STOCHASTIK. Einführung. Teil 1. Grundbegriffe der Stochastik. Datei Nr Friedrich W. Buckel. Internatsgymnasium Schloß Torgelow.

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1 STOCHASTIK Einführung Teil 1 Grundbegriffe der Stochastik Datei Nr Mai 2003 Friedrich W. Buckel Internatsgymnasium Schloß Torgelow

2 Datei Inhalt 1 Grundbegriffe der Stochastik Was gehört zur Stochastik? Merkmale und Häufigkeiten in der Statistik Experimente zur Stabilisierung der relativen Häufigkeiten. 6 (Dazu gehören die Tabellenblätter 31020) 1.4 Vorhergesagte relative Häufigkeiten Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten von größeren Ereignissen Wahrscheinlichkeiten von Nicht-Laplace-Ereignissen 18 Datei Mehrstufige Experimente, Baumdiagramme Hinführung Abbruch-Experimente Höchstens- und Mindestens-Ereignisse Die Dreimal-Mindestens-Aufgabe 53 Datei Mengenlehre und Wahrscheinlichkeiten Mengenoperationen für 2 Mengen 61 Schnittmenge, Vereinigungsmenge 62 Differenzmengen 63 Symmetrische Differenzmenge 65 Additionssatz für Oder-Ereignisse 66 Additionssatz für Entweder-Oder-Ereignisse Mengenoperationen für 3 Mengen Carnaugh-Diagramme und wie man daraus Bäume zaubert Und zum Schluß noch komplizierte Logik 85 (De Morgansche Regeln)

3 31021 Stochastik Einführung Teil Grundbegriffe der Stochastik 1.1 Was gehört zur Stochastik Sehen wir uns dieses Schema an: STOCHASTIK STATISTIK Auswertung der Vergangenheit WAHRSCHEINLICH- KEITSRECHNUNG Prognosen für die Zukunft Es zeigt, daß man unter Stochastik die beiden Teilgebiete Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung versteht. So verschieden die Anwendungsbereiche auch sein mögen, so sehr haben doch beide Bereiche Gemeinsamkeiten. Grob gesagt: In der Statistik versucht man mit mathematischen Mitteln Tabellen auszuwerten, die aus vergangenen Ereignissen erfaßt worden sind. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung versucht man aus der besonderen Situation eines Experiments heraus eine Prognose für die Zukunft abzugeben, also wie das Ergebnis wahrscheinlich aussehen wird. Der Pfeil in der Tabelle zeigt, daß man dabei Methoden aus der Statistik auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung übertragen kann. Für diejenigen, die schon mehr wissen ein Ausblick, was dabei geschehen wird. Zuerst wird der statistische Begriff der relativen und absoluten Häufigkeit eingeführt. Daraus definieren wir die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis. Die Berechnung solcher Wahrscheinlichkeiten wird ziemlich viel Zeit in Anspruch nehmen, weil ganz unterschiedliche Dinge zu berücksichtigen sind. Dann benötigen wir die Mengenlehre zur Erfassung komplexer Ereignisse. Hier wird insbesondere das Carnaugh-Diagramm ein ganz wichtiges Hilfsmittel zur Auswartung von Tabellen und Erstellen von Baumdiagrammen sein, vor allem in Hinsicht auf die bedingten Wahrscheinlichkeiten. Viel später kommen wir auf die Statistik zurück und besprechen den Mittelwert vorkommender Ergebnisse und untersuchen, wie man die Abweichung der einzelnen Werte in ihrer Gesamtheit beurteilen kann. Das wird dann auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung übertragen und wir kommen zu den Begriffen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.

