Fakultät für Maschinenbau. Fachgebiet Technische Optik. Praktikumsanleitung zum Versuch. Fourieroptik

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1 Fakultät für Maschinenbau Fachgebiet Technische Optik Praktikumsanleitung zum Versuch Fourieroptik konzipiert von Carolin Rosenberger und Lucia Lorenz 1

2 1 Versuchsziel Die Fourieranalyse hat im vergangenen Jahrhundert für viele Technik- und Wissenschaftsbereiche an enormer Bedeutung gewonnen. Neben der klassischen Elektrotechnik wurde auch die Optik als ein weiteres Anwendungsfeld erschlossen. Ziel dieses Versuches ist es, die theoretischen Grundlagen der Fouriertransformation anhand anschaulicher Experimente nachzuvollziehen. Im Mittelpunkt stehen dabei Untersuchungen einfacher Beugungsobjekte wie Spalt, Doppelspalt und Gitter sowie deren Raumfrequenzspektren. 2 Versuchsaufgaben Erprobung verschiedener Objekte und Filter sowie Interpretation der Raumfrequenzspektren Ausführen verschiedener Messungen und Berechnungen qualitative Untersuchung verschiedener Eigenschaften der Fouriertransformation 3 Grundlagen 3.1 Beugungstheorie und Fourieroptik Die Beugung ist ein Phänomen, das im Allgemeinen die Lichtausbreitung im Wellenmodell beschreibt. Im Speziellen versteht man darunter die Ausbreitung des Lichts in den geometrischen Schatten. Diese Erscheinung ist dann gut zu beobachten, wenn die Dimension des beleuchteten Objekts im Bereich der Wellenlänge liegt. Zur Beschreibung der Beugung wird meist das Huygens-Fresnelsche Prinzip verwendet: Jeder Punkt einer Wellenfront bildet zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Quelle sekundärer Elementarwellen, deren Frequenz mit jener der Primärwelle übereinstimmt. In jedem nachfolgenden Punkt ist die Amplitude des optischen Feldes durch die Überlagerung aller dieser Elementarwellen unter Berücksichtigung der Amplituden und relativen Phasen gegeben [1]. In Abhängigkeit vom Abstand z zwischen beugendem Objekt und Beobachtungsebene unterscheidet man prinzipiell zwei Fälle (b: Breite des Spalts, :Wellenlänge): Fresnelbeugung tritt im Nahfeld des Objekts auf, Fraunhoferbeugung ist im Fernfeld zu beobachten, d.h. Abbildung 1 zeigt exemplarisch die Beugungsbilder für Nah- und Fernfeld hinter einer Öffnung der Breite b. Für die Fourieroptik steht die Fraunhoferbeugung im Vordergrund, weshalb diese im Folgenden näher beschrieben wird. 2

3 Abb.1: Beugung im Nah- und Fernfeld. 1 Dazu wird zunächst eine beliebig geformte beugende Öffnung A betrachtet, die kohärent, d.h. mit ebenen monochromatischen Wellen beleuchtet wird. Da wir Fraunhoferbeugung betrachten, sind und R sehr groß gegenüber den Abmessungen der Öffnung. Abbildung 2 zeigt die Geometrie. Abb.2: Beugung an einer beliebig geformten Öffnung. Auf jedem infinitesimal kleinen Flächenelement da wird ein Feldstärkeanteil de erzeugt, der sich als Kugelwelle (Elementarwelle) ausbreitet: ( ) Die Konstante gibt dabei die Ausgangsfeldstärke in der Öffnung an, steht für den Wellenvektor, der den Betrag hat. 1 Quelle: W. Demtröder. Experimentalphysik 2. Springer-Verlag Berlin Heidelberg,

