswirkungen des Energiesatzes, zusammen mit denen des bereits in Abschnitt 3.3. behandelten Impulssatzes, lassen sich besonders schön am Beispiel des elastischen Stosses zeigen, der nicht nur beim Billard, sondern zum Beispiel auch in der Kern- und Teilchenphysik, in der Thermodynamik oder in der Physik des Sterneninneren eine wichtige Rolle spielt. Durch Stösse von elementaren Teilchen an Atomkernen oder an anderen Teilchen erhält man Informationen sowohl über die Abmessung der beteiligten Teilchen als auch über Eigenschaften der für die Streuung verantwortlichen Wechselwirkung. So hat E. Rutherford α-teilchen, also Helium-Ionen,von radioaktiven Zerfällen als Sonden zur Untersuchung von Atomen verwendet. Dank dieser Versuche

18 80 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 2007 Vor dem Stoss Nach dem Stoss m > m 2 m > m 2 v u u 2 m = m 2 m = m 2 v u 2 m < m 2 m < m 2 v u u 2 Abbildung 6.8: Zentraler elastischer Stoss. wissen wir, dass die Masse in Atomen keineswegs gleichmässig verteilt ist, sondern in der Atommitte als positiv geladener Atomkern konzentriert ist. In der modernen Teilchenphysik verwendet man beispielsweise Elektronen und Neutrinos als Sonden für die elektromagnetische Wechselwirkung und zum Nachweis der Quarks als Bestandteile des Protons Zentraler 2-Teilchen-Stoss Als elastischen Stoss bezeichnen wir einen Stoss zwischen zwei Körpern, bei dem Impuls und kinetische Energie ausgetauscht werden, die innere Energie der beiden Körper aber sich nicht ändert. Wir betrachten hier den zentralen elastischen Stoss zweier Körper mit Massen m und m 2, bei dem die Bewegung in einer Dimension verläuft. Die Geschwindigkeit des ersten Körpers sei v, der zweite Körper sei in Ruhe. Die Geschwindigkeit der Körper nach dem Stoss sei u und u 2. Wir verwenden hier Vektoren v i = v i 0 0 und u i = u i 0 0 (6.9) Die v i und u i sind damit Vektorkomponenten bzw. eindimensionale Vektoren und nicht, wie sonst in dieser Vorlesung gebräuchlich, -beträge. Im Gegensatz zu den letzteren können sie hier deshalb auch negative Werte annehmen!

19 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS Es gelten Impuls- und Energieerhaltung: m v + 0 = m u + m 2 u 2 (6.92) m 2 v = m 2 u 2 + m 2 2u 2 2 (6.93) Wir lösen das System von zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten u und u 2 durch Elimination von u nach u 2 auf: m u = m v m 2 u 2 (6.94) m m 2 u 2 2 = m 2 v 2 m 2 u 2 = m 2 v 2 (m v m 2 u 2 ) 2 (6.95) u 2 2( ) 2m v u 2 = 0 (6.96) Daraus ergeben sich 2 Lösungen, wobei die 2. (u 2 = 0) bedeutet, dass das. Teilchen ohne Wechselwirkung durch das 2. Teilchen hindurchfliegt. Wir berechnen u durch Einsetzen von u 2 in Gl. 6.94: m u 2 = 2 v u = m m 2 v (6.97) u 2 = 0 u = v (6.98) Das Ergebnis ist in Abb. 6.8 schematisch wiedergegeben. Wir können drei Fälle unterscheiden: m > m 2 0 < u < v, u 2 > v m = m 2 u = 0, u 2 = v (6.99) m < m 2 u < 0, 0 < u 2 < v Allgemeine 2-Teilchen-Stösse (Streuung) Im allgemeinen Fall sind beide Teilchen vor und nach dem Stoss in Bewegung, und der Stoss ist nicht zentral, so dass die Teilchen einen transversalen Impuls beim Stoss erhalten. Diese Situation ist in Abb. 6.9 dargestellt Kinematik und Dynamik Die Stoss- bzw. Streuprozesse kann man in einen kinematischen und eine dynamischen Teil aufgliedern: ) Beim kinematischen Teil berechnet man die Abhängigkeit p i (ϑ) des Impulses bzw. E i (ϑ) der Energien der Teilchen nach dem Stoss vom polaren Streuwinkel ϑ. Dieser Teil dient zur Vorbereitung des geplanten Experiments. Man überlegt sich, in welchem Winkelbereich man messen will