4 31021 Stochastik Einführung Teil Merkmale und Häufigkeiten in der Statistik In der Statistik geht es um eine zahlenmäßige Erfassung von Tatbeständen oder Vorgängen. Man beschreibt also die Vergangenheit. Der Sinn der eingeführten Methoden ist es, große Tabellen dabei so auszuwerten, daß man die Ergebnisse auf kurze Aussagen reduziert, also Übersichten erstellt, die schneller einen Eindruck vermitteln als eine ganze Tabelle. Naturgemäß enthält eine Tabelle alle Details, und davon geht dann vieles in der Übersicht verloren. Komprimierung auf effiziente Gesamtaussagen geht also auf Kosten von Detailwissen. Da man selten alle Objekte des interessierenden Vorganges erfassen kann bzw. will, macht man eine sogenannte Stichprobe, d. h. man wählt möglichst zufällig einzelne Objekte aus, die man dann untersucht. Unter der Grundgesamtheit versteht man alle für die Stichprobe in Frage kommenden Objekte, die man auf bestimmte Merkmale hin untersucht. Beispiele: (a) (b) Grundgesamtheit: Menge von Haushalten eines Stadtteils oder Wohnbezirks. Durch eine Umfrage wird ermittelt: Die Anzahl der Kinder, die Einkommensverhältnisse, die Konfessionszugehörigkeit und die Körpergröße der Erwachsenen. Grundgesamtheit: Menge aller PKWs, die auf der B109 an der Kontrollstelle K vorbeifahren. Untersucht wird die Geschwindigkeit. (c) Grundgesamtheit ist die Menge der Schüler einer Schule in Klasse 12. Merkmal: Die gewählten 2 Leistungskurse (wer drei belegt hat, muß die beiden angeben, mit denen er voraussichtlich Abiturprüfung machen will). Hinweise dazu. (1) Es gibt ganz unterschiedliche Arten von Merkmalen. Während wir die Kinder zählen können (ein quantitatives Merkmal), gelingt dies beim Einkommen nicht mehr in dieser Form. Man erfaßt dann nur noch, in welcher Kategorie das Einkommen liegt. Es liegt zwar auch ein quantitatives Merkmal vor, aber mit einer Klasseneinteilung, die etwa so aussehen kann: Gehaltsklasse Unter bis unter bis unter bis unter 4000 Ab 4000 Anzahl der Haushalte Die Konfessionszugehörigkeit ist jedoch nicht meßbar oder abzählbar, also liegt kein quantitatives sondern ein qualitatives Merkmal vor. Die Körpergröße der Erwachsenen ist wieder ein quantitatives Merkmal, aber es ist doch von anderer Art als die Kinderzahl. Hier gibt es quasi alle Zwischengrößen, während bei den Kinderzahlen nur natürliche Zahlen vorkommen. Die Kinderzahl ist ein diskretes quantitatives Merkmal, die Körpergröße ein stetiges quantitatives Merkmal. Auch hier wird man eine Klasseneinteilung vornehmen!

5 31021 Stochastik Einführung Teil 1 3 (2) Die Geschwindigkeitsmessung der Autos in (b) führt zu einem stetigen quantitativen Merkmal mit einer Klasseneinteilung, das man etwa so erfassen kann: Geschw ] 0;50 [ [ 50 ; 60 [ [ 60 ; 80 [ [ 80 ; 100 [ [ 100 ; 120 [ [ 120 ; 200 ] ni = Anzahl der PKWs h i = rel. Häufigkeit 0,02 0,06 0,08 0,24 0,4 0,2 Proz. Häuf. 2% 6% 8% 24% 40% 20% (c) Hier wurde die Tabelle bereits um eine kleine Auswertung erweitert, auf die wir noch zu sprechen kommen. Die Leistungskurswahlen stellen natürlich ein qualitatives Merkmal dar: LK Englisch Deutsch Mathematik Biologie Physik Geographie ni = Anzahl h i = rel. Häufigkeit Proz. Häuf. Wie wertet man eine solche Tabelle aus? Unter der absoluten Häufigkeit n i ( also n 1,n 2,...) versteht man die tatsächlichen Anzahlen, mit der eine Merkmalsausprägung auftritt. Absolute Häufigkeiten sind für einen Vergleich von Statistiken ungünstig. Wenn beispielsweise an zwei Tagen nacheinander von 12 bis 16 Uhr Geschwindigkeiten gemessen werden, und man liest dann: Am Montag sind 50 Autos mindestens 120 km/h gefahren, am Dienstag aber nur 36. Dann sagt dies gar nicht viel aus, denn wir wissen ja nichts über die Gesamtzahl der Autos. Wenn beispielsweise an beiden Tagen gleich viele Autos gemessen worden wären, dann wäre diese Aussage interessant. In Schule A haben 18 Schüler LK Mathe gewählt, in Schule B aber 24. Ob dabei in B Mathematik tatsächlich häufiger gewählt worden ist, weiß man erst, wenn man mehr über den Umfang der Stichprobe wüßte. Wenn beispielsweise die Klassenstufe 12 in A 30 Schüler, in B aber nur 80 umfassen würde, dann wären die 24 LK-Mathe-Schüler von B relativ wenig im Vergleich zur Schule A! Daher sollte man bei Vergleichen besser auf die sogenannte relative Häufigkeit zurückgreifen, oder auf die prozentuale, was im Grunde dasselbe ist.

6 31021 Stochastik Einführung Teil 1 4 Hier die Hintergünde dazu Eine Merkmal habe k verschiedene Ausprägungen. Die zugehörigen absoluten Häufigkeiten dieser Merkmale bezeichnet man mit n i ( i = 1,..., k ). Die Stichprobe habe den Umfang n, dann gilt n= n1+ n nk oder in der Summenschreibweise: k n= n. i= 1 i Definition: Unter der relativen Häufigkeit einer Merkmalsausprägung ni versteht man den Quotienten hi =, n wobei n der Umfang der Stichprobe ist und mit n i die absolute Häufigkeit der Merkmale bezeichnet wird. Eigenschaften dieser relativen Häufigkeiten: (1) Weil 0 ni n gilt, folgt nach Division durch n: 0 hi 1 (2) n1 n2 nk n1+ n nk n h 1+ h h k = = = = 1 n n n n n Also gilt: Die Summe aller relativen Häufigkeiten ist 1. h1+ h h k = 1 bzw. k i1 = h = 1 i Die prozentuale Häufigkeit einer Merkmalsausprägung ist die relative Häufigkeit in Prozentschreibweise Beispiele: h1 = 0,2 20%, h2 = 0,26 26%, h = % 3 7 7