4 Der Vektor lässt sich durch mehrere Umformungen ersetzen: im Faktor vor der Exponentialfunktion verwendet man die Näherung, im Exponenten wird der Term mittels einer Reihenentwicklung vereinfacht. Wendet man das Huygens-Fresnelsche Prinzip an, berechnet sich die elektrische Feldstärke im Punkt P durch Integration über alle Elementarwellen der Öffnung: ( ) Es existieren jedoch nicht nur einfache Öffnungen als Beugungsobjekte, deshalb ist es sinnvoll, das beugende Objekt durch die Feldstärkeverteilung innerhalb der Ebene zu beschreiben. Diese Funktion, die sogenannte Blendenöffnungsfunktion, gibt Amplitude und Phase der komplexen Amplitude in jedem Punkt an und wird folgendermaßen notiert: Der Ausdruck enthält alle vor dem Integral stehenden Faktoren und ist proportional zu, sodass sich der Ausdruck vereinfacht zu: Nun folgt die Einführung der räumlichen Kreisfrequenzen Beobachtungsebene eine Frequenz zugeordnet wird:, wobei jedem Punkt in der und bezeichnen dabei die Beugungswinkel in x- und y-richtung. Setzt man diese in das Integral ein, ergibt sich die elementare Feststellung der Fourieroptik: Das Fraunhofersche Beugungsbild geht als Fouriertransformation aus der Ausgangsverteilung hervor und es gilt Geht man vom eindimensionalen Fall aus, berechnet sich die Transformierte wie folgt: 4

5 3.2 Optische Abbildung Die Fourieroptik stellt ein wellenoptisches Modell für die Bildentstehung bei der Abbildung mit optischen Systemen dar. Fraunhoferbeugung wird stets im Unendlichen registriert. Bei der Abbildung kommt demzufolge das Fraunhofersche Beugungsbild bzw. das Raumfrequenzspektrum in der bildseitigen Brennebene der Optik zustande. Dessen Bild entsteht wiederum durch eine inverse Fouriertransformation, das Beugungsbild wird dabei wieder nach Unendlich abgebildet. Zur Veranschaulichung der Fourieroptik wird meist der 4f-Aufbau genutzt, der aus zwei Optiken gleicher Brennweite besteht, deren Brennpunkte zusammenfallen. Das Objekt befindet sich dabei in der objektseitigen Brennebene der ersten Optik, sodass das Raumfrequenzspektrum in der bildseitigen Brennebene entsteht. Abb.3: 4f-Aufbau. Aus den Beugungsbeziehungen und der Geometrie des Aufbaus lässt sich folgende Formel für den Abstand der m-ten Ordnung in der Filterebene von der optischen Achse folgern: wobei die Gitterperiode oder konstante bezeichnet. Da das Raumfrequenzspektrum für jedes Objekt spezifisch ist, enthält es die gesamte Bildinformation. Soll also das Objekt durch die Abbildung perfekt rekonstruiert werden, muss das gesamte Spektrum übertragen werden. Aufgrund der räumlich begrenzten Ausdehnung jeder Optik ist dies jedoch praktisch nicht möglich. Frequenzen, die über einer bestimmten Grenzfrequenz liegen, können nicht mehr übertragen werden. Dies hat zur Folge, dass sehr feine Strukturen nicht mehr sichtbar sind und die Schärfe des Bildes beeinträchtigt ist. Je mehr die höchsten Frequenzanteile verloren gehen, desto weicher sind die Kanten des entstehenden Bildes. Verwendet man eine kohärente Lichtquelle zur Beleuchtung des Beugungsobjektes, so fehlen alle Frequenzen oberhalb der Kreiswellenzahl. Möchte man die Grenzfrequenz verkleinern, was beispielsweise durch das Einbringen einer Irisblende in die 5