20 82 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 2007 p 4 ϑ p 2 p ϑ p 3 Abbildung 6.9: Allgemeine 2-Teilchen-Streuung im Schwerpunktsystem. oder kann, und welche Detektoren für die entsprechenden Teilchenenergien bzw. die Teilchenimpulse benötigt werden. Oft ist die Situation auch umgekehrt, so dass der messbare Energiebereich einen entsprechenden Winkelbereich festlegt. Der kinematische Teil der Streuung fragt nicht nach den Ursachen der Streuung, sondern nur nach den kinematischen Zusammenhängen. 2) Beim dynamischen Teil fragt man nach der Häufigkeitsverteilung dn/dp i bzw. dn/de i der Teilchen nach dem Stoss. Die Häufigkeitsverteilung dn/dp beispielsweise gibt an, wieviele Teilchen dn im Impulsintervall dp zu finden sind. Diese Verteilung ist nicht normiert, man muss also noch die Zahl der Geschossteilchen mit angeben muss. Man kann natürlich auch auf die Zahl der einfallenden Teilchen normieren und erhält eine Wahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung dγ/dp, so dass gilt: dγ dp = (6.00) dp Während eine Wahrscheinlichkeit dimensionslos, also eine reine Zahl ist, ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte im allgemeinen dimensionsbehaftet. Z.B. gilt: [ ] dγ = (6.0) de J Erst das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte über die entsprechende Variable ergibt wieder eine Wahrscheinlichkeit.

21 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS Der dynamische Teil einer Streuung beschäftigt sich mit den Ursachen, also mit der für die Streuung verantwortliche Wechselwirkung. Verschiedene Wechselwirkungen bewirken nämlich unterschiedliche Winkelverteilungen der Teilchen im Endzustand. So können zum Beispiel Energiebereiche, die durchaus kinematisch erlaubt sind, eine stark reduzierte Teilchenzahl im Vergleich mit anderen Energiebereichen aufweisen. Durch die Analyse gemessener Verteilungen gewinnt man damit Informationen über die für die Streuung verantwortliche Wechselwirkung. Umgekehrt ist es Gegenstand der Theorie, für eine gegebene Wechselwirkung Vorhersagen über die erwarteten Winkelverteilungen zu machen, an die man dann die gemessenen Verteilungen anpassen kann, um freie Parameter der Theorie zu bestimmen Kinematische Grössen Die Messgrössen wie Impuls, Energie oder Streuwinkel sind im allgemeinen im Laborsystem vorgegeben. Meistens ist auch ein Stosspartner in Ruhe und wird von einem anderen Teilchen, das zuvor auf eine gewünschte Energie beschleunigt wurde, getroffen. Es ist jedoch in jedem Fall vorteilhaft, den Streuprozess im Schwerpunktsystem zu rechnen und dann die Variablen wieder zurück ins Laborsystem zu transformieren. Wir betrachten den folgenden allgemeinen Prozess: ( ) (6.02) Das bedeutet, dass Teilchen in Teilchen 3 übergeht, das identisch sein kann, aber auch seine Identität ändern kann. Entsprechendes gilt für Teilchen 2 vor dem Stoss und Teilchen 4 nach dem Stoss. Es können noch weiter Teilchen (5, 6,... ) z.b. durch Aufbruch entstehen. Wir werden hier aber nur den Fall mit 2 Teilchen im Endzustand behandeln. Wir untersuchen den Stoss im Schwerpunktsystem. Kinematisch können die Teilchen nach dem Stoss alle Energie- bzw. Impulswerte annehmen, solange die Impuls- und Energieerhaltung erfüllt sind: p + p 2 = p 3 + p 4 (6.03) E + E 2 = E 3 + E 4 (6.04) Solange die Energien klein im Vergleich mit den Ruheenergie sind, werden sich die Massen beim Stoss nicht ändern. Es ist also m 3 = m und m 4 = m 2, und wir können die Ruheenergien aller beteiligten Teilchen in Gl. 6.0 subtrahieren.