7 31021 Stochastik Einführung Teil Experimente zur Stabilisierung der relativen Häufigkeiten Wenn die Zeit einmal ausnahmsweise nicht knapp ist, sollte man mit Schülern experimentieren. Würfel und andere Gegenstände sollten gestestet und das Experiment dann statistisch ausgewertet werden. Zu diesen gehören jetzt die Tabellenblätter Experiment 1: Wir benötigen 5 (oder 10) Schülergruppen, die jeweils 10 Würfel erhalten. Das Experiment besteht darin, daß diese 10 Würfel gleichzeitig geworfen werden. Dann werden die absoluten Häufigkeiten der Augenzahlen notiert, und zwar bei genau 200 Würfen. Die Ergebnisse werden von jeder Gruppe in Tabelle 1 eingetragen. Im 2. Schritt werden die ermittelten absoluten Häufigkeiten fortgesetzt summiert, d.h. in der erste Spalte stehen dann die absoluten Häufigkeiten zu 10 Würfen, in der 2. Spalte zu den ersten 20 Würfen, in der 3. die zu den ersten 30 Würfen usw. Dies verarbeitet man in Tabelle 2. Im 3. Schritt trägt summiert man diese Häufigkeiten für alle 5 Gruppen, d.h. die 1. Spalte enthält dann absolute Häufigkeiten für 50 Würfe, die zweite für 100 Würfe usw. (Tabelle 3). In Tabelle 4 überträgt man dann die zugehörigen relativen Häufigkeiten. Im Unterricht wird die Zeit nicht reichen, dies für alle 6 Augenzahlen durchzuführen, es genügen dann etwa die Augenzahlen 1 und 2. Jetzt sollte man beobachten können, daß die Schwankungen dieser relativen Häufigkeiten immer kleiner werden, je größer der Umfang der Stichprobe, also die Anzahl der Würfe ist. Man kann dann schnell ermitteln, daß bei gleichen Chancen für alle 6 Augenzahlen die relative Häufigkeit bei einem Sechstel zu erwarten ist, also bei etwa 0,167 (Die Ergebnisse sollte man auf 3 Dezimalen runden). Im letzten Schritt kann man dann die relative Häufigkeit in Abhängigkeit vom Umfang der Stichprobe in einem Achsenkreuz darstellen. Experiment 2: Man kann Würfel mit unbeschrifteten Flächen kaufen. Stellen Sie damit 10 Würfel her, die 3 mal 1 Punkt, 2 mal 2 Punkt und einmal 3 Punkte tragen. Es findet sich sofort eine Schülergruppe, die damit das Experiment 1 wiederholt. Experiment 3: Führen Sie das Experiment 1 mit Reißnägeln durch. 5 (oder 10) Gruppen werfen 20 mal 10 Reisnägel und ermitteln auf die genannte Art wie sich die relativen Häufigkeiten stabilisieren. Zur Auswertung Siehe 18/19.

8 31021 Stochastik Einführung Teil Vorhergesagte Häufigkeiten (Wahrscheinlichkeitsrechnung) (1) Wir führen ein Experiment durch und werfen eine ideale (d. h. gleichmäßig gestaltete) Münze 1000 mal. Wir notieren uns das Merkmal Abbildung. Eine Euromünze hat dabei die beiden Ausprägungen Zahl und Bild. 5 Schüler notieren ihre Ergebnisse in dieser Tabelle: Schüler Absolute Häufigkeiten Relative Häufigkeiten Zahl Bild Zahl Bild A ,486 0,514 B ,527 0,473 C ,561 0,439 D ,445 0,555 E ,732 0,268 Jeder weiß aus Erfahrung, daß das Ergebnis eines Wurfs vom Zufall abhängt. Die Art, wie man wirft, aus welcher Höhe man wirft usw. beeinflußt das Ergebnis, also das Merkmal, das erscheint. Aber jeder geht davon aus, daß sich diese Zufälle im Laufe der Zeit ausgleichen. Dies ist ein Naturgesetz. Und unter diesem Aspekt wird auch keiner erwarten, daß bei genau 1000 Würfen stets genau 500 mal Zahl und 500 mal Bild erscheint. Die in der Tabelle erfaßten Schwankungen sind fast alle akzeptabel. Lediglich bei E muß man berechtigte Zweifel anbringen. Dieser Fall ist so unwahrscheinlich, daß man eher auf eine verbogene oder wie auch immer ungleichmäßige Münze oder auf eine manipulierte Tabelle schließen wird. Hier tauchte das Wort unwahrscheinlich auf. Manche sagen dazu auch: Die Wahrscheinlichkeit, daß dieses Ergebnis eintritt ist sehr klein, oder auch: Dieses Ergebnis ist unwahrscheinlich. Würden wir der Tabelle noch zwei Spalten hinzufügen, und in die Überschrift hineinschreiben: Erwartete relative Häufigkeit, dann würde dort immer 0,5 stehen müssen. Man kann es auch so formulieren: Bei einer idealen Münze sind Zahl und Bild gleich wahrscheinlich. Definition. Unter der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses verstehen wir die vorhergesagte relative Häufigkeit. Für Wahrscheinlichkeiten verwendet man in der Regel den Buchstaben p oder auch P. Und so könnte man unser Ergebnis auch so schreiben: P(" Zahl") = 0,5 und P("Bild") = 0,5.