6 Fourierebene leicht realisierbar ist, lässt sich als Effekt im Bildraum eine Verringerung des Auflösungs-vermögens beobachten. Unter Verwendung verschiedener Raumfilter ist es ebenfalls möglich, einzelne Beugungsordnungen gezielt zu unterdrücken oder die Phasenlage des Lichtes zu manipulieren. Man spricht von räumlicher bzw. optischer Filterung. 3.3 Anwendungen räumlicher Filterung Bei der räumlichen Filterung können sowohl Amplituden- als auch Phasenobjekte manipuliert werden. Während sich der praktische Versuchsteil hauptsächlich mit der Filterung von Amplitudenobjekten beschäftigt, sollen nachfolgend Verfahren, die sich auch mit dem Sichtbarmachen von Phasenobjekten beschäftigen, erläutert werden. Letztere spielen vornehmlich in der Mikroskopie eine wichtige Rolle. Des Weiteren ist zu erwähnen, dass auch die Mustererkennung im Teilgebiet der räumlichen Filterung eine Rolle spielt. Mit Hilfe von Korrelationsfiltern, welche auf holografischem Wege herstellbar sind, kann die Identifikation der Zeichen unter bestimmten Randbedingungen erfolgen Visualisierung schwach streuender Amplitudenobjekte Beim Dunkelfeldverfahren wird das Maximum nullter Ordnung aus der Fourierebene ausgeblendet. Die Beugungsmaxima erster und höherer Ordnungen, welche Träger der gesamten Objektinformation sind, dürfen den Filter passieren. Durch das Fehlen der 0. Ordnung erfährt das Bild einen Helligkeitsverlust. Der Beobachter sieht die Struktur des Objekts aus den Maxima höherer Ordnung über dunklem Untergrund. Diese Methode ermöglicht es besonders kleine nicht leuchtende Objekte, wie z.b. Staub auf einer Oberfläche oder ferner Fingerabdrücke sichtbar zu machen, da das Licht an ihren Phasengrenzen gebrochen oder gestreut wird. Würde man die zu untersuchende Probe von allen Seiten beleuchten, so würde sie förmlich überstrahlt werden. Das Objekt ist dann nicht sichtbar, da der an ihm gestreute Anteil des Lichtes im Vergleich zum ungestreuten sehr gering ist. In der Praxis wird das Ausblenden der nullten Ordnung beispielsweise durch Platzierung einer geeigneten Abdeckung über dem zentralen Beugungsfleck des Raumfrequenzspektrums realisiert. Die Filterung des Gleichanteils begünstigt das Hervortreten der Konturen, was allerdings mit einem Lichtverlust des Bildes gegenüber dem Original verbunden ist Visualisierung von Phasenobjekten Transparente Objektstrukturen mit schwacher Phasenvariation können sehr einfach mittels spatialer Filterung in der Fourierebene sichtbar gemacht werden. Ein solches Objekt sei durch die Transmission t(x,y) beschrieben. Diese kann in grober Näherung in einen konstant durchlässigen Realteil (=1, Hintergrund) und einen Imaginärteil ϕ(x,y), der für die schwache Phasenmodulation steht, zerlegt werden: 6

7 In der Bildebene (z.b. Auge des Beobachters, CCD Kamera, ) wird die Intensität registriert: Die Intensitätsverteilung I DF (x,y) besitzt einen hellen Hintergrund t = 1 mit einer Helligkeitsmodulation, die von der Phasenmodulation ϕ(x,y) quadratisch abhängt. Somit geht die Vorzeicheninformation verloren und wegen des geringen Betrages von ϕ(x,y) ist die Phaseninformation schlecht sicht- und messbar. Die störende dominierende Hintergrundintensität muss deshalb eliminiert werden. Dies kann zum einen durch die räumliche Filterung in der Fourierebene, bei der eine kleine Zentralblende die dort fokussierte 0. Beugungsordnung abschattet, oder durch eine ringförmige Beleuchtung, die unter einer Beleuchtungsapertur auf das Objekt strahlt, die außerhalb der Beobachtungsapertur liegt, realisiert werden. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Phasenlage des Hintergrundes um π/2 zu schieben. Entsprechend Gl. (11) interferieren dann der Gleichanteil sowie der Imaginärteil der komplexen Transmissionsfunktion ϕ(x,y) gleichphasig: Es ist nun eine Intensitätsverteilung messbar, die eine lineare Abhängigkeit zur schwach modulierten Phaseninformation besitzt. Die starke Hintergrundintensität kann mit den obigen Maßnahmen wirkungsvoll unterdrückt werden. In der Praxis erfolgt dementsprechend die Beleuchtung des Objekts mittels einer Ringblende in der Beleuchtungsoptik, die Phasenschiebung von π/2 hinter dem Objekt mit einem zur Ringblende optisch konjugierten λ/4 Phasenring, der nur schwach lichtdurchlässig ist. Dieses Phasenkontrastverfahren nach Zernike wird beispielsweise in der Mikroskopie angewandt, um Zellstrukturen zu untersuchen, die sonst angefärbt werden müssten. Hierbei werden Objekte höherer Dichte und somit höherer Brechzahl wie beispielsweise der Zellkern meist dunkler abgebildet als die Strukturen geringerer Dichte. Der geringe Lichtverlust sowie die reine Phasenverschiebung der Struktur ohne die Frequenz zu beeinflussen sind ferner als vorteilhafte Eigenschaften anzuführen. 7