22 84 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 2007 Die Energieerhaltung lautet dann: bzw. p 2 T + T 2 = T 3 + T 4 + Q (6.05) + p 2 2 = p p Q (6.06) 2m 2m 2 2m 2m 2 Dabei ist Q die Wärmetönung des Stosses. Man unterscheidet folgende Fälle: ) Elastischer Stoss (Q = 0): Die Massen der beteiligten Teilchen und die zur Verfügung stehende kinetische Energie ändern sich nicht. 2) Unelastischer Stoss (Q < 0): Die gesamte kinetische Energie nimmt ab. Ein Teil der kinetischen Energie wird in innere Energie umgewandelt (endogener Stoss). 3) Superelastischer Stoss (Q > 0): Die gesamte kinetische Energie nimmt zu. Ein Teil der inneren Energie wird in kinetische Energie umgewandelt (exogener Stoss) Elastischer 2-Teichen-Stoss Transformation ins Schwerpunktsystem Wir berechnen einen elastischen Stoss. Ein Teilchen der Masse m stösst auf ein ruhendes Teilchen der Masse m 2 (Siehe Abb. 6.0). Gesucht ist die Abhängigkeit der Energien T 3 (ϑ 3 ) und T 4 (ϑ 4 ) vom jeweiligen Streuwinkel im Laborsystem. Zu beachten ist, dass man bei Problemen dieser Art für die Transformation ins Schwerpunktsystem die entsprechende Geschwindigkeit benötigt, für die Anwendung der Impuls- und des Energieerhaltung im Schwerpunktsystem dagegen nicht mit Geschwindigkeiten, sondern mit Impulsen rechnet. Das Teilchen bewege sich in Richtung der positiven z-achse: Im Laborsystem gilt: v = v 0 0 (6.07) p + p }{{} 2 = p 3 + p 4 (6.08) =0 T + T }{{} 2 = T 3 + T 4 (6.09) =0

23 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS Laborsystem Schwerpunktsystem Vorher m S v v S m m v S v m 2 v S v 3 Nachher v 4 v 3 v 4 v S ϑ 34 ϑ 3 ϑ 4 v 3 ϑ v 4 ϑ Abbildung 6.0: Elastischer Stoss eines Teilchens mit Masse m auf ein identisches ruhendes Teilchen. Im Impulsraum 2 ist die Transformation ins Schwerpunktsystem besonders einfach. Wir betrachten dazu das System von Teilchen und 2 als ein Teilchen mit Masse m und Impuls p: Die Geschwindigkeit dieses Teilchens ist gleich m = (6.0) p = p + p 2 = p (6.) v S = p + p 2 (6.2) und identisch mit der Geschwindigkeit des Schwerpunkts. Für den Stoss auf ein ruhendes Teilchen erhalten wir demnach v S = p = m v (6.3) 2 Der Impulsraum ist ein dreidimensionaler mathematischer Raum mit Achsen (p x, p y, p z ). Jedes ruhende Teilchen befindet sich im Ursprung des Impulsraumes.

24 86 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS Streuung im Schwerpunktsystem Nach Gl. (6.37) sind die Geschwindigkeiten der beiden Teilchen vor dem Stoss im Schwerpunktsystem gleich v = v v S = m 2 v (6.4) v 2 = v 2 v S = m v = v S (6.5) Die Summe der Impulse vor dem Stoss im Schwerpunktsystem ist definitionsgemäss gleich null: Da der Impuls erhalten ist, gilt auch: p + p 2 = 0 (6.6) p = p 2 := p (6.7) = m v m 2 = p (6.8) p 3 + p 4 = 0 (6.9) p 3 = p 4 (6.20) Die kinetischen Energieen T i und T f vor bzw. nach dem Stoss 3 betragen: T i T f + p 2 2 = 2m 2m 2 2m m 2 = p 2 = p p 2 4 = 2m 2m 2 2m m 2 p 2 (6.2) p 2 3 (6.22) Aus der Energieerhaltung T i = T f folgt p 2 = p 2 3 (6.23) p 3 = p (6.24) Beim elastischen Stoss ändern sich demnach die Beträge der Impulse und die kinetischen Energien der Teilchen im Schwerpunktsystem nicht! p = p 2 = p 3 = p 3 p = m 2 p (6.25) Als nächstes wollen wir die Frage untersuchen, was sich überhaupt ändern kann. Im Endzustand gibt es 6 Unbekannte, und zwar 3 Impulskomponenten für jedes 3 Der Index i steht für den Anfangszustand (initial) und f für den Endzustand einer Reaktion (final).