9 31021 Stochastik Einführung Teil 1 7 (2) Nun verwenden wir einen idealen Würfel, den wir 600 mal werfen. Bei einem Würfel interessiert das Merkmal Augenzahl oder gewürfelte Zahl. Dieses Merkmal hat die Ausprägungen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Wir wollen gleich den Fachausdruck verwenden: S= 1,2,3,4,5,6 Der Ergebnisraum beim Würfeln ist { } Beim Würfeln können nun ganz verschiedene Ereignisse eintreten. Ereignis A: Man würfelt eine 5. Ereignis B: Man würfelt eine gerade Zahl. Ereignis C: Man würfelt keine 6. Es ist üblich, Ereignisse mit der Mengenschreibweise darzustellen: A = { 5 }, B = { 2,4,6 } und C { 1,2,3,4,5 } =. Diejenigen Ereignisse, die nur aus einem möglichen Ergebnis bestehen, nennt man Elementarereignisse. Davon gibt es beim üblichen Würfel 6. Jedes dieser Elementarereignisse ist gleichwahrscheinlich, wenn wir einen idealen Würfel voraussetzen. Wenn wir also ähnlich zu (1) eine Tabelle anlegen und die absoluten und relativen Häufigkeiten eintragen, Kann das beispielsweise so aussehen: Absolute Häufigkeiten Relative Häufigkeiten Schüler { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 5 } { 6 } { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } { 5 } { 6 } A , , , , , ,143 usw. Man erkennt bei den absoluten Häufigkeiten doch große Schwankungen. Dies liegt sicher daran, daß 600 mal würfeln doch noch keine sehr große Anzahl ist. Die 143 Vierer stellen sicher einen zufällig sehr großen Wert dar. Wie groß die Schwankungen sind, erkennt man besser an den relativen Häufigkeiten. Doch: Welche Zahl müßte man da als Vorhersage erwarten, wenn man die Gleichwahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse zugrunde legt? Die Herleitung ist ganz einfach: Wir haben 6 Elementarereignisse. Die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten muß 1 sein (denn es sind ja vorhergesagte Wahrscheinlichkeiten), also entfällt auf jedes der 1 vorhergesagte Wahrscheinlichkeitswert 0, Wir haben somit ermittelt, daß die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl bei einem idealen Würfel 1 beträgt. Man schreibt dies so: 6 ({ }) { } 1 ( ) ({ }) P 1 = P 2 =... = P 6 = 6

10 31021 Stochastik Einführung Teil Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten (1) Unter einem Zufallsexperiment versteht man ein Experiment, dessen Ausgang nur vom Zufall abhängt. (2) Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt man den Ergebnisraum S. (3) Jede Teilmenge des Ergebnisraums S heißt ein Ereignis. (Damit wird dieser Begriff mathematisiert, man kann nun damit rechnen ) (4) Ein Ereignis, das genau ein Ergebnis hat, heißt Elementarereignis. (5) Das Ereignis, das durch die leere Menge dargestellt wird, das also kein Ergebnis hat, heißt das unmögliche Ereignis. (6) Das Ereignis, das durch den ganzen Ergebnisraum dargestellt wird, heißt das sichere Ereignis. (7) Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleiche Chancen haben, nennt man Laplace-Experimente. Beispiele für Ereignisse: Schüler haben oft zunächst die Ansicht, daß es nur diese 6 Ereignisse beim Würfeln gibt: { 1 } ; { 2 } ; { 3 } ; { 4 } ; { 5 } ; { 6 }, weil sie irrtümlich Ereignis mit Ergebnis verwechseln. Doch man kann eine Wette darüber abschließen, ob das Ereignis Man würfelt eine gerade Zahl eintrifft oder nicht. Gewonnen hat man, wenn eines dieser Ergebnisse auftritt: B = { 2;4;6 }. Und diese Menge repräsentiert das genannte Ereignis. Und sie ist eine Teilmenge des Ergebnisraums S. Jetzt sollte es dämmern, daß eigentlich jede Teilmenge von S ein Ereignis repräsentiert, man muß nur eine verbale Beschreibung dazu finden. Etwa zu D= { 1;2;3;6} : Die gewürfelte Zahl ist ein Teiler von 6. Andere Beschreibungen für dieselbe Menge sind möglich, etwa diese: Die gewürfelte Zahl ist kleiner als 4 oder größer als 5 usw. Wie man nachvollziehen kann definiert die Menge das Ereignis und nicht die Formulierung! Wenn wir das Würfelexperiment weiter im Auge haben, dann ist das Ereignis E: Man würfelt eine zweistellige Zahl das unmögliche Ereignis, denn es gilt: E = { }. Und das Ereignis F: Man würfelt eine Zahl unter 7 das sichere Ereignis, denn F= S= 1,2,3,4,5,6. es wird sicher eintreten. Es gilt : { }