8 Abb.4: Zwiebel-Innenepidermis im Hellfeld (links) und im Phasenkontrast Toeplersches Schlierenverfahren Das Toeplersche Schlierenverfahren dient dazu Schlieren, wie beispielsweise die von einem fliegenden Geschoss erzeugten Wirbel, sichtbar zu machen. Als Schlieren bezeichnet man hier Bereiche, die sich von ihrer Umgebung in der Dichte bzw. im Brechungsindex unterscheiden. Abb.5:Toeplersches Schlierenverfahren. Eine Schneide, welche als Filter fungiert, blendet alle negativen Beugungsordnungen und je nach Justierung einen Teil der nullten Ordnung aus. Die Wirkung der Schneide entspricht einer Multiplikation des Raumfrequenzspektrums mit einer Stufenfunktion. Durch diesen Eingriff in das Raumfrequenzspektrum entsteht ein Amplitudenkontrast in dem vom Objektiv erzeugten Bild, sodass das Objekt sichtbar ist. Die Intensitätsverteilung im Bild ist dabei proportional zum Quadrat der Phasenverschiebung durch das Objekt. 2 Universität Wien. Amplituden- & Phasenobjekte Abruf:

9 Man kann dem Bild jedoch nicht entnehmen, ob die durch eine helle Linie angezeigte Änderung der Phase einer positiven oder negativen Phasenänderung bzw. Anstieg oder Abfall entspricht. Weiterhin nachteilig ist die bedingt durch die Schneide entstehende Vorzugsrichtung, welche dem Bild aufgeprägt wird. 3.4 Periodische Strukturen Ein periodisches Gitter kann mit Hilfe einer Fourierreihe beschrieben werden. Die komplexe Amplitudentransmissionsfunktion wird dann mit ausgedrückt. Dabei bestimmt die Art des Gitters die Fourierkoeffizienten Die Beugungseffizienzen () der einzelnen Ordnungen ergeben sich aus dem Betragsquadrat der Fourierkoeffizienten: (14) 3.5 Babinet sches Theorem Das Babinet sche Theorem besagt, dass die Intensitätsbeugungsbilder zweier komplementärer Beugungsobjekte t O (x,y) und t C (x,y) mit Ausnahme des ungebeugten Anteils identisch sind. Es gilt für komplementäre Transmissionen t O (x,y) und t C (x,y): Passiert eine ebene Wellenfront die jeweilige Transmission, ergibt sich unter Annahme einer Fraunhoferbeugung in der Beugungsebene eine Amplitudenverteilung proportional der Fouriertransformierten des Beugungsobjektes: { } mit ν x,ν y als laterale Koordinaten der Fourierebene. Wegen Gl. (15) gilt dort folgender Zusammenhang für die (komplexen) Amplitudenverteilungen: Der Term δ(0,0) steht für einen Dirac Impuls im Zentrum der Fourierebene und stellt den ungebeugten Anteil dar. Um ihn herum ist das gebeugte Spektrum T C (ν x,ν y ) angeordnet. Die beiden Komplementärspektren unterscheiden sich nur durch ihr Vorzeichen. Dieses 9