25 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS Teilchen. Andererseits gibt es mit Energie- und Impulserhaltung 4 Gleichungen, die den möglichen Bereich dieser 6 Impulskomponenten einschränken. Es bleiben also 2 Freiheitsgrade übrig. Da der Betrag der Impulse p 3 und p 4 beim elastischen Stoss bereits festgelegt und damit konstant ist, liegt es nahe, zu Kugelkoordinaten im Impulsraum überzugehen: p 3 = p sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ p 4 = p sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ (6.26) Bei der Angabe der Impulsvektoren p 3 und p 4 ist zu beachten, dass zwar jeder Impuls im Schwerpunktsystem um denselben Polarwinkel ϑ relativ zu seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt wird (Siehe dazu Abb. 6.9 und 6.0), dass aber die Impulsrichtung bezüglich der Geschwindigkeit v des einfallenden Teilchens als z-achse bestimmt wird. Relativ zu dieser Achse wird das Teilchen 4 um den Winkel (π ϑ ) gestreut, und deshalb erscheint das negative Vorzeichen in den 3 Impulskomponenten von p 4 in Gl. (6.26). Die noch freien Parameter sind also der polare Streuwinkel ϑ und der azimutale Streuwinkel ϕ. Bei Streuungen von Teilchen ohne Spin (Eigendrehimpuls) ist die Streuverteilung rotationssymmetrisch, so dass die Streuverteilung nur von ϑ abhängt. In diesem Fall können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit die Streuung auf die xz-ebene beschränken: p 3 = p sin ϑ 0 cos ϑ p 4 = p sin ϑ 0 cos ϑ (6.27) Streuung im Laborsystem Die Geschwindigkeiten der beiden Teilchen nach dem Stoss im Laborsystem sind gleich v 3 = v 3 + v S (6.28) v 4 = v 4 + v S (6.29) Damit ist der Impuls von Teilchen 3 nach dem Stoss gleich: p 3 = m (v 3 + v S ) = p 3 + m v S (6.30) = m sin ϑ 2p 0 + m 0 p 0 cos ϑ (6.3) = p m 2 sin ϑ 0 m 2 cos ϑ + m (6.32)

26 88 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 2007 Der Impuls des Teilchens 4 ist gegeben durch: p 4 = m 2 (v 4 + v S ) = p 4 + m 2 v S (6.33) = m sin ϑ 2p 0 + m 0 2p 0 cos ϑ (6.34) = m 2p sin ϑ 0 cos ϑ + (6.35) Wir haben bereits beim zentralen elastischen Stoss (Kapitel 6.9.2) gesehen, dass das Massenverhältnis ξ = m /m 2 eine wichtige Rolle spielt. Wir eliminieren deshalb die Massen m und m 2 in den Gleichungen 6.32 und 6.35, indem wir m = m 2 ξ setzen und dann mit m 2 kürzen. Wir fassen diese Ergebnisse zusammen: sin ϑ p 3 = p + ξ 0 ξ + cos ϑ, p 4 = p + ξ sin ϑ 0 cos ϑ (6.36) Energie- und Winkelverteilungen Laborenergieen der beiden Teilchen nach dem Stoss in Funktion des Schwerpunktwinkels ϑ: T 3 (ϑ ) = p2 3 2m = p2 2m ( + 2ξ cos ϑ + ξ 2 ) ( + ξ) 2 (6.37) = T ( + 2ξ cos ϑ + ξ 2 ) ( + ξ) 2 (6.38) T 4 (ϑ ) = p2 4 2m 2 = p2 2m 2 2 ( cos ϑ ) ( + ξ) 2 (6.39) Wir fassen auch diese Ergebnisse zusammen: = T 2ξ ( cos ϑ ) ( + ξ) 2 (6.40) T 3 (ϑ ) = T ( + 2ξ cos ϑ + ξ 2 ) ( + ξ) 2, T 4 (ϑ ) = T 2ξ ( cos ϑ ) ( + ξ) 2 (6.4) Die Abhängigkeit der Energien von Teilchen 3 und Rückstossteilchen 4 vom Schwerpunktwinkel hat den Vorzug, dass sie eindeutig ist. Andererseits möchte

27 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS T3 /T ξ= ϑ Abbildung 6.: Elastische 2-Teilchen-Streuung. Auf die Anfangsenergie T normierte Energie des einlaufenden Teilchen nach der Streuuung in Funktion des Laborstreuwinkels. Parameter ist das Massenverha ltnis ξ = m /m2. man auch gerne die Energien in Funktion des Laborwinkels ϑ darstellen. Mit cos ϑ als Parameter erha lt man T3 (cos ϑ3 ) (siehe Abb. 6.). Aus Gl folgt: p3z cos ϑ + ξ =p p3 + 2ξ cos ϑ + ξ 2 r p4z cos ϑ cos ϑ cos ϑ4 := =p = p4 2 2 ( cos ϑ ) cos ϑ3 := (6.42) (6.43) Zusammengefasst: cos ϑ + ξ cos ϑ3 = p, + 2ξ cos ϑ + ξ 2 r cos ϑ4 = cos ϑ 2 (6.44) Der O ffnungswinkel ϑ34 zwischen den beiden Impulsen nach der Streuung ist