11 31021 Stochastik Einführung Teil 1 9 Anzahl der möglichen Ereignisse. Man muß sich natürlich auch die Frage stellen, wie viele Ereignisse gibt es denn beim Würfeln? Oder anders formuliert: Wie viele Teilmengen hat die Menge S= 1,2,3,4,5,6? Um dieser Sache auf den Grund zu gehen, beschäftigen wir { } uns zunächst mit Glücksrädern. 1. Modell: Das Glücksrad hat zwei gleichgroße Sektoren: 1 2 Durch eine Lasche wird das in Schwung gebrachte Rad so abgebremst, daß es auf genau einen der beiden Sektoren zeigt, also auf 1 oder 2. Wir haben somit den Ergebnisraum S2 = { 1;2}. Und wir haben vier Teilmengen (Ereignisse): { 1 }, { } Ereignis S = { 1;2} und das unmögliche Ereignis { } 2 2 sowie das sichere U =. 2. Modell: Das Glücksrad hat drei gleichgroße Sektoren: Jetzt gibt es 8 Teilmengen (Ereignisse) von S3 = { 1;2;3} : { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1;2 }, { 1;3 } und { 2;3 } sowie das sichere Ereignis S = { 1;2;3} und das unmögliche Ereignis { } 3 U = Modell: Das Glücksrad hat vier gleichgroße Sektoren: Jetzt gibt es 16 Teilmengen (Ereignisse) von S = { 1;2;3;4 } Vier mit genau 1 Element: { 1 }, { 2 }, { 3 } und { 4 }. Sechs mit genau 2 Elementen: { 1;2 }, { 1;3 }, { 1; 4 }, { 2;3 }, { 2;4 } und { 3;4 } Sowie vier mit genau 3 Elementen (jeweils eine der vier zahlen fehlt dann): { 1; 2; 3 } ; { 1; 2 ; 4 } ; { 1; 3 ; 4} und { 2; 3 ; 4 }. Dazu wieder das sichere und das unmögliche Ereignis S = { 1;2;3;4 }, { } Viele Schüler ahnen jetzt, daß es bei 5 Sektoren 32 Teilmengen gibt und bei 6 dann 64 usw. Doch wie will man das beweisen? Es gibt ein einfaches Prinzip! U =.

12 31021 Stochastik Einführung Teil 1 10 Schauen wir uns diese Einteilung der Teilmengen des letzten Beispieles an: U = { } { 4 } { 1 } { 1; 4 } { 2 } { 2;4 } { 3 } { 3;4 } { 1;2 } { 1; 2; 4 } { 1;3 } { 1; 3 ; 4 } { 2;3 } { 2; 3 ; 4 } { 1; 2; 3 } S = { 1;2;3;4 } 4 Die ganze Menge umfaß alle 16 Teilmengen von S { 1;2;3;4 } 4 =. Die linke Hälfte enthält alle 8 Teilmengen, die keine Vier enthalten, und die rechte Hälfte enthält alle Teilmengen, die eine Vier enthalten. Schaut man sich die linke Hälfte genauer an, dann sind dies genau die 8 Teilmengen S = 1;2;3 des Glücksrades mit nur drei Sektoren. der Ergebnismenge { } 3 Und wir können auch noch feststellen wie daraus die 8 Teilmengen der rechte Hälfte entstehen: Fügt man zu jeder Teilmenge links die 4 dazu, entsteht die rechte Hälfte. Das bedeutet im Klartext: Durch Hinzufügen eines weiteren Elements verdoppelt sich die Anzahl der Teilmengen. Nun stellen wir uns vor, daß wir das Glücksrad mit 5 Sektoren untersuchen. Dann gibt es natürlich die 16 Teilmengen von S5 = { 1;2;3;4;5}, die keine 5 enthalten, die sind genau die 16 unserer Abbildung oben, dazu kommen weitere 16, die aus diesen 16 durch Anfügen jeweils der Zahl 5 entstehen! Also haben wir 32 Teilmengen (Ereignisse). MERKE: Zu einer Menge mit n Elementen gibt es 2 n Teilmengen. Ein Experiment mit n möglichen Ergebnissen hat also genau 2 n Ereignisse!