10 verschwindet bei Aufnahme der Intensitätsverteilung I Fou (Betragsquadrat der Amplitude, Wiener-Chinchin Theorem): 4 Vorbereitung 1.) Machen Sie sich mit den Grundlagen der Fourieroptik und der räumlichen Filterung vertraut. Von welchen Näherungen geht man bei der Fresnel- und der Fraunhoferbeugung aus? 2.) Warum stellt jede Linse einen Tiefpass für räumliche Frequenzen dar? Welche Konsequenz ergibt sich daraus für die optische Abbildung? 3.) Worin unterscheiden sich Amplituden- und Phasenobjekte? 4.) Vergleichen Sie qualitativ Dunkelfeld- und Phasenkontrastverfahren miteinander. Ordnen Sie das Toeplersche Schlierenverfahren in die im Abschnitt 3.3 beschriebenen Verfahren ein! 5.) Berechnen Sie mit Hilfe der Formel (8) die Fouriertransformierte einer Rechteckfunktion: { 6.) Gegeben sei ein Rechteckamplitudengitter mit einem Tastverhältnis von. Die Variable ist die Breite des durchsichtigen Streifens und die Gitterperiode. Die Amplitudentransmissionsfunktion für eine Periode ist gegeben durch: { a) Bestimmen Sie mit Gleichung (13) die Fourierkoeffizienten und mit Gleichung (14) die zu erwartenden Beugungseffizienzen. b) Welche Ordnungen werden theoretisch nicht ausgebildet? c) Bei welchem Tastverhältnis verschwindet die dritte Ordnung? Anmerkung: und 10

11 7.) Ermitteln Sie die Fouriertransformierte eines Doppelspaltes, bestehend aus zwei Rechteckfunktionen aus Aufgabe 5.) mit dem Abstand D. [ ] Anmerkung: Sie können dazu den Faltungssatz { } sowie den Verschiebungsatz { } und die Beziehung nutzen. Wie sieht das Intensitätsbild in der Fourierebene aus (Betragsquadrat der Amplitude)? Wie verändert sich das Beugungsbild, wenn sich der Abstand D zwischen den Spalten vergrößert? 11

12 5 Versuchsaufbau Der in diesem Versuch verwendete Aufbau ist eine Abwandlung des bereits erwähnten 4f- Aufbaus. Auf die zweite Linse wird verzichtet und ihre Wirkung durch eine hinreichend große Entfernung zur Bildauffangebene erreicht. Die nachfolgende Abbildung zeigt die Anordnung der Elemente. 1 Laser incl. Aufweitungsoptik 2 Planspiegel 3 Objekthalterung 4 50%-Strahlteilerwürfel 5 Linse (f =250mm) 6 justierbare Filterhalterung 7 optische Bank 8 Planspiegel 9 Tessar-Objektiv (4,5/250) 10 Schirm Abb.6: Versuchsaufbau. Licht eines He-Ne-Lasers der Wellenlänge 632,8 nm wird mittels spezieller in das Gerät integrierter Optik (umgekehrtes Keplersystem mit Modenblende) aufgeweitet. Nach dem Passieren des Objekts wird das Licht mittels Strahlteilerwürfel (4) in zwei Teilbündel gleicher Intensität aufgespalten. Durch die Linse (5) wird das Beugungsbild in die Filterebene (6) fokussiert, in der die Manipulation des Raumfrequenzspektrums erfolgt. Dabei sollte darauf geachtet werden, dass die Filter mittels der Verstelleinrichtung genau auf das Spektrum 12