28 90 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 2007 gegeben durch: cos ϑ 34 = p 3 p 4 p 3 p 4 = sin2 ϑ + (ξ + cos ϑ ) ( cos ϑ ) + 2ξ cos ϑ + ξ 2 2 ( cos ϑ ) (6.45) (6.46) cos ϑ 34 = cos ϑ 2 ξ + 2ξ cos ϑ + ξ 2 (6.47) Bei der Streuung gleich grosser Massen (ξ = ) ist demnach der Öffnungswinkel zwischen den beiden Impulsen nach der Streuung stets gleich π/2 (siehe auch Abb. 6.0)! Falls m > m 2 bzw. ξ > ist, gibt es einen maximalen Streuwinkel ϑ max 3 < π/2: d cos ϑ 3 d cos ϑ = + 2ξ cos ϑ + ξ 2 (cos ϑ + ξ) ( + 2ξ cos ϑ + ξ 2 ) ξ + 2ξ cos ϑ + ξ 2 = ( + 2ξ cos ϑ + ξ 2 ) ξ (cos ϑ + ξ) ( + 2ξ cos ϑ + ξ 2 ) 3/2 (6.48) = + ξ cos ϑ := 0 (6.49) ( + 2ξ cos ϑ + ξ 2 3/2 ) cos ϑ = ξ cos ϑ max 3 = (6.50) ξ 2 (6.5) Dies bedeutet, dass unter jeden Laborwinkel ϑ 3 Teilchen mit 2 verschiedenen Energien emittiert werden. Das hochenergetische Teilchen wurde dabei im Schwerpunktsystem nach vorne, das niederenergetische nach hinten gestreut. Das kann man auch anschaulich folgendermassen erklären: Es ist nach Gl. 6.28: v 3 = v 3 + v S Wir betrachten die Streuung um 80. Dann sind v, v S und v 3 alle kollinear, und wir können nur die z-komponente betrachten: v 3z := v z = v Sz v z (6.52) v 3z = 2v Sz v z (6.53) Für v Sz 2 v z v 3z 0 (6.54)

29 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS v S v 3 = v 3 + v S v 3,0 v 3,0 v 3,2 ϑ max 3 ϑ3 z v S v 3,2 v 3, v 3, v S Abbildung 6.2: Elastischer Stoss eines Teilchens mit Masse 2m auf ein ruhendes Teilchen mit Masse m (ξ = 2). Zu jedem Streuwinkel ϑ 3 < ϑ max 3 gibt es zwei Geschwindigkeiten v 3, und v 3,2, denen unterschiedliche Schwerpunktwinkel ϑ 3, bzw. ϑ 3,2 zugeordnet werden. Das heisst, wenn v S genügend gross ist, wird das einfallende Teilchen nur noch nach vorne gestreut. Nach Gl. 6.3 bedeutet dies, dass m v v 2 (6.55) ξ ξ + 2 (6.56) ξ (6.57) Falls demnach das einfallende Teilchen eine grössere Masse als das ruhende Teilchen aufweist, wird es nur in Vorwärtsrichtung gestreut (siehe auch Abb. 6.2). 6.0 Schwerpunktsystem relativistisch Die Bestimmung des Schwerpunktsystems für ein System von N relativistischen Teilchen erfolgt am einfachsten über den Impuls und die Energie unter Berücksichtigung der Ruheenergie. Wir definieren ein neues, effektives, Teilchen, welches alle N Teilchen einschliesst und die Masse M, die Gesamtenergie

30 92 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 2007 E und den Impuls p besitzt: E := p := E i (6.58) p i (6.59) M 2 c 4 = E 2 p 2 c 2 (6.60) Die Energien bestehen aus der Summe der Ruheenergien, der kinetischen Energien und der potentiellen Energien der Teilchen untereinander. Ein Beispiel ist das Wasserstoffatom. Die Masse dieses effektiven Teilchens ist demnach gleich M = ( ) N 2 ( N 2 E c 2 i p i c) (6.6) Die Geschwindigkeit v S des Schwerpunkts ist identisch mit der Geschwindigkeit v des effektiven Teilchens: v c = p c E = p i c (6.62) E i Streuung von Teilchen werden analog zum nichtrelativistischen Fall gerechnet: Man transformiert mithilfe einer Lorentztransformation der Geschwindigkeit v S ins Ruhesystem, berechnet dort die Streuung und transformiert anschliessend wieder zurück ins Laborsystem.