13 31021 Stochastik Einführung Teil 1 11 Im Leistungskurs kann man dies durch Vollständige Induktion beweisen, was hier nur angedeutet sei: Induktionsanfang: n = 1. Die Menge S = { 1} hat genau 2 1 = 2 Teilmengen: S = { 1} und die leere Menge { }. Induktionsschritt: Wir nehmen an, daß dieser Satz bis zu einer Anzahl n = k Elementen S = a ;a ;...;a habe 2 k Teilmengen. bewiesen ist, d.h. { } k 1 2 k Dann folgern wir daraus, daß S = { a ;a ;...;a ;a } genau 2 k+1 Teilmengen hat. k k k+ 1 Dies beweist man wie auf Seite 9 gezeigt. Man denke sich die 2 k Teilmengen ohne das neue Element a k+1 angeschrieben. Dan verdoppelt man die Anzahl der Teilmengen, indem man jeder Teilmenge noch das Element a k+1 dazugibt. Man muß sich jetzt nur klar machen, daß man damit bereits alle Teilmengen von S k+1 hat. Zurück zu unserem Würfelspiel: Ein Würfel hat die Ergebnismenge S { 1,2,3,4,5,6} 6 =. Also gibt es beim Würfeln genau 2 6 = 64 Ereignisse!!! Neues Beispiel: Mit Spielkarten lassen sich auch geeignete Experimente durchführen. Dazu einige Vorkenntnisse: Ein Skatspiel besteht aus 32 Karten, die aus je 8 Farben Kreuz, Pik, Herz und Karo bestehen, wobei Kreuz und Pik schwarz, Herz und Karo rot sind. Innerhalb jeder Spielkartenfarbe gibt es dann je einmal die Karten 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, As. Jede dieser 32 Karten ist in einem gut gemischten Kartenstapel gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit als vorhergesagte relative Häufigkeit ist 1 somit für jede dieser Karten (Elementarereignis) = 0, Doch interessieren hier ganz andere Ereignisse. Etwa diese: A: Man zieht eine rote Karte, B: Man zieht eine Zahl C: Man zieht eine schwarze Personenkarte usw. Dies lernen wir jetzt.

14 31021 Stochastik Einführung Teil Wahrscheinlichkeiten von größeren Ereignissen Damit meine ich jetzt Ereignisse mit mehr als einem Ergebnis. Etwa das zuletzt genannte Beispiel: Aus einem Skatspiel zieht man eine Karte. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man eine schwarze Personenkarte? Dieses Ereignis kann man als Menge so darstellen: C = { Kreuz B, Kreuz D, Kreuz K, Pik B, Pik D, Pik K } E enthält also 6 mögliche Ergebnisse. Jedes einzelne Ergebnis hat die relative 1 Häufigkeit. Entsprechend oft zieht man im Mittel jede dieser Karten. Und 32 zusammen nimmt man dann die Summe, was auf ( ) 6 PC = führt. 32 Oder das Ereignis D: Man zieht 7, 8 oder 9: Man erkennt schnell, daß diese 3 Karten bei Kreuz, Pik, Herz und Karo vorkommen, also enthält die Ereignismenge D genau 3 4 = 12 Ergebnisse. Und man folgert: ( ) 12 PD =. 32 Im Zähler steht die Anzahl der Elemente des Ereignisses D, im Nenner die Zahl aller möglichen Ergebnisse, also der Elemente des Ergebnisraums S. Schreibt man dies als Formel, findet man verschiedene Schreibweisen: E sei ein Ereignis eines Laplace-Experiments, dann berechnet man die Wahrscheinlichkeit von E durch diese Formel: ( ) E Z( E) g PE = S = ZS ( ) = m Dabei bezeichnet E oder Z(E) die Anzahl der Ergebnisse, die E gestattet und S oder Z(S) die Anzahl der Ergebnisse die überhaupt bei diesem Experiment möglich sind. Die Zahl E der Ergebnisse von E nennt man auch die für das Ereignis günstigen (g) Ergebnisse, während S die Anzahl der überhaupt möglichen (m) Ergebnisse darstellt. Dazu jetzt eine Reihe von Beispielen.