13 ausgerichtet werden. Auf dem Schirm (10) können das gefilterte und das ungefilterte Bild direkt verglichen werden. Wird die Linse (5) aus dem Strahlengang entfernt, erscheint das Beugungsbild vergrößert auf dem Schirm. 6 Durchführung und Auswertung Allgemeine Hinweise: Schauen Sie nie direkt in den Laserstrahl. Verwenden Sie die Laserschutzbrillen, die am Versuchsstand ausliegen. Berühren Sie die optischen Oberflächen von Spiegeln, Strahlteiler und Linsen nicht mit den Fingern. Die Oberflächen der Filter und Beugungsobjekte sind ebenfalls nicht mit den Fingern zu berühren, da dies ihre Wirkung beeinträchtigt. Verwenden Sie gegebenenfalls Laborhandschuhe. Am Versuchsplatz liegt eine Lupe aus, welche die genaue Betrachtung feiner Strukturen in der Bildebene ermöglicht. Die Objekte sollten so in die jeweilige Halterung eingesetzt werden, dass sich die Beschriftung an der Oberseite befindet. Bei kreisrunden Filtern ist auf die konzentrische Ausrichtung zum Raumfrequenzspektrum zu achten. Aufgaben: 1.) Bauen Sie die Versuchsanordnung nach dem gegebenen Schema auf und justieren Sie gegebenenfalls die Bauelemente. Der Strahlengang sollte dabei parallel zur optischen Bank (7) verlaufen und die Bilder vollständig auf dem weißen Papier (10) aufgefangen werden. Hinweis: Zu Beginn sollte das ungefilterte Bild durch axiale Verschiebung des Objekts scharfgestellt werden, ehe die Ausrichtung der Linse (5) erfolgt. 2.) Setzen Sie nacheinander Objekt O 01, O 02 und O 03 in den Objekthalter ein und betrachten Sie die entstehenden Beugungsbilder in der Fourierebene, d.h., in der Brennebene der Linse 5 (s. Abb. 6). Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede stellen Sie fest? Um welche Objekte handelt es sich? 3.) Betrachten Sie das Objekt O 04 und dessen Raumfrequenzspektrum. Welches Problem könnte bezüglich der Filterung einzelner Ordnungen auftreten? 4.) Wählen Sie zwischen Objekt O 05 und O 06 und bringen Sie anschließend Filter F 01 in den Strahlengang. Welche Veränderung ergibt sich hinsichtlich der Gitterperiode im Bild? 5.) Verwenden Sie Objekt O 08 und berechnen Sie mit Hilfe der Gleichung (10) die Gitterperioden der vier verschiedenen Richtungen. 6.) Das Objekt O 09 besitzt zwei Flächen mit Gittern unterschiedlicher Orientierungen. a) Finden Sie mit Hilfe der Filter F 02 und F 03 heraus, wie die Gitter gerichtet sind. 13

14 b) Welcher Filter besitzt in diesem Fall die gleiche Wirkung wie F 02? c) Verschieben Sie das Objekt senkrecht zur optischen Achse. Was stellen Sie bezüglich des Spektrums fest? 7.) Nun soll das bekannte Fourierhaus (O 10) näher untersucht werden. Dazu stehen Ihnen die Filter F 01 bis F10 zur Verfügung, wobei auch Kombinationen möglich sind. Betrachten Sie dabei auch das Beugungsbild in verschiedenen Abständen vom Objekt. a) Welcher Filter lässt das Dach des Hauses dunkel erscheinen? b) Welche Gitterperiode besitzt das Objekt? c) Welchen Effekt hat Filter F 05? d) Blenden Sie durch Kombination verschiedener Filter alle Strukturen außer die des Schornsteins aus. Welche Orientierung hat diese? e) Durch welche Filter wird das Bild invertiert? f) Setzen Sie gleichzeitig die Filter F 04 und F 06 in die Halterung ein. Was beobachten Sie im Bild? 8.) Im letzten Teil soll ein Phasenobjekt untersucht werden: Stellen Sie dazu die brennende Kerze anstelle des Objekthalters in den Strahlengang. Durch welchen Filter werden die erzeugten Luftströmungen im Bild sichtbar? 7 Literatur [1] Hecht, E.: Optik, Oldenbourg, 2002 [2] Stößel, W.: Fourieroptik, Springer, 1993 [3] Vorlesungsskript Fourieroptik, TU Ilmenau, Prof. Sinzinger 14