15 31021 Stochastik Einführung Teil 1 13 Beispiel 1: Lösung: Beispiel 2: Ein Glücksrad hat zehn gleich große Sektoren, die mit den Ziffern 0 bis 9 beschriftet sind. Es wird einmal gedreht und hält dann bei genau einer Zahl an. Gib die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse an: A: Es erscheint eine gerade Zahl B: Es erscheint eine Zahl über 3 C: Es erscheint ein Teiler von 9 D: Es erscheint eine Primzahl E: Es erscheint die Zahl 10 S= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} { } ( ) A 5 1 A = 0,2,4,6,8 P A = = = = 0,5 S 10 2 { } ( ) B 6 3 B= 4;5;6,7,8,9 P B = = = = 0,6 S 10 5 { } ( ) C 3 C= 1;3;9 P C = = = 0,3 S 10 { } ( ) D 4 2 D= 2;3;5;7 P D = = = = 0,4 S 10 5 {} ( ) E 0 E = P E = = = 0 (Das unmögliche Ereignis! ) S 10 Man wirft mit zwei idealen Würfeln gleichzeitig. Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Merkmal X = Augensumme. Unter der Wahrscheinlichkeitsverteilung versteht man die Wertetafel der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Augensummen. Der Ergebnisraum für X ist S = { 2 ; 3 ;... ;12 } Der Ergebnisraum für die Menge aller Doppelwürfe ist {( ) ( ) ( )} S' = 11 ; 1 2 ;...; 6 6 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X besteht somit aus diesen 11 Wahrscheinlichkeiten: P( X = 2 ) ;... ; P( X = 12). Dabei besteht das Ereignis X = 5 selbst aus vier möglichen Ergebnissen; 5 = 1+ 4 = 2+ 3 = 3+ 2= 4+ 1, also dürfen dazu 4 Paare gewürfelt werden: { 5} {( 14 );( 2 3 );( 3 2 );( 4 1) }. Jedes Zahlenpaar stellt ein Elementar- Ereignis dar, und davon gibt es genau 36.

16 31021 Stochastik Einführung Teil 1 14 Dies zeigt eine graphische Darstellung. Man denke sich jedes Paar als Punkt im x-y-achsenkreuz dargestellt, wobei die beiden Würfelaugen die Rolle der Koordinaten übernehmen. Zunächst erhält man so den Ergebnisraum mit 36 Paaren = Punkten: S' Nun schauen wir uns an, wo die Augensummen liegen S' S' Das Diagramm zeigt die Punkte ( 13 ),( 2 2 );( 31 ), Das Diagramm zeigt die vier Punkte die alle drei die Koordinatensumme (also Augensumme) 4 ( 14 ) ;( 23 ) ;( 32 ) ;( 41 ), welche die aufweisen. In Koordinatenschreibweise bedeutet dies Koordinatensumme 5 haben. Sie liegen auf der x+ y = 4 y = x+ 4. Geraden: x+ y = 5 y = x+ 5 Die Gleichung passen zu den eingezeichneten Geraden. Der Schnittpunkt mit der y-achse gibt die Summe 4 bzw. 5 an. Das nächste Diagramm zeigt die zu geraden Augensummen gehörenden Geraden. Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet ({ }) ({ }) ({ }) 3 ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) = 3 ({ }) = 2 ({ }) = 1. P 2 = ; P 3 = ; P 4 = ; P 5 = ; P 6 = ; P 7 = ; P 8 = ; P 9 = ; P 10 ; P 11 ; P S'

17 31021 Stochastik Einführung Teil 1 15 Eine solche Wertetafel läßt sich auch graphisch darstellen. Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten, die man auch aus dem Fernsehen kennt, z.b. wenn Wahlergebnisse dargestellt werden. Die einfachste Darstellungsform ist das Stabdiagramm. Dann das Histogramm. Der Unterschied zum Stabdiagramm besteht darin, daß anstelle der Stäbe Rechtecke der Breite 1 verwendet werden. Dadurch hat der Flächeninhalt dieselbe Maßzahl wie die Höhe! Die nächste Möglichkeit ist ein Kreisdiagramm: Um dies anzufertigen rechnet man die Wahrscheinlichkeit in Grad um. Dabei gilt O 100% 360, also O 1% 3,6 usw.

18 31021 Stochastik Einführung Teil Dieses Kreisdiagramm wurde mit EXCEL angefertigt. Beispiel 3: Lösung: Man wirft zwei ideale Würfel gleichzeitig. Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable X = Unterschied der Augenzahlen. Mit Unterschied meint man hier den Betrag der Differenz der Augenzahlen. X=1 heißt also y x = 1 d.h. y x =± 1 und daraus folgt y = x ± 1. Dies sind die Gleichungen zweier paralleler Geraden. Auf ihnen liegen genau 10 Punkte aus S, also gibt es 10 Würfelpaare mit X =1: {( 12 );( 2 3 );( 3 4 ):( 4 5 );( 5 6) ; ( 2 1 ) ;( 3 2 ) ;( 4 3 ) ;( 5 4 ) ;( 6 5) } S Entsprechend gibt es zu X=2 die Geraden y x = 2 y x = ± 2 y = x± 2 mit insgesamt 8 Paaren. X=3 führt auf diese Weise zu 6 Paaren, X = 4 zu 4 Paaren und X = 5 zu 2 Paaren. Es bleibt noch X=0 also y = x mit genau 6 Paaren. Ergebnis: P( X = 0 ) = ; P( X = 1 ) = ; P( X = 2) = ( ) 6 ( ) 4 ( ) 2 P X = 3 = ; P X = 4 = ; P X = 5 =

19 31021 Stochastik Einführung Teil 1 17 Beispiel 4: Lösung: In einer Urne liegen 1 weiße Kugel, 2 rote, 3 blaue und vier schwarze Kugeln. Sie sind durch bloßes Befühlen nicht unterscheidbar, so daß das Ziehen einer Kugel rein zufällig ist. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten zieht man eine Kugel einer bestimmten Farbe? Es gibt insgesamt 10 Kugeln in der Urne. Jede wird somit mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 gezogen: pw = 0,1. Da es zwei rote Kugeln gibt, verdoppelt sich hier die Chance: p r = 0,2. Es folgt: p b = 0,3 und p s = 0,4. Zusatz: Hat man zuerst eine schwarze Kugel gezogen und legt diese nicht wieder zurück, wie groß sind dann die Wahrscheinlichkeiten? Dann sind nur noch 9 Kugeln in der Urne, 1 weiße, 2 rote, 3 blaue und 3 schwarze Also folgt: p w =, p 9 r =, p = p = =. 9 b s 9 3

20 31021 Stochastik Einführung Teil Wahrscheinlichkeiten von Nicht-Laplace-Ereignissen. Es gibt Experimente, bei denen die Ausgänge nicht gleichwahrscheinlich sind. Denken wir an das Werfen von Reißnägeln. Ein Reißnagel kann auf einer Steinplatte in genau zwei Positionen liegen bleiben: Position 1: Position 2: In 1.3 wurde das Experiment 3 geschildert, das beispielsweise mit 5 Schülergruppen ermitteln sollte, wie sich die relative Häufigkeit für diese beiden Positionen ermitteln läßt. Man stellt fest, daß sich die Werte stabilisieren und immer mehr einem Wert nähern. Diesen sogenannten Grenzwert übernehmen wir und definieren aus ihm heraus die Wahrscheinlichkeit dafür, das ein Reißnagel in Position 1 liegen bleibt Ich habe zweimal mit 5 Schülergruppen diese Reißzwecke werfen lassen. Dazu gibt es in der Datei Formulare zum Eintragen der Ergebnisse. Ich füge hier die teilweise ausgefüllten Blätter und die Auswertung aus beiden Gruppe am Ende des Textes bei.

21 31021 Stochastik Einführung Teil 1 19 Auswertungsblatt: Der 1. Reißnagel-Versuch 1. Schritt: 5 Schülergruppen werfen jeweils 10 Reißnägel und tragen die anbsoluten Häufigkeiten der beiden Positionen ein. Wurf {P1} Hier haben die Schüler ihre Wurfergebnisse eingetragen. {P2} Schritt: Man summiert von links her die absoluten Häufigkeiten, so daß man diese für 10, 20, 30,..., 200 Würfe erhält:a48 Wurf {P1} Und hier ihre Aufsummierung aus dem 1. Schritt. {P2} Schritt: Nun werden die Summen aller 5 Gruppen aus dem 2. Schritt in die 3. Tabelle eingetragen Wurf {P1} {P2} Schritt: Berechnung der relativen Häufigkeiten für 50, 100, 150, Würfe.: Wurf {P1} 0, {P2} Die Ergebnisse im 4. Schritt stellen immer Tausendstel dar! Die relativen Häufigkeiten für P2 errechnen sich natürlich über die Formel: 1 P({P1}).

22 31021 Stochastik Einführung Teil 1 20 Auswertungsblatt: Der 2. Reißnagel-Versuch 1. Schritt: 5 Schülergruppen werfen jeweils 10 Reißnägel und tragen die anbsoluten Häufigkeiten der beiden Positionen ein. Wurf {P1} Hier haben die Schüler ihre Wurfergebnisse eingetragen. {P2} Schritt: Man summiert von links her die absoluten Häufigkeiten, so daß man diese für 10, 20, 30,..., 200 Würfe erhält:a48 Wurf {P1} Und hier ihre Aufsummierung aus dem 1. Schritt. {P2} Schritt: Nun werden die Summen aller 5 Gruppen aus dem 2. Schritt in die 3. Tabelle eingetragen Wurf {P1} {P2} Schritt: Berechnung der relativen Häufigkeiten für 50, 100, 150, Würfe.: Wurf {P1} 0, {P2}

23 31021 Stochastik Einführung Teil 1 21 h(n) = 0, Diagramm zu den beiden Reißnagelversuchen Reihe1 Reihe n = Umfang der Stichprobe Man erkennt, daß sie beide Testreihen bei etwa 0,45 stabilisieren. Dies kann man so formulieren: lim h( n) 0,45 n Also definiert man als Wahrscheinlichkeit für die Position 1 P(Pos1) = 0,45. Da die Summe aller relativen Häufigkeiten 1 ist, gilt dies auch für die Wahrscheinlichkeiten. Also folgt für die zweite Position: P(Pos 1) +P(Pos 2) = 1 PPos2 ( ) = 1 PPos1 ( ) = 0,55. Bemerkung: Dies gilt nun nicht für alle Arten von Reißzwecken. Wenn beispielweise der Kopf leicht gerundet ist, dann ist die Position 1 weniger stabil, weil der Reißnagel abrollen kann, dann könnte dort 0,4 oder 0,35 als Wahrscheinlichkeit vorkommen.